SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV
: Giáo viên
HS
: Học sinh
HH
: Hình học
PPVT
: Phương pháp véc tơ
SGK, SBT
: Sách giáo khoa,sách bài tập
THPT
: Trung học phổ thông
VD : Vận dụng
VDC : Vận dụng cao
MỤC LỤC
 Trang
 A.Mở đầu ..........................................................................................................3 
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................3
2. Nhiệm vụ của đề tài 3
3. Đối tượng nghiên cứu .....3
4. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................3
 B.Nội dung .................................................................................4
 1. Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học
 1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
 1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α).4
 1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:...4
2. Áp dụng trong thực tế dạy học
 Các dạng bài tập thường gặp...5
 2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng...15
 3. Hiệu quả của sáng kiến....23
 C.Kêt luận.....................................................................................................24
 Kiến nghị.................................................................................................25
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,. Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và sử dụng làm câu hỏi VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia .
 Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian. Đặc biệt khi nói đến các bài toán về cực trị trong hình học thì các em rất “e ngại” kể cả đối với học sinh khá, giỏi.
 2. Nhiệm vụ của đề tài 
 Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, hình học giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc. 
 Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thống bài tập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ về quen để bài toán cực trị trong hình học giải tích không còn luôn luôn là bài toán hóc búa, khó giải.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Từ kiến thức cơ bản và các ví dụ dễ hiểu, sau đó phát triển dần thành các bài toán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào một số bài toán cực trị hình học cụ thể trong hình học giải tích lớp 12. 
4. Phạm vi nghiên cứu 
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hình học giải tích trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao hình học lớp 12 đang được lưu hành. Tập trung chủ yếu vào các bài toán ở mức độ VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia.
 Với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích”.
B. NỘI DUNG
1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học
 1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
 1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).
- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M 
và vuông góc với (α))
- Tìm giao điểm H của MH và (α). 
*Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ M’.
 1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:
-Viết phương trình tham số của d
- Gọi H có tọa độ theo tham số t 
- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi 
-Tìm t, suy ra tọa độ của H.
2. Áp dụng trong thực tế dạy học
 Các dạng bài tập thường gặp
 2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ .+kn = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho có giá trị nhỏ nhất.	
Lời giải:
-Tìm điểm I thỏa 
-Biến đổi :
Tìm vị trí của M khi đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm , ,. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
	1) có giá trị nhỏ nhất.
	2) có giá trị nhỏ nhất.
Giải: Gọi điểm G thỏa thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1) 
Ta có == có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số MG 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 
Vậy với M(-2; 0; -2) thì có giá trị nhỏ nhất.
Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa 
Ta có 
, vậy 
Ta có: == có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)
Phương trình tham số MI:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 .An và n số thực k1, k2, ., kn thỏa k1+ k2+ .+ kn = k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho tổng T = đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
Lời giải:
- Tìm điểm I thỏa 
-Biến đổi : T = =
= ++ 2
= +
	Do không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
	Chú ý: 
- Nếu k1+ k2+ .+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất.
- Nếu k1+ k2+ .+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1), 
	B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa thì I là trung điểm AB và 
Ta có: MA2 + MB2 = 
=
Do không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp 
Phương trình tham số MI: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA2 + MB2 = 2MI2 + , do AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α).
2)Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa 
Hay 
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 =
Do không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp 
Phương trình tham số MJ: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: và các điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Vậy với thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa 
Hay: 
Ta có MA2 - 2MB2 = 
Do không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
 Đường thẳng d có vtcp , phương trình tham số d:
, khi M là hình chiếu vuông góc của I lên d nên
Vậy với thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1).
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 =
	= 
	= 
Do không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
, 
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì 
Vậy với thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α). Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB.
2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α). Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số của AB: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
MA + MB có giá trị nhỏ nhất
 có giá trị lớn nhất.
Hay là điểm cần tìm.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số AA’:
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t =
Do H là trung điểm AA’ nên 
A’B có vtcp 
Phương trình tham số A’B: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 hay 
Vậy với thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy .Nên đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp 
Phương trình tham số A’C: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 hay 
Vậy với thì có giá trị lớn nhất.
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính tọa độ của M và kết luận
Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số 
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp và 
Ta có .= 14 -10 – 4 = 0 
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P). 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
 2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm MÎ d1, NÎ d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
Lấy M và N( tọa độ theo tham số).
Giải hệ phương trình và ( là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 ).
Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 
, 
Chứng minh d1, d2 chéo nhau
Tìm điểm M và N sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp 
 d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp 
Ta có []= (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168
Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M và N sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng 
d1:, d2:
M nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
- 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
Ta có 
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB
Tam giác MAB có diện tích S = đạt giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp 
 AB qua A(1; 2; 3) và (0; -2;-2) = 
với là véc tơ chỉ phương của AB
Phương trình tham số AB 
M(2 + t; 4+ t; -2) ,H(1; 2+ t’;3+t’) ,-t -1; t’ – t -2; t’ +5)
Ta có 
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =, AB =
Diện tích 
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:. Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N
Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp 
	Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp 
[] = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d và Ox chéo nhau.
Với M(0; t; 2- t)Î d, N(t’; 0; 0)Î Ox và t’; -t; t – 2)
Ta có 
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
Mặt cầu (S) có tâm I (0, bán kính R =
Phương trình mặt cầu (S): 
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.
Bài toán 1:Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B. Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.
(α) nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = 0
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB
 là véctơ pháp tuyến của (α)
R = AB=3
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α),
 K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H≡ K, 
khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc 
với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC).
,
(ABC) có véctơ pháp tuyến 
(α)cóvéctơpháptuyến 
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy
 d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi 
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
 (α) và vuông góc với AB.
	Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai 
điểm A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3). 
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất	.	2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến 
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
Phương trình BH: 
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
	2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy là véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương 
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất.
Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.
Phương trình của ∆:
Giải:
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp , 
(α) đi qua B nhận làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H. Phương trình tham số AH: 
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0 
∆1 nhận làm véc tơ chỉ phương
Ta thấy và không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Vậy phương trình ∆1: 
3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có ∆2 nhận làm véc tơ chỉ phương, mặt khác và không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Phương trình ∆2:
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α) và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và 
BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: , mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A