SKKN Hướng dẫn học sinh áp dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit làm nhanh bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT LÀM NHANH BÀI TOÁN THỰC TẾ 
Người thực hiện: Đỗ Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán.
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
2
 1.1. Lí do chọn đề tài
2
 1.2. Mục đích nghiên cứu
2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
2
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
3
 2.1. Cơ sở lí luận
3
 2.2 . Thực trạng
 2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường THPT Đặng Thai Mai
 2.2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu
 2.2.3. Hệ quả của thực trạng trên
3
4
4
 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
5
 2.3.1. Bài toán lãi suất 
5
 2.3.2. Áp dụng cho bài toán khác
13
 2.3.2.1. Bài toán về dân số
13
 2.3.2.2. Bài toán về chất phóng xạ
13
 2.3.2.3. Một số bài toán khác
15
 2.3.2. Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 17
 19
 3.1. Kết quả
 19
 3.2. Kết luận
 19
 3.3. Kiến nghị
20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Vì vậy trong những năm gần đây Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã có nhiều thay đổi về cách dạy và học, cách tổ chức thi, ra đề trong kỳ thi THPT quốc gia. Hình thức ra đề đặt yêu cầu cao về sự hiểu biết chính xác, cũng như ứng dụng hiệu quả các kiến thức được học của học sinh vào thực tiễn
Với sự đổi mới trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia hiện nay đề thi môn Toán đã có nhiều sự thay đổi so với cấu trúc đề năm ngoái. Đó là sự đổi mới từ hình thức thi tự luận với 10 câu hỏi trong thời gian 150 phút sang hình thức thi trắc nghiệm trong thời gian 90 phút. Đề thi môn Toán năm nay chỉ tập trung vào chương trình lớp 12 và trong đề thi có nhiều bài toán áp dụng trong thực tế cuộc sống. Vì vậy để học sinh làm bài tốt bài thi các em cần biết cách áp dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp 12 của trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu vào môn toán thấp. Khi gặp các bài toán thực tế các em rất sợ và thường bỏ qua không làm.
Bản thân các bài toán thực tế cũng rất đa dạng. Có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự liên hệ với thực tế thì mới giải quyết được.Với khoảng thời gian ngắn các em muốn giải quyết được bài toán thực tế yêu cầu các em phải nhớ được công thức để áp dụng.
Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia tôi xin được giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm" Hướng dẫn học sinh áp dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit làm nhanh bài toán thực tế”. Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em giải nhanh được dạng toán cơ bản đó là bài toán lãi suất và bài toán khác liên quan đến hàm số mũ và lôgarit và làm cho học sinh thấy được sự gần gũi và quan trọng của toán học trong cuộc sống hằng ngày.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán về lãi suất và các bài toán thực tế có liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. Giúp cho các em đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán thực tế về lãi suất và các bài toán thực tế có liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm,  phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận
 Sáng kiến này dựa trên các bài toán thực tế trong chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit trong chương trình SGK Giải Tích lớp 12.
- Định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit
Định nghĩa hàm số mũ:
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số được gọi là hàm số mũ cơ số .
Định nghĩa hàm số lôgarit:
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số được gọi là hàm số lôgarit cơ số .
- Phương trình mũ 
- Định nghĩa : Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa.
- Phương trình mũ cơ bản có dạng : 
Cách giải: 
Nếu ta có 
Nếu , ta có phương trình vô nghiệm.
- Phương trình lôgarit
- Định nghĩa : Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng : 
Cách giải: 
2.2. Thực trạng
2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường THPT Đặng Thai Mai
Trường THPT Đặng Thai Mai được thành lập ngày: 20/08/2001, theo quyết định số: 2109/QĐ-UB của Chủ tịch UBND Tỉnh Thanh Hoá. Trường nằm ngay trên đường quốc lộ 1A, thuộc km 12 từ thành phố Thanh Hóa xuống phía Nam, thuộc địa bàn xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa, nơi đa số phụ huynh học sinh làm nông nghiệp, điều kiện kinh tế còn gặp nhiều khó khăn. Các em đi lại khá vất vả vì có nhiều em ở xã Quảng Trung, Quảng Chính cách trường 20km.
 Ban đầu là trường bán công, chất lượng đầu vào của học sinh thấp, chủ yếu là học sinh trung bình, yếu. Mặc dù ngày 31 tháng 5 năm 2010 chủ tịch tỉnh Thanh hóa có quyết định chuyển đổi trường THPT Đặng Thai Mai sang hình thức công lập nhưng chất lượng đầu vào của học sinh vẫn còn thấp so với các trường trong huyện.
Trong những năm gần đây nhà trường cũng đã có nhiều thành tích nổi bật như: Năm học 2013 – 2014 được UBND Tỉnh Thanh Hóa tặng bằng khen - QĐ số 3645/QĐ- UBND, ngày 30/10/2014. Năm học 2014 - 2015 đón cờ thi đua của UBND Tỉnh về đơn vị dẫn đầu, QĐ số 3335/QĐ UBND tỉnh Thanh Hoá ngày 1/9/2015,....Chất lượng thi học sinh giỏi và thi đại học ngày càng đi lên. Đội ngũ giáo viên trẻ, nhiệt tình trong công tác giảng dạy.
Đặc biệt bộ môn Toán ngày càng được nâng cao về chất lượng. Điểm thi Đại học môn Toán những năm gần đây của trường ngày càng cao, có nhiều em đạt điểm 9; 9,5.
2.2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu
Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 12 ở trường tôi.Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau:
Trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 các bài toán thực tế thường rất ít, không có lời giải chi tiết do đó học sinh thường không có định hướng để giải bài toán thực tế. Những bài toán thực tế lại rất nhiều và đa dạng yêu cầu học sinh cần có kiến thức tổng hợp thì mới làm được.
Trường tôi lại là một trường non trẻ mới thành lập năm 2001 nên điểm đầu vào của học sinh còn thấp. Số lượng học sinh trung bình chiếm hơn 60%,và chủ yếu học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạn chế do đó khi gặp các bài toán thực tế các em thường không có định hướng phải giải bài toán như thế nào?
Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 12A4; 12A5 tôi thấy học sinh thường không làm mà bỏ qua các bài toán thực tế. Vì thế điểm kiểm tra thường thấp chưa cao. Cụ thể bài kiểm tra lớp 12A5 trước khi tôi chưa đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh áp dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit làm nhanh bài toán thực tế” kết quả đạt được như sau:
Lớp 12A5: ( Tổng số HS :42)
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
4
9,5%
16
38,1%
14
33,3%
8
19,1%
2.2.3. Hệ quả của thực trạng trên
Chính vì vậy mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng túng khi gặp các bài toán thực tế.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài toán thực tế có liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. Tôi mong muốn giúp các em làm bài tốt bài thi THPTQG, bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn Toán. Biết áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn.Thấy được những tác dụng to lớn của Toán học trong thực tiễn.
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán lãi suất 
Bài toán 1 Bài toán 1 lấy trong SGK Giải tích 12. Bài 1 là ‘‘của’’ tác giả.
. Một người gửi vào ngân hàng số tiền là P với lãi suất là r sau một kỳ hạn. Hỏi sau n kỳ hạn người đó nhận được số tiền là bao nhiêu biết rằng sau mỗi kỳ hạn người đó không rút tiền lãi mà số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu?
Giải
Giả sử n. Gọi số vốn ban đầu là P, lãi suất là r.
Sau kỳ hạn 1 : 
Tiền lãi là 
Số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) là:
Sau kỳ hạn 2: 
Tiền lãi là: 
Vốn tích lũy là 
Tương tự , vốn tích lũy sau n kỳ hạn là : 
 Từ đây ta có các bài toán mở rộng 
1, Tìm số tiền ban đầu gửi vào khi biết lãi suất r, số tiền thu được sau n kỳ hạn, biết n
Ta có 
2, Tìm lãi suất r khi biết 
3, Tìm số kỳ hạn n khi biết 
4, Tìm số tiền lãi thu về sau n kỳ hạn :
Gọi L là số tiền lãi thu về sau n kỳ hạn ta có 
Các bài tập áp dụng cho dạng này:
Bài 1. Bác A gửi 5 triệu vào ngân hàng với lãi suất 1%/tháng và lãi hàng tháng được nhập vào vốn, hỏi sau 6 tháng bác A thu về được bao nhiêu tiền ?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho P, r, n và yêu cầu tìm . 
Giải
Sau 6 tháng bác A thu về được số tiền là: = 5(1 + 0,01)6 5,3076 triệu.
Bài 2. Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau 3 năm người đó thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho P, r, n và yêu cầu tìm . 
Giải
Sau 3 năm người đó thu về được số tiền là: P = 20 (1 + 0,084)3 25,475 triệu.
Bài 3. Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất % một tháng.
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho r, ,n và yêu cầu tìm số tiền nhận được sau 10 năm với hai mức lãi suất khác nhau để tính độ chênh lệch về tiền nhận được.
Giải
Ta đặt / năm, /năm
Với lãi suất sau 10 năm đó nhận được số tiền là: 
Với lãi suất sau 10 năm đó nhận được số tiền là: 
Như vậy nếu ngân hàng trả lãi / tháng người đó nhận được tiền nhiều hơn là:
(đồng)
Bài 4 Bài 4 lấy trong SGK Giải tích 12. Bài 2, bài 3 là ‘‘của’’ tác giả.
. Một người gửi vào 5 triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm thu về gấp đôi số tiền ban đầu đã gửi ?
Hướng dẫn giải
 Bài này đã cho P, r, và yêu cầu tìm n.
Giải 
 Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 
. Do n nguyên dương nên chọn n = 9.
Vậy sau 9 năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu.
Bài 5. Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, lãi suất r % năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, sau 9 năm người đó thu được cả vốn lẫn lãi là 40 triệu đồng. Hỏi lãi suất của ngân hàng là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho P, n, và yêu cầu tìm r
Giải
Lãi suất ngân hàng trên 1 năm là: / 1 năm.
Bài 6. Một người gửi P triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, lãi suất 5% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau 10 năm người đó thu được cả vốn lẫn lãi là 81,45 triệu. Hỏi số tiền ban đầu người đó gửi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho r, ,n và yêu cầu tìm P
Giải
Số tiền ban đầu người đó gửi là: triệu.
Bài 7. Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, lãi suất 1% /tháng và lãi hàng tháng được nhập vào vốn, hỏi sau 4 năm người đó thu được số tiền lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho r, ,n và yêu cầu tìm số tiền lãi sau 4 năm. Ta phải tìm P sau đó suy ra tiền lãi sau 4 năm.
Giải
Sau 4 năm người đó thu được số tiền lãi là: 
L= triệu đồng.
Bài 8 Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 6. Bài 5, bài 6, bài 7 là ‘‘của’’ tác giả.
. Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho n, r, và yêu cầu tìm P. Nhưng để tìm P ta phải thiết lập một bất phương trình chứa P đó là bất phương trình về tiền lãi sau n năm.
Giải
Nếu ban đầu ông Việt gửi x triệu đồng thì sau 3 năm số tiền lãi của ông có là 
.
 Để số tiền này đủ mua chiếc xe máy thì 
Mà x là tối thiểu nên x = 145triệu đồng.
Bài 9. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 6% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền lần đầu?
Hướng dẫn giải
 Bài này đã cho n, r, và yêu cầu tìm P. Tuy nhiên bài này ta tìm P làm 2 giai đoạn. Giai đoạn 1 tìm tiền nhận được sau 6 tháng đầu. Tiền gốc đợt 2 là tiền nhận được đợt 1 và tiền gửi thêm 100 triệu. Sau đó tính tiền nhận được sau 6 tháng đợt 2
Giải
n=6 tháng =2 quý
Số tiền người đó nhận được sau 6 tháng đầu: triệu.
Số tiền gốc đợt 2: triệu
Số tiền người đó nhận được sau 6 tháng sau:
(triệu)
Bài Toán 2 Bài toán 2 được tham khảo từ TLTK số 2. Bài 9 được tham khảo từ TLTK số 4.
. Một người vay ngân hàng P đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng trả x đồng. Tìm x để sau n tháng người đó trả hết nợ? 
Giải
 Sau tháng thứ 1, còn nợ 
Sau tháng thứ 2, còn nợ 
Sau tháng thứ 3, còn nợ 
Tương tự: Sau n tháng số tiền nợ còn lại là: 
Sau tháng thứ n hết nợ, nên 
Từ đây ta có các bài toán mở rộng 
1, Cho x, P, r tìm n
Theo lập luận như trên, ta có phương trình : (n chưa biết)
 ĐK x > Pr > 0 .
2, Cho x, r, n tìm P
3, Cho P, x, n tìm r
Từ công thức: 
Giải phương trình ẩn r tìm r.
Bài 10 Bài 10 , bài 11 là ‘‘của’’ tác giả.
: Một người vay ngân hàng 100 triệu với lãi suất 1%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng người đó trả một khoản tiền không đổi đặt là x.Tìm x để sau 4 tháng, người đó trả hết nợ ?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho P, r, n và yêu cầu tìm x do đó ta áp dụng công thức (2) để tìm x.
Giải 
Áp dụng CT trên, ta có x = = 25,628 triệu.
Bài 11. Ông An vay ngắn hạn ngân hàng 300 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba năm kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách đó là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
Hướng dẫn giải
 Bài này giống bài 1 cho P, r, n và yêu cầu tìm x do đó ta áp dụng công thức (2) để tìm x.
Chú ý ta phải tìm lãi suất sau 1 tháng.
Giải : Lãi suất 1 tháng là 1%/tháng
Áp dụng CT trên, ta có x = 9,96 triệu.
Bài 12. Ông Vân vay ngân hàng triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?
Hướng dẫn giải
 Bài này đã cho P, r, x và yêu cầu tìm n do đó ta áp dụng công thức (3) để tìm n.
Giải
Áp dụng CT trên, n = 62,5. 
Vì n nguyên dương nên chọn n = 63.
Bài 13. Anh An vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thứ trả góp để mua nhà. Nếu cuối tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh An trả 5,5 triệu đồng (trừ tháng cuối) và chịu tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không đổi) thì sau bao nhiêu lâu An trả hết số tiền trên ? Biết rằng số tiền tháng cuối anh An trả phài nhỏ hơn 5,5 triệu đồng.
A. 64 tháng	 B. 63 tháng	 C. 54 tháng	 D. 55 tháng
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho P, r, x và yêu cầu tìm n do đó ta áp dụng công thức (3) để tìm n.
Giải
Áp dụng công thức (3)
n là số nguyên nên ta chọn n=64 hoặc n=63
* 
Số tiền anh An còn nợ sau tháng thứ 63 là
 ( triệu)=A
Số tiền anh An phải trả tháng cuối là triệu
*
Số tiền anh An còn nợ sau tháng thứ 62 là
Số tiền anh An phải trả tháng cuối là triệu
Vì số tháng cuối anh An phải trả số tiền nhỏ hơn 5,5 triệu đồng nên chọn phương án . Chọn đáp án A.
Bài 14. Một người vay ngân hàng P triệu đồngvới lãi suất 1%/tháng. Cứ sau đúng một tháng người đó trả một khoản tiền không đổi là 8 triệu đồng.Tìm P để sau 3 năm, người đó trả hết nợ ?
Hướng dẫn giải
Bài này đã cho n , r, x và yêu cầu tìm P do đó ta áp dụng công thức (4) để tìm x.
Giải
 n= 3năm= 36 tháng
Áp dụng công thức : ( triệu)
Bài toán 3 Bài toán 3 được tham khảo từ TLTK số 2. Các bài 12,13,14, 15 ‘‘của’’ tác giả.
. Một người, hàng tháng gửi vào ngânhàng số tiền là P (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là r%. Hỏi sau n tháng, người ấy nhận được bao nhiêu tiền?
Giải
Sau tháng thứ nhất , người đó có số tiền là: 
Đầu tháng thứ 2 , người đó có số tiền là : 
Cuối tháng thứ 2 người đó có số tiền là: 
Đầu tháng 3, người đó có số tiền là: 
Cuối tháng thứ 3 người đó có số tiền là: 
Tương tự cuối tháng thứ n , người đó có số tiền là: 
Ta có các bài toán mở rộng của bài toán 3 :
1, Cho , r, n tìm P
Từ công thức (5) suy ra 
2, Cho , P, r tìm n
Từ công thức (5) suy ra 
Bài 15. Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 10 triệu đồng. Biết lãi suất hàng tháng là 1 %. Hỏi sau một năm, người ấy nhận được bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải
 Như vậy đây là bài toán gửi vào hàng tháng số tiền không đổi. Bài này đã cho P, r, n yêu cầu tìm . Do đó ta áp dụng công thức (5)
Giải
n =1năm = 12 tháng
Áp dụng công thức (5) ta có số tiền người đó nhận được là:
 triệu.
Bài 16. Một người, hàng tháng gửi vào ngânhàng số tiền là x triệu đồng. Biết lãi suất hàng tháng là 2%. Hỏi người ấy phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền để sau 4 năm người ấy mua được ngôi nhà trị giá 2 tỷ?
Hướng dẫn giải
 Như vậy đây là bài toán gửi vào hàng tháng số tiền không đổi. Bài này đã cho , r, n yêu cầu tìm P=x. Do đó ta áp dụng công thức (6)
Giải
n =4năm = 48 tháng
Người ấy phải gửi vào ngân hàng số tiền để sau 4 năm người ấy mua được ngôi nhà trị giá 2 tỷ là:
Bài 17. Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10 triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học tại trường này, để có số tiền đó, gia đình đã tiết kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12 tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm tròn tới hàng ngìn)
Hướng dẫn giải
Như vậy đây là bài toán gửi vào hàng tháng số tiền không đổi. Bài này đã cho , r, n yêu cầu tìm P=x. Do đó ta áp dụng công thức (6)
Giải
Gia đình phải gửi tiết kiệm mỗi tháng số tiền là :
đồng
Bài 18. Một người, hàng tháng gửi vào ngânhàng số tiền là 10 triệu đồng. Biết lãi suất hàng tháng là 2 %. Hỏi người ấy phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tháng để người ấy mua được một cái ô tô trị giá 600 triệu đồng?
Hướng dẫn giải
Như vậy đây là bài toán gửi vào hàng tháng số tiền không đổi. Bài này đã cho , r, P yêu cầu tìm n. Do đó ta áp dụng công thức (7)
Giải 
Người ấy phải gửi vào ngân hàng số tháng để người ấy mua được một cái ô tô trị giá 600 triệu đồng là:
( tháng)
2.3.2. Áp dụng cho bài toán khác
2.3.2.1. Bài toán về dân số
Bài 19 Bài 19 được tham khảo từ TLTK số 2.Bài 20, 21 là được tham khảo từ TLTK số 6. Bài 18 là “của” tác giả.
. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người.
Hướng dẫn giải
 Bài này đã cho S, A, r ta chỉ giải phương trình mũ tìm N.
Giải
Vậy đến năm 2026 thì dân số VN là 120 triệu người.
Bài 20. Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Hỏi năm 2017 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.
Hướng dẫn giải 
B