SKKN Hướng dẫn học sinh dùng tư duy hàm số để giải phương trình, hệ phương trình

 MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU: 
 1. Lí do chọn đề tài
 2. Mục đích nghiên cứu
 3. Đối tượng nghiên cứu
 4. Phương pháp nghiên cứu
01
01
01
02
02
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
03
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
03
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
03
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 3.1 Mục tiêu của giải pháp
 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
 GP1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình 
Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình 
Các dấu hiệu nhận biết một phương trình giải được bằng phương pháp hàm số.
 GP2: Vận dụng thực hành khi giải hệ phương trình
 1- Thao tác thực hành khi tư duy hàm số giải hệ 
 2- Xây dựng hệ thống các bài tập chọn lọc cho học sinh 
 3 - Hướng dẫn học sinh xây dựng các dấu hiệu cho hệ 
 phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số
 GP3: Nêu một số vấn đề liên quan đến tư duy hàm số
 VĐ1 : Tư duy hàm số giải bất phương trình
 VĐ2 : Tư duy hàm số trong bài toán chứa tham số 
 VĐ3 : Tư duy hàm số trong chứng minh bất đẳng thức...
 VĐ4 : Mối liên hệ giữa phương pháp hàm số và các phương 
 pháp giải toán khác
4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
05
05
05
12
 15
 15
III.
KẾT LUẬN 
17
1. Kết luận
17
2. Kiến nghị
18
I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI	
Phương trình, hệ phương trình là một vấn đề quan trọng của toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi tuyển sinh Đại học. Việc giải toán phương trình, hệ phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán. 
Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải toán mà không có những định hướng tư duy chiến lược cho việc giải toán nội dung này. 
 Tư duy hàm là một tư duy cao, được hình thành và phát triển trong quá trình học toán. Việc vận dụng tư duy hàm trong giải toán phương trình, hệ phương trình không những giúp học sinh giải quyết bài toán một cách sáng tạo , nhẹ nhàng mà còn giúp học sinh phát triển và hoàn thiện tư duy hàm. 
Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán phương trình, hệ phương trình. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải bài toán phương trình, hệ phương trình” bằng cách xây dựng các “tư duy hàm số”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập giải phương trình, hệ phương trình là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia ở mức độ rất cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, và không phân loại dạng toán phương pháp. Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, hệ phương trình. Đó là: “Hướng dẫn học sinh dùng tư duy hàm số để giải phương trình, hệ phương trình”
Nhiệm vụ của đề tài: 
Khảo sát giải toán phương trình, hệ phương trình của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3
Thực trạng và phân tích thực trạng
Đánh giá, rút kinh nghiệm
Đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, hệ phương trình của học sinh
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Các dấu hiệu nhận biết một bài toán phương trình, hệ phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu 
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1.1. Hàm số đồng biến, nghịch biến:
- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số f đồng biến trên 
Hàm số f nghịch biến trên 
- Tính chất: Cho xác định trên K
Với 
- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau:
* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
+ Lấy , lập tỉ số 
+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu 
Nếu thì hàm số f đồng biến
Nếu thì hàm số f nghịch biến biến
 (Nội dung này được trình bày SGK lớp 10)
*Phương pháp 2: Dùng đạo hàm:
tại hữu hạn điểm của D KKKcủa K
+ Tính chất 1:Hàm số f đồng biến trên 
tại hữu hạn điểm của D
+ Tính chất 2: Hàm số f nghịch biến trên 
	Chú ý: nếu thay bằng thì thêm tính chất hàm số phải lên tục trên D
 (Nội dung này được trình bày SGK lớp 12)
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó.
 1.2. Một số định lý:
Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm của f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a)=k và f đồng biến trên D nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số 
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).
Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến và liên tục  trên D thì 
Nếu hàm số y = f(x) luôn nghịch biến và liên tục  trên D thì 
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Thuận lợi:
Nội dung phương trình, hệ phương trình được học sinh làm quen từ THCS lên đến THPT nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Phương trình, hệ phương trình xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào 10 cho đến các kì thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
Khó khăn:
 Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua. Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ luôn phần này, không để ý rèn luyện.
 Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán. 
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp. Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao. Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình còn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấu hiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán.
3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp hàm số và dấu hiệu nhận biết một bài phương trình , hệ phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số. 
 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
Giải pháp 1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình vô tỉ
GP1-1: Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình
Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình”
Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1)
 Bước giải toán:
Bước 1: Biến đổi PT(1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x) trên D
Bước2: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên D để suy ra số nghiệm tối đa của pt(2).
Bước 3: Chỉ ra đủ số nghiệm cần thiết và kết luận cho pt(1).
Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng của phương trình”
Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1)
 Bước giải toán:
Bước 1: Biến đổi PT(1) về dạng 
Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 
Bước 3: Kết luận: (1)u(x) = v(x).
GP1-2: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số.
Các dấu hiệu đặc trưng được thông qua các ví dụ cụ thể đã được tiến hành với các quá trình giải toán của học sinh như sau:
Dấu hiệu 1: Hàm tăng (giảm) bất biến trên tập xác định
Đây là dấu hiệu cực kì quan trọng để quyết định có khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình, cũng như là cơ sở để ta đánh giá hàm số đồng biến hay nghịch biến.
Ví dụ 1: Giải phương trình : (1)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Hoằng Hóa 3 năm 2015)
Tư duy: Hàm số trên tăng dần khi x tăng và nên ta sẽ giải bài toán theo dạng 1
Lời giải
Xét hàm số : trên 
Ta có: 
Mà hàm số liên tục trên D
Khi đó:
 Hàm số đồng biến trên D có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : 
Kết luận: pt(1) có nghiệm duy nhất .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn làm theo cách liên hợp với số sau khi dùng MTCT dò được nghiệm x = 1, hoặc đặt ẩn phụ rồi bình phương.
Tuy nhiên, sau quá trình giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm số là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả. Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy hàm số đối với bài toán này.
Ví dụ 2: Giải phương trình : (2)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Anh Sơn 2 năm 2016)
Tư duy: Hàm số trên R không thể hiện tính tăng , giảm bất biến khi x tăng nhưng bằng cách xây dựng điều kiện chặt cho ẩn x thì ta lại thấy hàm số có tính tăng bất biến khi x tăng.
Lời giải
Ta có: 
Xét hàm số : trên 
Ta có: 
Khi đó:
 Hàm số đồng biến trên D có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : 
Kết luận: pt(2) có nghiệm duy nhất .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh lúng túng khi tư duy hàm số, khi mà hàm f(x) không có tính tăng giảm bất biến. Sau khi GV hướng dẫn cách đánh giá chặt cho ẩn x , học sinh nhận thấy rằng: Khi giải một phương trình, ngoài việc xây dựng các điều kiện xác định của phương trình, cần chú ý xây dựng các điều kiện chặt cho ẩn từ các đánh giá hai vế của phương trình đã cho.
Dấu hiệu 2: Trong phương trình xuất hiện các biểu thức tương tự nhau
Sự xuất hiện các biểu thức tương tự nhau trong phương trình thường dẫn tới tính quy luật cho các nhóm biểu thức ấy. Khi đó việc quy về hàm đặc trưng để khảo sát là khả thi. Đây là dấu hiệu dễ nhìn thấy mà học sinh khi tiến hành tư duy hàm số.
Ví dụ 3: Giải phương trình : (3)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Ch. Đaị Học Vinh năm 2016)
Tư duy: Trong phương trình có xuất hiện hai biểu thức căn nên có thể đưa về hàm đặc trưng cho hai biểu thức căn này.
Lời giải
Ta có: 
 với trên R
Mà: nên hàm số đồng biến trên R
Vậy: 
Kết luận: pt(3) tập nghiệm: .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn làm theo cách liên hợp theo nhóm rồi tạo nhân tử. Tuy nhiên, khi giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm đặc trưng của phương trình là có cơ sở suy luận chứ không phải là mò mẫm.
Ví dụ 4: Giải phương trình : 
 (4)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Nghi Lộc 1 năm 2016)
Tư duy: Trong phương trình có xuất hiện hai biểu thức căn nên có thể đưa về hàm đặc trưng cho hai biểu thức căn này.
Lời giải
Ta có: 
 với trên R
Vì nên hàm số đồng biến trên R
Vậy: 
Kết luận: pt(4) có nghiệm .
Nhận xét
Sau khi giải pt(3), học sinh nhanh chóng chuyển được pt(4) về dạng hàm đặc trưng. Điều này cho thấy tư duy hàm số có cơ sở suy luận và dễ tiếp nhận đối với học sinh.
Dấu hiệu 3: Trong phương trình chứa hàm đa thức bậc cao
Việc xuất hiện đa thức bậc cao trong phương trình gây khó khăn trong việc biến đổi hoặc ẩn phụ để giải phương trình do thao tác xử lí cồng kềnh. Lúc này tư duy hàm số có thể giải quyết nhanh gọn và “né” được các khó khăn khi thực hành.
Ví dụ 5: Giải phương trình : (5)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Tương Dương năm 2016)
Tư duy: Vế trái pt(5) chứa hàm đa thức bậc ba , vế phải pt(5) chứa căn thức gây khó khăn cho thao tác xử lí. Tư duy hàm đặc trưng có thể giải quyết bài toán trong trường hợp này.
Lời giải
Ta có: 
 với trên R
Mà: nên hàm số đồng biến trên R
Vậy: 
Kết luận: pt(3) tập nghiệm: .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn làm theo cách liên hợp theo nhóm rồi tạo nhân tử. Tuy nhiên, khi giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm đặc trưng của phương trình là đơn giản, dễ hiểu. Một số học sinh tìm dạng hàm đặc trưng dựa vào việc xem căn thức là ẩn y, rồi thêm bớt để định dạng hàm đặc trưng. Đây cũng là hướng giải quyết cho phương trình dạng này.
Ví dụ 6: Giải phương trình : (6)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên KHTN năm 2016)
Tư duy: Pt(6) chứa hàm đa thức bậc ba , chứa căn thức gây khó khăn cho thao tác xử lí. Tư duy hàm đặc trưng có thể giải quyết bài toán trong trường hợp này.
Tuy nhiên để giảm độ phức tạp cho pt , ta sẽ thực hiện phép đổi biến trước khi chuyển về hàm đặc trưng.
Lời giải
Ta có: TXĐ: R
Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình
Xét 
(6)
Đặt 
Phương trình trở thành : 
 với trên R
Mà: nên hàm số đồng biến trên R
Vậy: 
Đến đây giải tìm t rồi tìm x. Bài toán giải quyết xong.
Nhận xét
Đây là bài toán khá hay, học sinh trong thực hành vẫn lúng túng khi pt chứa các biểu thức bậc cao. Trong trường hợp đó ta có thể đơn giản pt bằng phép “đổi biến nghịch đảo”, và học sinh nhận thấy rằng tư duy hàm số có thể phải kết hợp nhiều phương pháp giải toán.
Dấu hiệu 4: Trong phương trình chứa dạng tích hai nhóm biểu thức
Thông thường đối với dạng phương trình này chúng ta thường sử dụng phương pháp liên hợp để “tách”hai nhóm biểu thức này rồi giải tiếp.Trong một số trường hợp, tư duy hàm số giúp giải quyết triệt để bằng cách xét hàm trực tiếp.
 Ví dụ 7: Giải pt : (7)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Diễn Châu 1 năm 2016)
Tư duy: Vế trái pt(7) chứa tích hai nhóm biểu thức nên ta có thể sử dụng hàm tích trong khảo sát trực tiếp hàm số.
Lời giải
Tập xác định: 
Xét hàm số: trên D, 
 với , 
Với mọi , ta có: và ; 
 và 
suy ra: 
Mà: là hàm liên tục trên D nên hàm số đồng biến trên D
có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : 
Kết luận: pt(7) có nghiệm duy nhất .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn tư duy theo nhiều cách khác 
nữa, nhưng vẫn gặp khó khăn. Điều này thể hiện một bài toán có thể có nhiều cách giải quyết, và việc thiết lập thêm phương pháp giải toán chỉ bổ sung thêm tư duy chứ không phải là triệt tiêu đi suy luận giải toán của phương pháp khác.
Dấu hiệu 5: Xử lý phương trình trung gian
Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải một bài toán. Không có phương pháp vạn năng để giải mọi bài toán, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các phương pháp giải toán để giải quyết một bài toán.
Ví dụ 8: Giải phương trình : (8)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên Hưng Yên năm 2016)
Tư duy: Pt(8) có thế giải bằng cách liên hợp tách nhóm rồi xử lí tiếp. Thao tác tư duy hàm số ở đây sẽ tìm cách tạo ra hàm đặc trưng sau phép “đổi biến nghịch đảo”
Lời giải
Ta có: TXĐ: 
Ta thấy là nghiệm của phương trình
Xét ,chia hai vế cho ta được:
Đặt 
Phương trình trở thành : 
 với trên R
Mà: nên hàm số nghịch biến trên R
Vậy: 
Đến đây giải tìm t rồi tìm x. Bài toán giải quyết xong.
Nhận xét
Đây là bài toán khá hay, học sinh trong thực hành được tập dượt và làm quen với việc giải quyết một bài toán kết hợp nhiều phương pháp. Điều này giúp tư duy giải toán của học sinh linh hoạt và sáng tạo hơn.
Ví dụ 9: Giải phương trình : (9)
 (Đề thi THPT Quốc Gia 2015)
Tư duy: Dễ nhận thấy phương trình có nghiệm , vế trái của pt có nhân tử nên học sinh nhanh chóng liên hợp để thu được nghiệm . Tuy nhiên khó khăn xuất hiện khi giải phương trình còn lại không đơn giản, tư duy hàm số khéo léo giúp giải nhanh bài toán.
Lời giải
Ta có: 
Vấn đề là giải pt (9*)
 với trên R
Mà: nên hàm số đồng biến trên R
Vậy: 
Đến đây giải tìm x. Bài toán giải quyết xong.
Nhận xét
Đây là bài toán phân loại khó và hay, học sinh trong thực hành vẫn lúng túng khi xử lý pt trung gian. Một số học sinh thực hiện quy đồng và nhân ra ở pt(9*), làm phức tạp và rối bài toán. Sau khi giải pt(9*), học sinh nhận thấy phải khai thác triệt để trạng thái ban đầu của pt, nếu không xử lí được mới tiếp tục biến đổi để chuyển dạng pt.
Giải pháp 2: Vận dụng thực hành khi giải hệ phương trình
GP2-1: Thao tác thực hành khi tư duy hàm số giải hệ phương trình
Bước 1: 
 a) Phát hiện phương trình trong hệ có dạng hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ đơn giản hơn của hai ẩn x và y. Chuyển pt còn lại của hệ về phương trình một ẩn.
 b) Sử dụng các phương pháp giải toán nhằm chuyển việc giải hệ về việc giải pt một ẩn.
Bước2: 
Tư duy hàm số để giải phương trình còn lại (nếu được) hoặc giải bằng phương pháp khác
Bước 3:
Kết luận nghiệm cho hệ phương trình.
GP2-2: Xây dựng hệ thống các bài tập chọn lọc cho học sinh tự thực hành
 Việc vận dụng kiến thức vào giải toán là một kĩ năng quan trọng cần được rèn luyện, thực hành. Do đó sau khi dạy học sinh tư duy hàm số để giải phương trình, tôi có cho học sinh một hệ thống bài tập tự rèn luyện về phương trình. Song song với quá trình tự luyện tập của học sinh, tôi có tổ chức một (hay nhiều) buổi thực hành vận dụng giải hệ phương trình theo tư duy hàm số. Một mặt để rèn kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh, một mặt nắm bắt khả năng tiếp nhận, vận dụng kiến thức của học sinh khi thực hành giải toán. Từ đó có những tác động sư phạm hợp lí để điều chỉnh hoàn thiện tư duy cho học sinh.
Sau đây là một số bài toán đã thực hiện cho học sinh
(Chỉ trình bày hướng tư duy, vận dụng khi giải toán, lời giải mang tính gợi ý)
	Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 
 (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 3- Chuyên Vĩnh Phúc năm 2015)
Tư duy: 
Pt(1) có tính độc lập của x và y nên sử dụng hàm đặc trưng:
Xét hàm số trên có suy ra f(t) đồng biến trên . Nên . 
Thay vào (2) ta được (Giải pt này tương đối đơn giản)
Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 
 (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên ĐHSPHN năm 2016)
Tư duy: 
Pt(1) có tính độc lập của x và y nên sử dụng hàm đặc trưng:
 Thay vào và rút gọn được phương trình 
Ta có 
Xét hàm số 
Suy ra nghịch biến trên 
Suy ra phương trình (Phương trình (*)) có tối đa 1 nghiệm
Mặt khác 
Từ đó ta được là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Bài tập 3: Giải hệ phương trình: 
(Đề khảo sát THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Thạch Thành 1 năm 2016)
Tư duy: 
Pt(1) có thể tạo nhóm độc lập của x và y nên sử dụng hàm đặc trưng:
Xét , chia 2 vế của pt đầu cho , ta được (1)
Xét hàm số . Ta có .
 Vậy hàm số đồng biến trên . Do đó (1) . Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được: (2)
Xét hàm số .
Ta có . 
Vậy g(y) đồng biến trên khoảng . Mà g(4)=6 nên (2) .
Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 
 (Đề khảo sát THPT Quốc Gia,lần 1- THPTCƯMGAR năm 2016)
Tư duy: 
Xử lí pt(1) bằng phương pháp khác:
 Thế vào (2)