SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải một số bài toán hình học nâng cao có tính ứng dụng thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC NÂNG CAO CÓ TÍNH 
 ỨNG DỤNG THỰC TIỄN.
 Người thực hiện: Lê Thị Lịch
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA, NĂM 2017
 MỤC LỤC.	
 Nội dung 
 Trang 
1.Lí do chọn đề tài: 
1-2
1.2.Mục đích nghiên cứu: 
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
3
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm. 
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.1.1. Những quan điểm về vấn đề xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
3
2.1.2. Việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển Chương trình, sách giáo khoa hiện hành. 
3
2.1.3. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn cần được triệt để khai 
thác ở những chủ đề có nhiều tiềm năng. 
3-4
2.1.4. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực 
tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh
 thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của Toán học hiện đại. 
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
2.3. Hướng dẫn học sinh giải giải một số bài toán hình học nâng cao có tính ứng dụng thực tiễn trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia. 
4
2.3.1. Các bài tập có hướng dẫn giải.
5
Ví dụ 1. 
5
Ví dụ 2. 
6
Ví dụ 3. 
6-7
Ví dụ 4. 
7-8
Ví dụ 5. 
8-9
Ví dụ 6. 
9-10
Ví dụ 7. 
10-11
Ví dụ 8 
11-12
Ví dụ 9. 
12-13
Ví dụ 10. 
13-14
Ví dụ 11. 
14-15
2.3.2. Các bài tập tự luyện. 
15
Bài 1
15
Bài 2 ,bài 3, bài 4
16
Bài 5.
17
2.4. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm.
17-18
3. Kết luận
19
3.1. Kết luận.
19-20
3.2. Kiến nghị.
20
Tài liệu tham khảo.
21
Các sáng kiến kinh nghiệm đã được Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hóa xếp loại.
22
1. Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.1.1.Lí do chủ quan: Tôi còn nhớ rất rõ về những kỷ niệm của mình với người cha quá cố mà tôi và gia đình vô cùng yêu quý và kính trọng. Những kỷ niệm đó luôn thôi thúc, nhắc nhở và là động lực cho tôi làm tốt rất nhiều công việc của mình. Tôi vẫn còn nhớ như in cách đây 28 năm, lúc đó tôi 8 tuổi. Hôm đó bố tôi có nhờ mấy bác thợ xây cho gia đình tôi một cái bể để đựng nước mưa. Tôi nghe bố tôi nói với mẹ tôi là xây bể đựng được 2 mét khối. Nghe bố tôi nói thế tôi liền hỏi: Bố ơi mét khối là gì hả bố? Làm sao mà các bác thợ xây hết nhiều gạch thế ạ? Thế thì bố lấy đâu ra tiền mà mua gạch? Bố hết tiền thì làm gì có tiền mua thức ăn cho con? Tôi hỏi liên tiếp không để bố kịp trả lời. Nghe xong bố tôi cười tươi và nhìn tôi bố nói: Con không phải lo không có thức ăn nhé, nhà mình nghèo và đông con nhưng bố mẹ cũng sẽ lo cho con không bị đói. Con hãy cố gắng học thật giỏi thì sau này con sẽ biết mét khối là gì và con sẽ thiết kế cho nhà mình một cái bể đựng nước đựng được 2 mét khối nhưng mà tốn ít tiền để mua gạch con nhé. Tôi cũng cười tươi trả lời vâng ạ, rồi chạy theo mấy đứa bạn đi chơi. 
 Thế rồi khi tôi lớn lên đi học cấp ba tôi được học những kiến thức liên quan đến môn hình học không gian thì tôi đã biết và giải được bài toán mà bố tôi đã hỏi. Nhưng ngày đó tôi cũng không nhắc lại với bố tôi vì tôi nghĩ những câu chuyện của trẻ con ấy mà. Sau đó tôi đi học đại học sư phạm và cho đến ngày tôi đi dạy được một năm thì vào dịp nghỉ hè năm đó tôi về nghỉ hè thì một hôm bố tôi hỏi: Con có nhớ khi con còn nhỏ bố có nhờ con việc gì không? Tôi nhớ mãi mới ra câu chuyện đó và nhắc lại cho bố nghe. Tôi nói thế thì bây giờ con làm được lời hứa năm xưa mà con đã hứa bố ạ. Bố tôi cười tươi nói: Con à ,bây giờ con đã là giáo viên rồi con nên dạy cho các em các bài toán như bố đã hỏi con ngày trước. Bố thấy nhiều thanh niên bây giờ đã tốt nghiệp cấp ba mà kiến thức về cuộc sống quá ít, chẳng biết vận dụng các kiến thức đã học vào trong cuộc sống. Các cháu chỉ học lý thuyết một cách sáo rỗng. Tôi tươi cười bảo: Bố ơi, các em chỉ học các kiến thức trên sách vở để các em thi đậu Đại học, còn các kiến thức về thực tế con có dạy bây giờ các em cũng không học, để sau này các em học sau. Bố tôi nghe nói vậy không đồng ý với quan điểm của tôi. Tôi biết những điều bố tôi nói là đúng nên tôi hứa với bố là sẽ thực hiện.
 Ngày tôi đi học cao học thì tôi lại càng hiểu rõ hơn về ứng dụng của Toán học trong thực tiễn. Năm học 2016-2017 Bộ Giáo Dục có thay đổi cách thi bằng hình thức thi trắc nghiệm. Tôi thấy có nhiều bài thi liên quan đến kiến thức thực tiễn thì tôi mừng vô cùng. Tôi mừng vì tôi có điều kiện thực hiện những lời nhắn nhủ mà bố tôi đã dặn. Đặc biệt hơn là giúp các em có thêm nhiều kiến thức về thức tế cuộc sống và vận dụng những kiến thức đã học vào cuộc sống để sau này các em sẽ trưởng thành hơn và có kỹ năng sống cao hơn. 
1.1.2. Lí do khách quan: Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn....”[10]. Trước bối cảnh mà toàn ngành giáo dục nước ta đang chuẩn bị cho quá trình đổi mới toàn diện chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông sau năm 2015, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo chủ trương cần thiết phải đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học. Đất nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế sâu rộng, trong sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnh vực giữa các quốc gia trên thế giới. Xu thế chung của thế giới khi bước vào thế kỉ XXI là các nước tiến hành đổi mới mạnh mẽ và cải cách giáo dục[11].
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất nước. Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội [11]
Đối với môn học xã hội thì các ứng dụng thực tế là rất dễ thấy. Học môn địa lý thì các em có thể hiểu vì sao có các hiện tượng ngày, đêm, mưa , gió... vì vậy rất dễ lôi cuốn sự hứng thú của học sinh. Ngược lại môn toán thì sao? Có lẽ ai đã từng hoc toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản như cộng , trừ nhân chia ...thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh. Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh. Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa xôi, học chỉ là học mà thôi. Học sinh học toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi cử. Hình như ngoài điều đó ra các em không biết học toán để làm gì.Vì vậy họ có quyền nghi ngờ rằng liệu toán học có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?[3] 
Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất rõ trong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi. Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế [4]
Xuất phát từ những lí do chủ quan của bản thân và tính tất yếu về yêu cầu thực tiễn của đổi mói giáo dục. Chính vì lẽ đó mà tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Lê Lợi giải một số bài toán hình học nâng cao có tính ứng dụng thực tiễn ”.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Trên thực tế thì hàng năm trên toàn quốc nói chung và trường trung học phổ thông Lê Lợi nói riêng có rất nhiều học sinh khi tốt nghiệp trung học phổ thông mà gần như các em không biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Các em gần như chỉ biết kiến thức trên sách vở mà không biết chúng đươc ứng dụng như thế nào. Đặc biệt là trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc gia, Bộ Giáo Dục đã có ra cấu trúc đề thi trong đó có các bài toán có tính ứng dụng thực tế thì nhiều em thấy rất khó vì các em vừa thấy lạ và phải kết hợp, tổng hợp các kiến thức của nhiều môn và cả hiểu biết về cuộc sống. Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn các em học sinh giải một số bài toán có tính ứng dụng thực tiễn phù hợp với điều kiện giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam. Góp phần cải tiến nội dung và công cụ kiểm tra đánh giá làm cho học sinh có hứng thú, say mê học tập môn toán và đáp ứng một phần câu hỏi khó trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu. Trong nhà trường phổ thông kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia là một nhiệm vụ quan trọng đối với học sinh và các thầy cô giáo cũng như tập thể nhà trường. Nhiệm vụ quan trọng này được các em học sinh lớp 12 quyết tâm nổ lực phấn đấu và rèn luyện để đạt kết quả tốt nhất. Kết quả này phụ thuộc rất lớn vào sự nổ lực phấn đấu của các em học sinh và quá trình giảng dạy của các thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cô dạy lớp 12. Chính vì vậy đề tài này của tôi tập trung nghiên cứu hướng dẫn các em học sinh lớp 12 của trường THPT Lê Lợi giải một số bài toán hình học nâng cao có ứng dụng thực tiễn trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
Nghiên cứu các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài như: Sách, báo, các phương tiện truyền thông.
1.4.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
-Phương pháp thống kê sử lí số liệu.
-Phương pháp thực nghiệm sư phạm
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Những quan điểm về vấn đề xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
 Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được xác định dựa trên cơ sở những mục đích chung của giáo dục Toán học, có chú ý đến những đặc điểm cụ thể của Hệ thống. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn liên quan chặt chẽ, phụ thuộc và phục vụ cho việc thực hiện các mục đích dạy học Toán ở nhà trường. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trường trung học phổ thông [12]
2.1.2. Việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển Chương trình, sách giáo khoa hiện hành.
 Chương trình và sách giáo khoa môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện Toán học cũng như về phương diện sư phạm, nó đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn Quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới, phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nhà trường nước ta [1]
 2.1.3. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn cần được triệt để khai thác ở những chủ đề có nhiều tiềm năng.
 Việc xây dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn không phải ở chủ đề nào cũng có thể thực hiện một cách khả thi và có hiệu quả. Nó phụ thuộc vào ngay chính bản thân của chủ đề, kiến thức có trong chủ đề (có những chủ đề có thể khai thác được nhiều bài tập ở nhiều lĩnh vực trong đời sống thực tiễn, chẳng hạn: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình bậc hai một ẩn... Tuy nhiên cũng có những chủ đề rất khó khai thác những bài toán có nội dung thực tiễn phù hợp trong giảng dạy). Những tình huống thực tiễn xung quanh chúng ta phong phú và đa dạng, có nhiều vấn đề đặt ra cần phải giải quyết , tuy nhiên đối với học sinh phổ thông những vấn đề quen thuộc, gần gũi chỉ phù hợp với với một số chủ đề kiến thức đã học [12]
 2.1.4. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của Toán học hiện đại [5]
 Môn Toán trong nhà trường phổ thông bao gồm những nội dung quan trọng, cơ bản, cần thiết được lựa chọn trong khoa học Toán học xuất phát từ mục tiêu đào tạo của nhà trường và phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, đồng thời phù hợp với thực tiễn giáo dục - xã hội của đất nước. Những nội dung đó không những phải phản ánh được tinh thần, quan điểm, phương pháp mà còn phải phản ánh được xu thế phát triển của khoa học Toán học hiện nay, mà một trong những hướng chủ yếu của nó là ứng dụng [1]
 Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên xa rời với thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào" [5]
 Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện Nguyên tắc kết hợp lý luận với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong những năm gần đây do các đề thi môn Toán là ra theo cấu trúc của thi tự luận. Do đó trong sách giáo khoa và trong các đề thi của các kỳ thi, cũng như hệ thống bài tập của các thầy cô còn có một số hạn chế sau:
 -Những dạng bài tập liên quan đến những vấn đề thực tế của cá nhân và cộng đồng, những dạng bài tập phát huy năng lực, tư duy khoa học của học sinh đã được sử dụng nhưng còn rất hạn chế trong kiểm tra - đánh giá học sinh.
 -Chưa khai thác triệt để các ứng dụng của toán học trong thực tế và các vấn đề thực tiễn có liên quan đến kiến thức toán học vào nội dung bài tập nên tính thực tiễn của môn học chưa cao.
- Giáo viên ít để ý đến ý kiến cá nhân học sinh, học sinh lĩnh hội kiến thức còn bị động, phụ thuộc nhiều vào giáo viên.
2.3. Hướng dẫn giải một số bài toán hình học nâng cao có tính ứng dụng thực tiễn trong kỳ thi tốt nghiệptrung học phổ thông Quốc Gia.
Xuất phát từ những lý do đã trình bày ở trên, tôi xin đưa ra một số ví dụ. Cụ thể như sau:
2.3.1. Các bài tập có hướng dẫn giải:
VÍ DỤ 1: Một nhà sản xuất bột ăn dặm trẻ em cần thiết kế bao bì mới của nhà máy có thể tích 1dm3.Biết bao bì dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Xác định cạnh cạnh của hình vuông để chi phí để mua nguyên vật liệu làm bao bì là ít nhất. A. 2 dm. B. 1dm C. 1,3 dm D. 1,1 dm
 Hình 1. Hộp đựng bột ăn dặm trẻ em
Hướng dẫn giải:
Giáo viên cần yêu cầu học sinh phải nắm được:
-Để chi phí mua nguyên vật liệu là ít nhất có nghĩa là diện tích toàn phần là nhỏ nhất. Do đó cần phải nhớ công thức tính diện toàn phần và cần xác định những yếu tố có trong công thức.
-Cho thể tích 1dm3 để nhằm mục đích rút được mối liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của khối hộp chữ nhật.
-Tính diện tích toàn phần, chuyển về một hàm theo biến là độ dài cạnh hình vuông để tìm cạnh hình vuông để diện tích toàn phần là nhỏ nhất.
Lời giải: Gọi cạnh hình vuông là x (dm), chiều cao hình hộp là h(dm)
Thể tích: . Từ đó, ta có:V = hx2 = 1 
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất.
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là xảy ra khi:
.
Vậy hình vuông có cạnh là 1dm. Chọn đáp án B.
Bài toán trên là bài toán ngược so với bài toán cho biết cạnh đáy và chiều cao và yêu cầu tính diện tích toàn phần hoặc thể tích. Hơn nữa nó có liên quan đến ứng dụng thực tế nên khi dạy giáo viên cần tùy theo từng đối tượng học sinh mà có phương pháp dạy phù hợp.Giáo viên nên sử dụng dụng cụ trực quan cho học sinh dể hiểu.
VÍ DỤ 2:Một nhà sản xuất bột trẻ em cần thiết kế bao bì mới cho một loại sản phẩm mới của nhà máy thể tích 1dm3. Biết bao bì dạng hình trụ. Khi đó chi phí để mua nguyên vật liệu làm bao bì là ít nhất bằng bao nhiêu biết rằng số tiền chi phí sản xuất là 5 nghìn đồng cho 1dm2.
A.27,70 nghìn . B.28,63 nghìn C. 27,65 nghìn D. 27,71 nghìn .
Hướng dẫn giải: 
Ví dụ 2 về giả thiết thì tương tự ví dụ 1 nhưng yêu cầu cao hơn là :
Bước 1: Tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất. Các bước làm tương tự ví dụ 1 nên giáo viên có thể cho học sinh tự làm.
Bước 2: Tính số tiền chi phí là ít nhất.
 Lời giải: Gọi bán kính của đáy là x (dm), chiều cao của hình trụ là h (dm).
 Hình 2. Hộp đựng sữa bột hình trụ
 Ta có: 
Diện tích toàn phần nhỏ nhất là: 
Vậy số tiền chi phí ít nhất để làm ra hộp đựng sữa là: 5,54.5 = 27,70 (nghìn đồng). Vậy chọn đáp án A.
VÍ DỤ 3 :Trong một xưởng cơ khí, sau đợt tham gia học tập, người chủ tổ chức thi để đánh giá trình độ tay nghề của các học viên. Sau khi kiểm tra xong các nội dung cơ bản, người chủ giao cho mỗi người mỗi tấm tôn hình chủ nhật có kích thước 80cm x 50cm và yêu cầu cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau (hình vẽ) để khi gấp lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp dùng để dụ trữ nước ngọt cho các chiến sĩ ở đảo xa. Khi đó thể tích của cái thùng là:
A. 18000(cm3) B. 19000(cm3) C. 14400(cm3) D. 18100(cm3) 
80
x
50
80
Vấn đề đặt ra:Ta thấy rằng ở các đảo xa vấn đề nước sinh hoạt là rất quan trọng. Do vậy khi làm thùng thì phải tính đến việc chứa được nhiều nước nhất. Vì vậy trong quá trình làm các học viên ngoài quan tâm đến vấn đề thẩm mĩ cần phải quan tâm thể tích của thùng là lớn nhất.
Lời giải: Người này cũng cắt một hình vuông cạnh x (cm)( 0 < x < 50 ) và người này quan tâm đến việc tạo thành cái thùng sao cho thể tích lớn nhất
 Thể tích cái thùng tạo thành là :
Với cái thùng này thì ta có thể chắc chắn khẳng định rằng đây là cái thùng có thể tích lớn nhất trong tất cả các thùng có thể làm ra lúc này. Và trong trường hợp người học viên này làm đẹp thì sẽ vừa lòng người chủ hơn.Chọn đáp án A.
Lưu ý: Bài toán này là bài toán khó vì câu hỏi của bài toán làm cho học sinh không biết hướng giải quyết thế nào. Học sinh không hiểu được thùng được chọn là thùng có thể tích lớn nhất. Giáo viên cần giải thích cho học sinh biết đây là cần có kiến thức thực tiễn về cuộc sống.
VÍ DỤ 4: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Nếu bạn là người mà được công ty giao cho làm công việc này. Khi đó bạn chọn điểm C cách A một đoạn bằng bao nhiêu trong các phương án sau:
A. 6.5km	B. 6km	C. 0 km	D.9km
Hướng dẫn giải: 
Vấn đề đặt ra là: Người nhân viên của công ty phải xác định để tính được số tiền để xây dựng đường ống theo ACB thì phải gồm 3 bước:
Bước 1:Tính độ dài đoạn đường AC từ đó tính được số tiền để xây đoạn đường AC.
Bước 2: Tính độ dài đoạn đường CB từ đó tính được số tiền để xây đoạn đường CB.
 Bước 3: Tính được số tiền để xây dựng đường ống ACB (Tổng số tiền có được ở hai bước trên).
 Từ đó học sinh sẽ có hai hướng giải:
 Cách 1: 
Đặt AC= x (km). Số tiền để làm đoạn đường AC là: 50.000 x (USD) -Khi đó độ dài đoạn CB' =9- x (km) nên độ dài đoạn CB là:
. Do đó số tiền để xây dựng đoạn CB là:
 .
Số tiền xây dựng đường ống ACB là: 
. Khi đó đặt: 
Ta tìm x để f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.: 
Ta có : 
Vậy chi phí thấp nhất khi x=6,5 .Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km. Chọn đáp án A.
 Cách 2: Đặt 
Chi phí xây dựng đường ống là :
Hàm f(x) , xác định, liên tục trên và 
Ta có: f(0)=1230.000; f()=1170.000; f(9).Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km . Chọn đáp án A.
So sánh hai cách giải trên thì ta thấy ở cách giải 1 thì bước đầu tính toán và suy luận dể dàng hơn nhưng ở các bước sau thì lại phức tạp hơn so với cách giải 2. Do đó với cách thi trắc nghiệm hiện nay thì phải tính toán sao cho nhanh ra kết quả nhất nên chọn cách giải 2( Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tìm ra đáp án).
VÍ DỤ 5: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biển với vận tốc , rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để ng