SKKN Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình Toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ
 CÓ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
 Người thực hiện: 	 Nguyễn Thị Lâm
 Chức vụ: 	 Giáo viên
 Đơn vị công tác: 	 Trường THCS Thăng Long
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
NÔNG CỐNG, NĂM 2017
MỤC LỤC
TT
Tên mục
Trang
1
I. PHẦN MỞ ĐẦU
02
2
1. Lý do chọn đề tài
02
3
2. Mục đích nghiên cứu
02
4
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
03
5
4. Phương pháp nghiên cứu
03
6
II. PHẦN NỘI DUNG
04
7
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
04
8
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
04
9
3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
04
10
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
11
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
21
12
1. Kết luận
21
13
2. Kiến nghị
21
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
	Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII đã nêu rõ: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, phát triển giáo dục luôn là động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước, là điều kiện phát huy nguồn nhân lực con người, yếu tố cơ bản để phát triển xã hội. Giáo dục đào tạo thực hiện mục đích “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong thời đại hội nhập hiện nay, sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ đòi hỏi dân trí ngày càng phải được nâng lên. Vì vậy, ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, học sinh cần được giáo dục nhân cách và trí tuệ một cách toàn diện nhất, tạo nền tảng vững chắc để giúp các em trở thành những con người đủ phẩm chất và năng lực, có ích cho xã hội. Muốn vậy, các em cần được rèn luyện lối tư duy sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt và nhanh nhẹn, có khả năng phán đoán, phân tích, tổng hợp, khái quát vấn đề,... Để đáp ứng những yêu cầu này trong giáo dục, bộ môn Toán chiếm một vị trí vô cùng quan trọng vì toán học không chỉ giúp học sinh có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy luận lôgic mà toán học còn là tiền đề cho các môn khoa học khác. Tuy nhiên, trong toán học, có rất nhiều vấn đề trừu tượng, không phải chỉ cần vận dụng trực tiếp công thức là làm được. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy có một số dạng toán mà học sinh khi gặp phải đều thấy có nhiều khó khăn, như dạng toán đòi hỏi vẽ đường phụ trong hình học, toán về bất đẳng thức, toán suy luận lôgic,... Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng toán về dãy số viết theo quy luật, đây là dạng toán tương đối khó với các em khi mới tiếp xúc. Nhiều học sinh khó hiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập cho hợp lý. Trong khi đề thi học sinh giỏi các cấp thường hay gặp dạng toán này mà sách giáo khoa lại chưa đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường cho các em một số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai thác bài toán cơ bản thành bài toán mới đa dạng hơn hơn, nên khi gặp bài khác đi một chút thì các em lại lúng túng. Vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6” để nghiên cứu, tìm tòi và viết sáng kiến kinh nghiệm. 
2. Mục đích nghiên cứu:
	Mục đích của việc nghiên cứu đề tài này là khai thác, mở rộng dạng bài toán cơ bản về dãy các phân số có quy luật thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách nhận ra quy luật của dãy một cách nhanh chóng để từ đó định hướng phương pháp giải. Không chỉ vậy, đề tài còn giúp học sinh được rèn luyện thói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách giải bài toán đó mà còn phải cố gắng tìm cách khai thác bài toán để được những bài toán mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận lôgic cho học sinh, khuyến khích các em luôn biết tìm tòi, khám phá, tăng đam mê và niềm yêu thích toán học cho các em. Đề tài cũng giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinh tiếp thu bài dễ dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
a. Đối tượng nghiên cứu:
	- Nghiên cứu một số dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán lớp 6
	- Nghiên cứu các hướng khai thác đối với bài toán về dãy các phân số có quy luật.
Cụ thể, trong đề tài này, tôi nghiên cứu các hướng khai thác đối với hai bài toán cơ bản về tổng của dãy các phân số có quy luật, đó là:
	- Khai thác bài toán 1: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
	- Khai thác bài toán 2: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1, mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiên liên tiếp.
b. Phạm vi nghiên cứu:
	Đề tài này được tôi nghiên cứu trên phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trường THCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú là nơi tôi làm nhiệm vụ dạy tăng cường).
4. Phương pháp nghiên cứu:
a. Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức:
	- Dựa trên vốn kiến thức sẵn có của bản thân.
	- Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
	- Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) các kiến thức về đề tài.
b. Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế:
	- Nghiên cứu các bài giải của học sinh.
	- Trò chuyện với học sinh về những khó khăn khi gặp dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề của các em.
c. Phương pháp phân tích, tổng hợp:
	- Phân tích các bài toán dạng dãy các phân số có quy luật.
	- Phân tích nguyên nhân những khó khăn của học sinh.
	- Tổng hợp kinh nghiệm khai thác bài toán một cách có hệ thống.
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
	Trong quá trình dạy học và ôn tập cho học sinh thi học sinh giỏi môn toán lớp 6, dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài thường gặp. Nhưng 0thực tế, khi mới gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ ra lúng túng, không tìm ra cách giải, đặc biệt là với những dãy không phải dạng cơ bản mà đã có sự biến đổi phức tạp thì càng gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó còn nản chí. Vì vậy, việc tìm ra quy luật của dãy và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng bài tập khác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp dạng này và tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình dạy chương III phần Số học lớp 6 - chương “Phân số”, tôi thấy nhiều em rất lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật. Cả lớp được 18/33 em làm được bài tính tổng của dãy các phân số có quy luật cơ bản mà các em đã được học từ lớp 4, nhưng khi có sự thay đổi nhỏ trong đề bài thì hầu như không em nào làm được bài. Trong quá trình trao đổi, trò chuyện với học sinh và quá trình khảo sát bài làm thực tế của các em, tôi nhận ra một số khó khăn của các em thường gặp, đó là: không tìm ra quy luật của dãy hoặc có em tìm được quy luật nhưng không biết cách giải quyết vấn đề, các em chưa biết cách khai thác dạng bài toán này nên khi thay đổi đề bài một chút thì lại không có hướng giải.
3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
	Qua tham khảo các tài liệu và quá trình tìm tòi, nghiên cứu cùng với kinh nghiệm thực tế giảng dạy của mình, tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác bài toán về chủ đề “dãy các phân số viết theo quy luật” thành những bài toán mới. Cụ thể như sau:
Bài toán 1: 	
Tính giá trị biểu thức: A = 
Nhận thấy: A là tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Giải: 
 Ta có: 
	A = 
Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:
Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của dãy, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: A1 = 
Giải: Ta có: A1 = 
Khai thác 2: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán tổng quát. Cụ thể là: 
Tính giá trị biểu thức: 
 A2 = với 
Giải: Với , ta có: 
	 A2 = 
Khai thác 3: Từ kết quả bài toán trên, ta phát triển thành bài toán so sánh hai biểu thức trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
So sánh: A3 = với 1.
Giải: Ta có: A3 = 
	Vì > 0 nên 1 - < 1. 
	Vậy A3 < 1.
Khai thác 4: Ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đó một vế là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
Cho biểu thức: A4 = . 
Chứng minh: A4 < 
Giải: Ta có: A4 = 
Vì > 0 nên 1 - < 1. Lại có : 1 < suy ra 1 - < 
	Vậy A4 < (đpcm).
Khai thác 5: Từ bài toán 1, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên liên tiếp, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: 
	A5 = 
Giải: Ta có: A5 = 
Khai thác 6: Từ bài toán trên, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: A6 = 
Giải: Ta có: A6 = 
Khai thác 7: Từ bài toán trên, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích hai số tự nhiên hơn kém nhau đúng bằng tử số, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: A7 = 
Giải: Ta có: A7 = 
Khai thác 8: Từ bài toán trên, ta phát triển thành dãy các phân số có cùng
tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên cách đều một lượng khác tử số, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: 
	 A8 = 
Giải: Ta có: A8 = 
Khai thác 9: Từ bài toán 1, bỏ đi các số hạng ở vị trí chẵn (tính từ trái sang phải), ta được bài toán mới. Cụ thể như sau:
Tính giá trị biểu thức: A9 = 
Giải: Ta có: A9 = 
Khai thác 10: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số bằng nhau, mẫu số theo quy luật của bài toán 1 nhưng được tính giá trị cụ thể. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: A10 = 
Giải: Ta có: A10 = 
Khai thác 11: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số bằng nhau, mẫu mỗi phân số là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: 
	 A11 = 
Giải:Ta có:A11 = 
Khai thác 12: Kết hợp dạng bài toán 1 và bài toán vừa phát triển ở hướng khai thác 11 ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:
 A12 = 
Giải: Ta có:
 A12 = 
Khai thác 13: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số bằng nhau, mẫu mỗi phân số là tích bốn số tự nhiên liên tiếp. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: 
A13 = 
Giải: Ta có: 
A13 = 
 Khai thác 14: Đổi dấu các phân số ở bài 1, ta được bài toán mới. Cụ thể là:
 Tính giá trị biểu thức: A14 = 
Giải: Ta có: A14 = 
Khai thác 15: Ta phát triển bài toán 1 thành bài toán tìm x trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
Tìm x biết :
Giải : (1)
Nhận thấy : 
Lại có: 
Nên từ (1) suy ra : 
Khai thác 16: Ta phát triển dạng bài toán 1 thành bài toán tính tỉ số của hai 
biểu thức, trong đó có biểu thức là tổng dãy các phân số theo quy luật trên. 
Chẳng hạn: Tính tỉ số với: A = 
 	 và B = 
Giải: Ta có:	A = 
 Mà B = nên suy ra 
	Vậy 
Khai thác 17: Từ bài toán 1, giữ nguyên tử số là 1, phát triển dãy mẫu số từ dạng dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp thành dạng dãy giai thừa của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới. Chẳng hạn: 
Cho biểu thức: A17 = . Chứng minh: A17 < 1.
Giải: Nhận thấy: 
Từ đó, suy ra:
A17 = < 
Vậy A17 < 1.
Khai thác 18: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán về tính chia hết. Chẳng hạn: Cho phân số: 
Chứng minh: a chia hết cho 151.
Giải: Ta có: 
Suy ra: 
Chọn MC = , gọi các thừa số phụ tương ứng là k1, k2, k3, ..., k25, ta được : 
Phân số trên có tử số chia hết cho 151 (151 là số nguyên tố) mà mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 151 nên khi rút gọn đến phân số tối giản thì tử số vẫn chia hết cho 151 hay a chia hết cho 151.
Vậy a chia hết cho 151.
Bài toán 2: 	 Tính giá trị biểu thức: B = 
Nhận thấy: A là một tổng của các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1, mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiên liên tiếp.
Giải: Ta có: B = (1)
Suy ra: 	2B = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
 B 
	 Vậy B = 
Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:
Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của dãy, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Thu gọn biểu thức: B1 = 
Giải: Ta có: 	 B1 = (1)
	Suy ra: 	2B1 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B1 
Khai thác 2: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán tổng quát. Cụ thể là:
Thu gọn biểu thức: B2 = với 
Giải: Với , ta có: 
	B2 = (1)
Suy ra : 2B2 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được: B2 
Vậy B2 với 
Khai thác 3: Từ kết quả bài toán trên, ta phát triển thành bài toán so sánh hai biểu thức trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
So sánh : B3 = với 1.
Giải :Ta có : B3 = (1)
 Suy ra : 2B3 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B3 
Vì > 0 nên 1 - < 1. Suy ra B3 < 1.
Khai thác 4: Từ bài toán 2, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu các phân số là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là các số tự nhiên liên tiếp, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
Thu gọn biểu thức: B4 = . 
Giải: Ta có : B4 = 
	 = 	 (1)
Suy ra : 4B4 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
 3B4 
 B4 = 
Khai thác 5: Ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đó một vế là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
Cho B5 = . Chứng minh: B5 < .
Giải: Ta có: 	B5 = 
	 = 	 (1)
Suy ra : 4B5 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : 3B5 
 B5 = 
Vì > 0 nên < . Suy ra B5 < .
Khai thác 6: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu các phân số là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là các số tự nhiên theo cấp số cộng. Chẳng hạn:
Thu gọn biểu thức: B6 = . 
Giải: Ta có : B6 = 
	 = 	 (1)
Suy ra : 43. B6 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
 63 . B6 
 B6 
Khai thác 7:Từ bài toán 2,đổi dấu giữa các phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta có bài toán mới. Chẳng hạn:
	Tính giá trị biểu thức: B7 = 
Giải: Ta có: B7 = (1)
Suy ra: 	2B7 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : 
 B7 
Khai thác 8: Từ bài toán 2, đan xen dấu giữa các phân số, ta có bài toán mới. Chẳng hạn:
Thu gọn biểu thức: B8 = . 
Giải: Ta có: 	 B8 = 
	 = (1)
Suy ra : 	74.B8 = (2)
Cộng vế với vế đẳng thức (2) với đẳng thức (1), ta được: 2402 B8 
 B8 
Khai thác 9: Ta phát triển dạng bài toán 2 thành bài toán tìm x trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. 
Chẳng hạn: Tìm x biết :	 
Giải : Đặt B9 = 	 (1) 
Suy ra : 	2B9 = (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B9 
Khi đó: 
	Vậy 
Khai thác 10: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số các phân số thành dãy các lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Chứng minh: 	B10 = 
Giải: 	Nhận thấy: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
B10 = 
 B10 < 
Vậy B10 < 1.
 Khai thác 11: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số các phân số thành dãy các lũy thừa bậc ba của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Chứng minh: 	B11 = 
Giải: 	Nhận thấy: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
B11= 
 B11 < 
Vậy B11 < . 
 Khai thác 12: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số các phân số thành dãy các lũy thừa bậc bốn của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Chứng minh: 	B12 = 
Giải:	Nhận thấy: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
 B12 < 
Vậy B12 < . 
 Khai thác 13: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với tử số khác 1, dãy mẫu số là dãy các lũy thừa bậc năm của các số tự nhiên liên tiếp. Chẳng hạn: 
Chứng minh: 	B13 = 
Giải:	Nhận thấy: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
 B13 < 
Vậy B13 < . 
	 Từ đây, ta còn có thể khai thác để phát triển bài toán thành nhiều bài toán mới về dãy các phân số có quy luật mà trong giới hạn của đề tài chưa thể trình bày hết được.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
	Qua quá trình vận dụng những kinh nghiệm trong việc giúp học sinh biết cách khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật mà trên đây tôi đã trình bày, tôi nhận thấy đề tài đã đạt được một số hiệu quả sau:
	- Học sinh biết nhận dạng quy luật ở những dãy mới nhanh hơn, vận dụng bài toán về dãy cơ bản để làm bài toán mới thành thạo hơn. Khi tôi thay đổi đề toán để có bài toán mới, từ chỗ ban đầu các em lúng túng, nản chí vì chưa tìm ra cách giải thì nay các em đều nhận ra quy luật, biết cách làm bài và tỏ ra rất hứng thú với dạng toán này.
	- Sự tò mò, thích khám phá của nhiều em như được kích thích, các em chủ động tìm cách khai thác bài toán cơ bản để phát triển thành những bài toán mới cả khi tôi chưa yêu cầu. Bài tập các em đưa ra rất phong phú, đa dạng và đầy sáng tạo. Tham khảo hệ thống bài tập mà các em phát triển được khiến tôi có nhiều trải nghiệm bất ngờ và thú vị. Nhiều bài tập hay mà các em khám phá được, tôi cho các em trao đổi lẫn nhau để tăng cường khả năng rèn luyện cho bản thân cũng như tinh thần học hỏi từ bạn bè, từ đó các em còn đua nhau học tập và kết quả học tập của các em đều được nâng lên.
	- Các em học tập tích cực, chủ động, tư duy linh hoạt, nhanh nhẹn hơn. Nhiều em không chỉ tìm cách khai thác dạng toán về dãy các phân số có quy luật mà còn tích cực tìm cách khai thác, phát triển cả những bài toán dạng khác mà các em gặp trong quá trình học tập.
 - Sau đây là bảng so sánh kết quả thu được trước và sau khi thử nghiệm đề tài:
+ Đánh giá theo sự hiểu biết, vận dụng làm bài:
 Mức độ
Thời điểm
Làm bài tốt, nhanh
Làm được bài, 
chưa nhanh
Còn khúc mắc
Số lượng
Phần trăm
Số lượng
Phần trăm
Số lượng
Phần trăm
Trước
2 
6,06%
16
48,48%
15
45,46%
Sau
20
60,61%
10
30,3%
3
9,09%
+ Đánh giá theo tiêu chí sự hứng thú tích cực học tập của HS về nội dung này:
 Mức độ
Thời điểm
Hứng thú
Chưa hứng thú
Số lượng
Phần trăm
Số lượng
Phần trăm
Trước
2
6,06%
31
93,94%
Sau
30
90,91%
3
9,09%
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
	Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán lớp 6 thật sự rất cần thiết và quan trọng, vì quy luật của nhiều dãy rất phong phú, đa dạng, các em được rèn luyện việc khai thác bài toán càng làm cho các em tự tin hơn khi gặp một đề toán ở dạng này, không những thế, việc thành thạo cách giải dạng bài toán khó mà lúc đầu thấy khó khăn, không có hướng giải quyết làm cho các em hứng thú hơn, yêu thích toán học hơn. Và đặc biệt, qua đề tài này, các em tạo được thói quen khai thác những bài toán khác, đó là điều vô cùng cần thiết để phát huy khả năng tư duy của các em, giúp các em có nhiều cơ hội để rèn luyện, phát triển tư duy lôgic toán học. Như vậy, có thể nói “Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6” là một đề tài rất có hiệu quả để rèn luyện và phát triển tư duy, cũng như rèn luyện tính kiên trì, sáng tạo của học sinh.
2. Kiến nghị:
	Bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài tập hay và khó, quy luật các dãy rất phong phú, bài tập liên quan đa dạng. Đề tài hướng dẫn học sinh biết cách khai thác dạng bài toán này là rất cần thiết và quan trọng. Việc vận dụng đề tài này vào quá trình giảng dạy cũng dễ dàng vì các hướng khai thác của bài toán được sắp xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng tiếp thu. Tuy nhiên, trong quá trình trình bày đề tài, nếu có sai sót, kính mong được đồng nghiệp và chuyên môn góp ý để công việc chuyên môn của tôi ngày một tốt hơn. 
 	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG 
 Nôn