SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ
Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
 MỤC LỤC
Mục
Trang
 1. Mở đầu.
2
 1.1.Lý do chọn đề tài.
2
 1.2.Mục đích nghiên cứu.
2
 1.3.Đối tượng nghiên cứu.
2
 1.4.Phương pháp nghiên cứu.
3
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.1Cơ sở lí luận
3
 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
4
 2.3.Nội dung SKKN 
4
 2.3.1.Các giải pháp chung
4
 2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện
5
 2.3.3. Nội dung thực hiện 
 2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ
 2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về khoảng cách và góc
 *BÀI TOÁN 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
 *BÀI TOÁN 2 .Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
5
 5
 6
 6
 10
 2.4. Hiệu quả của SKKN
16
 3. Kết luận-Kiến nghị
17
 3.1.Kết luận
 17
 3.2. Kiến nghị 
 17
 Tài liệu tham khảo 
 19
 Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên
 20
MỞ ĐẦU:
1.1.Lí do chọn đề tài:
-Trong chương trình toán THPT, “ Hình học không gian” là một bộ môn tương đối khó , bởi nó đòi hỏi phải vận dụng rất nhiều kiến thức tổng hợp cả trong mặt phẳng - không gian và cả kĩ năng tính toán. Hơn nữa để có thể học tốt môn học này thì học sinh phải vẽ được hình. Tuy nhiên đối với một số bài toán hình học không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh, Khoảng cách - góc là một trong những bài toán như vậy 
- Trong những năm gần đây, câu hình học không gian trong đề thi Đại học, cao đẳng tuy không được đánh giá ở mức độ khó nhưng vẫn là thử thách đối với học sinh nên các em thường có tâm lí hơi sợ câu hỏi này, đặc biệt là một số em bị hổng kiến thức hình học ở lớp dưới. Lí do vì các em này không có kỹ năng tốt trong việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính.
- Thông thường các bài toán về khoảng cách -góc giải bằng phương pháp hình học thuần túy đều đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ trên hình để tìm ra khoảng cách -góc cần tính. Nhưng đây lại là điểm yếu của một bộ phận không nhỏ học sinh
-Phương pháp véctơ có thể giải một số bài toán về khoảng cách - góc mà không cần vẽ thêm đường phụ nào, không phải xác định khoảng cách-g óc trên hình nên có thể giải quyết vấn đề này cho học sinh.
Vì vậy tôi đã chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ”.
1.2.Mục đích nghiên cứu:
-Giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian ,không còn "sợ hình" đặc biệt là các bài tâp về góc và khoảng cách .
-Giúp học sinh giải được tốt hơn bài tập về khoảng cách - góc mà không cần vẽ thêm đường phụ.
-Cung cấp thêm cho học sinh khá giỏi một ứng dụng mới của phương pháp véctơ vì biết một vài phương pháp giải vẫn là chưa đủ. Từ đó tạo hứng thú tìm tòi khám phá thêm các cách giải mới cho những học sinh có khả năng học tốt hơn nhằm phát triển tư duy cho các em. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp véctơ và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập .
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
-Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi tìm tòi đúc rút kinh nghiêm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm.
-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình hiệu quả áp dụng cúa SKKN.
 2.NỘI DUNG SKKN:
2.1.Cơ sở lí luận
a- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 
ĐN:Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng(P) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng(P).
Từ đó:
+Nếu M có hình chiếu vuông góc trên mp(ABC) là N thì 
+Khoảng cách từ M đến mp(ABC) là 
b-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ĐN: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
+Nếu P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) thì
 =0 
 =0
 với , lần lượt là véctơ chỉ phương của d1 , d2
+ Khoảng cách giữa d1 , d2 l à 
c-Công thức tính góc giữa d1 và d2 
Cos
2.2. Thực trạng của vấn đề:
-Trong những năm gần đây,bài toán khoảng cách -góc có mặt trong đề thi đại học ,cao đẳng tương đối nhiều ,chẳng hạn đề khối B2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 
-Thời lượng 2 tiết đối với bài "khoảng cách " được quy định trong phân phối chương trình là hơi hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên cũng không có nhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải bài tập về khoảng cách .
-Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình không gian lại càng sợ. Thêm vào đó do nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi các bài toán phải vẽ thêm đường phụ như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là rất lúng túng và thường đầu hàng vô điều kiện. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học về góc - khoảng cách ,trong một lớp chỉ có khoảng 10% số học sinh có thể giải được bài tập, 20% -> 25% giải được sau khi có hướng dẫn, gợi ý, còn lại đa số học sinh rất lúng túng, không xác định được phương hướng giải.
-Phương pháp véctơ có thể tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phảng mà không cần dựng được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần vẽ chính xác đoạn vuông góc chung, cũng không cần xác định thêm các khoảng cách trung gian khác như khoảng cách giưã đường thẳng và mặt phẳng song song hay giữa hai mặt phẳng song songngoài ra cũng tính luôn được góc giưã chúng mà không phải vẽ thêm đường phụ nào.
Do đó để giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian về góc và khoảng cách, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánhình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ”.
2.3. Nội dung SKKN và các giải pháp 
2.3.1-Các giải pháp thực hiện:
 Khi giảng dạy trên lớp, ngoài những phương pháp tính khoảng cách và góc bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp véctơ để phần nào giải quyết khó khăn về vấn đề xác định khoảng cách và góc cần tính bằng hình vẽ trực quan cho các em.Vì vậy tôi đưa ra giải pháp như sau:
*Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức về véctơ đặc biệt là :
+ Công thức tính độ dài véctơ, góc giữa 2 véctơ.
+ Biểu diễn một véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng.
+ Các phép toán véctơ, đặc biệt là tích vô hướng.
*Tổ chức rèn luyện kỹ năng định hướng giải các bài toán liên quan đến khoảng cách -góc:
+Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Bài toán 1: Tính khoảng cách -góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện:
 Nội dung SKKN được triển khai thông qua 3 tiết:
Tiết 1:Ôn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết .
 +quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ.
Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
 + Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách-góc giữa hai đường thẳng chéo nhau và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
Tiết 3:+Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập.
 +Nhận dạng bài toán tính khoảng cách-góc có thể giải được bằng phương pháp véc tơ. (hình đa diện có các góc phẳng ở đỉnh nào đó đã xác định và biết độ dài các cạnh của các góc đó)
2.3.3-Nội dung thực hiện:
2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ
Bước 1: Chọn hệ véctơ cơ sở, biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ.
Bước 2: Thực hiện yêu cầu bài tập thông qua việc biểu diễn các véctơ cần xét theo hệ véctơ cơ sở, biến đổi các hệ thức theo yêu cầu bài toán.
Bước 3: Từ kết quả bằng véctơ suy ra kết quả hình học tương ứng.
 Lưu ý:
 + Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài) Từ đó tính tích vô hướng của các véctơ cơ sở dễ dàng.
2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánvề khoảng cáchvà góc
*BÀI TOÁN 1. . Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
 Cho mp (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) .
Phương pháp giải:
+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài)
Chẳng hạn :Đặt,
 Gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
Khi đó :. Do nên 
Khi tìm được k,l ta có khoảng cách từ M đến (ABC) là =.
Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).
 Cho khối chóp có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, . Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a.
 a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a. 
 b,Chứng minh tam giác AMN vuông.
Hướng dẫn,phân tíchcâu a: 
+Các góc phẳng ở đỉnh S đều biết và tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trước nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: thì tích vô hướng và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng.
+Muốn giải bằng phương pháp véc tơ chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:
 Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB)
 Vì H là điểm thuộc mp(SAB) nên 
S
B
A
C
N
M
 Mặt khác H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) nên ta có:
Từ đó tính được k,l và suy ra độ dài CH.
 Bài giải: 
Trong tam giác vuông SAC ta có: 
Đặt 
Ta có: 
và 
a,Gọi H là hình chiếu của C trên mp (SAB) thì
và
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là . 
 b, Ta có . 
Suy ra,
Từ đó: 
Vậy , tức là tam giác AMN vuông tại A.
Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Góc, BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn,phân tích: 
H
D
C
B
A
S
Các góc phẳng ở A đều biết và bằng ,AB,AD, SA có độ dài cho trước nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: thì tích vô hướng và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng.
 Bài giải:
Đặt 
Ta có: 
Gọi K là hình chiếu của H trên mp (SCD)
Dễ dàng tính được Khi đó : 
Ta có: 
.
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là 
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
 a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
 b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
A
S
G
D
B
C
O
Bài giải:
 a) Đặt 
Ta có: và 
Khi đó: ,
 , 
H thuộc mặt phẳng (SBC) thì
Nếu H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC) ta có:
 . 
 b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB 
K thuộc mặt phẳng (SAC) 
Suy ra: 
Nếu K là hình chiếu của G trên mặt phẳng (SAC) ta có:
Khi đó 
Vậy khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) là .
Ví dụ 4 :Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp.
Bài giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD.
Do ANDB
Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta được .Vì vậy : 
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) .Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên 
 (Nếu muốn tính cạnh đáy thì ta có
Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp là 
Bài tập tương tự:
Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011). 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết và . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 2:
 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc . Các cạnh bên . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
* BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Đường thẳng d1 đi qua A1, có véctơ chỉ phương . Cho đường thẳng d2 đi qua A2, có véctơ chỉ phương .Tính khoảng cách và góc giữa d1, d2.
Phương pháp giải: 
* Tính khoảng cách giữa d1 và d2
 Gọi P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2)
 	 ()= 0
	 ()= 0 
Giải hệ tìm x, y → P1P2= 
* Tính góc giữa d1 và d2 : chỉ cần dựa vào biểu diễn , theo hệ véctơ cơ sở ta tính được , , . Từ đó: Cos
Bình luận: 
+Nếu bài toán yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung của d1 và d2 thì với x,y ở trên ta cũng tìm được P1, P2 dựa vào hệ thức :
+Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách này ngắn gọn hơn cách xác định góc trên hình rồi tính bằng hệ thức lượng trong tam giác nhất là với các bài toán cho nhiều đại lượng độ dài như a, b,h 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BDBC, AB(BCD). AB=1, BC=BD, CD=.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính khoảng cách và góc giữa AM và BN.
Hướng dẫn,phân tích: 
*Các góc phẳng ở đỉnh B đều biết và bằng , BA,BC,BD có độ dài cho trước nên nếu chọn hệ véc tơ cơ sở là: , , thì tích vô hướng 
và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng.
, ,
Muốn giải bằng phương pháp véc tơ 
chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết
kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:
 Gọi EF là đường vuông góc chung
của AM và BN (EAM, FBN)
 + M là trung điểm của BC => 
 + N là trung điểm của CD => 
 +EAM =>để 
 +FBN =>để 
 + EFAM =>
 + EFBN =>
 + Độ dài EF: 
 + Góc giữa AM và BN : Cos(AM,BN)=
Bài giải
*Chọn hệ véc tơ cơ sở {} Đặt: , , 
 +Tính tích vô hướng của các véc tơ cơ sở
, ,
*Ta có:
 là véc tơ chỉ phương của AM
 là véc tơ chỉ phương của BN
 Gọi EF là đường vuông góc chung của AM và BN (EAM, FBN)
=>
=>
 =>
 Từ đó ta có: 
* 
 mà 
Kết luận: => là khoảng cách giữa AM và BN.
 => 
Nhận xét: nếu BT yêu cầu dựng đường vuông góc chung ta xác định được ngay E,F vì và 
Ví dụ 2 :Đáy của hình chóp SABC là tam giác đều ABC cạnh bằng , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC và AB. Tính khoảng cách và góc giữa SM và CN.
Bài giải:
* Chọn hệ véc tơ cơ sở {} 
Đặt: , , 
(Tính tích vô hướng-Xem bảng bên) Ta có :
* Tính khoảng cách giữa SM và CN
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN
 (PSM, QNC)
 = 
 = = 
=>
 x=	
	y=
* Tính góc giữa SM và CN
Cos(SM,SN)= => (SM,CN)=450
Kết luận:Khoảng cách giữa SM và CN bằng .
 Góc giữa SM và CN bằng 450
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD và SABE có chung cạnh AB nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AB=a. Tính khoảng cách và góc giữa AC và SD. 
Bài giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở {} 
Đặt: , , 
Ta có: 
* Gọi IJ là đường vuông góc chung của AC và SD
(IAC, JSD)
Mặt khác: 
Thay vào ta được hệ phương trình: 
=>
=>
 => 
→ Khoảng cách giữa AC và SD là: 
* Tính góc (AC,SD)
= 
Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD bằng .
 Góc giữa AC và SD bằng 600
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA=a, CB=b, SA=h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của AB.
a, Tính góc φ giữa AC và SD.
b, Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài giải
* Chọn hệ véc tơ cơ sở {} .Đặt: , , 
Ta có: , 
a, Ta có: 
= 
b, Gọi MN là đường vuông góc chung của SD và AC
 =>
Theo giả thiết => 	
Từ đó ta có hệ phương trình: 
Giải hệ ta được: 
=>
Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD là: 
 Góc φ giữa AC và SD thỏa mãn:= 
Nhận xét: Do bài toán cho ba đại lượng a,b,h nên tính góc giữa SD và AC theo cách này đỡ phải tính toán hơn khi xác định góc bằng hình vẽ rồi dùng hệ thức lượng trong tam giác.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính khoảng cách và góc giữa BC’ và CD’
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có BC=a, AC=b, AA’=h. Tính khoảng cách và góc giữa AB1 và BC1.
Bài 3: Cho lăng trụ đều ABC.A1B1C1, cạnh đáy bằng a. Các đỉnh M và N của tứ diện đều MNPQ nằm trên BC1 còn các đỉnh P và Q nằm trên A1C
a, Tìm đường cao của lăng trụ.
b, Tính khoảng cách giữa BC1 và A1C.
Bài 4: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm tam giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.
2.4.Hiệu quả của SKKN:
Trong các năm học từ 2013-2014 đến 2014-2015 ,tôi đã tiến hành thực nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệp đánh giá tương đối tốt .
Liên tục trong các năm học từ 2015-2016 đến 2018-2019 tôi thực nghiệm với học sinh trong các tiết dạy tự chọn .Sau khi áp dụng phương pháp véctơ vào giảng dạy ở một số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan. Với một số bài toán mà các em không xác định được khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, áp dụng phương pháp véctơ các em đã có thể giải được. Thậm chí một số em còn cảm thấy thích thú với phương pháp này hơn.Cụ thể:
Lớp 11A5 và 11A4 năm học 2015-2016.
Lớp 11A3và 11A9 năm học 2016-2017.
Lớp12A2;và 11A2 năm học 2017-2018.
Lớp11A8và 11A2 năm học 2018-2019.
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như sau:
 Bài 1:
 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc . Các cạnh bên . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
 Bài 2: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm tam giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.
Tỉ lệ học sinh giải đúng cả 2 bài
Tỉ lệ học sinh giải đúng ít nhất 1 bài
Tỉ lệ học sinh không làm được bài
12-15%
50-62%
23-38%
 *Sau khi đã rèn luyện cho học sinh phương pháp véctơ thì vẫn 2 bài tập đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng cả 2 bài
Tỉ lệ học sinh giải đúng ít nhất 1bài .
Tỉ lệ học sinh không làm được bài
72-76%
90-96%
3-5%
 3.KẾT LUẬN -KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận:
 -Do thời lượng của bài: “Khoảng cách” trong phân phối chương trình hạn hẹp( 2 tiết), vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu là bố trí vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố trí dạy vào các buổi ôn tập. 
-Sau khi áp dụng nội dung SKKN trên lớp có thể định hướng cho học sinh giải một số bài toán khác bằng phương pháp véctơ.
3.2.Kiến nghị-đề xuất:
-Phương pháp véctơ trong thực tế còn có nhiều ứng dụng rất lớn và có thể giải được nhiều dạng toán khác nên tôi cũng mong muốn sau khi học thêm nội dung này học sinh thấy hứng thú hơn với phương pháp véctơ trong quá trình giải toán.
-Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn. Tuy nhiên để đề tài được hoàn chỉnh hơn chắc chắn vẫn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.
 XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, 
không sao chép nội dung của người khác. 
 Người viết
 Hà Thị Nguyệt
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.SGK,SBT,SGV hình học nâng cao 11.
2.SGK,SBT ,SGVhình học cơ bản 11.
3."Các bài toán hình không gian giải bằng phương pháp véc tơ"-Đặng Khắc Nhân-Lê Đỗ Lập,NXBGD 1994
4."Quy trình giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ"-Nguyễn Văn Lộc NXBGD 1994.
5."Hình học 11-Ban KHTN-KT"-Văn Như Cương,Phạm Gia Đức, Vũ Dương Thụy-NXBGD 1995
6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học của các trường THPT,của các sở GD-ĐT trên cả nước.
7. Các đề thi Đại học của Bộ giáo dục và đào tạo.
 DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A,