SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số trong thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TƯ DUY HÀM SỐ 
GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG THI TRẮC NGHIỆM
 Người thực hiện: Lê Văn Lâm
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán 
THANH HÓA NĂM 2019
 MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu 
01
01
01
02
02
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
03
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
03
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
04
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 2.3.1 Mục tiêu của giải pháp 
 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 
 2. 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi cơ bản
 2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên.
 2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số.
 2.3.2.4 GP4: Hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa bảng biến thiên và đồ thị hàm số.
2.3.2.5GP5: Hướng dẫn học sinh xây dựng “sự tương ứng” .
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
04
04
04
 17
3. KẾT LUẬN 
18
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI	
Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi. Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán. Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương pháp. 
 Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất phương trình chứa tham số là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ). Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
 Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham sô. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “ giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số” theo hướng TNKQ.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị 
cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình chứa tham số cũng như các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số trong thi trắc nghiệm ”. Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, bất phương trình chứa tham số của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình chứa tham số .
Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình chứa tham số .
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Câu hỏi cơ bản phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số ta thường gặp các câu hỏi dạng sau:
D1: Điều kiện về số nghiệm của phương trình trên .
 CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm trên .
CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có đúng k nghiệm trên .
 CH3: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có ít nhất (nhiều nhất) k nghiệm trên .
D2: Điều kiện về tính chất nghiệm của phương trình trên .
 CH1: Tính chất về hệ thức nghiệm .
 CH2: Tính chất về điều kiện nghiệm .
D3: Điều kiện về nghiệm của bất phương trình trên .
 CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình có nghiệm trên .
CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
 D4: Bài toán dạng kết hợp
 CH1: Kết hợp bảng biến thiên hàm số.
 CH2: Kết hợp đồ thị hàm số.
 CH3: Kết hợp giao điểm các đồ thị
2.1.2. Tư duy hàm số giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Tư duy hàm số giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các cách tiếp cận cơ bản sau:
* Cách tiếp cận 1: Dùng tính chất hàm đặc trưng
* Cách tiếp cận 2: Dùng bảng biến thiên
Cô lập tham số , đưa bài toán về việc lập bảng biến thiên hàm số .Căn cứ vào bảng biến thiên để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể.
 Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên lần lượt là M và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực là , ta có:
+ Phương trình có nghiệm trên 
+ Bất phương trình có nghiệm trên 
+ Bất phương trình có nghiệm với mọi 
Trong trang này: Mục 2.1.1 và 2.1.2 tác giả tự viết và tổng hợp.
* Cách tiếp cận 3: Dùng đồ thị hàm số
Trong các bài toán đồ thị cho trước hoặc phải sử dụng biến đổi đồ thị thì chúng ta sẽ chuyển về bài toán giao điểm hình học.
Căn cứ vào đồ thị để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể.
 2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
 Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Phương trình, bất phương trình chứa tham số xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
2.2.2. Khó khăn:
 Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua. 
 Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán. 
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao. 
Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình chứa tham số . 
 2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
 2. 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi cơ bản.
 Việc hướng dẫn học sinh giải các dạng câu hỏi cơ bản về phương trình, bất phương trình chứa tham số là rất quan trọng. Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.
Trong trang này: Mục 2.2 tác giả tự viết. Mục 2.3.1 ; 2.3.2 tác giả tự viết và tổng hợp.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số không lớn hơn 15 để phương trình có nghiệm
A. .	B. .	C. . 	D.. [1]
Tư duy: Đây là phương trình chứa căn bậc hai dạng cơ bản đã có cách giải chi tiết. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của phương trình để tránh sai lầm. Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nghiệm.
Lời giải 
Ta có: 
Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt có nghiệm .
Bằng phương pháp bảng biến thiên ta thu được 
Kết hợp yêu cầu bài toán, có 15 giá trị nguyên của tham số m.
Do đó chọn đáp án A
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Sai lầm 1: Không đặt điều kiện xác định cho phương trình
Pt đã cho có nghiệm pt có nghiệm .
Do đó chọn đáp án D
Sai lầm 2: Biến đổi sai điều kiện phương trình dẫn đến bài toán phức tạp hơn
Đến đây học sinh xét phương trình có hai nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép thỏa mãn .
Đây là cách giải làm phức tạp bài toán ban đầu.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số không lớn hơn 200 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
A. .	B. .	 C..	D.. 
Tư duy: Đây là phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản . Việc giải phương trình này cần chú ý lựa chọn hướng xử lí phù hợp để tránh làm phức tạp bài toán. Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải 
Nhận xét: Số nghiệm phương trình đã cho tương ứng với số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số : .
Trong trang này: Ví dụ 1 được tham khảo từ TLTK số [1] ; Ví dụ 2 là “của” tác giả.
Bằng phương pháp bảng biến thiên hoặc đồ thị ta thu được:.
Khi đó có 186 giá trị tham số. Do đó chọn đáp án B
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Biến đổi làm phức tạp bài toán
Lúc này học sinh gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi biện luận số nghiệm cũng như không để ý đến điều kiện . 
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của .
 A. . B. . C. . D. . [1]
Tư duy: Đây là bất phương trình dạng cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý đến yêu cầu nghiệm đúng với mọi giá trị thực của để tránh sai lầm.
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.
Lời giải
Ta có: .
Hàm số trên , có .
; ; .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của khi và chỉ khi: .
Do đó chọn đáp án D
Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số [2] .
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không hoặc nhầm điều kiện giải toán dẫn đến chọn phương án sai. 
Sai lầm 1: Không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không 
Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của khi và chỉ khi: . Dẫn đến chọn đáp án sai: A
Sai lầm 2: Nhầm điều kiện giải toán 
+ Nhầm điều kiện : . Dẫn đến chọn đáp án sai: B
+ Nhầm điều kiện : . Chọn đáp án sai: C
2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên .
Một đặc trưng thường gặp của tư duy hàm số là việc thể hiện bảng biến thiên của hàm số. Thông qua bảng biến thiên của hàm số ta đọc và khai thác được nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình. Để giải nhanh cần hướng dẫn và rèn kĩ năng lập bảng biến thiên, đọc bảng biến thiên, xử lí và khai thác bảng biến thiên cho học sinh để tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.
Ví dụ 4. Tập tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt là một nửa khoảng . Tính . 
 A. . B. . C. . D. . [2] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Giải toán cơ bản: Đếm nghiệm thông qua phép ẩn phụ.
Do đó phải có 2 bảng biến thiên: Cho ẩn phụ và cho phương trình.
Lời giải
B1: Đặt ẩn phụ và xác định điều kiện cho ẩn phụ
Đặt với .
Khi đó: .
Vậy: . 
Bảng biến thiên hàm với 
Trong trang này: Phần giải pháp do tác giả viết. Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số [2] .
+
-
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Điều kiện của 
Số giá trị thỏa mãn
 hoặc 
0
1
2
B2: Giải yêu cầu bài toán
Ta có phương trình: .
Xét hàm số: .
.
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ,.
Do đó chọn đáp án D
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không đặt ẩn phụ mà xét trực tiếp hàm số nên gặp khó khăn để xử lí được bảng biến thiên.
+ Khi đặt ẩn phụ chưa “ đếm được sự tương ứng giữa và ” nên gặp khó khăn khi xử lí yêu cầu bài toán.
Trong trang này: Lời giải được tham khảo từ TLTK số [2] .
Ví dụ 5. Cho hàm số liên tục trên đoạn và có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên bé hơn 20 để bất phương trình có nghiệm trên đoạn ?
A. . B. . C. . D. . [3] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình có nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Cô lập tham số và sử dụng min, max của hàm số..
Lời giải
Theo bảng biến thiên ta có trên thì , 
Ta có 
Xét hàm số trên 
Ta có ; . 
Bảng biến thiên hàm số trên .
Do đó ta có trên thì .
Từ và ta có và 
Do đó với mọi .
Trong trang này:Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số [3].
BPt : có nghiệm trên đoạn 
 có nghiệm trên đoạn .
Kết hợp nguyên bé hơn 20 nên có 20 giá trị . Do đó chọn đáp án C.
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số đã cho để giải toán
+ Chưa hình dung được sự “ đồng nhất dấu bằng xảy ra ” tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm ,.
Nguyên nhân là chưa có kĩ năng khai thác bảng biến thiên của hàm ẩn .
Ví dụ 6. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Với các giá trị thực của tham số , phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A. . B. . C. . D. . [3] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí bảng biến thiên.
Lời giải
Bước 1: Đếm “ sự tương ứng giữa và ”.
Đặt: 
Điều kiện của 
Số giá trị thỏa mãn
0
1
2
Bước 2: Khai thác bảng biến thiên đã cho
Khi đó: trở thành 
Trong trang này:Ví dụ 6 được tham khảo từ TLTK số [3].
Phương trình có nhiều nghiệm nhất Các phương trình và không có nghiệm chung và mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt.Do đó chọn đáp án A
Nhận xét: Trên các nhóm giải toán trên mạng có lời giải sai như sau:
Đặt . Ta có .
 không xác định tại và ; suy ra đổi dấu tối đa lần. Suy ra có tối đa nghiệm.
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số đã cho để giải toán.
+ Việc xử lí hàm hợp và yêu cầu nhiều nghiệm nhất làm học sinh lúng túng.
2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số .
Với bài thi trắc nghiệm sẽ có dạng câu hỏi “xử lí hình ảnh cho trước” mà đồ thị hàm số là một điển hình. Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan của hàm số,thông qua đồ thị của hàm số ta đọc và khai thác được nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình. Để giải nhanh cần hướng dẫn và rèn kĩ năng vẽ đồ thị , đọc đồ thị , xử lí và khai thác đồ thị cho học sinh để tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.
Ví dụ 7. Cho hàm số bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt.
A. .	B. .	
C. .	D. . [2] 
Lời giải
Sử dụng phép suy đồ thị ta vẽ được đồ thị hàm số như hình bên.
Phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm phân biệt .Do đó chọn đáp án B
Trong trang này:Ví dụ 7 được tham khảo từ TLTK số [2].
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh lựa chọn lấy đối xứng đồ thị chứ không vẽ và biến đổi bảng biến thiên. Với hình ảnh cho trước, học sinh sẽ lựa chọn cách xử lí hình ảnh đã cho để giải nhanh bài toán.
Ví dụ 8. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Có bao nhiêu số tự nhiên để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
A. 	B. 
C. 	D. [2] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng k nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị cho trước.
Lời giải
Cách 1: Phương pháp biến đổi đồ thị
+ Tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta được đồ thị hàm số (hình a)
+ Tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta được đồ thị hàm số (hình b)
+ Vẽ đồ thị hàm số như hình c.
Hình a.
Hình c.
Hình b.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Pt có đúng hai nghiệm phân biệt
Kết hợp là số tự nhiên ta được 19 giá trị .
Do đó chọn đáp án B
Cách 2: Phương pháp thử giá trị
Nhận thấy đồ thị có dạng bậc ba có hai điểm cực trị là và đi qua nên tìm được .
Trong trang này:Ví dụ 8 được tham khảo từ TLTK số [2].
Nhận xét
Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí biến đổi đồ thị.
Tuy nhiên sau khi trải nghiệm học sinh nhận thấy được bản chất của phép tịnh tiến đồ thị và hiểu các bước giải toán.
Một số học sinh sử dụng cách giải 2 cũng cho kết quả, tuy nhiên nó cũng là dự đoán kiểu trắc nghiệm. 
Ví dụ 9. Cho hàm số có đồ thị hàm
số như hình vẽ bên. Với tham số , điều 
kiện cần và đủ để 
nghiệm đúng với mọi giá trị là:
A. .	B. .
C. .	D. .[3] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị cho trước.
Lời giải
Xét hàm số: trên .
có ; .
Vẽ đồ thị hàm số trên đồ thị đã cho ta thu được như hình vẽ.
Quan sát ta có: , , hàm số đồng biến trên .
Yêu cầu bài toán
.
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét: Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí biến đổi đồ thị, 
Trong trang này:Ví dụ 9 được tham khảo từ TLTK số [3].
trong đó có việc vẽ thêm đồ thị hàm số trên đồ thị đã cho và “quan sát” để đánh giá đạo hàm.
2.3.2.4 GP4: Hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa bảng biến thiên và đồ thị hàm số .
Đồ thị hàm số và bảng biến thiên của hàm số có mối chặt chẽ với nhau. Từ đồ thị hàm số sẽ lập được bảng biến thiên và từ bảng biến thiên sẽ “ hình dung” được đồ thị hàm số. Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể thì đồ thị hay bảng biến thiên sẽ có ưu thế hơn. Do đó cần hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa bảng biến thiên và đồ thị hàm số để giải toán linh hoạt và sáng tạo hơn.
Ví dụ 10. Cho hàm số mà đồ thị hàm số như hình vẽ . 
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi: 
A. . B. . C. . D. . [2] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị hàm số đạo hàm.
Lời giải
 Xét bất phương trình (1) với , ta có:
 (2)
 Đánh giá với 
+ Từ đồ thị của hàm số đã cho ta suy ra BBT của như sau:
Trong trang này: Phần giải pháp do tác giả viết. Ví dụ 10 được tham khảo từ TLTK số [2] .
 Từ BBT ta suy ra: (*)
+ Do nên: 
Suy ra: (**)
+ Từ (*) và (**) cho ta: . 
Dấu xảy ra khi . Do đó: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi . 
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi đánh giá để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên .
Ví dụ 11. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để phương trình có đúng nghiệm phân biệt là một khoảng có dạng . Tính .
 A. . B. . C. . D. . [2] 
Tư duy: 
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng k nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí hai lớp giá trị tuyệt đối.
Lời giải
Bước 1: Xử lí giá trị tuyệt đối lớp thứ nhất.
Xét hàm số 
Ta có bảng biến thiên 
Bước 2: Xử lí giá trị tuyệt đối lớp thứ hai.
Trong trang này: Ví dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [2].Phần lời giải do tác giả viết. 
Do đó ta có đồ thị của hàm số (H1)
Suy ra đồ thị hàm số (H2)
H1
 H2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng .Yêu cầu bài toán . 
Vậy suy ra . Do đó chọn đáp án B 
Nhận xét: Bài toán này một số học sinh xử lí từng lớp giá trị tuyệt đối và chỉ lập bảng biến thiên vẫn cho đáp án đúng. Một số học sinh chỉ sử dụng cách biến đổi đồ thị vẫn cho đáp án đúng. Tuy nhiên cả hai cách trên đều phải xử lí phức tạp và mất nhiều thời gian.
Việc phối hợp giữa đồ thị và bảng