SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
---------------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
 Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
 MỤC LỤC
 Trang
Mở đầu....3
Lí do chọn đề tài.....3
Mục đích và đối tượng nghiên cứu.....3
Phương pháp nghiên cứu....4
Nội dung... .4
Cơ sở lí luận............4
Thực trạng.......4
Giải pháp.5
Kiến thức cơ bản của chương số phức ....5
Các phương pháp.........5
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.......5
Phương pháp xét hàm........................10
Phương pháp biểu diễn hình học..........................14
Phương pháp tam thức bậc hai...21
Phương pháp lượng giác hóa......22
Bài tập tự luyện...........25
Kết luận..26
Kết quả nghiên cứu....26
Kết luận và kiến nghị.....26
Tài liệu tham khảo...........26
MỞ ĐẦU
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán. 
 Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
 Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phần lớn ở chương trình đại học . Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đã được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD& ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
 Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắc kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳng thức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh. Đây là bài toán mới, được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức. Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức.
Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”. 
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
 Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu: 
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên toán,).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
 NỘI DUNG 
CƠ SỞ LÍ LUẬN
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
 Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết. Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong số phức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biến đổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học . Tạo ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó. Đây là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
THỰC TRẠNG
 Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm với bài toán max, min trong số phức. Lí do được các bạn đưa ra là bài toán này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm. Một phần khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều này đã dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề. Từ thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”. 
GIẢI PHÁP
 Kiến thức cơ bản chương số phức có liên quan
Đơn vị ảo 
Mỗi biểu thức dạng được gọi là một số phức; x là phần thực, y là phần ảo
Hai số phức bằng nhau: 
Mỗi số phức được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm 
Môđun của số phức: 
Số phức có số phức liên hợp là 
Phép cộng: 
Phép trừ: 
Phép nhân: 
Phép chia: 
Dạng lượng giác 
* Chú ý: 
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
* Phương pháp
+ Gọi số phức 
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh giá max, min
+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn 
* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và không cần giải dấu bằng. Ta chỉ cần làm hai bước:
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh giá max, min
 * Các bất đẳng thức thường được sử dụng: 
 . Dấu = xảy ra khi 
 . Dấu = xảy ra khi 
Bất đẳng thức Côsi: . Dấu = xảy ra khi 
 . Dấu = xảy ra khi 
Bất đẳng thức Bunhia: . Dấu = xảy ra khi 
Bất đẳng thức số phức: 
Bất đẳng thức vectơ: 
 * Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, 
+, 
.
Dấu = xảy ra khi 
+, . 
Dấu = xảy ra khi 
Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức cho ở giả thiết. 
Ví dụ 2: Tìm biết 
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, 
+, 
+, 
Theo chú ý, ví dụ trên ta có thể làm gọn hơn như sau:
+, 
+, 
+, 
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của biết 
Hướng dẫn:
+, 
+, 
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn . Số phức z có là:
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, 
+, 
Dấu = xảy ra khi . Đáp án D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Khi đó 
2 B. 1 C. 3 D. 4
Hướng dẫn:
. Đáp án B
Ví dụ 6: Cho số phức z không phải là số thực và là số thực. Tìm GTLN của 
2 B. C. 8 D. 
Hướng dẫn:
Ví dụ 7: Cho số phức thoả mãn và . Tính môđun số phức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, 
+, 
+, Dấu = xảy ra khi . Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTLN của 
 B. C. 3 D. 5
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia và đẳng thức ta có
Chọn B
Ví dụ 9: Cho các số phức thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 
+, 
+, 
Dấu = xảy ra khi 
Ví dụ 10: Cho các số phức thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 B. 3 C. 1 D. 5
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức và Côsi ta có:
Chọn C
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn và . Tính môđun của số phức 
 B. C. D. 4
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, 
+, 
Đặt . Theo bất đẳng thức vectơ ta có
+, Theo bất đẳng thức Bunhia:
. Chọn A
Phương pháp xét hàm
* Phương pháp
+ Gọi số phức 
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)
+ Rút x hoặc y ở (1) thế vào (2)
+ Xét hàm số, và kết luận
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của phần thực số phức , trong đó z là số phức có . Tính 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức 
+, 
+, Từ 
+, Xét hàm số 
. Chọn A
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức z biết 
 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
+, Gọi số phức 
+, 
+, 
+, Xét hàm số . Lập bảng biến thiên ta được:
 khi . Chọn C
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn và đạt GTLN. Đặt . Tính giá trị biểu thức 
1 B. C. 5 D. 
 Hướng dẫn:
 +, 
 +, 
 +, Xét hàm số: 
 . Lập bảng biến thiên được khi 
 . Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1. Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính 
 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
+, Gọi số phức .
+, 
+, 
+, Xét hàm số: 
Chọn A
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức . Khi đó tích 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Đặt 
+, Vì 
+, 
+, Khi đó 
Chọn A
 Ví dụ 6: Cho hai số phức thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
1 B. 2 C. -1 D. 
Hướng dẫn:
+, Ta có 
+, 
+, 
+, 
Đặt 
+, Xét hàm số 
. Dấu = xảy ra khi . Chọn D
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn . Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lón nhất của biểu thức 
-1 B. -2 C. 1 D. 0
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức 
+, 
+, Biến đổi 
+, Đặt 
+, Xét hàm số 
. Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức . Từ 
+, 
+, Áp dụng bất dẳng thức với ; và tính chất về giá trị tuyệt đối ta có:
+, Xét hàm số ta có 
Dầu = xảy ra khi . Chọn A
Ví dụ 9: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và . Tìm GTNN của biểu thức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức .
+, (P)
+, 
Đường tròn (C) có tâm 
Đặt (số phức có điểm biểu diễn là I)
+, Ta có 
+, Xét hàm số 
Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại 
. Dấu = xảy ra khi và là giao điểm của IM và đường tròn (C) (với M là điểm biểu diễn số phức )
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức . Mô đun của số phức là?
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức .
+, 
+, Đặt 
+, 
+, Xét hàm số . Ta tìm được 
. Chọn B
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học
* Phương pháp
+, Gọi số phức .
+, Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x và y. Nhận biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các phương trình này để biểu diễn nó trên mặt phẳng tọa độ
+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max, min.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn: 
3
O
M”
I
-4
M’
+, 
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 
Phương trình đường thẳng OI: 
+, 
+, 
+, Tọa độ các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là nghiệm hệ
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTNN của 
Hướng dẫn:
. I
M
+, Gọi số phức có điểm biểu diễn là M
+, 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 
+, Đặt (C)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm, bán kính R
Suy ra M là giao điểm của d và (C)
+, đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức .
+, 
Đặt biểu diễn số phức z;biểu diễn số phức ; biểu diễn số phức . Ta có 
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn và A, B là hai tiêu điểm 
+, với biểu diễn số phức 
+, 
Ta có 
+, Gọi M’ là điểm trên elip sao cho A, B, M’ thẳng hàng và M’ khác phía A so với B. Khi đó 
Ta thấy với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó MC lớn nhất khi và chỉ khi M trùng M’. Suy ra . Chọn A
Ví dụ 4: Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, 
+, 
+, Gọi A, B là điểm biểu diễn của và , khi đó A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm bán kính bằng 9 và đường tròn tâm bán kính bằng 4. Ta tính được 
Do nên hai đường tròn ngoài nhau.
Suy ra . Chọn D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm tổng GTLN và GTNN của 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức có điểm biểu diễn là 
+, Từ giả thiết ta có lần lượt là điểm biểu diễn các số phức . Ta có 
+, Theo giả thiết thì I thuộc đoạn thẳng AB.
Phương trình AB: 
+, 
+, khi I trùng với điểm đầu mút của đoạn AB
Do . Chọn D
Ví dụ 6: Cho các số phức thỏa mãn điều kiện ; . Tìm GTNN của biểu thức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức
+, . Suy ra M di động trên đường thẳng 
+, . Suy ra N di động trên đường thẳng 
+, 
+, Gọi đối xứng với A qua đường thẳng ; đối xứng với A qua đường thẳng . Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm thẳng hàng.
+, Gọi là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với , phương trình , 
Gọi là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với , phương trình , 
Vậy . Chọn D
Ví dụ 7: Cho là hai số phức thỏa mãn hệ thức và . Tìm GTNN của biểu thức 
-10 B. -5 C. -3 D. 2
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức 
. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức , khi đó M, N thuộc đường tròn tâm và 
+, 
 (với J là trung điểm MN)
Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức z biết đạt GTLN.
 B. C. 6 D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức 
 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 
+, Với 
+, Gọi thỏa mãn 
+, 
Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn nhất khi MH lớn nhất. Suy ra M, I, H thẳng hàng
Ta có 
Chọn A
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn và biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức 
. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 
+, Xét các điểm 
Gọi K là điểm trên tia IA sao cho 
+, Do , góc chung đồng dạng với 
+, 
, M nằm giữa B và K
+, Phương trình đường thẳng 
Ta tìm được . Chọn B
Ví dụ 10: Cho số phức thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền phẳng (T) được tô đậm (hình vẽ).
+, Gọi là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn 
Ta có 
Gọi (C) là đường tròn tâm 
+, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:
. Chọn B
Phương pháp tam thức bậc hai
 * Phương pháp
+ Gọi số phức 
+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)
+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y (2)
+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y) trong đó P là tham số
+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính giá trị biểu thức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Gọi 
 (1)
+, Đặt (2)
 Lấy (1) trừ (2) ta được thay vào (1) ta được:
 +, Để phương trình trên có nghiệm thì 
 Chọn C
 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, 
 GTNN của biểu thức . Tính mô đun của số phức 
 B. C. D. 
 Hướng dẫn: 
+, Gọi 
 (1)
 +, (2)
 +, Từ (1) và (2) ta có:
 Phương trình có nghiệm khi 
 Chọn D
Ví dụ 3: Cho hai số phức thỏa mãn và , m là tham số . Giá trị của m để ta luôn có là?
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, 
+, Gọi . Ta có 
+, 
Để 
Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức thỏa mãn và môđun z lớn nhất. Tính ?
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, Đặt 
+, 
Với 
Chọn C
Phương pháp lượng giác hóa.
* Phương pháp 1 
+ Gọi 
+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x, y
+ Quan sát phương trình giả thiết và đặt 
+ Chuyển yêu cầu bài toán về biểu thức theo lượng giác và biện luận max, min
Chú ý 
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường tròn thì đặt 
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip thì đặt 
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip thì đặt 
* Phương pháp 2 
+ Gọi số phức dạng lượng giác 
+ Chuyển giả thiết và yêu cầu bái toán về cosx và sinx để biện luận max, min theo lượng giác
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức . Tính M+m.
-3 B. -2 C. 5 D. 10
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, 
+, 
Đặt 
. Chọn B
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính 
2 B. 4 C. D. 21
Hướng dẫn:
+, Gọi 
+, Gọi M, N là điểm biểu diễn các số phức z và ; . Ta thấy 
+, Từ giả thiết có . Quỹ tích điểm M là elip (E): 
(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)
+, Áp dụng công thức đổi trục 
+,Đặt 
 (với )
+, Xét hàm số 
Chọn A
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức . Khi đó tích 
 B. C. D. 
Hướng dẫn:
+, 
Do 
+, Đặt 
Sử dụng phương pháp xét hàm ta được 
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
+, Đặt 
Tương tự 
Chọn D
 Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
 B. C. 2 D. 
Câu 2: Cho thỏa mãn điều kiện . Tính khi biểu thức đạt GTNN.
7 B. 6 C. 5 D. 4
Câu 3: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện ; . Tìm GTLN của biểu thức 
 B. C. D. 
Câu 4: Cho các số phức thỏa mãn điều kiện ; . Tính khi biểu thức đạt GTNN
 B. C. D. 
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính tổng 
 B. C. D. 
Câu 6: Cho thỏa mãn điều kiện và . Tìm GTNN của 
 B. C. D. 
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
 B. C. D. 
Câu 8: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và . Tìm GTLN của biểu thức 
 B. C. D. 
Câu 9: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và . Tìm GTLN của biểu thức 
 B. C. D. 
Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN của biểu thức 
 B. C. D. 
KẾT LUẬN
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
 Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn trong quá trình giải toán. Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn. Cách làm trên đã đáp ứng