SKKN Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU .........	1
1.1. Lý do chọn đề tài....	1
1.2. Mục đích nghiên cứu......	1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.....	2
1.4. Phương pháp nghiên cứu........	2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.............................................	2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ....................................	3
2.1. Cơ sở lí luận ..................................................	3
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu....	4
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ........	4
2.4. Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản 
thân, đồng nghiệp và nhà trường...................................	15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......	17
3.1. Kết luận về vấn đề nghiên cứu ..................................................................	17
3.2. Kiến nghị....	17
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Phương pháp dạy học hiện nay nói chung và phương pháp dạy học toán trong nhà trường nói riêng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học và hướng tới phát triển các năng lực tư duy sáng tạo, nhận biết, khái quát hóa khả năng giải quyết các vấn đề độc lập. 
Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc. Là một giáo viên giảng dạy môn toán. Bản thân tôi luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các dạng toán rất phong phú, kiến thức học sinh có hạn. Chính vì thế mà dạy và học như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức một cách có hệ thống có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán. 
	Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải thích hợp. Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6. Sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều. Để giải được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng. Những kiến thức này không được phân phối trong trong các tiết học nên học sinh ít được vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó. Vì vậy khi gặp những bài tập khó này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú học môn toán nữa. 
	Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này. Tôi thấy rằng cần phải giúp các em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải. Từ đó gây hứng thú cho các em đồng thời rèn cho các em kỹ năng giải thành thạo dạng toán. 
	Vậy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán 6 và làm nguồn bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán 7, 8, 9 ở trường THCS Đông Cương tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích đưa ra một số phương pháp tìm lũy thừa đối với học sinh khá giỏi lớp 6.
Giúp học sinh vận dụng các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào từng dạng bài cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng bài nhanh, sử dụng phương pháp thuần thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích.
Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể.
Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong công tác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào từng dạng bài khác nhau từ đấy rèn cho học sinh các kĩ năng tìm lũy thừa, so sánh lũy thừa vào các bài tập cụ thể và một số các bài tập nâng cao về lũy thừa trong đề thi khảo sát chất lượng học kì của TP Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
	- Phát triển một số kiến thức nâng cao về phần lũy thừa mà sách giáo khoa không đề cập.
	- Đề tài được thông qua đồng nghiệp và được đồng nghiệp áp dụng vào dạy học đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
	Trên cơ sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” trong sách giáo khoa toán 6 và các tài liệu nâng cao toán 6. Qua nhiều năm dạy toán và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán. Tôi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán thì giáo viên phải dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về lũy thừa, từ đó mở rộng nâng cao các kiến thức về lũy thừa và đưa ra các phương pháp giải bài toán về lũy thừa. 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.2.1. Thực trạng.
Mặc dù học sinh đã được học và giải các bài toán về lũy thừa của một số ở lớp 6, bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức. Nhưng thực tế học sinh khá, giỏi toán ở trường THCS Đông Cương giải đúng và có kỹ năng giải chiếm tỉ lệ thấp, phần lớn học sinh chưa giải được các bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức hoặc chỉ giải đúng được một vài bước.
Từ thực trạng trên, tôi đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi và thử nghiệm phương pháp riêng của mình và bước đầu đã có những dấu hiệu khả quan.
2.2.2. Kết quả của thực trạng.
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 6. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa thành thạo khi làm các dạng bài tập về lũy thừa, vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng giải các bài toán về lũy thừa.
Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của 40 học sinh lớp 6A và 40 học sinh ở lớp 6C Trường THCS Đông Cương năm học 2017- 2018 khi chưa áp dụng đề tài này. Kết quả thu được như sau:
Lớp
Số HS
Học sinh giải đúng
Học sinh giải được một vài bước đúng
Học sinh không giải được.
SL
%
SL
%
SL
%
6A
40
7
17,5
15
37,5
18
45
6C
40
5
12,5
14
35
21
52,5
Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp 6 chưa giải được các bài toán về về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao thì có nhiều nguyên nhân, song theo quan điểm của tôi chỉ tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây:
Thứ nhất: Do phần lũy thừa là phần mới đối với học sinh;
Thứ hai: Do các em chưa nắm vững các phương pháp giải các bài toán về lũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập về phần lũy thừa;
Thứ ba: Do các em chưa đọc và giải nhiều bài tập ở sách nâng cao toán 6 về chủ đề lũy thừa.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Các giải pháp thực hiện.
1. Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa.
2. Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số bài tập và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018. 
3. Luyện giải các các bài toán nâng cao về lũy thừa trong các đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa.
4. Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa.
2.3.2. Các biện pháp tổ chức thực hiện.
1. Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa.
1.1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.
+ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
 (n Î N*)
+ Quy ước: a1 = a; a0 = 1(a ≠ 0)
1.2. Các phép toán về lũy thừa. 
*) Với a, b, m, n Î N ta có các phép tính:
+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: am. an = am+n; am. an . ap = am+n+p (p Î N)
+ Chia hai lũy thừa cùng cơ số:	 am : an = am-n 	 (a ≠ 0, m > n)
+ Lũy thừa của một tích: (a.b)m = am. bm 
+ Lũy thừa của một thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 )
+Lũy thừa của lũy thừa: (am)n = am.n 
+ Lũy thừa tầng: 
*) Với x là phân số, n Î N; a, b Î Z 
xn = 	( x Î N*)
+ 	(b ≠ 0)
1.3. Tính chất về thứ tự:
+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn)
 a = b (nếu n lẻ)
+ Nếu am = an thì m = n
+ Nếu 0 n và m,n Î N* => am < an 
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+ Nếu m > n > 0, a > 1 => am > an 
+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Chú ý: Với n Î N: (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1
2. Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số dạng bài tập và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018. 
2.1. Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân chia dưới dạng một lũy thừa.
*Phương pháp: - Biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số .
 - Áp dụng công thức: 	 am . an = am + n; 
 am : an = am- n 
 an . bn = (a.b)n 
 (a : b)n = an : bn 
* Ví dụ 1. Viết các tích, thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a) A = 
Giải: 
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 4 
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 2 
b)
Giải: 
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683. 
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 3. 
c, 
Giải: 
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683. 
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683. 
Cách 3: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 125 rồi thực hiện phép nhân chia. 
*Nhận xét: Đối với dạng bài tập này, có rất nhiều cách giải. Tuy nhiên để thuận tiện cho việc tính toán ta thường đưa về lũy thừa của cùng một số nguyên tố.
`	2.2. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức.
2.2.1. Các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên:
* Phương pháp:
- Thực hiện theo thứ tự phép tính và sử dụng các phép tính của lũy thừa để tính. 
- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: 
a) 
+ Hướng dẫn: Các lũy thừa của 45 và 5 có cùng số mũ là 3. Lũy thừa của 24 và 12 có cùng số mũ là 6. Vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính: Nhân, chia đến cộng, trừ.
Giải:
Vậy A= 0.
b) 
+Hướng dẫn: Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8, sau đó sử dụng tính chất phân phối của phép cộng dể thực hiện.
Giải: 
Cách 1: 
C. Vậy C=72
Cách 2: 
 	Vậy C= 72.
2.2.2. Các biểu thức có dạng phân số: 
+ Phương pháp: Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa. Sau đó sử dụng tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không.
Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức:
+ Hướng dẫn: Đưa tử và mẫu về dạng tích của các lũy thừa có cơ số là các số nguyên tố. Sau đó ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũy thừa, tính lũy của lũy thừa, rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau.
Giải: 
A= 3.5= 15. Vậy A= 15.
+ Hướng dẫn: Biểu thức C có tử là một tổng vì vậy ta có thể biến đổi rồi sử dụng tính chất phân phối viết tử thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn.
Giải: 
. 
Vậy C
2.2.3. Biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo quy luật.
* Phương pháp: Làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó có chứa các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừ hai biểu thức.
Ví dụ 4. Thu gọn biểu thức sau:
+ Hướng dẫn:
 - Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị.
 - Nhân cả hai vế của biểu thức với (có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong A có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp). 
Giải: 
Vậy .
Ví dụ 5. Thu gọn biểu thức:
+ Hướng dẫn: 
- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị. 
- Nhân cả hai vế của biểu thức với (có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp). 
Giải: 
Vậy 
Ví dụ 6. Thu gọn biểu thức: 
+ Hướng dẫn: - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là lũy thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị. Nhân cả hai vế của biểu thức với 3.
Giải: 
2.3. Dạng 3. So sánh hai lũy thừa. 
2.3.1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số .
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số.
 - Sử dụng tính chất: Nếu m > n thì ( a > 1 ).
Ví dụ 1. So sánh các số sau: a)và ; b) 19920 và 200315
a) + Hướng dẫn: 
- Các cơ số 27 và 81 đều là lũy thừa của 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh. 
 Giải: 
Ta có 
 Vì 
 Vậy 
b) + Hướng dẫn: - Ta biến đổi đưa về so sánh qua lũy thừa của một số trung gian.
Giải: 
Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20 = 260 . 540
 201315 > 200015 = (16.125)15 = (24 . 53)15= 260.545 
 Vì 260 . 540 < 260.545 nên 19920 < 201315.
2.3.2. So sánh hai lũy thừa cùng số mũ. 
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.
 - Sử dụng tính chất: Nếu a > b thì ( m > 0 )
Ví dụ 2. So sánh: và với 
+ Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n và 3n đều có chung thừa số n nên ta viết hai lũy thừa trên thành các lũy thừa có cùng số mũ là n, rồi so sánh cơ số.
Giải: 
Ta có : ; 
Với nên ta có 
 Áp dụng. So sánh:
a) 3200 và 2300 
Ta có: 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23) 100 = 8100
 Vì 9100 > 8100. Nên 3200 > 2300
	b) 1619 và 825
	Ta có: 
Vì 276 > 275 nên 1619 > 825.
2.4. Dạng 4: Tìm số chưa biết trong lũy thừa. 
2.4.1. Tìm cơ số: 
* Phương pháp: 
- Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng số mũ. 
- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b hoặc a = - b (nếu n chẵn )
 a = b (nếu n lẻ) 
Ví dụ 1. Tìm số nguyên x, biết: 
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 3 nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số mũ là 3.
Giải: 
	Vậy x= - 4.
Ví dụ 2. Tìm số nguyên x, biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 2 cả hai lũy thừa đều biết số mũ là 2, nhưng cơ số chưa biết. Do đó ta sử dụng tính chất bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi cơ số của chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
Giải: 
Ta có: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 
 => x – 5 = 1– 3x hoặc x – 5 = 3x – 1
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: 
 x – 5 = 1– 3x 
 4x = 6 
 x = 
 Z
* Trường hợp 2: 
 x – 5 = 3x – 1
 2x = -4
 x = -2Z 
 	Vậy x = -2.
2.4.2. Tìm số mũ:
* Phương pháp: - Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng cơ số. 
 - Áp dụng tính chất: thì m = n
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x, biết: a); b) 16x < 1284
a)+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở số mũ của lũy thừa có cơ số là 5 nên ta viết vế phải thành lũy thừa có cơ số là 5.
Giải: 
 . Vậy x = 4.
b)+ Hướng dẫn: Biến đổi rồi đưa về lũy thừa cùng cơ số 2.
Giải: 
Ta có: 
 4x < 28
Vậy .
 Ví dụ 4. Tìm n Z, biết: 32-n. 16n = 1024
 + Hướng dẫn: Viết các lũy thừa về dạng lũy thừa của 2 .
Giải: 
32-n. 16n = 1024
(25)-n. (24)n = 1024
 2-5n. 24n = 210
 2-n = 210
=> n = -10. Vậy n = - 10.
5.Dạng 5. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa: 
Kiến thức:
+Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa: 
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi, còn nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
+Tìm hai chữ số tận cùng: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: 
- Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó.
- Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
- Các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
- Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.
- Số 25n (n N, n >1) có tận cùng là 25.
5.1.Tìm một chữ số tận cùng.
Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: 10092008 ,8732, 5833, 47102.
+ Hướng dẫn: Lũy thừa 10092008 ta viết số mũ 2008 dưới dạng 2.1004 ; 8732 viết số mũ 32 dưới dạng 4.8; 5833 viết dưới dạng 58.5832; còn 47102 viết dưới dạng 47100. 472. Và dựa vào kiến thức trên ta dễ dàng tìm được chữ số tận cùng.
Giải:
10092008 = 10092.1004 = (10092)1004 = (...1)1004 = ...1, có chữ số tận cùng bằng 1.
8732=874.8=...1, có chữ số tận cùng bằng 1.
5833 = 58 . 5832 = 58 . 584.8 =(...8) . (...6) = ...8, có chữ số tận cùng bằng 8.
47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 = (...1) . (...9) = ...9, có chữ số tận cùng bằng 9.
5.2.Tìm hai chữ số tận cùng.
Ví dụ 2. Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100; 3100 
+ Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét ở trên ta viết thành lũy thừa của 220.5, thành lũy thừa của 320.5.
Giải:
2100 = (220)5 = ()5 =
3100 = (320)5= ()5 = 
3. Một số bài toán nâng cao và một số bài toán về lũy thừa trong đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa.
*Nhận xét: Trong 5 dạng toán về lũy thừa đã giới thiệu ở trên, mỗi dạng có phương pháp làm cụ thể song trong quá trình làm bài ta gặp các bài toán mà phải sử dụng tổng hợp các kiến thức đã làm trong các bài trên như tìm chữ số tận cùng, so sánh phân số  như các loại bài sau: 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: chia hết cho 2 và 5
+ Hướng dẫn: - Các số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 2 và 5. 
 - Do đó ta đi tìm chữ số tận cùng của biểu thức A
Giải:
 = 
Vì biểu thức A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 0 và 5.
Ví dụ 2. So sánh C và D biết: 
 	 và 	 
 (Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2014-2015)
Giải:
Ta có: C = 
 D = 
 Mà nên 
Vậy C > D
	Ví dụ 3. Cho 10k - 1 19 ( k Î N) Chứng minh: 
 102k - 1 19 
( Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2014-2015)
Giải:
	Ta có: 102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
 = (10k - 1). ( 10k + 1) 19 (vì 10k -1 19)
Mở rộng bài toán: Cho 10k - 1 19 ( k Î N) Chứng minh: 
 103k - 1 19 
 Giải:
	Ta có: 103k - 1 = ( 103k - 10k) + (10k - 1)
 = 10k . ( 102k - 1) + ( 10k - 1)1 19 
Do 102k -1 19; 10k -1 19
Vậy 103k - 119. 
Ví dụ 4. So sánh: A = 1+2+ 22 + 23 +24+25++ 22008 và B = 22009 – 1
+ Hướng dẫn: Biểu thức A là tổng các lũy thừa viết theo quy luật, để so sánh A và B ta phải thu gọn biểu thức A.
Giải:
Vậy A = B.
Ví dụ 5. Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ... + 201271 + 201272 và 
B = 201273 - 1. So sánh A và B.
 (Đề thi HSG huyện Bá Thước - Thanh Hóa năm 2011-2012).
Giải:
Ta có: 
A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ... + 201271 + 201272 
2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201273
2012A – A = 201273 – 1
Do 201273 – 1= B
Suy ra: 
Vậy A < B.
Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng: H = 
 + Hướng dẫn: - Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được giáo viên dẫn dắt, gợi mở cho học sinh.
- Giáo viên giới thiệu kiến thức: 	(n N*)
	Giải: 
Ta có:  ;  ;  ;  ; 
 => H = 	 
Mà => H < 1.
Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Ví dụ 7. Chứng tỏ rằng: 
M = ( với và n 2)
	Giải: 
Ta có: 
 ;  ;  ;  ; 
 => M = 	 
Mà 
 => M < 1.
Ví dụ 8. Cho 
 So sánh A với 
( Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2015-2016)
 Giải: 
Ta có A là tích của 99 số âm , nên A< 0. Do đó:
 < . Vậy < 
Ví dụ 9. Tìm các số nguyên dương x,y biết: 
(Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2017-2018)
Giải:
Vì 
Nhận thấy x > y. Ta xét bài toán trong các trường hợp sau:
+) x - y = 1 ta có: khi đó x= 9
+) Nếu x - y thì là một số lẻ lớn hơn 1, nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của ( 1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 (Mâu thuẫn).
Vậy x = 9, y= 8.
Vậy để giải một giải bài toán về lũy thừa nào đó có thể có nhiều cách giải, có thể kết hợp nhiều phương pháp giải. Vấn đề đặt ra là chúng ta phải lựa chọn phương pháp nào để giải sao cho ngắn gọn và chính xác.
4. Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa.
Khi giải bài toán về lũy thừa học sinh thường hay mắc các sai lầm sau:
- Nhầm lẫn về cách tính một lũy thừa, tìm thiếu nghiệm.
- Trình bày dài dòng, chưa lôgic...
Sau khi dạy song chủ đề này, tôi đã chỉ ra các lỗi sai mà các em