SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm lời giải ba dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi THPT chuyên

MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1.
MỞ ĐẦU
Trang 01
 1.1 
Lí do chọn đề tài
Trang 01
 1.2
Mục đích nghiên cứu
Trang 02
 1.3 
Đối tượng nghiên cứu
Trang 02
 1.4 
Phương pháp nghiên cứu
Trang 02
2.
NỘI DUNG
 Trang 03
2.1
Cơ sở lý luận
Trang 03
2.2
Thực trạng
Trang 03
2.3
Các giải pháp
Trang 04
2.4
Hiệu quả của sáng kiến
Trang 15
3.
KẾT LUẬN
Trang 16
3.1 
Kết luận
Trang 16
3.2
Kiến nghị
Trang 16
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
	Hầu như trong bất cứ kỳ thi nào của cấp THCS đều có bài giải phương trình trong đề thi. Đến lớp 9 học sinh được học về phương trình vô tỷ - đây là một trong những dạng phương trình hay và khó thường gặp trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi vào lớp 10 THPT chuyên. Trong sách giáo khoa môn toán lớp 9 chỉ nêu một số dạng phương trình cơ bản mà cách giải của chúng rất rõ ràng, rành mạch. Học sinh học toán ở mức trung bình đều có thể giải được. Tuy nhiên, trên thực tế bài giải phương trình trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc đề thi vào lớp 10 THPT chuyên khó hơn rất nhiều. Khó bởi cách giải của những phương trình ấy không có một quy luật nhất định mà tùy vào đặc điểm từng phương trình, học sinh lựa chọn cách giải phù hợp. Sau 7 năm học (Từ năm học 2011-2012 đến năm học 2018 - 2019) theo dõi đề thi tôi nhận thấy: bài giải phương trình vô tỷ trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố và thi vào lớp 10 THPT chuyên thường rơi vào một trong 3 dạng sau:
Dạng 1. , (I)
Dạng 2. (II)
Dạng 3. 
Theo suy nghĩ thông thường với mỗi pt trên bình phương 2 vế để khử dấu căn bậc hai thì phương trình hệ quả thu được có bậc 4, trong khi đó pt bậc 4 không phải khi nào cũng giải được. Thêm nữa phép biến đổi sau khi bình phương tương đối cồng kềnh, học sinh dễ nhầm lẫn.
 Một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục hiện nay là giúp người học hình thành và đạt được các kỹ năng tư duy khoa học như: kỹ năng tư duy phân tích, suy luận, tổng hợp, logic; kỹ năng tư duy sáng tạo, phản biện; kỹ năng tự học và tự học hiệu quả. Do vậy để tìm được lời giải của 3 dạng phương trình trên, người thầy cần trăn trở, tìm tòi nhiều cách giải hay, từ đó có cách truyền đạt, gợi mở, định hướng để học sinh tìm được lời giải cho mỗi bài toán.
Hơn nữa qua quá trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu bản thân chưa thấy có tài liệu nào viết chuyên sâu về cách giải 3 dạng phương trình trên. Là một chuyên viên của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện, được phân công phụ trách công tác bồi dưỡng HSG cấp huyện, cấp tỉnh, bản thân tôi luôn trăn trở suy nghĩ tìm tòi, nghiên cứu đề ra những biện pháp, giải pháp nhằm nâng cao chất lượng HSG cấp huyện, cấp tỉnh. Để công tác bồi dưỡng HSG đạt hiệu quả ngoài việc tham mưu cho lãnh đạo chỉ đạo kịp thời, chính xác bản thân phải say sưa chuyên môn, am tường chuyên môn, đồng thời biết viết và truyền cảm hứng tới người khác những điều mình tâm đắc. Với những lý do đó tôi quyết định chọn đề tài ’’Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm lời giải ba dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi THPT chuyên’’ để nghiên cứu. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua sáng kiến kinh nghiệm tác giả mong muốn các thầy cô giáo có cách định hướng, hướng dẫn học sinh biết phân tích, tìm tòi lời giải 3 dạng phương hay và khó thường gặp trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố hoặc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên trên toàn quốc. 
Bước đầu rèn luyện cho các em học sinh kỹ năng tư duy sáng tạo, chỉ cho các em thấy được nét đẹp, sự độc đáo trong mỗi lời giải. Từ đó khơi dậy niềm đam mêm nghiên cứu khoa học của các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đề tài tập trung nghiên cứu các cách giải 3 dạng phương trình: 
Dạng 1. , 
Dạng 2. ; 
Dạng 3. 
 Trong đó là ẩn, , là các hằng số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp chuyên gia
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp quan sát: 
- Phương pháp lịch sử
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Gọi là các biểu thức chứa biến , khi đó
2.1.1. 
2.1.2. hoặc 
2.1.3. và 
2.1.4. hoặc 
2.1.5. với (Biểu thức gọi là biểu thức liên hợp của biểu thức )
2.1.6. Nếu phương trình có 1 nghiệm (Với ) thì luôn phân tích được 
2.1.7. hoặc .
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
Trong những năm gần do áp lực thi cử nên đa số học sinh học thêm quá nhiều do đó không còn thời gian và sức lực để nghiên cứu, tìm tòi, thưởng thức cái hay, cái đẹp của bộ môn Toán. Nhiều dạng toán, bài toán thầy, cô giáo đã bày sẵn cách giải học sinh chỉ việc áp dụng. Điều này đã triệt tiêu óc sáng tạo của các em.
Hơn nữa, phương trình vô tỷ không mẫu mực là dạng phương trình khó và vô cùng đa dạng, để giải phương trình vô tỷ cần biết kết nối nhiều kiến thức, kỹ năng. Ba dạng phương trình kể trên là ba dạng khó, chắc chắn nhiều học sinh không giải được nếu chưa có sự gợi ý của thầy cô giáo.
Khi được phòng Giáo dục và Đào tạo giao nhiệm vụ dạy hỗ trợ một số chuyên đề cho đội tuyển HSG của huyện tham dự kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018 - 2019. Tôi đã nghiên cứu và lựa chọn 5 chuyên đề, trong có chuyên đề về phương trình vô tỷ. Để bước đầu đánh giá được khả năng của học sinh, từ đó có phương án tối ưu trong việc truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề kiểm tra thời gian 45 phút cho 10 em học sinh trong đội tuyển của huyện như sau:
Bài 1: ( 4,0 điểm ) Giải phương trình 
 Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: 
Bài 3. (3,0 điểm) Giải phương trình: 
 Kết quả thu được như sau: 
Tổng số
Dưới điểm 5
 Điểm 5 - 7
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
50
4
40
1
10
0
0
 Từ kết quả trên, tôi nhận thấy rằng đa số các em chưa định hướng được cách giải 3 phương trình trên, một vài em lời giải dài dòng, chưa chính xác, đôi khi còn ngộ nhận.
 	2.3 Các giải pháp: 
	Qua một thời gian dài thực hiện công việc sưu tầm, tổng hợp, phân tích nghiên cứu tôi thấy rằng: Để giải 3 dạng phương trình (I), (II), (III) ta thường sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Bình phương hai vế khử dấu căn, đưa phương trình đã cho về pt bậc 4, sau đó biến đổi đưa về phương trình dạng tích.
	Cách 2: Nhẩm được nghiệm , biến đổi và nhân với biểu thức liên hợp tương ứng làm xuất hiện nhân tử .
	Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng , trong đó là các hằng số.
	Cách 4: Biến đổi phương trình về dạng 
	Cách 5: Biến đổi phương trình về dạng 
	Cách 6: Biến đổi phương trình về dạng , trong đó , là các hằng số
	Cách 7: Đặt ẩn phụ hoặc hoặc đưa về pt bậc 2 ẩn t, xem là tham số. Giải t theo x sau đó thay t bởi ,hoặc ta được pt ẩn x, giải tìm x.
	Ví dụ 1. Giải phương trình (1)
(Câu 3a trong Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ 
Năm học 2011 – 2012 ) 
Phân tích: Dễ dàng nhẩm được nghiệm. Sau khi đặt điều kiện, bình phương 2 vế để khử dấu căn bậc hai, chuyển vế ta được phương bậc 4. Do đã nhẩm đưỡ nghiệm nên biến đổi vế trái của pt xuất hiện nhân tử . Cụ thể lời giải như sau:
Cách 1: , Biến đổi pt đầu của hệ cho ta pt: 
 hoặc hoặc . Phương trình x2 + 7x + 14 = 0 vô nghiệm.
 Thay và vào bất pt sau của hệ kết luận chỉ là nghiệm của phương trình (1).
Mặt khác: Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm, do đó có thể biến đổi và nhân với biểu thức liên hợp tương ứng để làm xuất hiện nhân tử , cụ thể:
Cách 2: 
 hoặc 
Nhận xét: Phương trình không thể giải tiếp theo cách biến đổi thông thường, mà cần có sự nhận xét, đánh giá một cách khéo léo. Để ý: một giá trị nào đó là nghiệm của pt (1) thì nó phải thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện và , tương đương với 
Xét phương trình: , nhận xét với thì VT(1b) , VP(1b) , dẫn tới pt(1b) vô nghiệm, hay pt(1a) vô nghiệm. Kết luận: PT ban đầu có nghiệm duy nhất .
Bình luận: 
 	- Khi giải theo cách 1 phương trình hệ quả thu được sau khi bình phương là phương trình bậc 4, nếu phương trình bậc 4 không đặc biệt hoặc không nhẩm được nghiệm việc giải tiếp sẽ bế tắc.
- Cách 2 nên sử dụng khi nhẩm được nghiệm (ở đây nhẩm được là nghiệm), khi đó ta có cơ sở để biến đổi và nhân liên hợp làm xuất hiện nhân tử .
Vậy trong trường hợp phương trình ban đầu không nhẩm được nghiệm thì sẽ giải quyết như thế nào ? Hãy xét ví dụ 2 
Ví dụ 2: Giải phương trình (2)
(Câu 3b đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên 
năm học: 2016 – 2017)
Phân tích: Do không nhẩm được nghiệm nên cách 1 và cách 2 không còn hiệu quả ta cần nghĩ tới cách khác. Nếu sử dụng cách 3, trước hết ta nhân hai vế của phương trình với 4 để tiện cho việc hình thành bình phương đúng của một tổng hay hiệu. Sau đó biến đổi khéo léo để đưa về dạng , cụ thể lời giải:
Lời giải: ĐK: , Nhân 2 vế của pt với 4 , đến đây phân tích , suy ra thừa số thứ nhất là , thừa số thứ 2 là , do vậy vế trái của pt(a) cộng thêm với sẽ vừa đủ một bình phương đúng là . Khi đó vế phải của PT(a) còn lại là: , biểu thức này chính là . Từ đây ta có lời giải tiếp theo như sau: 
 hoặc , Tương đương với hoặc , giải từng phương trình và so sánh với điều kiện suy ra phương trình có 2 nghiệm và 
Bình luận: Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở bước biến đổi thứ 2; tách thành ở vế trái và ở vế phải, đảm bảo cho mỗi vế của phương trình đều là bình phương đúng của một tổng.
	Để minh họa cho cách 4, ta xét ví dụ 3
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
(Tạp chí THTT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 1)
Phân tích: Nếu theo lối suy nghĩ của cách 3, để vế trái là bình phương đúng của một tổng ta phải cộng thêm biểu thức , khi đó biểu thức vế phải là , biểu thức này không thể biến đổi thành bình phương đúng của một tổng, do đó cách 3 không áp dụng được . Ta sử dụng cách 4. Ban đầu chuyển hết sang vế phải ta được pt: (3a)
 phân tích , suy ra thừa số thứ nhất là , thừa số thứ 2 là , do vậy vế trái của pt(3a) cộng thêm với sẽ vừa đủ một bình phương đúng là . Biểu thức còn lại của vế trái pt(3a) là: , biểu thức này chính là . 
Lời giải: Điều kiện
Pt (3a) và . Giải và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của pt đã cho là .
Ví dụ 4: Giải phương trình (4)
(Câu 2a trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTNK, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh năm học: 2016 – 2017)
Phân tích: Nếu theo lối suy nghĩ của cách 4, phân tích , cộng thêm với ta được bình phương đúng là , khi đó biểu thức còn lại của vế trái là , rõ ràng biểu thức này không thể là bình phương đúng của một tổng hay hiệu. Do đó ta sử dụng cách thứ 5. Tách thành và , nhóm với ta được một bình phương đúng 
 nhóm với , đặt dấu trừ ra ngoài cũng cho ta một bình phương đúng là . Bài toán đã được giải quyết.
Lời giải: 
Đk: . Pt 
 hoặc 
Giải 2 pt trên và đối chiều điều kiện cho ta 2 nghiệm: 
 Ví dụ 5: Giải phương trình (5)
(Câu 3a Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ
năm học 2017 – 2018)
Phân tích: Ta sử dụng cách thứ 6, nghĩa là biến đổi phương trình về dạng: . Từ đây ta chuyển về phương trình dạng tích:
Lời giải: 
Cách 1: Giải: ĐK: , (5a)
 (5b), Đặt . Khi đó pt ban đầu trở thành hoặc . Với giải ra ta được , giải ra ta được . Đối chiếu với điều kiện suy ra pt có 2 nghiệm và . 
Bình luận: Các em sẽ đặt câu hỏi căn cứ nào để biến đổi từ pt (5a) về pt (5b)? Lý do như sau: Giả sử pt (5a) biến đổi đưa về dạng (5c). Khi đó ta biến đổi và sử dụng đồng nhất thức tìm . (5c) (5d).
Từ (5a) và (5d) suy ra , suy ra . Vậy pt (5d) lúc này là: , đây chính là cơ sở để có phép biến đổi từ pt (5a) về pt(5b).
Phát triển, mở rộng: Lời giải của ví dụ 5 đã mở ra một hướng để xây dựng các phương trình mới cùng dạng, ví dụ :
 	- Từ đẳng thức u2 + 2u = v2 + 2v, cho , ta được pt mới là (5e). Nghiệm của pt (5e) là x = 0.
	- Từ đẳng thức u2 + 4u = v2 + 4v, cho , ta được pt mới là (5f). Nghiệm của pt (5f) là x =3.
- Từ đẳng thức u - u = v2 - v, cho , ta được pt mới là (5g). Nghiệm của pt (5g) .
- Từ đẳng thức u + u = v2 + v, cho , ta được pt mới là (5h). Nghiệm của pt (5h) .
Chúng ta đã phân tích, tìm tòi lời giải 5 ví dụ minh họa cho dạng phương trình: . Sau đây ta xét tiếp các ví dụ minh họa cho 2 dạng pt: 
 và 
	Ví dụ 6: (6)
(Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên THPT TP Hồ Chí Minh
 năm học 2017 – 2018 )
Phân tích: Ta xem , thừa số thứ nhất là , thừa số thứ hai là , như vậy nếu cộng thêm vế trái của pt với và
 ta được một bình phương đúng là: . Khi đó vế phải của phương trình là: . Ta đã đưa pt ban đầu về dạng . Từ đây ta có lời giải
 Lời giải: 
ĐK: , 
 hoặc . Phương trình đầu có nghiệm là , Phương trình sau vô nghiệm. Đối chiếu với điều kiện suy ra: pt (6) có nghiệm duy nhất .
	Ví dụ 7: Giải phương trình (7)
(Câu 2a Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc 
năm học 2016 – 2017)
Phân tích: Nếu đặt , suy ra , khi đó pt(7) trở thành
, xem đây là pt bậc 2 ẩn , còn là tham số, , ta được 2 nghiệm và . Thay ta được pt ẩn , giải tìm được .
Lời giải: ĐKXĐ , đặt 
 hoặc . Giải phương trình đầu cho nghiệm , phương trình sau vô nghiệm. Kết hợp với đk kết luận pt đã cho có 2 nghiệm .
Bình luận: Trong lời giải của ví dụ 7, sau khi đặt ẩn phụ , ta không rút theo hoàn toàn mà chỉ thay để được pt có cả ẩn mới lẫn ẩn cũ , đây chính là điểm độc đáo của lời giải.
	Ví dụ 8: Giải phương trình: (8)
(Báo THTT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 8) 
Phân tích: Nhìn vào đề bài ta liên tưởng tới việc biến đổi pt về dạng hoặc . Thật vậy để tiện cho việc biến đổi biểu thức thành một bình phương đúng của tổng hay hiệu ta nhân 2 vế của pt(8) với 8, ta được phương trình: (8a)
, tiếp tục phân tích , lúc này xuất hiện thừa số thứ nhất là , thừa số thứ hai là , do vậy nếu cộng 2 vế của pt (8a) với biểu thức ta được vế trái pt (8a) là bình phương đúng , còn vế phải của pt (8a) là , chính bằng . Như vậy ta đã đưa pt về dạng 
Lời giải: Nhân 2 vế của phương trình (8) với 8 ta được: 
 hoặc hoặc 
Giải các pt và đối chiếu đk ta được là nghiệm duy nhất của pt(8).
	Ví dụ 9. Giải phương trình: (9)
 (Câu 2a đề thi vào lớp 10 chuyên TP. Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016)
Phân tích: Nhìn vào đề bài ta thấy ngay 3 cách giải:
Cách 1: Nhẩm được nghiệm , biến đổi nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hiện nhân tử .
Cách 2. Đặt , khi đó pt trở thành pt bậc 2 ẩn t (x là tham số), giải tìm t theo x, thay t bằng ta được pt ẩn x, giải tìm x.
Cách 3. Biến đổi đưa pt về dạng hoặc .
Sau đây là lời giải cho cách 3.
Lời giải: ĐK:, , 
PT hoặc hoặc 
Giải từng phương trình và so sánh với điều kiện suy ra pt (9) có 2 nghiệm và .
Ví dụ 10: Giải phương trình: (10)
(Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh năm học 2018 – 2019)
Phân tích: Ban đầu ta thấy rằng pt (9) chưa phải là một trong 3 dạng pt đã nêu, nhưng sau khi đặt điều kiện và khử mẫu pt trở thành:(9a). Từ đây tìm cách biến đổi để đưa pt (9a) về dạng: .
Lời giải: ĐK , Quy đồng mẫu thức ta được pt: 
 hoặc , hoặc , giải từng phương trình và đối chiếu với điều kiện, suy ra pt(9) có 2 nghiệm và .
Ví dụ 11. Giải phương trình: (11)
(Câu 2a trong đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh,
 năm học 2018 – 2019)
Hướng dẫn: Sau khi đặt điều kiện, biến đổi pt về dạng 
Lời giải: ĐK: , PT 
 hoặc hoặc 
Giải từng phương trình và đối chiếu với điều kiện, kết luận pt có 2 nghiệm :
 và .
	Ví dụ 12. Giải Phương trình: (12)
(Bài Toán Mục Đề ra kỳ này báo TH&TTsố 481 tháng 7 năm 2017)
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 với cả ẩn phụ và ẩn cũ.
Lời giải: ĐK: . Đặt . Khi đó phương trình (1) trở thành , Cộng theo vế PT (2) và PT(3) ta được , giải ra ta được , Giải từng phương trình và đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình (12) có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 13: Giải phương trình: (13)
(Bài T5/459 Mục Đề ra kỳ này báo TH&TT số 459 tháng 9 năm 2015)
Hướng dẫn: Sau khi đặt điều kiện, biến đổi đưa pt về dạng hoặc .
Lời giải: ĐK: , Phương trình tương đương 
 hoặc hoặc . Giải từng phương trình và kết hợp với điều kiện suy ra pt có nghiệm duy nhất . 
Ví dụ 14. Giải phương trình (14)
(Báo TH&TT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 2)
Phân tích: Đề bài gợi ý cho ta nghĩ tới việc biến đổi pt về dạng 
Tuy nhiên hệ số gắn với chưa thuận lợi trong việc biến đổi thành bình phương đúng, do vậy ta cần nhân hai vế của pt (14) với 28 sau đó mới biến đổi, cụ thể lời giải như sau:
Hướng dẫn giải: ĐK 
 (nhân 2 vế với 28)
 hoặc 
Giải phương trình (14a) và (14b), đối chiếu với điều kiện, suy ra nghiệm của pt (14).
 Ví dụ 15. Giải phương trình (15)
Phân tích: Nếu nhân 2 vế của pt(15) với 4, ta sẽ có cơ sở để biến đổi pt về dạng
A2 + 4A = B2 + 4B hoặc .
Thật vậy ta có lời giải:
Cách 1: Nhân 2 vế của pt(15) với 4 ta có , 
 Giải từng phương trình (15a), (15b) và đối chiếu với điều kiện suy ra pt (15) có 2 nghiệm x= 1 và x = 3.
Cách 2: Nhân 2 vế của pt (15) với 4 ta có: 
Đến đây ta quy về việc giải pt (15a) và (15b). Kết luận pt(15) có đúng 2 nghiệm x = 1 và x = 3.
Nhận xét: Qua Cách giải 1, Cách giải 2 của Ví dụ 15 ta rút ra được một kết luận rất quan trọng sau đây: Nếu pt biến đổi được về dạngthì nó cũng biến đổi được về dạng . 
Sử dụng một trong 7 cách giải đã nêu học sinh có thể giải được các phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục 
	Bản thân đã tham gia giảng dạy hỗ trợ đội tuyển học sinh cấp tỉnh năm học 2018 – 2019, Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra 10 học sinh trong đội tuyển môn toán để kiểm nghiệm quá trình nhận thức của học sinh ở mảng kiến thức này bằng một đề kiểm tra 45 phút như sau: 
Bài 1. (4,0 điểm). Giải phương trình: 
Bài 2. (3,0 điểm). Giải phương trình: 
Bài 3. (3, 0 điểm). Giải phương trình: 
Kết quả thu được:
Tổng số
Dưới điểm 5
 Điểm 5 - 7
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
10
2
20
3
30
4
40
Qua quá trình giảng dạy, chấm chữa bài cho học sinh tôi nhận thấy rằng, từ những pt trong các đề thi chọn HSG, thi vào lớp 10 THPT chuyên, hoặc do bản thân sáng tác không có trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh huy động được nhiều kiến thức, linh hoạt trong tư duy, đồng thời khơi gợi khả năng phán đoán, lựa chọn cách giải phù hợp với từng loại phương trình. Qua đó học sinh thấy được những nét độc đáo, thú vị ẩn sau những bài toán mà các em được học. Bồi đắp, nuôi dưỡng hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt, từ đó thắp sáng niềm say mê bộ môn toán học.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 	3.1. Kết luận
	Đề tài đã giúp học sinh biết cách phân tích, tìm tòi lời giải cho các phương trình thuộc 3 dạng trình:
	Đồng thời chỉ ra chỉ ra được căn nguyên, nguồn gốc của những lời giải ấy, điều đó giúp các em có thể sáng tạo ra vô vàn những phương trình khác cùng dạng. Bước đầu rèn luyện cho học sinh tư duy khoa học sắc bén, khơi dậy óc sáng tạo, khả năng tổng quát hóa bài toán.
	Đề tài này có thể áp dụng một cách hiệu quả đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 dự thi cấp huyện, cấp tỉnh ở tất cả các trường THCS trên địa bàn huyện, thị xã.
	Với góc độ nhìn nhận, đánh giá của bản thân thì đề tài có thể mở rộng phạm vi nghiên cứu sang 2 dạng pt khác là:
(Trong đó là các hằng số, x là ẩn). 
Rất có thể đề tài còn mở rộng với nhiều dạng phương trình khác nữa, rất mong ý kiến phản hồi từ bạn đọc!
3.2 Kiến nghị 
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
 Sau khi có Quyết định công nhận, Sở Giáo dục và Đào tạo đưa trang Web của Sở những SKKN đạt giải để mọi người có cơ hội được học hỏi những sáng sáng kiến hay, cách làm tốt. Những SKKN đạt loại A, B, C sẽ là những tài liệu hữu ích cho mỗi cán bộ, giáo viên, nhân viên trong ngành giáo dục.
Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện: 
Hằng năm gửi về hòm thư các trường những SKKN đạt giải, từ đó tạo ra một ngân hàng SKKN khổng lồ, nguồn kiến thức vô tận. Do ở phạm vi hẹp nên cán bộ, giáo viên, nhân viên trong huyện có cơ hội học hỏi trực tiếp, gián tiếp thông qua SKKN của đồng nghiệp, tạo nên phong trào nghiên cứu khoa học sôi nổi, rộng khắp trên toàn huyện. Đồng thời phê bình, nhắc nhở những cá nhân sao chép SKKN của người khác.
Đối với cốt cán chuyên môn trên toàn huyện: 
Tích cực trau dồi kiến thức chuyên môn, tham gia tích cực và có hiệu quả phong trào viết SKKN. Có ý kiến phản hồi về hướng mở rộng đề tài mà tác giải đã nêu trong phân cuối của mục 3.1.
TÀI LIỆ