SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả hai bài toán để giải một số bái toán hình học phẳng trong toạ độ

1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong cấu trúc đề thi đại học môn toán những năm gần đây câu hình phẳng toạ độ đã trở thành một câu khó với đa số học sinh. Để vượt qua được câu này học sinh không chỉ nắm vững các kiến thức hình học toạ độ ở lớp 10, kiến thức về giải tích lớp 12 mà cần phải nhớ và vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất hình học ở cấp THCS. Từ năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục và Đào tạo chỉ tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia để xét tốt nghiệp và xét tuyển vào đại học thì điều đó càng thể hiện hiện rõ hơn. Mặc dù là câu ở mức độ điểm 8, điểm 9 nhưng sách chuyên khảo về phần này chưa nhiều. Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu tôi nhận thấy rằng rất nhiều bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độnếu như ta nhớ và vận dụng một công thức hay kết quả của một bài toán đã giải quyết được trước đó thì việc giải bài toán hiện tại sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đặc biệt qua theo dõi, nghiên cứu câu hình phẳng trong đề thi mẫu của Bộ giáo dục năm 2015 và đề thi khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT trong 2 năm liên tiếp 2015; 2016 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa tôi thấy rằng ngoài cách giải trong đáp án của Bộ và Sở giáo dục còn có thể sử dụng kết quả của một bài toán khác để giải quyết các câu hình phẳng trên. Với mong muốn đưa ra một kết quả tổng quát để từ đó các em học sinh có thể áp dụng nó vào nhiều bài toán khác nhau tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả hai bài toán để giải một số bái toán hình học phẳng trong toạ độ ”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hướng dẫn học sinh cách chứng minh hai công thức gắn với hai bài toán tương ứng, đồng thời hướng dẫn học sinh cách phân tích và vận dụng hai công thức đó vào từng thí dụ cụ thể. 
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này chúng ta sẽ tập trung giải quyết các bài toán hình học phẳng trong hệ toạ độ liên quan tới tiếp tuyến kẻ từ một điểm tới đường tròn và đường thẳng đi qua một điểm đồng thời tạo với một đường thẳng cho trước một góc cho trước. 
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, từ đó áp dụng vào làm bài tập, ngoài ra còn sử dụng phương pháp thống kê; xử lý số liệu.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các căn cứ lý thuyết để đưa ra đề tài là: 
+ Phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng trang 76, 81
SGK Hình học 10 chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam (Tác giả: Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Vũ Khê - Bùi Văn Nghi).
“ Trong mặt phẳng toạ độ phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ pháp tuyến có dạng ”.
+ Công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng trang 89 SGK Hình học 10 chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam (Tác giả: Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Vũ Khê - Bùi Văn Nghi).
“ Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình và . Khi đó ta có kết quả sau: 
 ”
+ Phương trình đường tròn trang 91SGK Hình học 10 chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam (Tác giả: Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Vũ Khê- Bùi Văn Nghi).
“ Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm ,, khi đó đường tròn tâmbán kính có phương trình
 ”.”
2.2. Thực trạng vấn đề đang nghiên cứu.
Được học tập tại các trường đại học uy tín hàng đầu trong nước là ước mơ cháy bỏng của hầu hết các học sinh lớp 12 bậc THPT. Đối với đề thi môn toán để đạt được điểm 9 trở lên các em bắt buộc phải làm được câu hình phẳng trong mặt phẳng toạ độ , đây là một thách thức không dễ vượt qua đối với các em. Hiện nay đối với học sinh khá giỏi, các thầy cô giáo chủ yếu dạy các em 3 câu cuối của đề thi gồm: câu liên quan tới phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, câu tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức và câu liên quan tới hình phẳng trong hệ toạ độ .Thông qua việc học tập với thầy cô giáo trong trường, học bạn bè, học trên mạng, học trực tuyến các em được tiếp cận với nhiều dạng bài tập liên quan tới hình phẳng. Tuy nhiên mỗi bài toán là một cách lập luận, lý giải khác nhau. Mỗi bài toán đều có một “nút thắt” mà người làm toán phải tìm mọi cách để gỡ “nút thắt” đó. Với mong muốn tạo cho các em một phản xạ một cách làm khi gặp bài toán liên quan tới tiếp tuyến và góc tôi đưa ra đề tài này với hy vọng các em sẽ đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
2.3. Các giải pháp đã áp dụng. 
Đầu tiên chúng ta hãy cùng nghiên cứu cách chứng minh Bài toán 1 và áp dụng kết quả của nó trong các bài toán khác.
Bài toán 1.
 Cho đường tròncó phương trình và điểm nằm ngoài đường tròn. Từ điểmkẻ các tiếp tuyến ; tới ( là các tiếp điểm). Khi đó đường thẳngcó pt:
 (*)
Chứng minh. 
Đường tròn có tâm , bán kính . Gọi . Do thuộc đường tròn nên ; . Tiếp tuyến tại điểm đi qua và vuông góc với nên nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến, do đó có phương trình 
B
I
.
. 
Tương tự phương trình tiếp tuyến tại điểm là 
A
Để hai tiếp tuyến trở thành hai tiếp tuyến kẻ từ 
 thì 2 tiếp tuyến phải đi qua . 
Suy ra 
M
Suy ra phương trình đường thẳng là: .
Chúng ta hãy xem xét việc áp dụng phương trình (*) qua các thí dụ sau:
Thí dụ 1.( Câu 7 trong đề thi KSCL lớp 12 THPT của Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hoá năm học 2014 - 2015).
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròncó phương trình
 và đường thẳng , điểm. Gọi là điểm thuộc nằm ngoài . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA; MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Gọi (E) là tâm đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất ?
Phân tích: 
Chu vi lớn nhất khi bán kính đường tròn lớn nhất, tương đương với khoảng cách từ điểm tới đường thẳng AB lớn nhất. Do đó ta cần thực hiện các bước sau: 
Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số (tham số ) và gọi toạ độ điểm theo .
Viết phương trình đường thẳng theo phương trình (*).
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng theo .
Tìm để khoảng cách đó lớn nhất từ đó suy ra toạ độ điểmvà kết luận.
Lời giải: 
Đường tròn (C) có tâm , bán kính . Gọi thuộc áp dụng công thức (*) suy ra phương trình đường thẳng AB là .
I
.
A
Khoảng cách từ điểm E dến đường thẳng AB 
B
M
Bài toán quy về tìm để 
đạt giá trị lớn nhất.
E
.
Đạo hàm , 
 hoặc 
Lập bảng biến thiên suy ra khi . Suy ra 
Đs: .
E
Lời bình: Sau khi lập được ptđt AB ta có thể tìm điểm M bằng cách:
Tìm điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua.
B
Dễ thấy đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định.
A
H
K
Gọi H là hình chiếu của E xuống đường thẳng AB suy ra . Dấu bằng xảy ra khi .
Khi đó . Lại có 
Thí dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
, đường thẳng , điểm . Tìm toạ dộ điểm M trên sao cho từ M kẻ các tiếp tuyến MA; MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua E.
Phân tích: 
Gọi điểm ta thiết lập hệ gồm hai phương trình với 2 ẩn là và . Phương trình thứ nhất là phương trình biểu diễn điểm thuộc đường thẳng . Phương trình thứ hai là phương trình biểu diễn điểm thuộc đường thẳng . Giải hệ suy ra , từ đó suy ra toạ độ điểm 
Lời giải. 
Đường tròn (C) được viết lại là: . Gọi , do nên . 
Phương trình đường thẳng AB là: .
Do đường thẳng AB đi qua E nên ta có: 
Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy 
Thí dụ 3. 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
,đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm tham số m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến MA; MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông.
Phân tích: 
Gọi toạ độ điểm M theo tham số của đường thẳng (d). Do tam giác MAB vuông nên tứ giác MAIB là hình vuông, gọi suy ra . Từ đẳng thức này cho ta một phương trình bậc hai với ẩn tham số là . Bài toán quy về tìm tham số để phương trình bậc hai ẩn có một nghiệm.
Lời giải. 
Đường tròn (C) có tâm , bán kính 
Gọi điểm thuộc d. Áp dụng công thức (*) suy ra phương trình đường thẳng AB là 
Do tam giác MAB vuông nên tứ giác MAIB là hình vuông, gọi suy ra . Mà 
.
A
 . 
M
I
K
Ta có phương trình 
B
. 
Để trên d có đúng 1 điểm M thì phương trình trên 
có đúng một nghiệm, tương đương với 
. 
Đáp số: 
Thí dụ 4. 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
, và đường thẳng . Từ một điểm bất kỳ trên kẻ các tiếp tuyến tới đường tròn ( là các tiếp điểm). Xác định toạ độ điểm sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳngđạt giá trị lớn nhất ?
Phân tích: 
Gọi toạ độ điểm theo tham số của đường thẳng . 
Viết phương trình đường thẳng . 
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ tới đường thẳng theo .
Tìm để hàm số theo biến đạt giá trị lớn nhất. Từ đó suy ra toạ độ điểm.
.
Lời giải: 
O
Phương trình tham số của đường thẳng là . 
A
Điểm .
Phương trình đường tròn được 
viết lại là . 
M
Suy ra phương trình đường thẳng 
: .
B
Khoảng cách từ gốc toạ độ tới 
đường thẳng 
 .
Xét hàm số . 
Đạo hàm 
Lập bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại . Khi đó toạ độ điểm .
Thí dụ 5.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
. Tìm điểm sao cho từ kẻ được hai tiếp tuyến tới đường tròn (là các tiếp điểm) mà góc tạo bởi hai tiếp tuyến bằng .
Phân tích: 
Gọi 
Gọi toạ độ điểm thuộc trục tung .
Viết phương trình đường thẳng .
Tính khoảng cách từ điểm tâm của đường tròntheo tham số và cho khoảng cách này bằng .Từ đó ta tìm được suy ra toạ độ điểm.
Lời giải: 
Đường tròn có tâm , bán kính .
A
Gọi thuộc trục tung . Khi đó phương 
trình đường thẳng
.
I
 .
B
300
H
M
.
Ta có là phân giác của góc .
Gọi 
Suy ra .
Vậy .
Thí dụ 6.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
, đường thẳng d:. Từ điểm M thuộc d kẻ 2 tiếp tuyến tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định.
Phân tích: 
Gọi toạ độ điểm M theo tham số của đường thẳng d. Lập phương trình đường thẳng AB có chứa tham số . Bài toán quy về tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi . 
Lời giải. 
Phương trình đường tròn (C) có dạng . Gọi phương trình đường thẳng AB là 
.
Gọi là điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua suy ra
Vậy điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua là .
Thí dụ 7.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 đường tròn (C1): ; 
(C2): ; Từ điểm kẻ 2 tiếp tuyến tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng minh đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Phân tích: 
Để chứng minh đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định ta cần chứng minh đường thẳng AB luôn cách một điểmcố định một khoảng không đổi .
M
Lời giải: 
Gọi điểm thuộc đường tròn (C2). 
Suy ra . 
.
B
Phương trình đường thẳng AB:.
A
I
Xét đường tròn tâm là gốc toạ độ , 
bán kính 
O
.
Ta có . 
Vậy đường tròn đường thẳng AB luôn 
tiếp xúc với đường tròn (C’) tâm 
bán kínhcố định.
Bài toán 2. 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng không vuông góc với nhau có phương trình lần lượt là: , Gọi là góc tạo bởi 2 đường thẳng và . Khi đó ta có . 
Đặc biệt khi tức là 2 đường thẳng có hệ số góc thì .
Chứng minh: 
Ta đã có công thức . Lại có , suy ra
,
Khi tức là 2 đường thẳng có hệ số góc thì từ ta chia cả tử và mẫu cho suy ra .
suy ra điều phải chứng minh.
Thí dụ 1.( Câu 8 trong đề thi KSCL lớp 12 THPT của Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hoá năm học 2015 - 2016). 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có tâm
. Điểm đối xứng với A qua B là điểm .Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành biết A có hoành độ âm.
Phân tích: 
Chứng minh được. Lập phương trình đường thẳng.
Lập ptđt BD đi qua I và tạo với đường thẳng một góc cho trước. Lập được ptđt từ đó suy ra toạ độ điểm B, suy ra toạ độ điểm D.
Do B là trung điểm của AE từ đó suy ra toạ độ điểm A, suy ra toạ độ điểm C.
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh . Thật vậy: 
Gọi M là trung điểm của AD suy ra tam giác ABM đều (tam giác cân có một góc bằng 600) suy ra 
suy ra tam giác ABD vuông tại B tức là .
Đường thẳng đi qua 2 điểm , nên có phương trình 
.
 Đường thẳng có véc tơ pháp tuyến
. Đường thẳng tạo với đường
 thẳng một góc thoả mãn . Gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng suy ra .
TH1: Với chọn suy ra phương trình đường thẳng BD là .
 Lập phương trình đường thẳng 
Đường thẳng BE đi qua điểm E và vuông góc với BD có phương trình: 
- Vì nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ pt: 
E
Do I là trung điểm của BD nên toạ độ điểm D là
Do B là trung điểm của AE nên toạ độ điểm A là
B
C
M
 .
I
Do I là trung điểm của AC nên toạ độ điểm C là
D
A
TH2: Với chọn ; suy ra phương trình đường thẳng BD là 
Đường thẳng BE đi qua điểm E và vuông góc với BD có phương trình: 
.Vì nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ pt: 
- Do B là trung điểm của AE nên toạ độ điểm A là
 ( không thoả mãn điều kiện ).
Đs: 
Lời bình: Đây là cách giải hoàn toàn khác so với đáp án của Sở, qua cách giải này ta thấy rằng. Khi giả thiết của bài toán cho số đo một góc nào đó, để giải quyết bài toán đó có thể sử dụng tới công thức 
 hoặc 
Thí dụ 2.( Câu 7 trong đề thi mẫu của Bộ GD&ĐT năm2015). 
Trongmặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác OAB có các đỉnh A, B thuộc đường thẳng và điểm là tâm đường tròn bàng tiếp góc O. Gọi C là điểm trên sao cho AC= AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A, biết điểm C có hoành độ bằng . Tìm toạ độ các đỉnh A, B.
Phân tích: 
 Từ giả thiết ta biết được toạ độ điểm C.
Do OA = OC nên tam giác AOC cân tại A, mà K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O nên KA là phân giác ngoài góc suy ra nó là phân giác trong góc 
Suy ra KA là đường cao của tam giác OAC dẫn tới , từ đó lập được phương trình đường thẳng .
Do nên tìm được toạ độ điểm A.
Lập phương trình đường thẳng OB đi qua điểm O và tạo với đường thẳng OK một góc mà 
 Do nên từ đó suy ra toạ độ điểm B.
Lời giải: 
 Vì điểm C thuộc đường thẳng và có hoành độ bằng nên tung độ bằng . 
Vì là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác AOB nên là giao điểm của đường phân giác trong góc và đường phân giác ngoài góc , suy 
là phân giác trong góc . Mà tam giác OAC cân tại nên vuông góc với 
.
Suy ra đường thẳng nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến suy ra ptđt là: .- Vì nên toạ độ điểm 
là nghiệm của hệ phương trình
. Đường thẳng có phương trình . đưòng thẳng có phương trình 
. 
K
Suy ra , 
B
dẫn đến góc tạo bởi và bằng .
 Suy ra góc tạo bởi và bằng . 
Vậy phương trình đường thẳng là .
Vì nên toạ độ điểm 
A
O
 là nghiệm của hệ phương trình
C
.
Thí dụ 3.( Câu IV.1 đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2002 ). 
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 
. Phương trình đường thẳng AB: . Tìm toạ độ đỉnh Biết có hoành độ âm.
Phân tích: 
Theo giả thiết , từ đó lập được phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc thoả mãn 
.
B
A
Vì nên suy ra toạ độ điểm . 
Lời giải: Đường thẳng có véc tơ pháp 
I
tuyến .
Vì là hình chữ nhật và nên
C
D
 . Gọi 
 là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ta có
. Với chọn suy ra phương trình đường thẳng:.
Vì nên toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Với chọn . Suy ra phương trình đường thẳng:
Vì nên toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
 ( Không thoả mãn vì điểm có hoành độ âm)
Đs: 
Thí dụ 4( Đề thi Đại học khối A năm 2012)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông . Gọi là trung điểm cạnh , N là điểm trên cạnh sao cho . Giả sử và đường thẳng có phương trình . Tìm toạ độ đỉnh .
Phân tích: 
Tính 
Lập phương trình đường thẳng đi qua và tạo với AN một góc thoả mãn .
Từ đó tìm toạ độ điểm là nghiệm của hệ pt tạo bởi pt và.
Hướng dẫn: 
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là . Khi đó
B
A
.
Từ đó lập được phương trình đường thẳng 
M
 là hoặc . 
Từ đó ta tìm được 2 điểm . 
D
C
 hoặc .
N
Thí dụ 5 ( Đề thi Đại học khối A năm 2014)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông có điểmlà trung điểm của đoạn . N là điểm thuộc cạnh sao cho . Viết phương trình đường thẳng biết 
Phân tích: 
 Lập phương trình đường thẳng .
Gọi là giao điểm của và , tìm được toạ độ điểm .
 Nối với tâm của hình vuông và kéo dài cắt tại . Tính được .
A
B
M
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc mà .
Hướng dẫn:
O
Gọi là giao điểm của đường thẳng 
N
 và suy ra 
D
C
I
E
 từ đó suy ra toạ độ điểm . 
Gọi là cạnh của hình vuông 
suy ra 
Từ đó lập được phương trình đường thẳng đi qua và tạo với đường thẳng MN một góc thoả mãn .
Đs: hoặc .
Thí dụ 6 ( Đề thi Đại học khối D năm 2012)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình. Đường thẳng đi qua điểm 
B
A
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
.
Phân tích: Từ pt đường thẳng AB và AD ta suy ra tọa
 độI
 điểm và tính được .
Do là hình chữ nhật nên 
C
D
Lập pt đường thẳng đi qua điểm và tạo với 
một góc .
Tìm tọa độ điểm là giao điểm của và .
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc .
Lời giải: 
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .
Gọi và lần lượt là véc tơ pháp tuyến của các đường thẳng và 
Từ giả thiết ta có ; .
Gọi góc tạo bởi hai đường thẳng và là khi đó .
Vì là hình chữ nhật nên . Gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng khi đó 
. Với , chọn khi đó phương trình đường thẳng là
. Với , chọn khi đó phương trình đường thẳng là
 (trường hợp này loại vì ). Vậy là phương trình đường thẳng ).
Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình
Do là trung điểm của nên tọa độ điểm .
Đường thẳng đi qua điểm và song song với có phương trình . Vì nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
.
Vì là trung điểm của nên tọa độ điểm 
Đs: ; 
Thí dụ8 (ĐH khối D năm 2014)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong góc A là điểm D(1; -1).Đường thẳng AB có pt: 3x + 2y - 9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y - 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Phân tích: 
- Từ phương trình đường thẳng và phương trình tiếp tuyến tại 
 Ta tìm được tọa độ điểm và với là góc tạo bởi hai đường thẳng và tiếp tuyến tại .
Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đã biết được tọa độ từ đó tính được .
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng 
một góc bằng góc tạo bới 2 đường thẳng .
A
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc bằng góc tạo bởi hai đường thẳng và tiếp tuyến tại 
Lời giải:
.
x
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
B
C
D
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và tiếp tuyến 
tại A
 của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi đó .
Phương trình đường thẳng : . Suy ra ; . Vậy 
Do là phân giác trong của góc của tam giác nên góc tạo bởi đường thẳng và bằng góc tạo bởi hai đường thẳng và .
Theo tính chất góc nội tiếp đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì suy ra góc tạo bởi hai đường thẳng ; bằng . 
Gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ta có 
 hoặc .
Với chọn khi đó véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng song song với đường thẳng . Với chọn khi đó véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là và phương trình là 
Gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ta có 
Với chọn khi đó phương trình đường thẳng là 
Với chọn khi đó phương trình đường thẳng là .
Thử lại: Khi đường thẳng có phương trình toạ độ điểm Khi đó suy ra điểm nằm ngoài đoạn đây là điều vô lý vì là chân đường phân giác trong góc 
của tam giác .
Khi đường thẳng có phương trình toạ độ các điểm là 
Khi đó ( thoả mãn)
Đs: Phương trình đường thẳng : .
Nhận xét. Qua các thí dụ trên ta nhận thấy rằng hai công thức (*) và (**) mà ta đã xây dựng và chứng minh đã giúp ích rất nhiều trong các bài toán hình toạ độ phẳng liên quan tới góc và tiếp tuyến. Áp dụng hai công thức trên ta có thể giải các bài toán sau.
Bài tập luyện thêm.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn và đường thẳng . Từ điểm thuộc kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với tại và . Tìm toạ độ điểm biết rằng diện tích tam giác bằng 
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn và đường thẳng 
Tìm để trêncó duy nhất một điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới ( là các tiế