SKKN Khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT
**************
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
 Người thực hiện: Trần Thị Hương
 Chức vụ : Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
 MỤC LỤC 
Nội dung
Trang
Phần 1: Mở đầu ...
1
I. Lý do chọn đề tài
1
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài .......
1
III. Đối tượng nghiên cứu của đề tài .
1
IV. Phương pháp nghiên cứu.
1
Phần 2. Nội dung đề tài .
2
I. Cơ sở lý luận của đề tài ..
2
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài ...
4
III. Giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện . 
5
Phần 3. Kết luận và kiến nghị 
19
I. Kết luận .
19
II. Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12, nội dung " ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số" có một vị trí đặc biệt quan trọng. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết nhiều bài toán từ dễ đến khó trong các đề thi Trung học phổ thông quốc gia. Nhiều bài toán có hướng giải khó nếu học sinh biết vận dụng kết hợp phương pháp đạo hàm thì bài toán trở nên đơn giản hơn. Trong quá trình giảng dạy và ôn thi kì thi trung học phổ thông quốc gia, tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những lỗi sai mà bản thân học sinh không biết là mình sai . Vì vậy mà các em không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy, cô giáo.
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "Khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số "
II. Mục đích nghiên cứu
- Phân tích cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng giải đúng bài toán.
- Bồi dưỡng cho học sinh thêm về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12. Từ đó phân tích những sai lầm học sinh thường mắc phải và biện pháp khắc phục.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin .
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp thông kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
 1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
 là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên 
 + Hàm số đồng biến trên khoảng nếu với mọi thuộc ,
.
 + Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nếu với mọi thuộc ,
.
1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
 + Nếu và là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì tổng cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên . Tính chất này nói chung không đúng với hiệu .
 + Nếu và là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì tích cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên . Tính chất này nói chung không đúng với tích khi và là hai hàm số không cùng dương trên 
 1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số dựa trên định lí sau:
 + Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trong khoảng .
(Kí hiệu là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
 a. Nếu với thì hàm số f(x) đồng biến trên .
 b. Nếu với thì hàm số f(x) nghịch biến trên .
 c. Nếu với thì hàm số f(x) không đổi trên .
 - Quy tắc để xét tính đơn điệu của hàm số( SGK- giải tích 12) là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần.
 1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
 + Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên hoặc trên , với .
 a. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số .
 b. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
 + Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với . Khi đó: 
a. Nếu thì x0 là điểm cực tiểu
b. Nếu thì x0 là điểm cực đại.
 Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
 1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền :
 , 
 Nếu (hay ) nhưng không (hay không ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền .
 Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số trên miền mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số với phép đặt ẩn phụ thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
1.6. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 
+ Tiếp tuyến tại điểm có phương trình: .
 + Đường thẳng có hệ số góc , đi qua điểm có phương trình: 
 là tiếp tuyến của nếu hệ có nghiệm : (1)
 Nếu điểm nói trên thuộc thì hệ số góc vẫn thỏa mãn hệ (1). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
 2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
 1.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số
 1.2. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b).
1.3. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
1.4. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền , khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
1.5. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị của hàm số.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
 - Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm .
 - Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền 
 - Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
Qua số liệu thống kê kết quả giải bài tập chương 1- giải tích 12 (trước khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau)
Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
10
25 %
Giải sai phương pháp
24
60 %
Giải đúng phương pháp
6
15 %
Lớp 12 A3 (sĩ số 42)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
11
26,2 %
Giải sai phương pháp
23
54,8 %
Giải đúng phương pháp
8
 19 %
III: Các giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện 
I. Giải pháp thực hiện
 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 - Phân tích, các khái niệm, định nghĩa, định lí, để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
 - Đưa ra các ví dụ, phân tích các ví dụ cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và hướng khắc phục các sai lầm đó . 
 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp ...
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, tính toán . 
 - Phương pháp: phương pháp gợi mở , vấn đáp.
 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
 - Sử dụng phương pháp học nhóm 
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh. 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp – vận dụng cao.
 - Giáo viên đánh giá học sinh.
 - Học sinh đánh giá học sinh.
 5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học 
Giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản.
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 - Đưa ra các bài tập tự vận dụng, bài tập nâng cao.
 II. Nghiên cứu thực tế 
 1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ 
 1.1. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm 
xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số: [2]
Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Vậy: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích sai lầm: 
 Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập thì với mọi thuộc ,.
 Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 4 và x2 = 0 thì nhưng 
Vậy sai lầm ở đâu ?
Lời giải đúng là:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Vậy: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. b. y = [2] 
 c. y = cosx – sinx d. 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số nghịch biến trên trên . [5]
Một số học sinh giải như sau:
	Tập xác định: 
Hàm số nghịch biến trên 
Trong lời giải trên học sinh sai ở đâu ?
Phân tích sai lầm: 
Khi giải như trên học sinh quên định lý mở rộng: Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b), 
, và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b).
Lời giải đúng: 
Tập xác định: 
Hàm số nghịch biến trên , 
Vậy với hàm số nghịch biến trên 
Bài tập vận dụng. 
Bài 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên trên . [3]
Bài 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên trên .[4]
Bài 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên trên .
Bài 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên trên khoảng .
- Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, học sinh thường quên đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Quy tắc:
	 là điểm cực tiểu.
là điểm cực đại.
Điều ngược lại trong một số trường hợp không đúng.
Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại [6]
Một số học sinh giải như sau:
Hàm số đạt cực đại tại 
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại .
Phân tích sai lầm: Giả sử khi m=-1, ta có:
Bảng biến thiên
-∞
+∞
0
x
y’
 + 0 -
y
-
-
 0
Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
 Ta có là điểm cực đại của hàm số.
 Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì là điểm cực đại thì cũng có thể .
Lời giải đúng: 
Xét 3 trường hợp 
+ Hàm số không có cực trị
+ , lập bảng biến thiên từ đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ , lập bảng biến thiên từ đó là điểm cực đại của hàm số.
Vậy thì hàm số đạt cực đại tại .
Bài tập vận dụng 
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 [4] 
Bài 2. Xác định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại 
Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của hàm số: [3]
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
-3
	-
 0
+ 0
-
y
-1
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Lời giải trên sai ở đâu ?
Phân tích sai lầm: Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số, vì khi tìm điểm tới hạn học sinh quên điều kiện tương đương của phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: . 
Ta có: 
x
-2
2
y '
+ 0
 - 
y
-3
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Bài tập vận dụng
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số: [3]
Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng [4] 
Một số học sinh giải như sau:
Đặt 
y
A
B
(∆): y = 2x
x
x2
x1
0
1
 Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 
 vô nghiệm 
Phân tích sai lầm: 
Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng cực đại , cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng nghĩa là, đồ thị hàm số không cắt đường thẳng .Nhưng thực ra đường thẳng có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, cực tiểu vẫn nằm khắc phía so với đường thẳng .
Lời giải đúng là:
 Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương với 
có hai nghiệm phân biệt . Gọi , là các điểm cực trị của hàm số. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là , khi đó ; .Để và nằm về hai phía của đường thẳng cần và đủ là 
 (thỏa mãn điều kiện )
Vậy với là giá trị cần tìm.
Bài tập vận dụng [4]
Bài 1. Tìm m để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 
Bài 2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về cùng phía của trục 
Bài 3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm trên đường thẳng 
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm 
để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Một số học sinh giải như sau: [5]
 Ta có : 
Phân tích sai lầm: Học sinh không loại nghiệm vì 
Lời giải đúng: 
Ta có : 
Bài tập vận dụng [2]
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
- Nhiều học sinh không hiểu đúng định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai chẳng hạn như:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Một số học sinh giải như sau: [6]
Điều kiện xác định của hàm số: 
Ta có 
Bảng biến thiên:
3
+∞
x
f’(x)
 -
f(x)
0
Phân tích sai lầm: Học sinh quên khái niệm , thì phải sao cho dẫn đến kết luận sai.
Lời giải đúng: 
 Giải như trên nhưng kết luận không tồn tại 
Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số [2]
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [3]
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số [6]
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [2]
- Một số học sinh nhầm lẫn giữa khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số:
Ví dụ 7: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [3]
Một số học sinh giải như sau: 
Trên đoạn ta có 
Bảng biến thiên:
x
-∞
-2
 1
0
2
+
 - 0 + 0 - 
 -1 
Phân tích sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với bài toán tìm cực đại, cực tiểu, của hàm số học sinh quên tính để so sánh.
Lời giải đúng: 
Bài tập vận dụng [3]
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn 
- Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không tìm miền giá trị của biến mới.
Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Một số học sinh giải như sau: [5]
Đặt ; hàm số viết lại , 	 
Bảng biến thiên: 	
t
-∞
+∞
-∞
+∞
g’(t)
 +
+
g(t)
Dựa vào bảng biến thiên không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g(t), nên sau khi đổi biến đã không tìm tập xác định của g(t).
Lời giải đúng: 
 Đặt 
Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . [3]
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . 
 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .[4] 
1.3. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm chứng minh các bất đẳng thức.
* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng: [1]
Một số học sinh giải như sau:
	Xét hàm số : f(x) = tanx – x với 
	 => hàm số đồng biến trên 
	 Từ 
Phân tích sai lầm: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây rất khó phát hiện. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng thì vì sao từ Sai lầm ở đây là 
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn (tức là f(x) liên tục trên và với ) thì với 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với . 
Vậy 
Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức [1]
Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức [3]
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức [2]
Bài 4. Chứng minh rằng nếu với , x > - 1 thì . [4]
1.4. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 10. Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đó đi qua điểm [4]
y
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có điểm đồ thị . 
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
2
-1
x
.
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến là 
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
-5
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng ngoài ra vẫn có 
tiếp tuyến của đồ thị đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 
và có hệ số góc k là: 
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị là hệ sau có nghiệm:
 (I). 
Hệ (I) 
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: .
Bài tập vận dụng [4]
Bài tập 1. Cho hàm số , có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Bài tâp 2. Cho hàm số , có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Bài tập 3. Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
III. Kết quả nghiên cứu 
 Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy chất lượng học tập của học sinh khi học chương 1 giải tích 12, tốt hơn nhiều, các em đã nắm được bản chất của các định nghĩa, định lí và vận dụng đúng, làm bài toán nhanh hơn và đạt kết quả cao hơn. Cụ thể qua kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán chuong 1, giải tích12 ở 2 lớp 12A2 và 12A3 như sau:
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
4
10 %
Giải sai phương pháp
4
10 %
Giải đúng phương pháp
32
80 %
Lớp 12 A3 (sĩ số 42)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
4
9.5 %
Giải sai phương pháp
2
4.8 %
Giải đúng phương pháp
36
85.7 %
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học toán chương 1 giải tích 12 của học sinh và đem lại hiệu quả cao. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I – Kết luận
 Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy