SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất. 
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
 	Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9.
V. Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm 
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số : 
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp và 
được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: .
Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số .
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: .
Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị 
Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì người ta nói rằng hàm số đạt cực trị tại điểm .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp 
Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: 
Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm thì .
Chú ý : 
Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó :
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . 
 0 
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . 
 0 
Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác tại điểm .
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Chú ý : 
1. Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .
2. Trong trường hợp không tồn tại hoặc thì định lý 3 không dùng được.
 4.Tịnh tiến đồ thị
 Cho hàm số có đồ thị . Khi đó, với số ta có:
 a) Nếu tịnh tiến theo phương của lên trên đơn vị ta được đồ thị hàm số 
b) Nếu tịnh tiến theo phương của xuống dưới đơn vị ta được đồ thị hàm số 
c) Nếu tịnh tiến theo phương của qua trái đơn vị ta được đồ thị hàm số
d)Nếu tịnh tiến theo phương của qua phải đơn vị ta được đồ thị hàm số 
e) Đồ thị của hàm số có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị (C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy.
f) Đồ thị của hàm số có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên trên Ox, bỏ đồ thị (C) bên dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox.
g) Đồ thị của hàm số có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số rồi tịnh tiến đồ thị theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
 h) Đồ thị của hàm số có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số rồi tịnh tiến đồ thị theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
i) Đồ thị của hàm số có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
 k) Đồ thị của hàm số có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số có điểm cực trị.
b) Nếu đồ thị hàm số có n điểm cực trị và phương trình có m nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số có điểm cực trị.
c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số 
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.
II. Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến 
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.
Câu 1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
1 B. 2 C. 3 D. 5
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời gải
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số có 5 điểm cực trị
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và phương trình có 2 nghiệm đơn nên hàm số có 5 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị và phương trình có 2 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 3. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số có 7 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị.
Lời giải
Ta có BBT của hàm số 
Đồ thị hàm số có được bằng cách:
+ Vẽ đồ thị hàm số .
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số .
Ta thấy: Hàm số có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương có 5 điểm cực trị
 có 5 điểm cực trị với mọi m.
Đồ thị hàm số có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số .
Từ đó ta thấy: để hàm số có 7 điểm cực trị thì hàm số phải có 3 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị Vậy .
Để hàm số có 5 điểm cực trị thì hàm số phải có 2 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:
 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị 
Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị Vậy 
Câu 4. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Ta có BBT của hàm số 
Đồ thị hàm số có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số .
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số .
Ta thấy: Hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương có 3 điểm cực trị
 có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số có 5 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số .
Từ đó ta thấy: để hàm số có 5 điểm cực trị thì hàm số phải có 2 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị Vậy 
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì hàm số phải có 1 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị 
Vậy 
Dạng 2: Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số 
+ Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu .
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Ta thấy đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là và 
Bảng biến thiên
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của có điểm chung với trục hoành nhưng cắt và "băng qua" luôn trục hoành chỉ có điểm nên có hai cực trị.
= Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
= Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải.
Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
= 	 
= 	
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu . 
Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồng thời đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
 Dựa vào đồ thị, ta có Bảng biến thiên của hàm số 
Xét 
Bảng biến thiên của hàm số 
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn 
= 	 
= Theo giả thiết 	
Từ và suy ra trên khoảng 
Nhận thấy là các nghiệm đơn nên đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của 
Dạng 3: Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số 
+ Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu .
Chú ý: * Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số thì 
* Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới đồ thị hàm số thì 
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số có điểm cực trị. Chọn A.
Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
	A. 	B. 
	C. 	D. Không có điểm cực tiểu. 	
Lời giải.
Ta có 
Suy ra số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng 
Dựa vào đồ thị ta suy ra 
Lập bảng biến thiên cho hàm ta thấy đạt cực tiểu tại Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ta thấy đồ thị hàm nằm phía dưới đường nên mang dấu 
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Hàm số đạt cực đại tại 
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải.
Ta có 
Suy ra số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và parapol 
Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạt cực đại tại Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ta thấy đồ thị hàm nằm phía trên đường nên mang dấu 
Nhận thấy các nghiệm là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
 Ta có 
Suy ra số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng 
Dựa vào đồ thị ta suy ra 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạt cực tiểu tại Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ta thấy đồ thị hàm nằm phía trên đường nên mang dấu 
Dạng 4: Cho biểu thức Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Phương pháp: 
+ Tính đạo hàm của hàm số 
+Từ biểu thức của và hãy xét dấu rồi suy ra số điểm cực trị của 
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đạt cực đại tại
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
 Ta có 
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại Chọn D.
Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Ta có 
 Ta thấy và là các nghiệm đơn còn là nghiệm kép hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
Ta có 
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
Ta có 
Ta thấy và là các nghiệm bội lẻ hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Câu 5. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
 Ta có 
Ta thấy và đều là các nghiệm đơn hàm số có điểm cực trị. Chọn C.
Dạng 5: Cho biểu thức Tìm để hàm số có điểm cực trị
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
 Do tính chất đối xứng qua trục của đồ thị hàm thị hàm số nên yêu cầu bài toán có điểm cực trị dương. 	
Xét 
Do đó có hai nghiệm dương phân biệt 
 Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
 Xét 
Yêu cầu bài toán có hai nghiệm trái dấu 
 Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
Xét 
= Nếu thì hàm số có hai điểm cực trị âm (). Khi đó, hàm số chỉ có cực trị là Do đó, không thỏa yêu cầu đề bài.
= Nếu thì hàm số không có cực trị. Khi đó, hàm số chỉ có cực trị là Do đó, không thỏa yêu cầu đề bài.
= Khi thì hàm số có hai điểm cực trị là và 
Để hàm số có điểm cực trị thì hàm số phải có hai điểm cực trị trái dấu Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số có đúng điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Xét 
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
Trường hợp 1. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 
Trường hợp này không có giá trị thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
 Chọn A.
Dạng 6: Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
	A. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
	B. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
	C. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
	D. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị, ta có và 
Ta có 
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận có điểm cực đại, điểm cực tiểu. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy đạt cực trị tại 
Suy ra 
Ta có 
= = 
Dựa vào đồ thị suy ra:
	a Phương trình có hai nghiệm (nghiệm kép) và 
	a Phương trình có một nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm bội lẻ là và Suy ra hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
Ta có 
Dựa vào đồ thị ta thấy:
= có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số có điểm cực trị).
= phương trình vô nghiệm.
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Đồ thị hàm số có được bằng cách
= Tịnh tiến đề thị hàm số lên trên đơn vị ta được 
= Lấy đối xứng phần phía dưới của đồ thị hàm số qua ta được 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra tọa độ các điểm cực trị là 
 tổng tung độ các điểm cực trị bằng Chọn C.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm Hỏi số điểm cực trị của hàm 
Câu 1. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
	A. .	B. .	C. .	D. . 
Lời giải.
Ta có 
Do đó điểm cực tiểu của hàm số trùng với điểm cực tiểu của hàm số 
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Vậy có duy nhất nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
 Ta có 
= 
= không xác định 
Bảng biến thiên 
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Dạng 8: Cho biểu thức Tìm để hàm số có điểm cực trị
Câu 1. Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có điểm cực trị.
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải.
Ta có Hàm số có điểm cực trị hàm số có hai cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt Chọn C. 
Câu 2. Cho hàm số với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ? 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Để có điểm cực trị có nghiệm phân biệt. 	 
Xét 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 
 Chọn C.
Câu 3. Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm và làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
Ta có 
Hàm số có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng và một điểm cực trị dương hàm số có điểm cực trị. 	 
Đồ thị hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ nên đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( điểm có hoành độ âm, điểm có hoành độ dương) đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt. 
Từ và suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị rồi suy ra đồ thị , tiếp tục suy ra đồ thị 
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị.
 hoặc 	B. hoặc 
C. 	D. hoặc 
Lời giải
Xét hàm số 
Ta có: 
Do số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm số và số nghiệm của phương trình (không kể nghiệm bội chẵn). Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm 0 và – 2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là các điểm cực trị của hàm số ).
Dựa vào bảng biến thiên ta có: . Chọn D.
Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị?
11.	B. 10.	C. 7.	D. 9.
Lời giải
Xét hàm số .
Do hàm số có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình có tối đa 3 nghiệm nên để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt ( vì khi có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số cũng có 2 điểm cực trị).
Ta có:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Chọn D.
Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại .
Bổ đề: Cho hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và Giả sử với Đặt Khi đó:
Nếu thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
Nếu thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
C