SKKN Hướng dẫn học sinh Lớp 12 ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức đa biến

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT
****c d****
&
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC ĐA BIẾN.
Họ và tên tác giả: Nguyễn Minh Thu
Chức vụ: Giáo viên
Tổ chuyên môn: Toán – lí - Tin – Công nghệ
Đơn vị công tác: Trường THPT số 1 Bát Xát
Bát Xát, Ngày 7- 6 – 2014
MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ
3
PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
4
Chương I: Cơ sở lí luận
4
Kiến thức cơ bản
4
1. Các định nghĩa
4
 Định nghhĩa 1
4
 Định nghhĩa 2
4
 Định nghhĩa 3
4
2. Các tính chất
4
 Tính chất 1
 4
 Tính chất 2
4
 Tính chất 3
4
 Tính chất 4
4
 Tính chất 5
4
Một số dạng toán thường gặp
4
 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình.
4
 Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình.
6
 Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.
6
 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số
6
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
7
Chương II: Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn.
7
Điều tra qua học sinh.
7
Điều tra qua khảo sát tài liệu.
7
Chương III: Giải pháp
8
 Bài toán 1: ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình.
8
 Bài toán 2: ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình.
12
 Bài toán 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.
14
 Bài toán 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số
18 
 Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
23
PHẦN BA: KẾT LUẬN
29
TÀI LIỆU THAM KHẢO
30
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
PT
Phương trình
BPT
Bất phương trình
HPT
Hệ phương trình
HBPT
Hệ bất phương trình
BĐT
Bất đẳng thức
GTLN
Giá trị lớn nhất
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Như ta đã biết, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhở nhất của hàm số chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường (trong phân phối chương trình) hoặc có thể giải nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp.
	Giữa PT; BPT; HPT; HBPT; GTLN, GTNN của hàm số và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT; BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số. Vậy nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng tính đơn điệu để giải bài tập toán nói chung là rất lớn – là một hành trang cần thiết đối với những học sinh chuẩn bị ôn thi đại học và học sinh giỏi. Hơn nữa nó sẽ giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra lời giải nhanh nhất, chính xác nhất. Chính vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
 Đây là l vấn đề được rất nhiều người đề cập đến, nhưng trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh tôi thấy rằng những chuyên đề trước đây vẫn chưa thống kê được đầy đủ hết các mảng kiến thức ứng dụng tính đơn điệu (hay gọi tắt là phương pháp hàm số) xuyên suốt trong đề thi đại học. Trong phạm vi đề tài của mình tôi chỉ xin nêu ra một số bài toán mới và một số bài toán trong chương trình cũng như trong các đề thi mà đáp án được giải bằng phương pháp này. Tác giả mong muốn rằng các thầy cô giáo và các em học sinh với sáng kiến này có thêm một tài liệu trong hành trang ôn thi cuối cấp.
 	Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1. Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là đồng biến (tăng) trên đoạn ấy, nếu với mọi x1 < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta đều có f(x1) < f(x2).
Điều kiện để y = f(x) đồng biến trên [a ;b] là f’(x)0,[a ;b]. Đồng thời dấu ''='' đạt được tại một số điểm riêng biệt.
Định nghĩa 2. Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là nghịch biến (giảm) trên đoạn ấy, nếu với mọi x1 f(x2).
Điều kiện để y = f(x) nghịch biến trên [a ;b] là f’(x)0,[a ;b]. Đồng thời dấu ''='' đạt được tại một số điểm riêng biệt.
Định nghĩa 3. Hàm số y = f(x) chỉ tăng hoặc chỉ giảm trên đoạn [a;b] được gọi là đơn điệu trên đoạn ấy.
2. Một số tính chất.
 Tính chất 1: 
	Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D.
	Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
 Tính chất 2:
	 Cho phương trình f(x) = m xác định trên D.
	Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).
 Tính chất 3:
	 Cho phương trình f(x) = m xác định trên D
	Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm.
 Tính chất 4:
	 Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m )
	i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D (x0 ; + ) ( T = D (- ; x0 )) .
	ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0 D sao cho có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là:T = D (- ; x0 ) (T = D (x0 ; +) ).
 Tính chất 5:
	 Cho hàm số f(x) xác định trên D
	1. f(x) m , x D m 
	2. f(x) m , x D m 
	3. f(x) m có nghiệm x D m 
	4. f(x) m có nghiệm x D m 
	5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: 
 u > v , f(u) = f(v) u = v
 6. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu giảm trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: 
 u < v , f(u) = f(v) u = v
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Phương pháp : 
Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng (hoặc ) trong đó .
	Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng (hoặc )
	Bước 2: Xét hai hàm số trên D
	* Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D
	* Tính , xét dấu,kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D
	* Kết luận hai hàm số đơn điệu ngược nhau, hoặc 
 một trong hai hàm số là hàm số hằng.
	* Tìm sao cho (hoặc tìm sao cho )
	Bước 3: Kết luận:
	* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (hoặc rồi giải phương trình )
	* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng trong đó ,
	Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng 
	Bước 2: Xét hàm số trên D
	 * Tính , xét dấu y'
	 * Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D.
	Bước 3: Kết luận:
	 * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi , giải PT : 
	 * Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình
Phương pháp : 
Dạng 1: BPT biến đổi về dạng (hoặc ) trong đó .
	Bước 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng (hoặc )
	Bước 2: Xét hai hàm số trên D
	* Tính , xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D
	* Tính ,xét dấu, kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D
	* Tìm sao cho (hoặc tìm sao cho )
	* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì
 (hoặc ) 
 * Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì
 (hoặc )
	Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho
Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng trong đó ,
	Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng 
	Bước 2: Xét hàm số trên D
	* Tính , xét dấu y'. Kết luận hàm số đơn điệu trên D.
 * Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: 
 Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: 
	Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho.
3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình. (dựa vào hai bài toán trên giải từng phương trình hoặc bất phương trình của hệ rồi kết hợp với nhau được hệ đơn giản hơn).
4. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để biện luận phương trình.
*) Chú ý: Phương pháp chung của dạng bài tập này
	- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.
	- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x) m; hoặc f(x) m ).
Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.
5. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (a, b)
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên :
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ Bước 2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
DẠNG 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a,b]
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
Bước 1: Tìm các gía trị xi (i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định .
Bước 2: Tính 
Bước 3: GTLN = max{} 
	 GTNN = min{}
CHƯƠNG II: KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TIỄN
1. Điều tra học sinh
Qua khảo sát thực tiễn ( cụ thể là qua học sinh lớp 12A1; 12A6 trường thpt số 1 Bát Xát ) tôi thấy các em học sinh ban đầu gặp nhiều khó khăn và thông thường là không thích phương pháp này vì học sinh mới tiếp cận phương pháp ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số do vậy các em chưa biết cách xây dựng một hàm số thích hợp để nghiên cứu tính đồng biến và nghịch biến của nó trên tập xác định. Hơn nữa nhiều trường hợp có thể phát hiện hàm số ngay từ đầu, còn trong các trường hợp khác cần có sự khôn khéo để phát hiện ra chúng nên các em thấy “ không tự nhiên” trong lời giải và điều quan trọng nữa là việc nhẩm nghiệm để tìm ra nghiệm duy nhất cũng là một vấn đề nan giải đối với học sinh.
Sau một thời gian các em đã nắm chắc được bài toán khảo sát hàm số, qua đợt ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học vừa qua tôi thấy các em đã dần dần tiếp thu và cảm thấy húng thú trong việc tìm ra lời giải bằng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu vào giải toán.
2. Điều tra, khảo sát tài liệu.
Những bài toán thường gặp ở chương trình phổ thông.
+ Giải phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, phương trình chứa tham số...
+ Giải bất phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, bất phương trình chứa tham số...
+ Hệ phương trình.
+ Hệ bất phương trình
+ Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, chứng minh bất đẳng thức.
Qua việc khảo sát và điều tra ở trên tôi thấy việc đưa ra phương pháp ứng dụng tính đơn điệu để giải toán là rất cần thiết để giải được bài toán giải PT, BPT, HPT, HBPT, GTLN, GTNN – những dạng toán dễ dàng bắt gặp trong các kì thi tốt nghiệp, đại học và học sinh giỏi (đặc biệt trong kì thi đại học và học sinh giỏi). Tôi không tham vọng mọi học sinh đều có thể áp dụng thành thạo với phương pháp này để quyết được triệt để các dạng toán mà chỉ hi vọng các em có thêm một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán vừa sức với bản thân. 
Do thời gian hạn chế tôi chỉ trình bày mỗi dạng toán một số ví dụ điển hình đưa ra cách tư duy để ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải bài toán PT, BPT, HPT, HBPT, Tìm GTLN, GTNN chứ chưa thống kê và đưa ra được hết các ví dụ về các bài toán còn ứng dụng tính đơn điệu như chứng minh bất đẳng thức; tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng đã chỉ ra hay bài toán tương giao của hai đường trong câu hỏi phụ của bài toán khảo sat hàm số. 
CHƯƠNG III: GIẢI PHÁP
Bài toán 1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: (1)
	Giải:
 	Điều kiện xác định: 
 Xét hàm số: 
Đạo hàm :
Do đó hàm số đồng biến trên (2; ), vậy phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khác ta có: f(3) = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Nhận xét:
Ta dễ dàng tính nhẩm và đánh giá được đạo hàm của vế phải phương trình (1) dương. Do vậy ta sẽ giải được bài toán theo phương pháp hàm số.
Nếu không sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này theo phương pháp bình phương hai vế bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn rất nhiều.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
 (2)
Giải:
Điều kiện: 
(2) 
Xét hàm số: f(t) = ,với 
f’(t) = 
Hàm số đồng biến trên , 
do đó (2) (tm đk).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét:
Ta có thể chọn hàm số f(t) = , với cũng được kết quả tương tự. Do vậy việc chọn hàm số nào để giải toán là tùy thuộc vào từng đối tượng học sinh. Điều học sinh thấy không tự nhiên ở đay là làm sao biết để chuyến vế biến đổi được PT? Mấu chốt của bài toán này là hai căn ở vế phải ta tìm cách biến đổi biểu thức trong căn ở vế trái để được biểu thức giống biểu thức bên vế phải.
Chú ý khi áp dụng tính chất f(u)=f(v) u = v . phải sử dụng dấu suy ra không được sử dụng dấu tương đương.
Bài toán này có thể giải bằng phương pháp tương đương bằng cách nhân liên hợp đối với hai căn ở hai vế, đưa về phương trình tích, nhưng gặp khó khăn khi chứng minh phương trình vô tỷ còn lại vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt với x > 1
 f(x) là hàm số đồng biến trên (1; +) nên PT f(x) = 0 nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm x > 1.
Mặt khác: nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải: 
Điều kiện của phương trình (*)
Xét 
 g(x) là hàm số đồng biến trên 
Mặt khác: g(1) = 0. Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình: 
Giải:
Phương trình (1) được viết lại 
Xét 
 hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: 
Ví dụ 6: Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: 
Viết lại phương trình dưới dạng : (1)
Xét hàm số: với t > 0
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng . 
Khi đó: phương trình (1) 
Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 và x=4.
Ví dụ 7: Giải phương trình: 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (7)
Giải:
Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như các ví dụ trên mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.
	TXĐ: D = 
	Trên D PT (7) ( do > e > 0 )
Đặt t = với t > e, thì phương trình trên trở thành: 
Xét hàm số: , với t > e
	Ta có e
Từ đó, vế trái của phương trình f (t) = là hàm nghịch biến t > e; vế phải là hằng số. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Mặt khác Phương trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8
Với t = 8 ta có x = ; x = 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ; x = 
Ví dụ 8: Giải phương trình: (8)
Giải:
Tương tự như ví dụ trên đối với phương trình này ta cũng cần biến đổi để xuất hiện hàm số cần xét.
TXĐ: D = 
 (8) 
Xét hàm số với t 
	t f(t) là hàm số đồng biến trên 
Mặt khác (8) f(x - 1) = f(x2 - x) x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Nhận xét: Trong nhiều trường hợp ta giải PT: f’(x) = 0 có 1 nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) và f’’(x) > 0 (hoặc f”(x) < 0) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm sẽ có tối đa hai nghiệm. (giáo viên vẽ hình minh họa cho học sinh dễ tư duy).
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 2x + 3x = 3x + 2	b. 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải phương trình sau: 
1. 
2. 2x + 3x = 3x + 2
3. 
4. 
5. 
6. log5(2x + 1) = log3(x+1)
7. 
8. 
9. 
Bài toán 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: (1)
Giải:
	Điều kiện: x 	
Xét hàm số: f(x) = với x D
Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f’(x) > 0 x (2;4))
Lại có: f(3) = 3; do đó, kết hợp với điều kiện. Vậy tập nghiệm là: T = ( 3 ; +) = 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: (2)
	Giải:
	Điều kiện: x 
BPT (2) 
Xét hàm số : là hàm số đồng biến trên .
Khi đó : (2) 
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: (3)
Giải 
Điều kiện xác định của bất phương trình là 
Bất phương trình được viết lại thành 
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: 
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: (4)
Giải:
Điều kiện : x>-1
Các hàm số và là các hàm số đồng biến trên khoảng , nên hàm số là hàm số đồng biến trên khoảng .
Mặt khác vậy (1) .
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: (5)
Giải:
Điều kiện: . Vậy TXĐ: D = 
(5) 
Xét hàm số , thấy ngay hàm số đồng biến trên D. 
Vậy trên D; (2) 
 x = 1 hoặc x 3.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 1 và x 3.
Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 	(6)	 (Đề thi HSG cấp tỉnh Lào Cai năm 2012-2013)
Giải. Điều kiện: 
Biến đổi bất phương trình(6)
Xét hàm số . Ta thấy hàm số đồng biến trên 
Từ 
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (9) là .
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Bài toán 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Giải: 
Điều kiện xác định của hệ phương trình 
Xét hàm số 
 f(t) là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 
Mặt khác: 
Ta được hệ phương trình như sau 
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm .
Nhận xét: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 
Giải: 
điều kiện : 
Xét hàm số: , t 0, ta thấy f’(t) > 0, t > 0, do vậy hàm số f(t) đồng biến trên 
Thay vào (2.2) ta có: 
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Giải: 
Điều kiện xác định của hệ phương trình 
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình 
Xét hàm số trên (-3; 10) 
 f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
Ta được hệ phương trình như sau 
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 	 
Giải:
Điều kiện . Hệ đã cho trở thành: 
Xét hàm số: 
	 . Suy ra hàm số đồng biến trên .
Vậy trên , phương trình (4) được viết dưới dạng .
Hệ đã cho trở thành 
Giải (4.1): Ta đoán được x=1 là một nghiệm của (4.1), mặt khác dễ nhận thấy phương trình (4.1) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến.
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (4.1), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau . 	 (I)
Giải 
Điều kiện: .
Ta có (I) 
Từ phương trình : 	 (I’)
Ta thấy hàm số là hàm đồng biến trên 
Xét hàm số với miền xác định 
Ta thấy nên hàm số nghich biến trên D.
Từ (I’) ta thấy là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm .
Nhận xét: Ví dụ 5 giúp cho học sinh khỏi nhầm lẫn là khi giải hệ lúc nào cũng đưa được về dạng f(u) = f(v) u = v để thế.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau: (I)
	(ĐH 2012A).
Giải:
Hệ (I) 
Đặt: 
hệ thành 
do nên , khi đó
Xét hàm số: 
có , Hàm số f(t) nghịch biến trên [-1; 1],
Với v=0 ta có u = 1 Với v = -1 ta có u = 0
Hệ có nghiệm là: 
Nhận xét: Ví dụ này đã khó hơn rất nhiều,yêu cầu học sinh phải tư duy cao hơn vì hàm số không thể thấy ngay được từ đề bài mà còn phải biến đổi thông qua một phép đặt ẩn phụ. Và miền xác định cũng phải nhận xét từ phương trình thứ hai. Do vậy cần nhấn mạnh cho học sinh sau khi xác định hàm số cần tìm ngay miền xác định của hàm.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: (5)	 
(hệ hoán vị vòng quanh)
Giải
Xét hàm số 
Lúc đó hệ có dạng: . Miền xác định: 
Ta thấy nên hàm số đồng biến trên 
Ta giả sử là nghiệm của hệ và khi đó ta suy ra:
. Vậy . 
Thay vào hệ ta có:
 (5.1)
Ta thấy là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy hệ có nghiệm 
Ví dụ 8: Giải hệ bất phương trình sau: 
Giải:
Giải (6.