SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 1 sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
 	Người thực hiện	: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ	: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực 	: Toán học
THANH HOÁ, NĂM 2019
MỤC LỤC
Mục
Nội dung
Trang
1. Mở đầu
1.1
Lý do chọn đề tài
2
1.2
Mục đích nghiên cứu
2
1.3
Đối tượng nghiên cứu
2
1.4
Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
Cơ sở lí luận:
3
2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
3
2.3
Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề
4
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
14
3. Kết luận, kiến nghị
3.1
Kết luận
14
3.2
Kiến nghị
14
1 – MỞ ĐẦU:
 	1.1 Lý do chọn đề tài:
 	Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 3 với hình thức thi trắc nghiệm.
 	Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải.
 Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng toán khó và xuất hiện thường xuyên. Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dục đào tạo: “Cho số phức thoả mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất” đã làm giáo viên và học sinh khá đau đầu.
Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận dạng và làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểm quan trọng để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác . Và đã viết thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 1 sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức”
 	1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 	Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 	Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia. 
 	1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
 	Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? Có giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
 	Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất. 
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 	2.1. Cơ sở lí luận: 
 	Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
a)Biểu diễn hình học của số phức
	Mỗi số phức được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là một điểm . Khi đó: 	
	+) Môđun của số phức z bằng .
	+) Hai điểm biểu diễn của số phức z và số phức liên hợp của số phức z đối xứng nhau qua trục hoành.
	+) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức đối - z của số phức z đối xứng nhau qua gốc O.
Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của phép cộng, phép trừ hai số phức). 
Cho là số phức có điểm biểu diễn hình học là với . Cho là số phức có điểm biểu diễn hình học là M1(x2;y2) với . Khi đó:
Tổng hai số phức thì điểm Q là điểm biểu diễn số phức z1 + z2 và z1 + z2 = |OQ|. 
Hiệu hai số phức thì biểu diễn số phức và .
Nếu hai vecto và không cùng phương thì đỉnh Q là đỉnh của hình bình hành OM1QM2 và và lần lượt là độ dài hai đường chéo M1M2 và OQ của hình bình hành đó.
Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).
+)Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0. 
+) Phương trình đưòng tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
+) Phương trình Elip : 
+) Phương trình Parabol y = ax2
b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b.
+) . Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực của đoạn AB.
+) |z - a| = R |MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán kính R.
+) |z - a| + |z - b| = k MA + MB = k (k>0, k ÎR, |a - b| < k). Khi đó tập hợp 
M là đưòng Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 	Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
 	Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác. 
 	Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau: 
Năm
Lớp
Sĩ số
Số học sinh trả lời chính xác
Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1p
2017- 2018
12T3
48
20
10
 	Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
 	2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm tuần tự các bước giải tự luận như đã học, Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp hình học giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi đưa ra một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọn nhất:
2.3.1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
Bài toán 1 : (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017). Cho số phức z thoả mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i)z + i là đưòng tròn tâm I bán kính R khi đó:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải .
Từ giả thiết 
 .
Giả sử: thì ta có .
Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I(0;1) bán kính 
Đáp án đúng là A.
Bài toán 2: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2018 lần 1 của trường THPT Trần Phú - Quảng Ninh). Cho số phức z thoả mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A.Một Parabol	 B. Một đưòng tròn	
C.Một Elip	 D.Một đưòng thẳng.
Lời giải: Giả sử suy ra . Từ giả thiết ta có: 
Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là một Parabol.
Đáp án đúng là A.
Bài toán 3 : (Toán học tuổi trẻ, 478(2017)). Cho tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn trên mặt phẳng toạ độ là:
A. Một Parabol	B.Một đưòng tròn	C.Một Elip	 D. Một đưòng thẳng.
Lời giải: Gọi số phức . Từ giả thiết ta có 
 với 
Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là Một Elip. Đáp án đúng là C.
Bài toán 4 : Điểm M biểu diễn số phức và điểm M’ biểu diễn số phức . Nếu điểm M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính thì M’ di động trên đường nào?
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Ta có: . Do đó 
Vì M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính nên tập hợp M thuộc 
Do đó điểm M’ chạy trên đường thẳng . Đáp án đúng là C.
Bài toán 5 Biết số phức z thoả mãn điều kiện . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng:
A. 16p
B. 4p
C. 9p
D. 25p
Lời giải: Đặt ta có . Do đó 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm I(1;3) với bán kính bằng r = 5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I(1;3) với bán kính r = 3. Diện tích của hình phẳng đó là . Đáp án đúng là A.
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = 3 - 2i + (2 - i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. 20
B. 
C. 7
D. 
Bài 2: Cho các số phức z thoả mãn |z - 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r=4
B. r=5
C. r=20
D. r=22
Bài 3: Điểm biểu diễn số phức có toạ độ là:
A. (0;5)
B. (4;-3)
C.(-4;3)
D. (5;0)
Bài 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn điều kiện |z - i| = 1 là:
A. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
B. Hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
C. Đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1
D. Đường tròn tâm I(0;-1) bán kính R=1.
Bài 5:Toạ độ điểm M biểu diễn trong mặt phẳng Oxy của số phức 
A. M(11; - 3)
B. M(11; 3)
C. M(11;3)
D. M(3;11)
Bài 6: Cho số phức z thoả mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là:
A. Một parabol
B. Một đường tròn
C. Một Elip
D. Một đường thẳng
Bài 7 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I. Tìm tất cả các giá trị m để khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng bằng .
A. m = -7; m = 9
B. m = 8; m = - 8
C. m = 7; m = 9
D. m = 8; m = 9
Bài 8 : Cho điểm A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn của ba số phức phân biệt thoả mãn |z1|=|z2|=|z3|=1 và z1 + z2 + z3= 0. Tính diện tích S tam giác ABC.
2.3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
Bài toán 1 : Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là:
	A. 	B. 5	C. 	D. 
Lời giải: Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính 
Đáp án đúng là C.
Bài toán 2: Nếu các số phức thỏa mãn thì có giá trị lớn nhất bằng:
	A. 4.	B. 3.	C. 7	D. 6.
Lời giải: Ta có: 
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính 
Vậy Đáp án đúng là D.
Bài toán 3 : Trong số phức thỏa mãn , số phức có nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu?
	A. 4.	B. 0.	C. 3.	D. 2.
Lời giải:
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính 
Vì nên số phức có môđun nhỏ nhất là ứng với điểm 
 Đáp án đúng là D.
Bài toán 4: (Câu 46 Đề thi mẫu THPTQG của Bộ giáo dục năm 2018). Cho số phức z = a + bi thoả mãn điều kiện . Tính giá trị biểu thức P = a + b khi
|z + 1 - 3i|+|z - 1 + i| đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10
B. P = 4
C. P = 6
D. P = 8
Lời giải:
Với z = a + bi ta có . Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(4;3) và bán kính . Khi đó T = |z + 1 - 3i| + |z - 1 + i|. 
T = |(a + 1) + (b - 3)i| + |(a - 1) + (b + 1)i| T = MA + MB với A(-1; 3); 
B(1; -1). Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường tròn tâm I(4;3) và bán kính .
Ta tính được suy ra điểm A, B nằm ngoài đường tròn tâm I.
Mặt khác T2 = (MA + MB)2 ≤ (1 + 1)(MA2 + MB2) = 4DM2 + AB2 ≤ 4DK2 + AB2 (Với D là trung điểm đoạn thẳng AB)
Dấu bằng xảy ra khi M º K D, I, K thẳng hàng.
Tìm toạ độ K. Ta có 
Suy ra 
Với M(a;b) thì a=6 và b=4. Do giá trị lớn nhất của biểu thức T2 là 4DK2 + AB2 khi và chỉ khi M(4;6). Suy ra P=10. Đáp án đúng là A.
Bài toán 5: ( Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa - Hà Nội năm 2018)
Cho số phức z thoả mãn điều kiện . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Với z = x + yi ta có |z - 2i| = |z + 2| x + y = 0 . Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường thẳng x + y = 0. Khi đó .
 với 
Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường thẳng ∆ :x + y = 0 với 
f(x;y) =x+y, ta có f(0;-2).f(5;-9) = 8> 0, suy ra A, B nằm cùng phía với đường thẳng ∆. Gọi điểm C đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆ thì P = MA + MB = MC + MB ≥ BC. Dấu bằng xảy ra khi C,M1, B thẳng hàng.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là .
Đáp án đúng là A
 	Bài toán 6:(Đề thi thử THPT Quốc gia của trường THPT chuyên Lào Cai năm 2018). Cho số phức z thoả mãn điều kiện . Giả sử số phức có môđun nhỏ nhất có dạng P= a + b. Khi đó bằng bao nhiêu?
A. 
B.
C. 
D. 
Lời giải: Với z = a + bi ta có hay M nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0.
Số phức z có môđun nhỏ nhất có độ dài ngắn nhất, mà OM≥OH (với H là chân đường vuông góc của gốc toạ độ O trên đường thẳng d) nên OM ngắn nhất khi MºH. Ta đi tìm toạ độ điểm H(a;b), vì H nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0 hay toạ độ , suy ra . Đáp án đúng là B
Bài toán 7: (Đề thi thử THPTQG của trường đại học Vinh khối chuyên năm 2018). Cho số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện |iz + - i| = 1 và |z1 - z2|=2. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z1|+|z2| bằng:
A. 4
B. 
C. 
D. 3
Lời giải: Từ giả thiết ta có và M1M2 = 2. Với các điểm M1, M2 biểu diễn hai số phức z1,z2 trên mặt phẳng phức thoả mãn hai hệ thức trên nên M1, M2 nằm trên đường tròn tâm bán kính và M1M2 đi qua tâm I của đường tròn. Khi đó P = |z1|+|z2|=OM1 + OM2 . Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác OM1M2 ta có:
Mặt khác 
Suy ra P≤4. Đáp án đúng là A
Bài toán 8 : (Toán học tuổi trẻ số 491 năm 2018). Cho số phức z thoả mãn điều kiện . Khi đó số phức có môđun lớn nhất |w|max bằng:
A. 20
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Từ giả thiết ta có . Điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng nằm trên đường tròn tâm I(1;-2) bán kính .
Khi đó với A(-1;1). Mà MA≤M1A nên |w|max bằng khi MºM1. Đáp án đúng là B
Bài toán 9: (Toán học tuổi trẻ số 491 năm 2018)
Cho hai số phức z1, z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện và 
sao cho |z1 - z2| là lớn nhất. Khi đó giá trị của
 |z1 + z2|bằng:
A. 
B. 
C. 2
D. 10
Lời giải: Gọi điểm M1, M2 biểu diễn số phức z1,z2 trên mặt phẳng thì |z1 - z2| = M1M1, mà theo giả thiết hai số phức z1,z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện và .
Nên toạ độ M1, M2 là giao điểm của đường tròn và đường thẳng 
Vậy |M1M2| lớn nhất khi M1M2 đi qua tâm I(1;0). Hay |z1 + z2|=2OI =2. 
Đáp án đúng là C
Bài toán 10: (Đề minh hoạ THPTQG năm 2017). Xét số phức z thoả mãn . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z-1+i|. Tính P=m + M.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z. Các điểm A(-2;1), B(4,7); C(1;-1) . Ta có , mà 
 Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = x + 3 , với ; , 
vậy . Chọn đáp án B.
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
A. 
B. 2
C. 1
D. 
Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b Î R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có môđun nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2. .
A. M=10
B. M= 16
C. M= 26
D. M=8
Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = |z|.
A. Pmax = 12
B. Pmax = 5
C. Pmax = 9
D. Pmax = 3
Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i|. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B.z= -2+i
C. z = 2+2i 
D. z= 3+2i
Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z.
A. 
B.
C. z=2
D. 
Bài 6 : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z-2i|. Tìm số phức z có môđun bé nhất.
A. z= 2+i
B. z = 3+I 
C. z = 2+2i 
D. z = 1+3i 
Bài 7 : Cho số phức . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để |z + 1| ≤ k .
A. 
B. k = 0
C. 
D. k = 1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 
 	Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinh các lớp kết quả như sau:
Năm
Lớp
Sĩ số
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh trả lời chính xác
Số học sinh trả lời chính xác trong
30s – 1p
Số học sinh trả lời chính xác
Số học sinh trả lời chính xác trong
30s – 1p
2017-2018
12T3
48
20
10
42
35
3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ:
 	3.1. Kết luận: 
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán lớp 12T3, trường THPT Quảng Xương 1, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm một cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và tự đặt ra câu hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính xác và hiệu quả nhất. 
 	3.2. Kiến nghị: 
 	- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần số phức và nhất là khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc trưng của các hàm số.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2019 
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Thị Phương Thảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12
[2]. Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ, Tạp chí toán học tuổi trẻ.
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác giả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Các bài thi Olympic toán Trung học phổ thông Việt Nam, Nhà xuất bản giáo dục 2006.