SKKN Khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lôgarit (Giải tích 12)

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
+ Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017, chương trình thi THPT Quốc Gia môn Toán đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm. Bài thi gồm 50 câu với thời gian 90 phút, thời gian trung bình cho mỗi câu là 1,8 phút, nhưng cần sắp xếp hợp lí giữa những câu dễ, trung bình và khó. Môn Toán thi trắc nghiệm là một thay đổi lớn, nó ảnh hưởng trực tiếp đến cách dạy của giáo viên và cách học của các em học sinh. Đối với cách thi trắc nghiệm yêu cầu các em học sinh phải học rộng, phải bao quát hết kiến thức, phải có khả năng xử lý nhanh, tốc độ làm bài nhanh và phải hiểu chính xác vấn đề để không bị mắc bẫy mà đề đặt ra. 
+ Các bài toán về hàm mũ và lôgarit chiếm một vị trí quan trọng trong việc phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh. Do sự lý thú của các bài toán này nên chúng luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2014, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015, năm 2016 và những năm tiếp theo. Trong nội dung này, có bài toán giải bất phương trình mũ và lôgarit. Đây là bài toán hay, khó, rộng và đa dạng. Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ làm sai bài toán. 
+ Đặc biệt hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vấn đề khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lôgarit.
+ Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp nhiều năm học qua, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kĩ năng giải bất phương trình mũ và lôgarit còn yếu, trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về bất phương trình mũ, lôgarit, trong khi giải bất phương trình mũ và lôgarit rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đề bài, thực hiện sai mục đích, chưa nắm vững các phương pháp giải tổng quát cho từng dạng,....Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách, nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức bất phương trình mũ và lôgarit tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn.
Từ các lí do cần thiết như vậy tôi đã chọn đề tài: “Khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lôgarit (Giải tích 12)” để viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tổng kết những kinh nghiệm của bản thân, đồng thời chia sẻ cùng đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và giáo dục học sinh. Rất mong nhận được sự quan tâm đón nhận của đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	+ Giúp học sinh phát hiện và khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải bất phương trình mũ và lôgarit, khi làm bài thi môn Toán nói riêng và trong kỳ thi THPT Quốc gia nói chung.
 + Đề tài nhằm mục đích tổng kết lại một số kỹ năng mà tôi thường sử dụng và hướng dẫn học sinh khi đi tìm lời giải cho bài toán giải bất phương trình mũ và lôgarit.
+ Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán và xử lý tình huống nhanh nhạy. Từ đó học sinh tích lũy một số kinh nghiệm trong thi cử và đạt kết quả cao 
nhất trong kỳ thi sắp tới.
+ Giúp học sinh tự tin và có một tâm lý ổn định trong phòng thi.
+ Qua đây cũng là dịp giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp để giúp nhau cùng tiến bộ, để nhận được nhiều hơn nữa sự góp ý của đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Đề tài này sẽ nghiên cứu và tổng kết về vấn đề: Khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lôgarit (Giải tích 12) từ đó gợi ý cho học sinh phương pháp học tập trong giai đoạn hiện nay không chỉ là học kiến thức mà còn là vận dụng kiến thức vào thực tế cuộc sống, qua đó hình thành được các kỹ năng môn học cũng như kỹ năng trong cuộc sống.
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
 Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau, như:
 + Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo,...Tổng hợp các kiến thức liên quan đến các nội dung sẽ trình bày trong đề tài. Tìm các ví dụ nêu trong đề tài. 
	+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh Trường THPT Vĩnh Lộc.
	+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm một số buổi ở trường THPT Vĩnh Lộc.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. 1. Bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản dạng 1:
2.1.1.1 : +) Nếu thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi sao cho có nghĩa.
 +) Nếu thì [12]. 
2.1.1.2 : +) Nếu thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi sao cho có nghĩa.
 +) Nếu thì [2]. 
2.1.1.3 : +) Nếu thì bất phương trình vô nghiệm. 
 +) Nếu thì [12]. 
2.1.1.4 : +) Nếu thì bất phương trình vô nghiệm. 
 +) Nếu thì [2]. 
2.1.1.5. [12]. 
2.1.1.6. [2]. 
2.1.1.7. [12]. 
2.1.1.8. [12]. 
2.1.2. Bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản dạng 2:
2.1.2.1. [10]. 	
2.1.2.2. [10]. 
2.1.2.3. [11]. 
2.1.2.4. [11]. 
2.1.2.5. [10]. 
2.1.2.6. [10]. 
2.1.2.7. [11]. 
2.1.2.8. [11]. 
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Đại đa số học sinh hiện nay học bài còn rất thụ động, học thuộc lòng các công thức một cách máy móc, quên kiến thức rất nhanh chóng, không đọng lại được gì. Mà số lượng công thức thì nhiều nên khả năng ghi nhớ kiến thức không được tốt, nhanh quên, dễ nhầm lẫn công thức này với công thức khác.
Trong những năm học vừa qua, tôi luôn trăn trở về vấn đề mà học sinh thường mắc phải khi giải toán, dẫn đến kết quả trong các kỳ thi thấp, chưa được như mong muốn. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập. Cụ thể khi giải toán học sinh thường mắc phải các sai lầm sau:
+ Cách trình bày bài toán không rõ ràng, thiếu lập luận, làm không đủ các bước đã vội vàng kết luận,...
+ Sử dụng các công thức còn sai, chưa vận dụng phù hợp các công thức vào các bài toán cụ thể.
+ Nhiều khi còn nhìn sai đề dẫn đến làm sai bài toán,...
+ Chưa khai thác hết giả thiết bài toán, chưa tìm được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán,...
Chính học sinh cũng rất khó để phát hiện ra sai lầm mình mắc phải khi giải toán. Vì thế giáo viên phải biết được học sinh mắc phải những sai lầm gì, đồng thời phải liệt kê, phân loại những sai lầm đó và đưa ra nhiều ví dụ để chứng tỏ. Sau đó, giáo viên đưa ra cách khắc phục, tạo niềm tin cho học sinh khi giải toán.
 Các tài liệu viết về khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm toán chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về loại toán này, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. 
2.2.1. Về phía giáo viên: Quan tâm nhiều đến việc trang bị kiến thức và trình bày các lời giải các bài toán cho học sinh mà chưa thực sự chú trọng việc khắc phục sai lầm cho học sinh. 
2.2.2. Về phía học sinh: Các em nắm được kiến thức nhưng kỹ năng giải bất phương trình mũ và lôgarit còn yếu, còn lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp giải. Đặc biệt có những em còn thấy nản trí khi giải bất phương trình mũ và lôgarit, bởi vì các em không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải bài toán này như thế nào.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trong các giờ học về bất phương trình mũ và lôgarit vẫn còn học sinh chưa hiểu rõ bản chất, khả năng suy luận lôgic, khả năng khái quát phân tích bài toán còn hạn chế. Một số không ít học sinh thường sai lầm khi biến đổi tương đương một bất phương trình, học sinh thường không để ý đến cơ số dương và khác 1, quên điều kiện xác định của bất phương trình, .... Vì vậy học sinh còn lúng túng, khó hiểu, hay mắc vào sai lầm dẫn đến kết quả sai. Nên chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Do đó khi dạy cho học sinh, các thầy cô giáo cần phân tích những sai lầm hay gặp phải để học sinh tránh được những đáp án có tính chất “bẫy” học sinh vào lựa chọn đáp án sai.
Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A2, 12A4 trong hai năm học 2015-2016, 2016-2017. Khi được tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải bất phương trình mũ và lôgarit cho các em học sinh, giúp các em khắc phục được sai lầm khi giải bài toán này. 
Để các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia, tôi xin đưa ra một số ví dụ và phân tích các lỗi thường gặp của các em, giúp các em khắc phục các lỗi đó, đồng thời giúp các em thấy được các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit hay, độc đáo.
Ví dụ 1. Nghiệm của bất phương trình là:
A. B. C. D. [2].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ba học sinh giải bài toán này với ba đáp số khác nhau (học sinh 1 chọn đáp án A, học sinh 2 chọn đáp án B, học sinh 3 chọn đáp án C). Vậy ai là người làm đúng?
Nhận xét: Đây là bài toán giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.7. Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng đưa ra sai (Vì cơ số bằng ) nên đã chọn sai đáp án (A).
 Học sinh 2 chưa đưa ra điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (B).
 Học sinh 3 đưa ra chiều bất phương trình đúng, nhưng đưa ra điều kiện xác định sai nên đã chọn sai đáp án (C).
Lời giải đúng: 
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Ví dụ 2. Tập các số thỏa mãn là:
A. B. C. D. [6].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: . Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2:
Ta có: . Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
	Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 chưa đưa hai vế về cùng cơ số đã vội đưa ra sai nên đã chọn sai đáp án (C).
 	 Học sinh 2 chưa đưa hai vế về cùng cơ số đã vội đưa ra sai nên đã chọn sai đáp án (D).
 Học sinh 3 đưa hai vế về cùng cơ số nhưng sai số mũ ở vế phải ( ) và đưa ra sai nên đã chọn sai đáp án (A).
Lời giải đúng: 
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình 
A. B. C. D. [5].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 2:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: . Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Ba học sinh giải bài toán này với ba đáp số khác nhau (học sinh 1 chọn đáp án B, học sinh 2 chọn đáp án C, học sinh 3 chọn đáp án D). Vậy ai là người làm sai?
Nhận xét: Đây là bài toán giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.5. Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng đưa ra sai (Vì cơ số bằng ) nên đã chọn sai đáp án (B).
 Học sinh 2 chưa đưa ra điều kiện xác định và đưa ra sai (Vì cơ số bằng ) nên đã chọn sai đáp án (C).
 Học sinh 3 đưa ra chiều bất phương trình đúng, nhưng đưa ra sai nên đã chọn sai đáp án (D).
Lời giải đúng: 
Ta có: .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 
A. B. C. D. [5].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3: Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Đây là bài toán giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.2.4. 
Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình đúng , nhưng đưa ra điều kiện xác định còn thiếu () nên đã chọn sai đáp án (D).
 Học sinh 2 đưa ra cách giải bất phương trình đúng nhưng chưa đưa ra điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (B).
 Học sinh 3 chưa đưa ra điều kiện xác định và đưa ra sai nên đã chọn sai đáp án (A).
 Lời giải đúng: 
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình: là:
A. B. C. D. [10].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: .
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình sai ngay từ đầu nên đã chọn sai đáp án (C).
 Học sinh 2 sai ngay từ đầu nên dẫn đến chọn đáp án sai (A).
 Học sinh 3 không đọc kĩ đề bài mới đưa ra điều kiện mà đã vội vàng kết luận nên chọn đáp án sai (B).
Lời giải đúng: Điều kiện: 
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với: 
 . Kết hợp với điều kiện ta được: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình: là:
A. B. C. D. [4].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1: TXĐ: . 
Ta có: 
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 2: Điều kiện xác định: . 
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: . 
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Các em hãy nhận xét về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Đây là bài toán giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.7.
Học sinh 1 tìm TXĐ đúng, đưa ra cách giải bất phương trình đúng nhưng khi giải đến không đối chiếu với điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (A).
 Học sinh 2 đọc sai yêu cầu bài toán nên sau khi tìm tập xác định của bất phương trình đã chọn sai đáp án (C).
 Học sinh 3 chưa đưa ra điều kiện xác định và trong quá trình giải còn sai nên đã chọn sai đáp án (D).
Lời giải đúng: Điều kiện xác định: . 
Ta có: 
Kết hợp với TXĐ ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình: là:
A. B. C. D. [7].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Điều kiện: . 
Ta có: 
 . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: . Tập nghiệm của bất phương trình là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 2: Điều kiện: . 
Ta có: 
 .
 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: . 
Tập nghiệm của bất phương trình là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 3: Điều kiện: . Ta có: 
 .
 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: . 
Tập nghiệm của bất phương trình là: . Vậy đáp án đúng là đáp án C.
	Tại sao ba học sinh giải bài toán này lại chọn ba đáp án khác nhau? Nguyên nhân sai từ đâu? Ta hãy xem nhận xét sau:
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng nhưng giải điều kiện đó 
thì lại sai, cách giải bất phương trình đúng. Vì phải kết hợp với điều kiện nên sai 
. Dẫn đến đã chọn sai đáp án (B).
 Học sinh 2 sai ngay điều kiện xác định, giải đến bất phương trình sai (vì hệ số )nên dẫn đến chọn đáp án sai (A).
 Học sinh 3 đưa ra điều kiện xác định đúng nhưng giải đến bất phương trình sai nên chọn đáp án sai (C).
Lời giải đúng: Điều kiện: . Ta có: 
 . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: . Tập nghiệm của bất phương trình là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình: là:
A. B. C. D. 
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2:
Ta có: .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Các em hãy nhận xét về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra điều kiện xác định của mà vội vàng đưa ra đáp án C nên chọn sai.
 Học sinh 2 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng chưa giải bất phương trình mà đã chọn đáp án B nên sai.
 Học sinh 3 đưa ra cách giải bất phương trình đúng , nhưng không tìm điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (A).
Lời giải đúng: Điều kiện: ..
Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với:
 Kết hợp với điều kiện được: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình: là:
A. B. 
C. D. 
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
Ta có: 
. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2: 
Ta có: 
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Lời giải của học sinh 3: Ta có:
Vậy đáp án đúng là đáp án A.	
	Đây là bài toán mà học sinh rất dễ mắc sai lầm. Vậy ba học sinh trên, bạn nào mắc sai lầm, bạn nào đúng. Ta hãy xem nhận xét sau:
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng chưa giải bất phương trình mà đã chọn đáp án C nên sai.
 Học sinh 2 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra điều kiện xác định của mà vội vàng đưa ra đáp án D nên sai.
 Học sinh 3 đưa ra cách giải bất phương trình sai và không tìm điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (A)
Lời giải đúng: Điều kiện: 
Bất phương trình đã cho tương đương với:
So với điều kiện ta suy ra: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Ví dụ 10. Giải bất phương trình: 
A. B. 
C. D. [3].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Ta có: . 
Bất phương trình tương đương với: 
. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: . 
Bất phương trình tương đương với: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3: Ta có: . 
Bất phương trình tương đương với: 
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . 
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
	Các bạn có nhận xét gì về cách giải của ba học sinh trên?
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình đúng nhưng khi giải đến sai nên đã chọn sai đáp án (C).
 Học sinh 2 sai ngay từ đầu nên dẫn đến chọn đáp án sai (B).
 Học sinh 3 sai ngay từ đầu , giải bất phương trình sai nên dẫn đến chọn đáp án sai (D).
Lời giải đúng: Ta có: 
Bất phương trình tương đương với: 
. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: . Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình:
 là:
A. B. 
C.D.
 [4].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Ta có: 
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 2:
 Ta có: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
 . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3: 
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
 . Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Đây là bài toán học sinh rất dễ mắc sai lầm vì cơ số chứa ẩn , học sinh thường quên xét điều kiện của cơ số. Vậy ba học sinh trên bạn nào mắc sai lầm ?
Nhận xét: Học sinh 1 nhầm lẫn về kiến thức nên chưa xét điều kiện của cơ số mà vội vàng kết luận nên khoanh đáp án sai (A).
 Học sinh 2 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra 1 trường hợp của cơ số là mà vội vàng chọn đáp án B nên sai.
 Học sinh 3 mới đưa ra 1 trường hợp của cơ số là và không để ý đến dấu của bất phương trình nên khoanh đáp án sai (D).
Lời giải đúng: Ta có: .
Xảy ra các trường hợp sau:
TH1: 
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH1 là: 
TH2: 
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: 
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH2 là: 
TH3: 
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: 
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH3 là: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình: là
A. B. C.