SKKN Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi và thi thpt quốc gia (phần phụ lục)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH BÀI TOÁN THIẾT DIỆN TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA
 (PHẦN PHỤ LỤC)
Người thực hiện: Trần Thị Chinh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán 
THANH HÓA NĂM 2018
Phụ lục 1
1. Một số phương pháp dựng thiết diện
1.1. Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
1. Phương pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ).
Giải:
 Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao tuyến gốc là AI, IJ. 
 Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung của (AIJ) và (SAD).
 Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ là các đoạn giao tuyến tiếp theo. Thiết diện là tứ giác AIJF.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải:
	Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các cạnh hình bình hành ABCD. 
	Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J. 
	Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.
Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Giải: 
Hình a
 Chưa có giao tuyến gốc giữa mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt phẳng(MNP) có điểm chung P với mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung nữa ta tìm giao điểm O của MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1 mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O là giao điểm của MN và M1N1
Þ OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC tại E, F.
 Tùy theo vị trí OP trong tam giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) hoặc tam giác EFI (hình b)
 Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song song với M1N1.
Hình b
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp:
	a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
	b. Đường thẳng d đi qua điểm C.
Giải:
 a) d là giao tuyến gốc ta tìm thêm giao điểm của d với các cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F là giao điểm của AB. AC, AD với d.
 Xét (M, d) và (SAB) có M, H chung nối MH cắt SB tại N ta có một đoạn giao tuyến MN. Tương tự nối ME cắt SC tại P, nối MF cắt SD tại Q.
 Thiết diện là tứ giác MNPQ.
b) Tương tự phần a. lúc này thiết diện là tứ giác MNCQ.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Giải:
 Gọi I là trung điểm SA. 
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI. Từ .
 Xét mặt phẳng (MNE) và mặt phẳng (ABCD) có E chung và MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo giao tuyến EF // BD (F Î CD). 
	Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K, nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK. 
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.
1.2. Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
1.2.1. Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l.
1. Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
	2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD.
Giải:
 Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Đường thẳng AH cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH và SO. Trong mp (SBD) kẻ qua I đường thẳng song song với BD, gọi M, N là giao điểm của đường thẳng đó và SB. SD. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC.
	a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P).
	b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Giải:
a. Chọn mặt phẳng (ABC) É BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC). 
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.
 (P) và (BCD) có N chung và chứa hai đường thẳng song song nên (P) Ç (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F Î BD), nối MF, EN.
Thiết diện là tứ giác MENF.
b. Theo cách dựng thiết diện ở phần a) thiết diện là hình thang MENF (ME // NF) ta có nên để MENF là hình bình hành thì hay N là trung điểm CD.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC. Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD.
Giải:
H.1
H.2
 	Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G và AD // (P) Þ (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD cắt AI, ID tại M và N.
	Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
	nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
	nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK. 
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
1.2.2. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l.
1. Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng.
	2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB. AC.
Giải:
	Gọi O là giao điểm AC và BD. Ta có trọng tâm M thuộc SO. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD) trong mp này kẻ qua M đường thẳng song song với SB cắt SD, DB tại N, K.
	Mặt phẳng (M, AC) là mặt phẳng (SAC) nên qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.
	Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB. BC tại E, F. 
	Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’.
Giải:
 Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là (ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’) khó xác định hơn.
 Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M, BD). (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến qua M và song song với BD cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E. (P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và song song với AC’ (trở thành bài toán 1). 
 EF cắt AC tại I nên (P) Ç (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H. 
 Thiết diện là ngũ giác MNHJG. 
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA. OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
	a. Qua F song song với B’E và A’O
	b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và song song với A’O khó xác định hơn.
 	Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.
	Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được nên là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA. .
	Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)
H1
H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.
	Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE) 
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB). 
Nối MT cắt AB tại G.
	Thiết diện là tam giác MLG. (H2).
1.2.3. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
1. Phương pháp
	Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
	Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a 
Khi đó (P) Ç (R) = a’,a’ // a. a’ qua M. 
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R). 
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
	2. Ví dụ
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì?
Giải:
	Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) Ç (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (NÎAD).
	Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) Ç (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (EÎSD). 
Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB) Ç (SAB) = SB
 	Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến MF // SB (F ÎSC). Nối EF, ta được thiết diện là tứ giác MNEF.
 	Ta có (P) và (SCD) có MN // CD (CD // AB) mà (P) Ç (SCD) = EF.
Suy ra EF // MN. 
Thiết diện MNEF là hình thang. 
Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ sao cho. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD).
Giải:
Theo giả thiết: 
Theo định lý Talet đảo MN, AD’, DC’ cùng song song với một mặt phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M 
và (ABCD) Ç (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến ME // BD (E ÎAB).
 	Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’) Ç (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J ÎDD’). 
	Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’. 
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’.
	Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’. 
	Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.
1.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
I.3.1. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d.
1. Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt phẳng qua M song song với a và a’. 
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một đường thẳng d thì a // (P) hoặc a Ì (P)).
2. Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB.
Giải:
 Gọi I là trung điểm AB ta có SI ^ AB (do tam giác SAB đều), BC ^ AB suy ra (P) đi qua M song song với BC, SI.
 Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD) có M chung và cùng song song với BC nên với EF qua M và song song với BC cắt AB. CD tại E, F. 
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
	Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
Giải:
 Kẻ AH ^ SC ta có AH Ì (P).
Ta có: 
nên 
 Vậy (P) chứa AH và song song BD.
 Gọi O là giao điểm AC và BD, E là giao điểm của SO và AH. 
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N
 Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a. AA’ = , M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B.
Giải:
 Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân tại C nên AB = . Tứ giác ABB’A’ là hình vuông Þ AB’ ^ A’B.
Gọi H là trung điểm AB Þ CH ^ AB
Þ CH ^ (ABB’A’) Þ CH ^ A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.
 Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì .
 Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được thiết diện là tứ giác MNPQ.
1.3.2. Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường thẳng l.
1. Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
 	Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).
	2. Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Giải:
 Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có khi đó , gọi M là trung điểm AB do tam giác ABC đều nên vậy . 
 Trong mp(SMC) kẻ MH ^ SC ta có mặt phẳng (AHB) ^ SC. 
 Thiết diện là tam giác AHB.
 Ta có : .
 Theo giả thiết AB = a. ta có , ,
	SO = h, 
Ta có: MH.SC = SO.MC 
 .
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)
1.3.3. Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) đã cho (d xiên góc với (Q))
1. Phương pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song với a. (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q) É d).
	2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên bằng . Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
 Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm SI. Do hình chóp đều nên BC ^ (SAI) .
 Mặt khác: = SA nên tam giác SAI cân ta có AH ^ SI vì vậy AH ^ (SBC) nên (P) // AH. 
(P) qua MN và song song AH.
Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC). Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P. 
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a. AA’ = , M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC).
Giải:
 Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC). 
 Theo giả thiết:
 Lại có: AA’ = AB = 
nên ABB’A’ là hình vuông nên suy ra A’B ^ (IKC). 
 Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.
Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H, nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.
Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm SA. M là một điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Giải:
 Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ^ (ABCD). Ta có: 
Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song song với AB. 
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường thẳng và song song với AB cắt BC tại N. (P) Ç (ABCD) = MN.
	Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều
Phụ lục 2 : Một số bài toán tương tự
	1.	Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
	điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành 
	b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD	
	Giải
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
	Trong tam giác SAB, ta có : A’B’AB	
	Trong tam giác SCD, ta có : C’D’CD	Mặt khác AB CD 
	Þ 	A’B’ C’D’
	Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
	b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
	Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
	Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
	Gọi N = Mx Ç AD
	Vậy : 	thiết diện là hình thang A’B’MN
	2.	Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). 
	Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB 
	a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN)
	c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .
	 Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD .
 Tứ giác SABI là hình gì ?
	Giải
	a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
	Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB 
	 Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
	Vậy : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN):
	· Chọn mp phụ (SBC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
	Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)
	Trong (ABCD), gọi E = AD Ç AC
	Þ ( SBC) Ç (ADN ) = NE	
	·	Trong (SBC), gọi P = SC Ç NE	
	Vậy : P = SC Ç ( ADN )
	c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
	Ta có : 	 ( theo định lí 2)
	Xét D ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB)
	M là trung điểm AB
	Þ SI 2MN
	Mà AB 2.MN
	Do đó : SI AB
	Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 
	3. 	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm 	AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = SB . 
	a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
	b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
	Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
	Giải 
	a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK):
	Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung 
của (SAB) và (IJK)	
Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB 
	b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD :
	Gọi L = Kx Ç SA
	Thiết diện là hình thang IJKL
	Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
	Þ 	IJ = (AB + CD)
	Xét DSAB có : Þ LK = 
	IJKL là hình bình hành 	Û IJ = KL
	Û (AB + CD) = 
	Û AB = 3.CD
	Vậy : 	thiết diện IJKL là hình bình hành Û AB = 3.CD
	4.	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm 
	nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD	
	a. Chứng minh : PQ // SA.
	b.	Gọi K = 	MN Ç PQ 
	Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
	Giải
	a. Chứng minh : PQ // SA.
	Xét tam giác SCD :
	Ta có : 	NP // CD	
	Þ	(1)
	Tương tự : 	MN // SB
	Þ	(2)	
	Tương tự : 	MQ // CD
	Þ	(3)
	Từ (1) , (2) và (3), suy ra 	
	Vậy : 	PQ // SA
	b.	Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC
	Ta có :	 	
	Þ	giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và AD
	Mà 	K Î (SBC) Ç (SAD)
	Þ	K Î St (cố định )
	Vậy : K Î St cố định khi M di động trên cạnh BC
	5.	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
	Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
	a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
	b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và