SKKN Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài 
 Toán học là bộ môn khoa học cơ bản nhất trong số các bộ môn khoa học tự nhiên; Toán học giúp thúc đẩy khả năng phát triển tư duy cho người học, người nghiên cứu.
 Trong sự chuyển mình tích cực của giáo dục nước ta, tôi nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng hàng đầu. Đối với dạy học bộ môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng, dạy học giúp phát triển tư duy cho học sinh ngoài việc đòi hỏi ở giáo viên năng lực chuyên môn, năng lực sư phạm ra còn đòi hỏi nhiều về thời gian và sự tâm huyết ở mỗi người giáo viên.
 Trong các nội dung học tập ở trường THPT, phần hàm số đóng vai trò quan trọng hàng đầu vì có rất nhiều kiến thức được đề cập và rất nhiều dạng bài tập phong phú nhằm bồi dưỡng năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, điển hình là các bài toán về đồ thị và các câu hỏi phụ của nó. Mặc dù đây là dạng toán thường gặp và xuất hiện trong hầu hết các đề thi nhưng học sinh thường vướng tâm lí “đầu có xuôi thì đuôi mới lọt” nên để làm tốt cả đề thi, các em cần làm tốt ngay từ đầu những bài toán này.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì các em chỉ cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa là có thể làm được ở mức độ vận dụng đơn giản, tuy nhiên nếu kết hợp viết phương trình tiếp tuyến với tương giao, cực trị, tiệm cận, chứng minh bất đẳng thức trong cùng một câu hỏi, đa số các em sẽ lung túng và không thể giải quyết trọn vẹn vấn đề.
 Từ thực tế đó, tôi đã tổng hợp và khai thác thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” làm đề tài nghiên cứu với 6 dạng toán khác nhau, mỗi dạng gồm 3 mục là phương pháp, ví dụ, bài tập được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, bên cạnh các bài tập tự luận tôi còn đưa thêm các bài tập trắc nghiệm và các chú ý cần thiết cho mỗi bài tập khó.
1.2.Mục đích nghiên cứu : 
 Tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” với mong muốn tự bổ sung vốn kiến thức và phục vụ quá trình giảng dạy cho bản thân nhằm cung cấp cho học sinh các phương pháp và kĩ năng hiệu quả nhất. Hi vọng đề tài nhỏ này cũng sẽ giúp các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có cái nhìn linh hoạt, chủ động và tương đối đầy đủ khi gặp bài toán viết phương trình tiếp tuyến.
1.3.Đối tượng nghiên cứu :
 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 bậc trung học phổ thông tại trường THPT Mai Anh Tuấn.
 Phạm vi nghiên cứu: Một số mảng kiến thức lý thuyết và bài tập (bao gồm cả tự luận và trắc nghiệm) được nêu trong các bài học của chương V (từ trang 145 đến trang 180) sách Đại số và giải tích 11; chương I (từ trang 4 đến trang 67) sách Giải tích 12, bậc trung học phổ thông. 
 1.4.Phương pháp nghiên cứu: 
 Đề tài sử dụng phương pháp khảo sát thông qua việc giảng dạy thực tế, thu thập thông tin từ những nguồn tài liệu liên quan; phương pháp thống kê, xử lí thông tin; trao đổi thảo luận với các đồng nghiệp để đề xuất các biện pháp thực hiện. Trong đó phương pháp chính là từ những quan sát thực tiễn trong quá trình giảng dạy, tôi thu thập thông tin để giải quyết vấn đề 
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
 Điều 24.2 của Luật giáo dục (sửa đổi) 2005 đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học; phù hơp với đặc điểm của từng lớp học môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động dến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”
 Trong lý luận dạy học đã chỉ rõ: Phương pháp dạy học tích cực là những phương pháp giáo dục/ dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. Trong đó các hoạt động học tập được tổ chức, được định hướng bởi người thầy, người học chủ động, tự lực, tích cực tham gia vào quá trình tìm kiếm, khám phá, phát hiện kiến thức, vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề thực tiễn, qua đó lĩnh hội nội dung học tập và phát triển năng lực sáng tạo. 
 Phương pháp dạy học này không chỉ quan tâm đến yêu cầu thông hiểu, ghi nhớ, tái hiện các kiến thức theo SGK mà còn đặc biệt chú ý đến năng lực nhận thức, rèn luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy (phân tích, tổng hợp, xác lập quan hệ giữa các sự kiện, giả thuyết, qui lạ về quen) nhằm giúp học sinh có được kinh nghiệm tiếp cận bài toán khó theo từng bước từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với khả năng từng em.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 
Qua thực tế giảng dạy THPT nói chung và dạy chương trình lớp 11, 12 nói riêng, tôi nhận thấy:
- Khả năng phân tích, tổng hợp các kiến thức về vấn đề này của học sinh nhìn chung chưa tốt.
- Kỹ năng biến đổi và phân loại các dạng toán để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của học sinh chưa thực sự linh hoạt.
- Kỹ năng tính toán của học sinh còn yếu 
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
 Phần A: Hệ thống và bổ sung các nội dung lí thuyết:
A1.Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm:
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0), tức là 
	f’(x0) = 
Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x – x0 và ∆y = f(x0+∆x) – f(x0) thì ta có
Chú ý rằng: 
.) Số ∆x = x – x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0, 
 Số ∆y=f(x0+∆x) – f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x0
.)Số ∆x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
.)∆x và ∆y là những kí hiệu ( không nên nhầm lẫn rằng ∆x = ∆.x và ∆y = ∆.y)
A2.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M0 cố định thuộc (C) có hoành độ x0. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu xM là hoành độ của nó và kM là hệ số góc của cát tuyến M0M.Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn 
Khi đó ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M di chuyển dọc theo(C) dần đến M0.
 Đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0, còn điểm M0 được gọi là tiếp điểm.
A3.Hệ số góc của tiếp tuyến
 Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0. Với mỗi điểm M trên (C) ta có
 Vì f có đạo hàm tại điểm x0 nên 
 Do đó, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0, f(x0)).
A4.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0,f(x0)) có phương trình là : y = f’(x0)(x- x0) + f(x0).
A5.Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị : 
 Đường thẳng y = kx + b tiếp xúc với đường cong y = f(x) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 	 
 Phần B: Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Dạng 1: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị.
Đây là dạng thường gặp và dễ giải quyết nhất của bài toán tiếp tuyến.
a. Phương pháp:
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0.
- Để viết được phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0), học sinh cần xác định được ba yếu tố là x0, y0, f’(x0) dựa theo các giả thiết của bài toán.
- Riêng với hàm số y = có đồ thị (C), nếu (C) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = x0 thì tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là k =. Thật vậy, (C) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = x0 nên u(x0) = 0 và v(x0) ≠ 0. Hệ số góc là 	 
b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3 –6x2 +9x–2 tại điểm M có hoành độ x0= 1
 Phân tích:Bài toán này đã cho x0= 1 đồng thời ẩn đi y0 và f’(x0), do vậy để viết được phương trình tiếp tuyến thì cần xác định được hai yếu tố này.
 Bài giải: Ta có x0= 1 => y0= y(x0) = 2, y’(x0) = y(1) = 0 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 0(x – 1 ) + 2 hay y = 2
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục hoành 
 Phân tích: Đây là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số dạng phân số nên ta sẽ dùng nhận xét đã trình bày ở trên để giải.
 Bài giải: Giao điểm là A(2; 0), B(-4; 0).Phương trình tiếp tuyến lần lượt là
 y = 6x – 12 và 
Ví dụ 3: [Cao đẳng khối A, A1, B, D - 2013]. Cho hàm số . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt các trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
 Phân tích: Đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M biết tung độ y0, ta thường tìm hoành độ x0 bằng cách giải pt f(x0) = y0. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm tìm được.
 Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1}. Ta có pt: . Vìnên phương trình tiếp tuyến là (d): y = - 3x. 
Đường thẳng (d) cắt Ox tại A (; 0) và cắt Oy tại B (0; 11). Vì tam giác OAB vuông tại O nên [8]
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2x + 1 có đồ thị (C). Giả sử hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là trung điểm AB.
 Bài giải : y’ = 3x2 – 6x + 2, y” = 6x – 6, điểm uốn M (1; 1).
Giả sử A, B có hoành độ lần lượt là a, b (a≠b). Tiếp tuyến tại A và B song song nên k1 = k2 ó 3a2 – 6a + 2 = 3b2 – 6b + 2 ó(a – b) (a + b – 2) = 0 ó a + b = 2 => A(a; a3 – 3a2 + 2a + 1), B(2 – a; -a3 + 3a2 – 2a + 1)
Trung điểm AB là M (1; 1) chính là điểm uốn của đồ thị. [8]
Ví dụ 5: Cho hàm số y = (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận và M là điểm bất kì thuộc (C ), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi khi M thay đổi trên (C). Tìm M để AB nhỏ nhất.
 Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1}. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 1. Tiếp tuyến tại M (a; ) là 
(d) cắt các tiệm cận tại A (2a – 1; 2) và B (1;). Suy ra trung điểm AB là điểm M.Giao của hai tiệm cận là I (1; 2). Tam giác IAB vuông tại I nên và AB ≥22. Dấu “=” xảy ra khi a = 3 hoặc a = 1 nên 
M (3; 3) hoặc M (1; 1).
c.Ví dụ trắc nghiệm [8]
Ví dụ 6: (Đề thi thử THPT Lam Kinh – 2017): Hàm số (C). Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox là:
A, y = -x + 1 B, y = -x -1 C, y = 2x + 2 D, y = 2x – 1
Ví dụ 7: (Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2017) Hàm số (C). Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy là:
A, y = 2x + 2 B, y = -x + 1 C, y = -x -1 C, D, y = 2x – 1
Ví dụ 8: (Đề thi thử THPT chuyên KHTN – 2017) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ -1 của đồ thị có hệ số góc là 
A, B, - C, - D, 
Ví dụ 9 : (Đề thi thử THPT Hàn Thuyên) Tiếp tuyến tại điểm M của đồ thịtạo với hai tiệm cận một tam giác vuông có diện tích không đổi. Tìm diện tích đó
A, 4 B, 8 C, 2 D, 1
Ví dụ 10 : (Đề thi thử THPT Hoài Ân – 2017) Tiếp tuyến tại điểm M có tung độ bằng 5 của đồ thịcắt Ox, Oy tại A, B. SOAB là :
A, B, 	 C, D, 
Ví dụ 11 : (Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn – 2017) Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 5 của đồ thị là:
A, B, C, D, 5ln3
d. Bài tập áp dụng[8]
Bài tập 1[Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc-2014]: Cho hàm số y = mx3 – (2m+1) x + m + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m ≠ 0 để tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. Đáp số 
Bài tập 2 [Đề thi thử THPT chuyên ĐHSPHN-2014]: Cho hàm số y = -x3 +3x+2 có đồ thị (C). Đường thẳng d đi qua I (0; 2) có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B. Gọi d1, d2 là tiếp tuyến của (C) tại A, B.Chứng minh rằng I cách đều d1, d2. Đáp số k < 3
Bài tập 3: [Đề thi thử THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa – 2013] Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng (C) y = x3 – 3x2 +4 tại ba điểm phân biệt N, P, 
M (2; 0) sao cho tiếp tuyến tại N và P vuông góc. Đáp số y =(x – 2).
Bài tập 4: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh A-2014] Cho hàm số 
 (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M biết khoảng cách từ M đến đường thẳng y = 2x–1 bằng. Đáp số y =x + và y = 8x – 1.
Dạng 2: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc 
a. Phương pháp: 
 Ta biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x = x0 là k = f’(x0). Để lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k, ta có thể làm theo hai cách Cách 1: Xét hàm số, tính đạo hàm y’ = f’(x)
 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: f’(x) = k, giải pt để 
suy ra x0.
 Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x – x0) + y0.
Cách 2: Phương trình đường thẳng với hệ số góc k có dạng y = kx + b
 Đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ fx=kx+bf'x=k có nghiệm. Giải hệ rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. Nghiệm của hệ chính là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị.
 Chú ý - Hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau (Sau khi giải phải thử lại để loại trường hợp trùng nhau)
- Hai đường thẳng vuông góc khi tích hai hệ số góc bằng -1
- Hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng và trục hoành
- Hai đường thẳng d1, d2 không vuông góc có hệ số góc k1, k2 thì góc α giữa chúng được tính theo công thức 
. b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 12: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 9.
 Bài giải: Cách 1 : Gọi x0 là hoành độ điểmM, khi đó x0 là nghiệm phương trình : y’(x0) = k ó 3 x02 – 3 = 9 ó x0 = ±2. Vậy M (2; 0) hoặc M (-2; -4).
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = 9x + m. (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm . Vậy M (2; 0) hoặc M (-2; -4).
Ví dụ 13: [Đề thi ĐH khối B – 2006] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
 Giải: Tập xác định: D = R\ {-2}. Đồ thị có tiệm cận xiên y = x – 1. Tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên nên có hệ số góc k = -1. Xét phương trình: y’(x0) = k ó x0 = nên phương trình tiếp tuyến là y = x – 5 ±2.[8]
Ví dụ 14: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh – 2013] Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C) : . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M sao cho IM vuông góc (d).
 Phân tích: Vì IM chưa có hệ số góc cụ thể nên nếu chọn phương pháp viết theo hệ số góc sẽ khá rối, trong khi đó nếu viết theo tọa độ điểm M thì chỉ cần một phương trình là đủ.
 Bài giải: Tập xác định: D = R\ {2}. Đồ thị có các tiệm cận x = 2 và y = 1 và giao điểm của chúng là I (2; 1). Gọi M (a ; ) ∈ (C ) (a≠2). Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M là k1= y’ (a) =. Hệ số góc của IM là . Hai đường thẳng vuông góc nên =-1 suy ra a = 1 ; a = 3, ta có phương trình tiếp tuyến là y = -x + 1và y = -x + 5.[8] 
Ví dụ 15: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với Ox song song với (d): y=x - 
 Bài giải: đồ thị (C) cắt trục hoành khi và chỉ khi m≠0 và m. Tiếp tuyến tại hoành độ giao điểm có hệ số góc . Tiếp tuyến song song với (d) nên => m =; m = -1.Với m = phương trình tiếp tuyến là y = x - (loại do tiếp tuyến trùng (d)) .Với m = -1phương trình tiếp tuyến là y = x + 1(thỏa mãn). Vậy m = -1.
Ví dụ16: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy tại A, B sao cho AB = 10.OA.
Bài giải: Cách 1 : Ta có y’ =. Phương trình tiếp tuyến tại M (a ; ) 
là y = (x – a) + cắt Ox tại A, Oy tại 
B. Tam giác OAB vuông tại O nên OA2 + OB2 = AB2 ó 
a = -1 hoặc a =-3 nên phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 2 và y = 3x + 14. 
Cách 2: OA2 + OB2 = AB2 ó tanOAB = = 3. Suy ra hệ số góc k =3.
Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 2 và y = 3x + 14. 
Ví dụ 17: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =	 biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
 Phân tích: Với bài toán này ta có hai sự lựa chọn:
Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại x = x0, viết phương trình tiếp tuyến tại x = x0, tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ rồi thay vào biểu thức OA = OB.
Tam giác OAB vuông cân tại O nên góc OAB = 450 k = 1.
 Bài giải: Cách 1: Tiếp tuyến tại M (a ; ) là y =(x – a) + cắt Ox tại A(2a2+ 8a + 6; 0), Oy tại B(0; ) . Vì OA = OB nên a =-1 (loại) hoặc a =-2 phương trình tiếp tuyến là y = - x – 2. 
Cách 2: Tam giác OAB vuông cân tại O nên góc OAB = 450 hay hệ số góc k = 1. Khi k = 1, phương trình ó a = -1 hoặc a = -2. Với a = -1 thì phương trình tiếp tuyến y = -x không cắt các trục tại hai điểm phân biệt nên loại. Với a =- 2 phương trình tiếp tuyến là y = - x – 2. 
c.Ví dụ trắc nghiệm[8]
Ví dụ 18 ( Đề thi thử THPT Hòn Gai 2017 ) : Cho hàm số . Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại M song song với d: y = 9x + 2
A, M(-3; -4) B, M(1; 0), M(-3; -4) C, M(-1; -1), M(3; 5) D, M(1; 0)
Ví dụ 19 (Đề thi thử THPT Tĩnh Gia 3 – 2017) : Cho hàm số . Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc lớn nhất là
A, y = 2x B, y = 2x – 1 C, y = -2x D, y = -2x + 2
Ví dụ 20 (Đề thi thử sở GD-ĐT Bà Rịa Vũng Tàu) : (C): và (d) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất . Điểm nào thuộc (d):
A, M(0; 3) B, N(-1; 2) C, P(3; 0) D, Q(2; -1)
Ví dụ 21 (Đề thi thử THPT chuyên Hà Giang – 2017) Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc nhỏ nhất.
A, M(2; ) B, (2; ) C, (; 2) D, (; 2) 
Ví dụ 22 (Đề thi thử THPT Quốc học Huế - 2017) Tìm M thuộc (C) : sao cho tiếp tuyến tại M song song với (d): .
A, M(0; 1) M(2; 3) B, (1; 0) (-3; 2) C, M(-3; 2) D, M(1; 0)
d. Bài tập áp dụng
Bài tập 5: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = 12 x + 2. Đáp số y = -2x + 7 và y = -2x – 9 
 Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng (d): 9x – y + 6 = 0. Đáp số y = 9x – 26 
Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = 3x một góc 450. Đáp số y = x + 1, y = x +5
Bài tập 8: Tìm m để đồ thị (C): có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng (d) : 3x + y – 1 = 0 một khoảng 10. Đáp số m = 1 hoặc m = 
Dạng 3: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Phương pháp
 Cách 1: Gọi phương trình tại tiếp điểm M(x0; y0) là của tiếp tuyến d và đồ thị là y – y0 = f’(x0) (x - x0).Vì tiếp tuyến đi qua A nên yA – y0 = f’(x0) (xA - x0 ). Giải phương trình được x0; y0 rồi viết phương trình tiếp tuyến
 Cách 2: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A, phương trình d dạng y = k(x – xA) + yA là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
. Giải hệ tìm x, tìm k, rồi viết phương trình tiếp tuyến.
b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 23: [Đề thi thử THPT chuyên Quốc học Huế] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến đi qua A (1; -1).
 Bài giải: Tiếp tuyến (d) tại M (a, a4 – 2a2) là y = (4a3 – 4a)(x – a) + a4 – 2a2. Vì A∈ (d) nên (a – 1)2(3a – 1)(a + 1) = 0 x = 1 hoặc x = . Với x =1 thì (d): y = -1. Với x = thì (d): y = - x + .[8]
 Nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy không phải lúc nào số tiếp tuyến cũng bằng số tiếp điểm, cụ thể : có 3 tiếp điểm nhưng chỉ có hai tiếp tuyến. Như vậy cũng suy ra ở đồ thị hàm số bậc 4 có thể có tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 24: Cho (C) y = x3 – 2x2 + (m – 2) x + 3m (m là tham số). Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số đi qua điểm A (1 ; ).
Bài giải : Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x0, y0) : k = y’(x0) = 3x02 – 4x0 + m – 2. Ta có kmin = m - khi x0 = => M (;) =>phương trình tiếp tuyến: y = (m - ) (x - ) +. Vì A thuộc tiếp tuyến nên m = 
Ví dụ 25: [Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2014] Viết phương trình tiếp tuyến của (C): đi qua giao điểm của tiệm cận và Ox.
 Bài giải: Đồ thị có giao điểm của tiệm cận và Ox là M (-; 0). Đường thẳng d đi qua M: y = k(x +) là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
. Vậy d: y =x.[8]
Ví dụ 26: Cho (C) : . Chứng minh rằng từ A (1; -1) có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến (C).
 Bài giải : Đường thẳng d: y = k(x – 1) – 1 là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: (tích bằng -1) 
c.Ví dụ trắc nghiệm .[8]
Ví dụ 27 (Đề thi thử THPT Bắc Kạn – 2017) Số tiếp tuyến đi qua điểm 
A(1; -6) của đồ thị là:
A, 3 B, 2 C, 0 D, 1
Ví dụ 28 Hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm có hệ