SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp thpt quốc gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy 
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
3
MỤC LỤC
MỤC LỤC
 Nội dung Trang
1. MỞ ĐẦU ......................................................................................... 2
 1.1. Lý do chọn đề tài .. 2
 1.2. Mục đích nghiên cứu  3 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu .. 3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu . 3
 1.5. Những điểm mới của SKKN  3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ......................................... 4
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ......................................... 4
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ......... 4
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ................................ 4
 2.3.1. Đặt vấn đề ........................................................................ 4
 2.3.2. Cơ sở lý thuyết . 5
 2.3.3. Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học
 không gian............................................................................ 6 
 Phương pháp 1: Xác định trực tiếp . 6
 Phương pháp 2: Sử dụng phép trượt đỉnh .. 8
 Phương pháp 3: Sử dụng công thức tính thể tích ... 10 
 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông .... 11
 Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.. 13
 Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ ..... 15
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với
 bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ................................................ 17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ..................................................................... 18 
 - Tài liệu tham khảo ............................................................................... 20
	- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở 
 GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ... 21
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
 Những năm gần đây, đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia cũng như đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường có câu tính khoảng cách trong hình học không gian. Không những thế đề thi được ra theo hướng phát huy tính sáng tạo của học sinh, vì thế nó đã có phần gây khó khăn cho học sinh trong việc giải câu này. Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Trong thực tế thì các bài toán về khoảng cách được áp dụng nhiều trong các ngành kỹ thuật như kiến trúc, xây dựng, đo đạc, vv. Đối với học sinh khá, giỏi, các em có thể làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian. 
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn.
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: 
“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong hình học không gian ” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, định hướng được trước khi làm bài để có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán. 
1.2. Mục đích nghiên cứu :
 - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và mảng hình học không gian nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp 
học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
 - Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em 
củng cố và khắc sâu các tri thức .
 - Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó chọn một phương pháp phù hợp để xác định khoảng cách trong hình học không gian. Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh chóng đi đến kết quả. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
 Đối tượng nghiên cứu là một số phương pháp tìm khoảng cách trong hình học không gian.
 Phạm vi : Giới hạn trong chương trình hình học không gian lớp 11 và lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
	Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
 1.4.1. Nghiên cứu tài liệu : 
 - Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, có liên quan đến nội dung đề tài.
 - Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
 2. Nghiên cứu thực tế :
 - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian.
 - Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
 - Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của hoc sinh trong quá trình giải quyết bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian. Từ đó đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm. 
1.5. Những điểm mới của SKKN :
 Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng một số phương pháp tìm khoảng cách trong hình học không gian. Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể. Đề tài cũng chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, quan sát phán đoán hướng làm và tư duy 
sáng tạo để giải quyết bài toán. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
 Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng : bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề. Có như thế thì học sinh mới dễ dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
	Trong quá trình giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 và lớp 12 cùng với khi ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, tôi nhận thấy rằng nếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa và cách xác định khoảng cách như sách giáo khoa Hình học 11 và 12 thì học sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa có kỹ năng trong việc xác định, cũng như các bước để giải quyết vấn đề. Điều đó được thể hiện khá rõ khi các em giải quyết các bài toán khoảng cách trong sách giáo khoa, trong bài kiểm tra định kỳ môn Hình học hay trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia. Nguyên nhân của việc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt do các em không nắm chắc khái niệm khoảng cách và các tính chất liên quan. Mặt khác, do các em thiếu kỹ năng giải toán, kỹ năng nhận dạng và các bước tiến hành để giải quyết bài toán. 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
 2.3.1. Đặt vấn đề :
 Dạng toán xác định khoảng cách trong hình học không gian là một dạng toán cơ bản hay và khá phức tạp `. Đối với giáo viên, việc dạy cho học sinh hiểu và có kỹ năng xác định khoảng cách không hề dễ dàng. Điều khó khăn cơ bản là học sinh còn lúng túng không biết sử dụng phương pháp nào phù hợp để tìm khoảng cách
Hơn nữa, khi học sinh dùng phương pháp xác định khoảng cách không hợp lý sẽ làm cho bài toán phức tạp hơn.
 Qua quá trình giảng dạy và thực nghiệm sư phạm, để giải quyết phần nào những khó khăn, lúng túng của học sinh khi xác định khoảng cách, tôi đưa ra một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian thông qua một số ví dụ cụ thể. 
2.3.2. Cơ sở lý thuyết :
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho điểm O và đường thẳng D. Gọi H là hình chiếu 
của O trên D. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H 
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D. 
Kí hiệu: 
Nhận xét: 
Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên D và tính OH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho điểm O và mặt phẳng (a). Gọi H là hình chiếu 
của O trên (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H 
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a). 
Kí hiệu: 
* Nhận xét: 
3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song :
Cho điểm đường thẳng D song song với mặt 
phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng D và 
mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì 
thuộc D đến mặt phẳng (P). Kí hiệu : 
Nhận xét: 
 Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 
(P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc 
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu 
Nhận xét: 
 Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2.
Đường thẳng D cắt cả ∆1 và ∆2 đồng thời vuông
góc với cả ∆1 và ∆2 được gọi là đường vuông góc 
chung của ∆1 và ∆2. Đường vuông góc chung D cắt 
∆1 tại I và cắt ∆2 tại J thì độ dài đoạn thẳng IJ gọi là 
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2. Kí hiệu: .
Nhận xét : 
 Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 ta làm như sau:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung IJ từ đó suy ra 
Cách 2: Tìm một mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2. Khi đó 
Cách 3: Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa ∆1 và ∆2. Khi đó 
Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ
 Đặc biệt :
Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa ∆1 và vuông góc với ∆2, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với ∆2. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó 
Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2.3.3. Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian:
 Như ta đã biết, các bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều có thể quy về bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vì vậy, bài toán xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được coi là bài toán cơ bản và ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Xác định trực tiếp .
 Phương pháp chung : Để xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (a), ta xác định trực tiếp hình chiếu H của O trên (a) và tính OH theo một trong 2 hướng sau :
* Hướng 1: ( Có sẵn đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) )
 - Kẻ đường thẳng đi qua O và song song với d 
 - Gọi . Khi đó .
* Hướng 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (a)
 - Tìm giao tuyến D của (P) và (a)
 - Kẻ OH ^ D (). Khi đó . 
 Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
K
F
E
D
C
B
A
S
H
O
D
B
Hướng dẫn:
Hạ 
Trong (SOK) kẻ 
. 
Ta có đều ; 
Trong tam giác vuông OBC có:
Trong tam giác vuông SOK có:
. Vậy 
Ta có 
Kẻ . Do
Ví dụ 2 : ( Đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp năm 2014)
 Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên , hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với trung điểm của . Gọi là trung điểm của . Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng .
Chú ý: 
Trong bài này, giáo viên hướng dẫn học sinh dựng khoảng cách dựa vào tính chất: nếu thì . Tính chất này rất quan trọng trong việc dựng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và được sử dụng khá nhiều trong các đề thi 
Hướng dẫn:
• Gọi , do là hình vuông cạnh nên ta suy ra được
.
Xét tam giác ta được .
• Do 	
. Trong 
mặt phẳng , kẻ . 
Xét tam giác 
. 
Vậy
Bài tập đề nghị : 
Bài 1[1] : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC) bằng : 
 A. B. C. D. 
Bài 2[2] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc SBD = 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng :
 A. B. C. D. 
Phương pháp 2 : Sử dụng phép trượt đỉnh .
 Ý tưởng của phương pháp này là : bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi , ta quy việc tính về việc tính . Ta thường sử dụng nh 
ững kết quả sau :
Kết quả 1. Nếu đường thẳng D song song với mặt phẳng (a) và M, N Î D thì
Kết quả 2. Nếu đường thẳng D cắt mặt phẳng (a) tại điểm I và M, N Î D (M, N không trùng với I ) thì 
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì : 
 nếu I là trung điểm của MN thì : 
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 : (Khối D năm 2013) Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy, , là trung điểm của cạnh và . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Phân tích. Do AD // (SBC) nên ta trượt đỉnh D về vị trí thuận lợi A và quy việc tính thành tính 
Hướng dẫn : 
• Do và là hình thoi cạnh nên tam giác 
 đều và tam giác vuông cân tại (do ). 
• Theo chứng minh trên 
Dựng 
. 
Vì nên 
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáylà tam giác vuông tại , ; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Biết và .Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo . 
Phân tích: Do , nên thay vì việc tính ta đi tìm mối liên hệ giữa BC và HC rồi chuyển về tính 
Hướng dẫn: 
• Hạ . 
• Hạ 
; 
Suy ra 
Ta có ;
. Vậy 
Bài tập đề nghị : 	
Bài 1[3] :
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a, 
SA = 3a và . Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SC và BM bằng :
 A. B. C. D. 
Bài 2[4]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,, SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SD. Khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM) bằng :
 A. B. A C. D. 
Phương pháp 3: Sử dụng công thức tính thể tích .
Phương pháp chung: Thể tích của khối chóp . 
Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính thể tích V và diện tích đáy S.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: (Đề thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Hà Nội năm 2017) 
 Cho hình chóp S.ABC có Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
A
B
C
M
S
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn: 
Gọi M là trung điểm AC. 
Ta có ∆ SAC vuông cân tại S 
SM AC và 
Ta có ∆ SAB và ∆ SBC đều nên AB = BC = a 
suy ra ∆ABC vuông cân tại B . 
∆ SMB vuông cân tại M 
 SM MB SM (ABC) 
Ví dụ 2: (Khối A,A1 năm 2013) Cho hình chóp có đáylà tam giác vuông tại , ; là tam giác đều cạnh và mặt bên vuông góc với mặt phẳng. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo . 
Phân tích. Tứ diện SABC nếu lấy S làm đỉnh, ABC làm đáy ta có thể tính được thể tích khối tứ diện SABC. Nhưng cũng tứ diện SABC nếu lấy C làm đỉnh, SAB làm đáy ta có 
Hướng dẫn: 
• Gọi là trung điểm của , suy ra . 
Mà vuông góc với theo giao tuyến , 
nên . 
Ta có  ; 
.
• ∆vuông tại và là trung
 điểm của mà 
suy ra .Gọi là trung điểm 
của , suy ra . Do đó :
Nhận xét : 
 Khi mà các cách dựng khoảng cách từ một điểm đến một phẳng đều không hiệu quả thì việc tính khoảng cách có thể dựa và phương pháp thể tích thông qua kết quả : hoặc .
Bài tập đề nghị : 
Bài 1[5] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, . Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng . Khoảng cách từ S đến (ABC) :
 A. B. C. D. 
Bài 2[6] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1cm, . Tam giác SAB và SAC lần lượt vuông tai B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng . Tính khoảng cách từ C đến (SAB) :
 A. B. C. D. 
Phương pháp 4 : Sử dụng tính chất của tứ diện vuông .
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông.
2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O 
A
() và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức : 
Chứng minh.
Giả sử , (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra . 
Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có
Vì vậy 
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên 
VÍ DỤ MINH HỌA
A′
A
B
C
N
O
M
D
C′
B′
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và CN
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa và CN
 ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với 
, tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc 
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông. 
Hướng dẫn: 
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN 
thì OACD là tứ diện vuông tại O. 
 là hình bình hành . 
Mp(ACN) chứa CN và song song với nên:
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
. Vậy 
Ví dụ 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và .
Hướng dẫn: 
 Gọi N là trung điểm của thì là hình bình hành nên .
 Mặt phẳng () chứa và song song với nên
với . Gọi 
A′
D′
C′
B′
D
B
C
A
O
M
G
N
E
thì G là trọng tâm của tam giác . 
Do đó .
Tứ diện vuông tại A nên 
.
Vậy 
Bài tập đề nghị : 
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a, BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 2 : Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Phương pháp 5 : Sử dụng phương pháp tọa độ hóa .
 Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau :
 với , 
 với D là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương 
 với là đường thẳng đi qua và có vtcp 
Phương pháp :
Bước 1 : Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2 : Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3 : Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.
 VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng bất kì đi qua đường chéo B’D.
 a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
z
y
x
N
H
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
 b) Xác định vị trí của mặt phẳng sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp và hình lập phương là bé nhất.
Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn 
chọn được một hệ toạ độ thích hợp, 
khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc 
tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
(ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. 
Với phần b, ta quy việc tính diện tích t
hiết diện về việc tính khoảng cách từ M 
đến đường thẳng