SKKN Hướng dẫn học sinh tổng hợp các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn thức

 MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu 
2
2
2
2
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình.
2.3.2. Phương pháp tọa độ véc tơ
2.3.3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
2.3.4. Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Cách thức tổ chức thực nghiệm
2.4.2. Kết quả thực nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
3
3
3
3
3
3
6
8
15
17
17
18
	1. Mở đầu
Trong thế giới bao la của toán học phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò không nhỏ làm nên sự phong phú đó. Nhân loại đã dừng lại ở phương trình bậc 5 nhưng chỉ ngần đó thôi cũng đủ thôi thúc chúng ta không ngừng sáng tạo để giải và làm ra các bài toán mới ở bậc nhỏ hơn 5. Trong chương trình phổ thông chúng ta đã học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với khá nhiều dạng khác nhau đó. Nhưng chúng ta thực sự chưa đi sâu hoặc chưa biết được những phương trình, hệ phương trình đó lại là cơ sở nền tảng để có những bài toán mới. Và khi đó cần có những công cụ đắc lực hơn. Ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ đơn giản thì trong đề tài này tôi xin giới thiệu một số cách đặc ẩn phụ khác cũng như sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào giải toán, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình phức tạp. 
Trong quá trình hoàn thành đề tài không tránh khỏi thiếu sót mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Như chúng ta đã biết, trong chương trình phổ thông thì phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò rất lớn làm nên sự phong phú của môn học đồng thời nó là một trong những chuyên đề lớn trong chương trình ôn luyện thi vào lớp 10, chuyên nghiệp, HSG (học sinh giỏi) và chương trình phổ thông. 
Chúng ta đã được học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với khá nhiều dạng khác nhau nhưng chúng ta thực sự chưa đi sâu hoặc chưa biết được những phương trình, hệ phương trình đó lại là cơ sở nền tảng để có những bài toán mới. Và khi đó cần có những công cụ đắc lực hơn ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ đơn giản.
Với học sinh thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp, ôn thi HSG chuyên đề Phương trình, Bất phương trình và hệ chứa căn thức là một chuyên đề khó, học sinh rất lúng túng trong quá trình giải và không tìm được phương pháp tổng quát hoá các bài toán. Hiện nay có rất nhiều sách tham khảo trình bày các phương pháp giải toán PT, BPT và hệ chứa căn thức nhưng các các phương pháp đó mới chỉ nghiên cứu sơ lược, học sinh sau khi học vẫn khó có thể định hướng để tìm ra một phương pháp giải hữu hiệu với dạng toán này.
Trong phạm vi đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC”. Tôi xin giới thiệu và tổng quát hoá một số phương pháp giải toán đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ chứa căn thức giúp học sinh phát hiện tìm ra được phương pháp giải thích hợp cho dạng toán này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài đi hệ thống hoá một số phương pháp giải các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ tọa độ và sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiakopxki. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn thức trong chương trình Toán lớp 10 THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Để thực hiện nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành sử dụng đồng bộ các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận về phương pháp dạy học phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ.
- Quan sát việc học và trò truyện với học sinh.
- Thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng kinh nghiệm.
	2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Phương trình, bất phương trình và Hệ chứa căn thức là một trong những chuyên đề trọng tâm của lớp cuối cấp THPT cũng như kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp. Để giải các loại toán trước tiên học sinh phải nắm được các phương pháp cơ bản:
- Phương pháp biến đổi tương đương
- Phương pháp đặt ẩn phụ
- Phương pháp hàm số
- Phương pháp đánh giá
Từ đó học sinh tư duy, tổng hợp và kết hợp với các dạng toán khác như: Lượng giác, Tam thức bậc hai, bất đẳng thức...
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.2 Thuận lợi.
	Nội dung phương trình, bất phương trình học sinh đã được làm quên ở chương trình THCS với một số dạng toán đơn giản nên học sinh cũng đã nắm bắt được một số thao tác và cách giải.
 Các bài toán gải phương trình, bất phương trình thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG và các đề thi tuyển sinh ĐH nên được học sinh quan tâm và chú trọng trong việc rèn luyện bài tập
2.2.3 Khó khăn.
	Phần lớn các học sinh thường sợ khi gặp các dạng phương trình và bất phương trình chứa căn thức vì chúng liên quan đến các điều kiện tồn tại của căn thức. Nên các em vẫn ngại tìm tòi cách giải và tâm lý chung là ngại.
	 Các em vẫn chưa nắm rõ kiến thức về biến đổi căn thức, cách đặt điều kiện cho phương trình và bất phương trình dẫn đến việc tổng hợp nghiệm còn khó khăn.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình. 
Đối với nhiều bài toán giải phương trình, hệ phương trình việc biến đổi tương ứng sẽ làm phức tạp hoá bài toán khi đó chỉ cần 1 hoặc 2 thậm chí là 3 ẩn phụ mới sẽ đưa bài toán về đơn giản hơn và cách giải cũng nhẹ nhàng hơn. 
	1- Dạng phương trình: 
* Dạng 1: (1)
* Phương pháp: Đặt: 
Phương trình (1)
*Dạng 2: (2)
* Phương pháp: Đặt:	 , (đ.kiện kèm theo (nếu có))
Phương trình (2) 
2. Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình:
[1]
Giải: 
Đặt: 
(1)
Với là nghiệm.
Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải: 
Điều kiện: 
Đặt : 
(1) 
(3) viết lại: kết hợp (2) 
Vậy 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải: 
Quan sát thấy hai biểu thức trong căn có thể triệt tiêu x cho nhau.
Đặt: 
(1) 
Giải (3) 
Ta được u = 0, u =1, u = - 2
+ u = 0 => v = 1 thoả mãn 
+ u = 1 => v = 0 thoả mãn 
+ u = -2 => v = 3 thoả mãn 
Ví dụ 4: Cho phương trình.
a) Giải phương trình 
b) Xác định m để phương trình có nghiệm. [1]
Giải:
Với bài toán này có hai cách đặt ẩn phụ.
+ Nếu đặt 
Phương trình có dạng 
+) Đặt ta có 
Mặt khác 
Vậy 
Phương trình có dạng: 
a) Với m = 2 phương trình 
 t = 0 ( loại); t = 2 ( thoả mãn)
ta được: 
 là nghiệm
b) Để phương trình đã có nghiệm thì phương trình 
 có nghiệm 
Đến đây xét 3 khả năng:
+ có nghiệm 
+ f(t) có nghiệm và nghiệm nằm ngoài 
+ f(t) có nghiệm 
Ví dụ 5: Xác định m để phương trình sau có nghiệm
( khối B - 04) [1]
Giải: 
Đặt 
Nhận xét: 
 vậy 
Ta có: 
Phương trình có dạng: t2 + (m -1)t + 2m - 2 = 0 (1)
Để phương trình có nghiệm thì (1) có nghiệm 
Xét các trường hợp tương tự ví dụ 4b
2.3.2. Phương pháp tọa độ véc tơ
1. Các kiến thức thường dùng
a) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương, cùng chiều tức là có có số k>0 sao cho 	hoặc 
	hoặc 
b) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương,ngược chiều tức là có số k<0 sao cho hoặc 
c) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương, cùng chiều hoặc một trong hai vectơ ấy bằng 
Nếu cùng phương 
cùng phương
2. Một số ví dụ
Ví dụ1: Giải phương trình:
[2]
Giải:
Điều kiện: 
Xét các vec tơ và 
Nhận xét: 
Và 
mà 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Hay là nghiệm
Ví dụ 2:Giải hệ
Giải:
Xét hai véc tơ 
Nhận xét: 
màdo đó mà 
=> Hệ vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ
Giải: 
Bài toán này có thể sử dụng bất đẳng thức Trêbusep Tuynhôm có thể giải ngắn gọn sau đây:
Xét hai vectơ:
Ta có: 
Và 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi 
Hay x = y = z = 1
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
[2]
Giải:
Phương trình 
Xét các điểm: 
 với mọi điểm ta có 
 là giá trị cần tìm
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Giải:
Xét 2 véc tơ và 
Khi đó ta có:
(4)
Từ(3) và (4) => cùng phương .
Nên: 
	2.3.3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi xuất hiện tổng hoặc tích của hay hay nhiều số hạng hay bộ số sử dụng là không đổi. Tư tưởng của phương pháp sử dụng bất đẳng thức trong các bài toán phương trình hay bất phương trình khó mà bằng các phương pháp khác không giải quyết được hay làm phức tạp hoá bài toán.
1. Bất đẳng thức Cauchy:
Dạng: Sử dụng cho hai số a,b,c không âm
và 
a + b + c và 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ1: Giải phương trình ( ĐH huế 98)
[3]
Giải: 
Điều kiện 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
VT = 
Dấu bằng xảy ra: là nghiệm
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
Giải: 
Điều kiện: 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
là nghiệm bất phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ:
Giải:
Do: cùng dấu nên từ (2) => 
Do đó và 
=>do đó 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Và 
Vậy VT(1) Dấu bằng xảy ra khi x=2 thoả mãn.
Ví dụ 4: Giải Phương trình:
Giải:
 Điều kiện: x > 2 ; y > 1 ; z > 5
Phương trình đưa về dạng:
áp dụng bất đẳng thức ta có: 
Vậy VP(1) dấu bằng xảy ra khi :
Ví dụ 5: Giải phương trình
[3]
Giải:
Điều kiện: 
Bình phương hai vế của (1) ta có:
Nhận xét: và 
Dấu bằng xảy ra khi : x = - 1
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Giải: 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
VT 
 là nghiệm
Ví dụ 7: Giải phương trình:
Giải: 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
Dấu bằng xảy ra khi : thoả mãn
2) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Cho hay dãy số: (a1 , a2.an) và (b1 ,b2 .bn) 
Ta có:
dấu bằng xảy ra : 
Dạng đơn giải: 
Dấu bằng xảy ra khi : 
Dấu hiệu sử dụng : Hai dãy số tuỳ ý 1 trong 2 vế có dạng :
 hoặc 
Ví dụ1: Giải phương trình: 
Giải: 
áp dụng bất phương trình Bunhiacopski ta có 
Vậy 
VP =
Dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Giải:
Điều kiện: 
Xét:
VT:
Dấu bằng xảy ra khi: thoả mãn
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Giải:
Điều kiện 
(1) 
Mà 
Ví dụ 4: Giải phương trình.
Giải:
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai bộ số
Ta có: = 3 x2+ 4x +1
hay 
Dấu bằng xảy ra khi: 
phù hợp
Ví dụ 5:( HVQHQT 96 ) Giải phương trình.
Giải: 
Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra 
Bài toán này có thể giải bằng đặt ẩn phụ u = 2x, v = 1 - 2x.
Ví dụ 6:( ĐH NTH CM ) . Giải phương trình
Giải: 
Phương trình có dạng
áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi x=1 hay x=1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7 ( Tạp chí THTT). Giải phương trình.
[4]
Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ 3 số:
 và ( 1; 1; -x)
Vế trái của (1) 
dấu bằng xảy ra 
Vậy x= -1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 8. (Thi vào 10 ĐHSPHN) Giải phương trình.
Giải: 
Điều kiện x > 0
Nhận xét: 
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai bộ số:
 và
vế trái (1) 
Dấu bằng xảy ra khi.
Vậy với mọi x > 0 đều là nghiệm.
Ví dụ 9. Giải hệ:
Giải: 
Từ (1)
Ta có: ( BĐT Bunhiacopxki)
từ (2): : (BĐT Bunhiacopxki)
Dấu bằng xảy ra khi: 
2.3.4. Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn.
Để đánh giá kết quả học tập của học sinh tôi ra đề:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau
Bài 3 Giải hệ phương trình sau:
Lời giải sơ lược
Bài 1: Giải phương trình
1. 
GIẢI:
Đặt:
Phương trình đưa về hệ :
Ta được hoặc thoả mãn
x,y là nghiệm phương trình t2 - 5t + 4 = 0 t =1 ; t = 4
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1, x=4
2. 
GIẢI:
Đặt: 
Do đó phương trình đưa về hệ: 
Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta được:
x3 - y3 +6 (x - y) = 0 (x+y) (x2 + xy +y2 +6) = 0
=> x=y ( do x2 + xy +y2 +6 > 0
Thay x = y vào (1) x3 - 6x - 4 = 0 ( x + 2) ( x2 - 2x - 2) = 0
Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = -2, 
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Xét hai véc tơ 
Nhận xét: 
màdo đómà 
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 3. Giải hệ phương trình
Nhận xét : do các vế trái không âm nên đk: 
- Ta có 
Từ (1) 
- Tương tự ta có: 
Vậy ta có x=y=z
Thay vào phương trình (1) giải được x=0; x=1
Vậy hệ có 2 nghiệm (0;0;0); (1;1;1)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Cách thức tổ chức thực nghiệm:
	- Chọn lớp: 
+ Lớp đối chứng: 10B2, 10B10
+ Lớp thực nghiệm: 10B3,10B8
- Tiến hành kiểm tra 45 phút.
	2.4.2. Kết quả thực nghiệm: 
Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm ở các lớp như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10B2
42
3
7,1
13
31,0
25
59,5
1
2,4
10B10
45
1
2,2
14
31,1
26
57,8
4
8,9
10B3
44
6
13,6
24
54,5
14
31,8
0
0
10B8
44
9
20,4
23
52,3
12
27,3
0
0
Qua kết quả trên cho thấy việc giáo viên hướng dẫn học sinh tổng hợp các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn thức đã nâng cao chất lượng bài học và giúp học sinh học tập một cách chủ động, tích cực hơn, từ đó dẫn đến tỉ lệ hiểu bài và điểm khá giỏi tăng lên. Chất lượng bài kiểm tra nhận thức của các lớp thực nghiệm ( 10B3, 10B8) cao hơn các lớp đối chứng( 10B2, 10B10). Cụ thể là ở lớp thực nghiệm tỉ lệ điểm trung bình thấp hơn gần một nửa, không còn học sinh đạt điểm yếu trong khi tỉ lệ điểm khá, giỏi cao hơn gần gấp đôi so với lớp đối chứng.
3. Kết luận, kiến nghị
- Kết luận
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh tổng hợp các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn thức” giúp học sinh nắm được phương pháp giải các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ chứa căn thức trong chương trình phổ thông. Với học sinh ôn thi chuyên nghiệp hay ôn thi học sinh giỏi thì đây là một đề tài rất thiết thực giúp học sinh không những giải tốt dạng toán này mà có thể tư duy tốt vận dụng vào các dạng toán khác.
Đề tài này tôi đã tiến hành nghiên cứu song vì trình độ, năng lực có hạn, điều kiện không cho phép, kinh nghiệm còn non nớt. Vì vậy nội dung của đề tài không thể tránh khỏi những hạn chế mặc dù tôi không muốn.Tôi thiết tha mong muốn có được những đóng góp quý báu giúp cho đề tài của tôi thêm hoàn hảo hơn.
- Kiến nghị
Qua sự thành công bước đầu của phương pháp này thiết nghĩ rằng chúng ta cần phải có sự nghiên cứu và hình thành đưa ra những chuyên đề, phương pháp cụ thể giúp học sinh có đủ các kiến thức phục vụ các kỳ thi một cách có kết quả có hệ thống và phù hợp với mức độ kỳ thi. Chúng ta không nên chỉ dạy những kiến thức SGK mà chúng ta cần phải đưa ra những kiến thức mới phù hợp với mức độ yêu cầu cao của các kỳ thi cũng như biết vận dụng các kiến thức hình học để giải quyết các vấn đề một cách linh động. Để rồi hình thành cho học sinh những thói quen không tốt khi nghiên cứu một vấn đề, đó là sự bằng lòng với những kiến thức đã có mà không tự tìm tòi các kiến thức mới các phương pháp mới đặc biệt là sự vận dụng các môn học khác vào môn học. Do đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề rồi yêu cầu học sinh tự hình thành cho mình những kiến thức mới có hiệu quả cụ thể trong các kỳ thi, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng những kiến thức liên môn để làm bài tập một cách có hiệu quả.
Sáng kiến kinh nghiệm này là một phần nhỏ của bản thân thu được trong quá trình giảng dạy trong một phạm vi nhỏ hẹp. Vì vậy việc phát hiện những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Mong rằng báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến phản hồi những ưu nhược điểm của chuyên đề này. Cuối cùng tôi mong chuyên đề này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng một cách hiệu quả trong thực tiễn để rút ra những điều bổ ích.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết không sao chép nội dung của người khác
Đinh Thế Ninh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ghi chú
Ở mục 2.3.1, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ 4, ví dụ 5 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1, phần lời giải do tác giả viết ra.
Ở mục 2.3.2, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ 4 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 2, phần lời giải do tác giả viết ra.
Ở mục 2.3.3, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ 5 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 3, phần lời giải do tác giả viết ra.
Ở mục 2.3.3, đoạn từ ví dụ 7, tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 4, phần lời giải do tác giả viết ra.
*******************
[1]. dethi.violet.vn
[2]. tailieu.vn
[3]. hocmai.vn
[4]. Tạp chí Toán học tuổi trẻ