SKKN Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ ,GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS THIỆU KHÁNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hoan
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thiệu Khánh
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
THANH HOÁ NĂM 2016
MỤC LỤC
Trang
Phần I : Đặt vấn đề ................................................................................................3
 1. Lý do chọn đề . 3
 2. Mục đích nghiên cứu 3
 3.Đối tượng nghiên cứu..3
 4. Phương pháp nghiên cứu4
Phần II: Giải quyết vấn đề ..4
 1/ Cơ sở lí luận ..4
 2/Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ...4
	3/Các giải pháp thực hiện ..5
Lý thuyết 5
Phương pháp giải.6
Các chú ý quan trọng8
 4/Các dạng bài tập thường gặp .10
 5/Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị........17
Phần III: Kết luận và kiến nghị .20
 1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu 20
 2/ Kiến nghị những vấn đề nghiên cứu .21
I.ĐẶT VẤN ĐỀ
1/ Lý do chọn đề tài :
Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao tri thức, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám cho đất nước. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên được hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con người. Toán học giúp cho việc hình thành và phát triển cho người học năng lực tư duy logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức.
Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức và phương pháp truyền thụ phù hợp. Thực tế đã cho thấy hầu hết giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp còn nhiều hạn chế, các thầy cô dạy môn toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là nguyên nhân ? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là: 
- Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới hoặc những bài toán khó nên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận đúng và tìm tòi lời giải .
- Chỉ nặng về trình bày lời giải mà không chú ý đến việc hướng dẫn học sinh tự tìm ra lời giải. Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải cụ thể ,mà chưa suy luận để giải bài toán tương tự.
- Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng loại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, biến đổi, suy luận.
2/ Mục đích nghiên cứu :
 Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này.Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị ”.
3/ Đối tượng nghiên cứu :
 Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị .
4/ Phương pháp nghiên cứu :
Khái quát và hệ thống các thức cơ bản .
Các phương pháp giải bài toán cực trị 
Các dạng bài tập 
Lưu ý cho học sinh các sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị 
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1/ Cơ sở lí luận:
	-Trước khi thực hiện đề tài này thì đầu năm học tôi cho các học sinh khá giỏi do tôi phụ trách làm một bài toán tìm cực trị của lớp 8, tôi ghi thấy rất nhiều học sinh mắc phải những sai lầm ngộ nhận như đã nêu trong đề tài. Sau khi các em nắm được nội dung kiến thức thì kỹ năng làm bài toán cực trị đã tiến bộ và đặc biệt khi kiểm tra, 100% học sinh không còn mắc phải những sai lầm đáng tiếc nữa, tôi nghĩ đó chính là thành công bước đầu của đề tài.
Tóm lại, từ yêu cầu thực tế của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán cực trị, tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị . ”để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2/ Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
 Được sự phân công của Ban giám hiệu trường THCS Thiệu Khánh dạy bồi dưỡng môn toán lớp 8 ,tôi thấy qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó
Khi trực tiếp bồi dưỡng, tôi tự thấy kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững . ,xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được, đặc biệt là đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này. 
3/ Giải pháp thực hiện:
- Giáo viên trang bị cho học sinh các đơn vị kiến thức cơ bản.
- Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững bản chất của bài toán cực trị là như thế nào.
- Giới thiệu các phương pháp giải bài toán cực trị.
- Một số bài tập áp dụng cụ thể.
- Một số các sai lầm mắc phải.
a/ Cách giải quyết những vấn đề đã làm:
*Biện pháp 1:
Giáo viên trang bị cho học sinh các đơn vị lý thuyết cần thiết. Cụ thể như sau:
1. Lý thuyết:
Cho một hàm số F(x) xác định trên miền D; (với D Ì Rn)
a/ M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: 
*. F(x) £ M với " x Î D
*. $ x0 Î D sao cho f(xo) =M. Ký hiệu M = max f(x), x ÎD
b/ m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
*. F(x) ³ m với " x Î D
*. $ x0 Î D sao cho f(xo) =m. Ký hiệu m = min f(x), x ÎD
c/ Các kiến thức cần nhớ: Xét trong tập hợp số thực R.
c1/ x2 ³ 0 với " x, tổng quát: (f(x))2k ³ 0 với " x; k Î Z.
Từ đó suy ra: (f(x))2 + m ³ m hoặc M - (f(x))2 £ M
c2/ 
a/ | x | ³ 0
b/ | x + y | £ | x | + | y | Dấu "=" xảy ra Û x, y cùng dấu.
c/ | x - y | ³ | x | - | y | Dấu "=" xảy ra Û x, y cùng dấu.
c3/ Bất đẳng thức Côsi có dạng sau:
*	(a + b)2 ³ 4ab 	Dấu "=" xảy ra Û a = b/
* 	 Với ab > 0	Dấu "=" xảy ra Û a = b/
*	a + b 2 với a ³ 0, b ³ 0, 	Dấu "=" xảy ra Û a = b/
C4/ Các hệ quả
	+ Với a ³ 0, b ³ 0 ; a + b = k (không đổi)
	Þ max (ab) = Û a = b
	+ Với a ³ 0, b ³ 0 ; ab = k (không đổi)
	Þ min (a + b) = 2 Û a = b
C5/ Bất đẳng thức Bunhiakôpski.
	(ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2)	Dấu "=" xảy ra Û 
2. Phương pháp giải.
2.1. Phương pháp giải bất đẳng thức.
	Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D, ta phải chứng minh:
	a/ f(x) M hoặc f(x) ³ m.
	b/ Chỉ ra trường hợp x = xo Î D sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm giá tị nhỏ nhất của biểu thức sau:
	a/ A = (x - 2)2 + 5
	b/ B = | x | + | 8 - x | 
	c/ C = ( a + b + c).() Với a, b, c > 0
Giải:
a/ Với " x ta đều có: (x - 2)2 ³ 0. Dấu "=" xảy ra Û x = 2
	Þ (x - 2)2 + 5 ³ 5
	Vậy min A = 5 Û x = 2
b/ Áp dụng hằng đẳng thức: | x | + | y | | x + y | 
	 Dấu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
Ta có B = | x | + | 8 - x | | x + 8 - x | = 8. 	Dấu "=" xảy ra Û x.(8 - x) ³ 0
Lập bảng xét dấu:
x
0
8
x
-
+
+
8 - x
+
+
-
x.(8 - x)
-
+
-
Suy ra:
x.(8 - x) ³ 0 Û 0 x 8
Vậy min B = 8 Û 0 x 8
c/ Ta có:	 C = 
	=
Áp dụng hằng bất đẳng thức: (Với a, b > 0)
Ta có: C 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Dấu "=" xảy ra Û a = b = c
	Vậy min C = 9 Û a = b = c
Ví dụ 2. 	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a/ P = 3 - (2x - 1)2
b/ G = | x + 2y + 3z | biết rằng 3 số x, y, z. Thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
Giải:
a/ Ta có (2x - 1)2 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 
	Þ - (2x - 1)2 £ 0 Û 3 - (2x - 1)2 £ 3
	Vậy max = 3 Û x = 
b/ áp dụng bất đẳng thức Bunhiaskôpski ta có:
(x + 2y + 3z)2 £ (12 + 22 + 32).(x2 + y2 + z2) = 14 (Vì x2 + y2 + z2 = 1)
Þ | x + 2y + 3z | £. Dấu "=" xảy ra Û và z = 3x
	Vậy max | x + 2y + 3z | = Û y = 2x và z = 3x
2.2. Phương pháp miền giá trị của hàm số
Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D/ Gọi yo là một giá trị nào đó của f(x) với x Î D . Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = yo 
(với " x Î D) phải có nghiệm.
Sau khi giải phương trình, điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức:
m £ yo £ M. Từ đó suy ra min f(x) = m ; x Î D; max f(x) = M ; x Î D/
Cũng có trường hợp ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất và ngược lại.
Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số
	a/ y = 7x2 - 4x + 1
	b/ 
Giải:
a/ Hàm số xác định với " x Î R.
	Giả sử yo là một giá trị nào đó của y để y0 = 7x2 - 4x + 1
Do đó phương trình ẩn x: 7x2 - 4x + 1 -y0 = 0 phải có nghiệm
 D' =(- 2)2 - 7(1 - y0) ³ 0 Û 4 - 7 + 7y0 ³ 0 Û 7y0 - 3 ³ 0 Û y0 ³ 
	Vậy min y = Û x = 
b/ Vì x2 + 1 > 0 với " x Î R nên hàm số trên xác định với " x Î R
Giả sử y0 là một giá trị nào đó để y0 = 
Û Phương trình y0 (x2 + 1) =2.(x2 + x + 1) Có nghiệm
Û (y0 - 2).x2 - 2x + (y0 - 2) = 0 (*) có nghiệm
Û D' = 1 - (y0 -2)2 ³ 0 Û (1 - y0 + 2).(1 + y0 - 2) ³ 0 
Û (3 - y0)(y0 - 1) ³ 0 Û 1 £ y0 £ 3
+ Khi y0 = 1 
Ta có (*) Û - x2 - 2x - 1 = 0 Û x2 + 2x = 1 = 0 Û (x + 1)2 = 0 Û x = - 1
+ Khi y0 = 3
Ta có (*) Û x2 - 2x + 1 = 0 Û (x - 1)2 = 0 Û x = - 1
	Vậy max y = 3 Û x = 3
	min y = 1 Û x = 3
3. Các chú ý quan trọng.
	3.1. Muốn tìm được cực trị của hàm số, không những ta cần chứng minh một bất đẳng thức (f(x) ³ m ; f(x) £ M) mà phải chỉ ra được sự tồn tại giá trị của biến để có thể xảy ra dấu đẳng thức
	Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	A = x4 + 2x2 + 1
Ta có A =(x2 + 1)2 ³ 0, muốn cho A = 0 thì ta phải có x2 + 1 = 0 nhưng điều kiện này không xảy ra trong R, do đó không thể luận min A = 0
Ta phải giải như sau:
Ta có x2 ³ 0 với " x. 	Dấu "=" xảy ra Û x = 0	
	x4 ³ 0 với " x. 	Dấu "=" xảy ra Û x = 0
	Þ x4 + 2x2 ³ 0 với " x.	Dấu "=" xảy ra Û x = 0
Vậy min A = 1 Û x = 0.
3.2. Có trường hợp biểu thức đã cho là tổng của nhiều biểu thức đại số khác, chẳng hạn A = B + C. Để tìm cực trị của A ta đi tìm cực trị của B và C nhưng phải chứng minh được rằng khi B đạt cực trị đồng thời C cũng đạt cực trị (với cùng giá trị của biến) và ngược lại.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	A = (x + 2)2 + (x - 1)2.
Ta có (x + 2)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra khi Ûx = - 2
(x - 1)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 1
Nên A ³ 0 nhưng không thể kết luận min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức.
	Ta phải giải như sau:
	A = x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1 = 2x2 + 2x + 5 = 
	=
Vì ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 
Þ min 
3.3. Khi tìm cực trị của một biểu thức có khi ta thay đổi điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bằng điều kiện tương đương của biểu thức khác đạt cực trị:
A lớn nhất (A ¹ 0) Û nhỏ nhất.
B lớn nhất (B > 0) Û B2 lớn nhất.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
B = 
	Giải:
	Ta có: x4 + 1 > 0 và (x2 + 1)2 > 0 với " x Þ B > 0
Nên B lớn nhất Û nhỏ nhất
B nhỏ nhất Ûlớn nhất.
Ta có 
+ Vì 2x2 ³ với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 0	
	x4 + 1 > 0 với " x	Þ 
Từ (*) Þ Vậy max B = 1 Û x = 0
+ Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x4 + 1 ³ 2x2. Dấu "=" xảy ra Û x ±1
Suy ra: 	
Vậy min B =Û x = ± 1
4/ Các dạng bài tập thường gặp:
4.1. Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
	Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của
	1. A = |2x - 3|
	2. B = |5x - 3x| + 2
	3. C = |x - 1996| + |x -2000|
	Giải:
1. Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta luôn có:
|2x - 3| ³ 0 với " x .	Dấu "=" xảy ra Û 2x - 3 = 0 Û x = 1,5
	Vậy min A = 0 Û x = 1,5
2. Ta có |5 - 3x| ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = Þ |5 - 3x + 2 ³ 2
	Vậy min B = 2 Û x = 
3. Cách 1: áp dụng hằng bất đẳng thức
	|x| + |y| ³ |x + y|.	Dấu "=" xảy ra Û xy ³ 0	
Ta có: C = |x - 1996| + |2000 - x| ³ |x - 1996 + 2000 - x| = |4| = 4
Dấu "=" xảy ra Û (x - 1996)(2000 - x) ³ 0
Ta có bảng xét dấu
x
1996
2000
x - 1996
-
+
+
2000 - x
+
+
-
(x-1996)(2000 - x)
-
+
-
Suy ra (x - 1996)(2000 - x) ³ 0 Û 1996 £ x £ 2000
Vậy min C = 4 Û 1996 £ x £ 2000
Cách 2: (Chia khoảng để xét)
+ Nếu x < 1996:
	Ta có C = -x + 1996 + 2000 - x = 3996 - 2x. Do x < 1996
Þ 2x -3992 Þ C = 3996 - 2x > 3996 - 3992 = 4 Þ C > 4 	(1)
+ Nếu 1996 £ x £ 2000.	 Ta có C = x- 1996 + 2000 - x = 4	(2)
+ Nếu x > 2000
	 Ta có C = x - 1996 + x - 2000 = 2x - 3996 vì x > 2000 Þ 20 > 4000
Þ 2x - 3996 > 4000 - 3996 = 4 Þ C > 4	(3)
Từ (1), (2), (3) Þ min C = 4 Û 1996 £ x £ 2000
Nhận xét: Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, điển hình là các ví dụ trên ta có thể tìm cực trị bằng các cách:
+ Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị của hàm đạt được trong các khoảng để lựa chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
+ Dùng tính chất:	|x| + |y| ³ |x + y| (Làm cách này sẽ nhanh hơn)
+ Đưa về dạng thông thường dựa vào tính chất 	x2 ³ 0 ; |x| ³ 0 để lập luận.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a/	A = |x - 1| + |x - 4|
b/	B = |x - a| + |x - b| với a < b
c/	C = |x - 2| + | x - 3| + |x - 4| + |x - 5|
d/	D = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3|+.....+|x - 1996|
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a/	E = 5 - |2x - 1|
b/ 	F = 
4.2. Đa thức bậc hai.
	Ví dụ 1:	a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 	A = 3x2 - 6x - 1
	b/ Tìm giá trị lớn nhất của	B = 4x - x2 + 1
	c/ Tìm cực trị của	C = ax2 + bx + c (a ¹ 0)
	Giải:
a/ Ta có A = 3x2 - 6x + 3 - 4 = 3.(x - 2)2 - 4
Vì (x - 1)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 1 Þ A ³ - 4 
	Vậy min A = - 4 Û x = 1
b/ Ta có B = 5 - (x2 - 4x + 4) = 5 - (x - 2)2 mà (x - 2)2 ³ 0 với " x.
Dấu "=" xảy ra Û x = 2 Þ 5 - (x - 2)2 £ 5 Þ max B = 5 Û x = 2
c/ Ta có C = 
Þ C = a/ 	(Với k = c - )
+ Nếu a > 0 Suy ra: aÞ C ³ k Þ min C Û x = - 
+ Nếu a < 0 Suy ra: aÞ C £ k Þ max C Û x = - 
Ví dụ 2: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số.
 	y = -2x2 - x + 1.
	Giải:
	Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = - 2x2 - x + 1.
Do đó phương trình ẩn x: 2x2 + x - 1 + y0 = 0 	(1) phải có nghiệm
Mà phương trình (1) có nghiệm
Û D = 1- 4.2.(y0 - 1) = 1 - 8y0 + 8 ³ 0 Û 9 - 8y0 ³ 0 Û y0 £ 
Nên max y0 = Û phương trình (1) có nghiệm kép. Mà phương trình (1) có nghiệm kép là x = - 	Vậy max y = Û x = -
Nhận xét:
	+ Với những biểu thức dạng P = ax2 + bx + c (a 0) ta đều có thể đưa được về dạng k ± [A(x)]2. Sau đó sử dụng hằng bất đẳng thức A2 ³ 0 ; - A2 £ 0. P có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0; P có giá trị lớn nhất nếu a < 0.
	+ Với mọi biểu thức dạng này ta có thể sử dụng phương pháp miền giá trị để giải.
	+ Với những đa thức nhiều biến ta có thể làm tương tự như đa thức một biến.
	BÀI TẬP:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
	a/ A = 4x2 + 4x + 11
	b/ B = 2x2 - 20x + 53
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
	a/ C = -5x2 - 4x + 1
	b/ D = 5 - 8x - x2
Bài 3. Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
	a/ M = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7 đạt giá trị nhỏ nhất?
	b/ N = 1 + 6y - 5y2 - 12xy - 9x2	đạt giá trị lớn nhất?
Bài 4. Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình.
	x2 + y2 + 6x - 3y - 2xy + 7 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
	P = (2x - 1)2 - 3.|2x - 1| + 3.
4.3. Đa thức bậc cao.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của
	a/ A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
	b/ B = x.(x + 1).(x + 2).(x + 3).
	Giải:
a/ Ta có A = x4 - 6x3 + 9x2 + x2 - 6x + 9 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2
Vì (x2 - 3x)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 0	hoặc x = 3
 (x - 3)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 0	hoặc x = 3
	Suy ra:
	A = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 3
	Vậy min A = 0 Û x = 3
b/ Ta có B = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt x2 + 3x + 1 = 1
Khi đó ta có B = (t - 1)(t + 1) = t 2 - 1 mà t2 ³ 0 với " t Þ B = t2 - 1 ³ - 1
Dấu "=" xảy ra Û t = 0 Û x2 + 3x + 1 = 0 Û 
Vậy min B = -1 Û 
BÀI TẬP: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
	a/ C = x4 - 2x3 + 3x2 -2x + 1
	b/ D = (x - 1).(x + 2).(x + 3).(x + 6)
	c/ E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + 2
4.4. Phân thức
	a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
	Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của 	A = 
Giải:
Ta có A = = - = - 
Vì (x - 1)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 1
Þ (x - 1)2 + 3 ³ 3 Þ £ Þ ³ 
Vậy min A = - Û x = 1.
Chú ý: a > b chỉ suy ra được Û a, b cùng dấu
	b/ Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.	D = 
Giải:	Cách 1: Ta có D = 
Đặt t = Ta có D = 1- t + t2 = t2 - t + 
Vì Với " t. Dấu "=" xảy ra Û 
Þ D = . Dấu "=" xảy ra Û Û Û x + 1 = 2 Û x = 1
Vậy min D = Û x = 1
	Cách 2: Ta có D =
	= 
	Vì ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = 1.
	Þ D ³ . Dấu "=" xảy ra Û x = 1. Vậy min D = Û x = 1.
c/ Các phân thức khác
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 
Giải:	Ta có: x2 - x + 1 = > 0 với " x nên biểu thức A có nghĩa với " x.
Giả sử A0 là một giá trị nào đó của A để A0 = 
do đó phương trình A0(x2 - x + 1) = x2 + 1 phải có nghiệm
Û (A0 - 1).x2 + A0x + A0 - 1 = 0 (*) phải có nghiệm
Nếu A ¹ 1 (*) có nghiệm Û D = - 4(A0 - 1).(A0 -1) ³ 0
Û - 4( - 2A0 + 1) ³ 0 Û - 4 + 8A0 - 4 ³ 0 Û -3 + 8A0 - 4 ³ 0
Û 
Û 
Vậy max A = 2 Û x = 1; min A = Û x = -1
4.5. Căn thức.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
	Giải: 	Điều kiện để A xác định (*)
Với điều kiện (*) thì A ³ 0, bình phương 2 vế ta được:
A2 = x - 2 + 4 - x + 2. 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: (x - 2) và (4 - x)
Ta có: £ x - 2 + 4 - x = 2
Dấu "=" xảy ra Û x - 2 = 4 - x Û 2x = 6 Û x = 3	
Þ A2 £ 2 + 2 = 4 Vì A ³ 0 Þ 0 £ A £ 2
Vậy max A = 2 Û x = 3
Ví dụ 2: 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.	B = 
	Giải:
	Ta có B xác định Û 1 - x2 > 0 Û - 1 < x < 1 (*)
Với điều kiện (*) ta có:
Vì 1 - x2 > 0, (3 - 5x)2 ³ với -1 £ x £ 1. Dấu "=" xảy ra Û x = 
Þ B2 ³ 16 với -1 0 với - 1 0. Suy ra B ³ 4
Vậy min B = 4 Û x = 
	BÀI TẬP
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	a/ A = 2003 + 
	b/ B = x - 2.
	c/ C = 
	d/ D = 
	e. E = x - 2 + 3y - 2.+ 1
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
	a/ F = +
	b/ G = 
	c/ S = 
4.6. Cực trị có điều kiện. 
(Các biến bị ràng buộc thêm bởi một hệ thức cho trước)
	Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1
	Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x + y
	Giải: Ta có (x - y)2 ³ 0 với " x. Dấu "=" xảy ra Û x = y Þ x2 + y2 ³ 2xy
Þ 2.(x2 + y2) ³ x2 + y2 + 2xy Þ (x + y)2 £ 2.(x2 + y2)
mà x2 + y2 = 1 Þ (x + y)2 £ 2 Þ |x + y| £ 
Vậy max (x + y ) = Û x = y = ; min (x + y) = - Û x = y = -
Ví dụ 2: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 
Giải: Ta có P = = 
mà x + y = 1 Þ x - 1 = - y; y - 1 = - x
Thay vào (*) ta được:
P= (Vì x + y =1)
Ta lại có x + y ³ (theo bất đẳng thức Côsi)
Suy ra 
Dấu "=" xảy ra Û x = y = 	Vậy min P = 9 Û x = y = 
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x3 + y3.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y - 4z. Biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: (Với x, y, z ³ 0)
Bài 3: Cho x + y + z = 3
	a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của G = x2 + y2 + z2
	b/ Tìm giá trị lớn nhất của H = xy + yz + xz
Bài 4: Cho biểu thức P = x2 + y2 + z2 + t2 với x, y, z là các số nguyên không âm.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P và các giá trị tương ứng của x, y, z biết rằng:
5/ Những sai lầm thường găp khi giải bài toán cực trị:
5.1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	A= 
Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ³ 8 Þ min (x2 - 6x + 17) = 8 Û x =3
	Vậy max A = Û x = 3.
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định: "A có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất" mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.
Ví dụ: Xét biểu thức 	B = . Với lập luận "Phân thức B có tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất", do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 0 nên max B = Û x = 0. Điều này không đúng; không phải l