SKKN Giúp học sinh sử dụng Định lý hàm số sin trong tam giác giải bài toán cực trị phần tổng hợp dao động và điện xoay chiều Ôn thi THPT Quốc Gia

 MỤC LỤC
Trang
1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. Phần nội dung
2.1. Cơ sở lí luận
4
2.2. Thực trạng của vấn đề.
5
2.3. Những giải pháp của sáng kiến
5
2.3.1. Bài toán cực trị trong điện xoay chiều
5
2.3.2. Bài toán cực trị tổng hợp dao động điều hòa
14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
19
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
19
3.2. Kiến nghị 
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO	..................................... .... .........................21
 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI 
 ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ 
 LÊN.
	1. Phần mở đầu
	1.1. Lý do chọn đề tài
	Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. 
 	Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm siêu việt, phép tính đạo hàm
 Việc sử dụng sự phân loại và phương pháp có ý nghĩa và hiệu quả vào bài toán vật lý vẫn là chuyện khó đối với học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Làm thế nào để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dụng linh hoạt vào bài toán lạ.
 Trong những năm qua việc thi Trung học phổ thông Quốc Gia (THPTQG) môn Vật lý là môn thi trắc nghiệm do đó học sinh chọn phương pháp và cách giải nhanh nhất là điều hoàn toàn hết sức quan trọng quyết định kết quả của học sinh.
 Hiện nay, trong kì THPT Quốc Gia và xét ĐH, CĐ, các môn thi bằng hình thức trắc nghiệm, các câu hỏi trắc nghiệm sử dụng là loại câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn (4 lựa chọn). Loại câu trắc nghiệm này có hai phần: phần đầu là phần dẫn, phần sau là các phương án trả lời. Trong các phương án chọn, chỉ có duy nhất một phương án đúng hoặc phương án đúng nhất; các phương án khác là phương án có tác dụng “gây nhiểu”.
 Trong một đề thi sẽ có một số câu dễ và một số câu khó để xét tốt nghiệp và ĐH, CĐ cho các thí sinh. 
 Câu dễ là những câu kiểm tra lí thuyết đơn thuần hoặc tính toán đơn giản với "mồi nhữ" không mấy hấp dẫn. 
 Câu vận dụng là câu cần phải có sự suy luận, tính toán kĩ lưỡng với các "mồi nhữ" hấp dẫn, cần có những biến đổi toán học và đặc biệt là sử dụng các bất đẳng thức vào để giải. 
 Câu vận dụng nâng cao là câu cần phải có sự đầu tư sâu rộng, trong câu đó sẽ có những "mồi nhữ" cực kì hấp dẫn. Nếu đó là câu hỏi cần phải có sự tính toán thì đó là sự tính toán khá phức tạp, các "mồi nhữ" là các số liệu khá có lí.
 Với những vấn đề trên để giúp học sinh làm được câu hỏi trắc nghiệm khó và nhất là hiểu sâu hơn về các bài toán vật lý để thi học sinh giỏi tôi đã chọn đề tài 
 “ Giúp học sinh sử dụng Định lý hàm số sin trong tam giác giải bài toán cực trị phần tổng hợp dao động và điện xoay chiều Ôn thi THPT Quốc Gia” .
 Đây là những bài toán khó phần vật lí có tính sử dụng toán học nhiều nên học sinh khi làm thường làm nhầm hoặc làm sai, nên tôi đã chọn đề tài này nhằm giúp giúp học sinh khắc phục được những sai lầm thường phạm phải khi học Vật lí và làm các bài tập Vật lí, cũng như khi thi học sinh giỏi. Với đề tài này tôi rất mong được nhiều giáo viên và hoc sinh đọc và góp ý để đề tài được đưa vào giảng dạy ở chương trình vật lí lớp 12 THPT. Rất mong được sử đóng góp của độc giả và những người làm chuyên môn.
 	1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Cung cấp cách tiếp cận mới trong việc giải quyết một số bài toán khó thông qua cách tiếp cận các ví dụ minh họa. Đưa ra phương pháp giải đơn giản, dễ hiểu, dễ làm nhằm nâng cao kĩ năng nắm bắt, vận dụng, tạo ứng thú và đam mê cho học sinh với môn học.
 	1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Hệ thống kiến thức, kĩ năng giải bài tập phần tổng hợp dao động, điện xoay chiều lớp 12 .
 Bài tập phần nâng cao về cực trị và một số phương pháp giải nâng cao ngoài sách giáo khoa lớp 12.
 Khảo sát học sinh trong việc áp dụng phương pháp mới và kết quả đạt được của phương pháp mới.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm đang trình bày của tôi dựa theo các luận cứ khoa học hướng đối tượng, vận dụng linh hoạt các phương pháp: quan sát, thuyết trình, vấn đáp, điều tra cơ bản, kiểm thử, phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm,v.v phù hợp với bài học và môn học thuộc lĩnh vực ôn thi THPT Quốc Gia.
 	2. Phần nội dung
 	2.1. Cơ sở lí luận
 Bộ giáo dục và đào tạo hướng dẫn và yêu cầu các Sở GD & ĐT chỉ đạo các trường THPT quan tâm đến việc ôn luyện thi THPT Quốc Gia. 
 Cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia của các phần thì đều có phần vận dụng và vận dung nâng cao cần hoc sinh sử dụng các kiến thức toán để làm. 
 Dựa vào chương trình vật lý THPT, chuẩn kiến thức kỹ năng giải bài tập định lượng của Bộ GD &ĐT. 
 Căn cứ vào những kết luận, đánh giá về việc dạy, học và bồi dưỡng thi THPT Quốc Gia bộ môn Vật lý của nhà trường.
 Sự quan tâm chỉ đạo sâu sát và kịp thời của BGH nhà trường, giáo viên dạy xây dựng kế hoạch cụ thể và lâu dài cho công tác ôn thi THPT Quốc Gia được tổ và BGH duyệt.
 Nhằm đáp ứng nhu cầu học bộ môn Vật lý, đồng thời giúp các em tự tin hơn khi tham gia các kỳ thi THPT Quốc Gia. Nâng cao hiệu quả dạy và học về bộ môn Vật lý nói riêng và các môn khoa học tự nhiên khác nói chung .
* Cơ sở toán học 
 Định lý Sin
 Với mọi tam giác ABC, ta có 
 Trong đó BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 Lưu ý: Trong các bài toán mà đề cho 2 cạnh 1 góc hoặc 1 cạnh 2 góc thì ta đều áp dụng được định lý sin, hoặc là các bài toán cực trị.
 	2.2. Thực trạng của vấn đề
 Các bài toán trong Vật Lí có rất nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi vẫn thường hay nhầm khi làm hoặc hiểu không sâu sắc vấn đề.
 Các em học sinh khá, giỏi thích tìm tòi, khám phá những cái mới. Đặcbiệt,
những bài toán khó thường rất hấp dẫn với các em. Các em dễ nhàm chán hoặc không hứng thú với những bài toán dễ và đơn giản, với sáng kiến này sẽ giúp các em học tốt hơn.
 Phần các bài toán áp dụng định lý hàm số sin là phần hay và khó các đề thi THPT Quốc Gia từ câu 32 trở đi hay khoét sâu vào những bài toán này nhất là vận dụng các toán học để biện luận các bài toán.
 Với thực trạng đó tôi đã khảo sát trên một số lớp tôi ôn thi THPT Quốc Gia của năm học 2018-2019 với kết quả trước khi có đề tài nghiên cứu như sau:
TT
Lớp
Số HS
hiểu được
Số HS
không hiểu
Ghi chú
1
12A6
0%
100%
Lớp thường
2
12A7
10%
90%
Lớp chọn
 	 2.3. Những giải pháp của sáng kiến
 Với nội dung của sáng kiến tôi đã chọn một số kết quả trong những bài toán cụ thể để học sinh làm đơn giản và rễ hiểu là:
 	 2.3.1. Bài toán cực trị trong điện xoay chiều
 *Trường hợp 1: Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
Từ giản đồ Fre-nen, ta có: 
Đặt , 
 với .
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có: 
 .
Vì U không đổi
và .
nên UL = ULmax khi đạt cực đại hay = 1.
Khi đó .
Khi =1, ta có: => =>=>.
* Lưu ý: - Các bài toán cũng sử dụng định lý này cực kỳ hiệu quả.
C
A
B
R
L
V
M
 Ví dụ 1. Cho mạch điện như hình vẽ. Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức (V). Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100W,
tụ điện có điện dung (F). Xác định L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch điện khi đó.
 Giải : Đặt 
Ta có: 
 rad
Vì 
rad
Xét tam giác OPQ và đặt .
 Theo định lý hàm số sin, ta có: 
Vì U và sina không đổi nên ULmax khi sinb cực đại hay sinb = 1
Vì rad. Hệ số công suất: 
 Mặt khác (H).
 Nhận xét: Đây là ví dụ cơ bản áp dụng định lý hàm số sin để biện luận, có thể nói đây là phương pháp hay và tối ưu khi làm trắc nghiệm. Sau đây tôi trình bày các ví dụ nâng cao hơn để học sinh có một cái nhìn tổng quan về phương phương pháp này thông qua các ví dụ khác nhau nhưng cùng loại.
 Ví dụ 2. Đặt điện áp (V) vào đoạn AB gồm AM và MB nối tiếp. Đoạn AM gồm tụ C nối tiếp với điện trở R và uAM lệch pha so với i. Đoạn MB chỉ có cuộn thuần cảm có L thay đổi. Điều chỉnh L sao cho max. Tính tổng đó.
A. 220 V.	B. 330 V.	C. 120 V.	D. 300 V.
Giải : Áp dụng định lí hàm số sin cho 
Khi đó: Chọn B.
 Nhận xét: Đây là bài toán điều chỉnh L để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại, đây là bài toán phát triển nâng cao từ ví dụ 1 và xem là một trong những bài toán khó nên nếu ta không biết chọn phương pháp thì khi làm sẽ không đủ thời gian, nên nếu ta chọn phương pháp dùng định lý hàm số sin thì làm đơn giản và rất phù hợp với làm trắc nghiệm.
 *Trường hợp 2: Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
Ta có: 
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:
 .
Vì U và không đổi nên UCmax khi sinb cực đại hay sinb = 1. Khi 
Ta có kết quả: => => 
 * Lưu ý: - Nếu C thay đổi để UcMax thì ta chỉ cần thay đổi vị trí của L cho C và URL vuông pha UAB. 
- Các bài toán cũng sử dụng định lý này cực kỳ hiệu quả.
 Ví dụ 1. Mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 0,318H, R = 100W, tụ C là tụ xoay. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức (V).Tìm C để điện áp giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
R
C
L
M
N
B
A
V
V’
 Giải :
Ta có: 
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:
 .
Vì U và không đổi nên UCmax khi sinb cực đại hay sinb = 1. Khi 
F
 (V).
 Nhận xét: Đây là ví dụ cơ bản như ví dụ 1 của trường hợp 1 chỉ cần thay đổi L cho C và áp dụng định lý hàm số sin để biện luận, có thể nói đây là phương pháp hay và tối ưu khi làm trắc nghiệm. Sau đây tôi trình bày các ví dụ nâng cao hơn để học sinh có một cái nhìn tổng quan về phương phương pháp này thông qua các ví dụ khác nhau nhưng cùng loại.
 Ví dụ 2. Đặt điện áp: (V) vào đoạn mạch AB nối tiếp theo thứ tự gồm cuộn cảm thuần, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh C để thì (với UCmax là điện áp hiệu dụng cực đại trên tụ). Tính U.
	A. .	B. .	C. .	D. .
 Giải : Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ANB: 
Thay số vào: 
Þ Chọn A.
 Nhận xét: Đây là bài toán tìm C để UCmax ,đối bài toán này thì có rất nhiều cách giải song các dùng giản đồ véc tơ kết hợp định lý hàm số sin là phương pháp tối ưu nhất về mặt thời gian trong làm trắc nghiệm hoặc ít sai sót khi biến đổi.
 Ví dụ 3. Đoạn mạch AB nối tiếp gồm hai đoạn mạch AM và MB. Đoạn mạch AM là một cuộn dây có điện trở thuần và độ tự cảm H, đoạn mạch MB là một tụ điện có điện dung C thay đổi được, C có giá trị hữu hạn và khác không. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp: (V). Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại. Tìm độ lệch pha giữa điện áp tức thời trên AM và trên AB.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Giải : Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác AMB:
(vì nên )
 (vì )
Chọn C.
 Nhận xét: Đây là bài toán điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại một trong những bài toán khó mở rộng của ví dụ 1 và 2 nếu ta không biết chọn phương pháp thì khi làm sẽ không đủ thời gian, nên nếu ta chọn phương pháp dùng định lý hàm số sin thì làm đơn giản và rất phù hợp với làm trắc nghiệm.
 Ví dụ 4. Đoạn mạch AB nối tiếp gồm hai đoạn mạch AM và MB. Đoạn mạch AM là một cuộn dây có điện trở thuần và độ tự cảm H, đoạn mạch MB là một tụ điện có điện dung C thay đổi được, C có giá trị hữu hạn và khác không. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp: (V). Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại. Tìm UAM.
	A. 2U.	B. U.	C. 0,5U.	D. 0,25U.
Giải : 
Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác AMB:
(vì nên )
 (vì )
 Tam giác AMB đều Chọn B.
 Nhận xét: Đây là bài toán điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại như ví dụ 3 nhưng tìm U một trong những bài toán khó nếu ta không biết chọn phương pháp thì khi làm sẽ không đủ thời gian, nên nếu ta chọn phương pháp dùng định lý hàm số sin thì làm đơn giản và rất phù hợp với làm trắc nghiệm.
 Ví dụ 5. Đoạn mạch AB nối tiếp gồm hai đoạn mạch AM và MB. Đoạn mạch AM là một cuộn dây có điện trở thuần và độ tự cảm H, đoạn mạch MB là một tụ điện có điện dung C thay đổi được, C có giá trị hữu hạn và khác không. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp: (V). Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại của tổng số này.
	A. 240 V.	B. V.	C. 120 V.	D. V.
Giải : Xét 
Áp dụng định lí hàm số sin cho 
Khi đó: Chọn B.
 Nhận xét: Đây là bài toán điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng đạt giá trị cực đại như ví dụ 3,4 nhưng tìm một trong những bài toán khó nếu ta không biết chọn phương pháp thì khi làm sẽ không đủ thời gian, nên nếu ta chọn phương pháp dùng định lý hàm số sin thì làm đơn giản và rất phù hợp với làm trắc nghiệm.
 *Các bài toán vận dụng tự giải:
 Câu 1:Một đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm điện trở thuần 100, cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp . Thay đổi điện dung C của tụ điện cho đến khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó bằng: 
 	A. . 	 B. 200V. 	C. . 	D. 100V. 
 Câu 2:Mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở r và tụ điện C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng 30V.Điều chỉnh C để điện áp trên hai bản tụ đạt giá trị cực đại và bằng số 50V. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây khi đó là bao nhiêu? 
 A. 30V .	 B. 20V. 	 C. 40V .	 D. 50V.
 Câu 3: Cho đoạn mạch điện AB gồm mạch AM mắc nối tiếp với mạch MB. Mạch AM chỉ chứa cuộn cảm thuần có độ tự cảm L = H; mạch MB gồm điện trở hoạt động R = 40Ω và một tụ điện có điện dung thay đổi được. Giữa AB có một điện áp xoay chiều u = 200cos100πt(V) luôn ổn định. Điều chỉnh C cho đến khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu mạch MB đạt cực đại (UMB)Max. Giá trị của (UMB)Max là
 A. 361 V.	B. 220 V. 	C. 255 V. 	 D. 281 V.
 Câu 4: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 30Ω, ZL = 40Ω, còn C thay đổi được. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp u = 120cos(100t - π/4)V. Khi C = Co thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại UCmax bằng 
 A. UCmax = 100V B. UCmax = 36V C. UCmax = 120V D. UCmax = 200 V 
 Câu 5: Đặt điện áp xoay chiều (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm H và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó bằng . Điện trở R bằng
A. .	 B. .	 C. 10 .	 D. 20 .
 Câu 6: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm một điện trở, một tụ điện và một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L có thể thay đổi, với u là điện áp hai đầu đoạn mạch và uRC là điện áp hai đầu đoạn mạch chứa RC, thay đổi L để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại khi đó kết luận nào sau đây là sai?
 A. u và uRC vuông pha. B.(UL)2Max= +. 
 C. u và uRC cùng pha. D. .
C
A
B
R
L
V
M
 Câu 7: Cho đoạn mạch điện không phân nhánh RLC. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch có biểu thức (V). Điện trở R = 100W, Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, tụ điện có điện dung (F). 
Xác định L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai đầu 
cuộn dây đạt giá trị cực đại.
A. L= H. 	 	B. L= H. 	 C. L= H. 	 D. L= H. 
 Câu 8: Cho mạch điện xoay chiều gồm RLC mắc nối tiếp,cuộn cảm thuần có độ tự cảm thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u=100cos100t. Điều chỉnh độ tự cảm để điện áp trên hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại là ULmax thì điện áp hiệu dụng trên hai đầu tụ điện là UC = 200V. Giá trị ULmax là
	A. 300V.	B. 100V.	C. 150V.	D. 250V.
 Câu 9: Cho mạch điện xoay chiều không phân nhánh RLC có tần số thay đổi được.Gọi f0 ;f1 ;f2 lần lượt các giá trị tần số làm cho hiệu điện thế hiệu dung hai đầu điện trở cực đại, hiệu điện thế hiệu dung hai đầu cuộn cảm cực đại, hiệu điện thế hiệu dung hai đầu tụ điện cực đại.Ta có :
A.f0= . B.f0=. C.f1.f2=f02 . D. f0 =f1 + f2.
 Câu 10: Đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM nối tiếp với MB. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L thay đổi được. Đoạn mạch MB chỉ có tụ điện C. Đặt vào hai đầu AB một điện áp xoay chiều u = cos100πt (V). Điều chỉnh L = L1 thì cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là I1 = 0,5 A, điện áp hiệu dụng UMB = 100 V và dòng điện trễ pha 600 so với điện áp giữa hai đầu mạch. Điều chỉnh L = L2 để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch A, M đạt cực đại. L2 có giá trị.
	2.3.2. Bài toán tổng hợp dao động điều hòa
 Giản đồ Fresnel: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và độ lệch pha không đổi . Dao động tổng hợp có biên độ và pha được xác định:
a. Biên độ: ; điều kiện
b. Pha ban đầu : tan; 
điều kiện 
Chú ý: 
Lưu ý: Bài toán biện luận
– Áp dụng định luật hàm số sin
+ Điều kiện của  để :
+ Nếu cho , thay đổi để :
 Ví dụ 1 (ĐH -2012). Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình x1 = (cm) và x2 = (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình (cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì
	A. 	B. 	C. 	D. 
A
A1
A2
O
x
 Giải : 
 + Biểu diễn giản đồ Fressnen và áp dụng định lý hàm số sin
A cực tiểu khi = 1 => = π/2 = 
=> góc (AOx) = π/3. Pha âm => Chọn C.
 Nhận xét: Đây là bài toán cực trị mà trong đề thi thường là câu từ điểm 8 trở lên nhưng ta thấy nếu ta nhận dạng nhanh và áp dụng định lý hám số sin giải thì có thể lam nhanh trong vòng vài phút. Đối bài toán này ta còn một số phương pháp khác song đây là cách phù hợp cho làm trắc nghiệm.
 Ví dụ 2. Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động
 và . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động này là: . Biên độ A1 thay đổi được. Thay đổi  để  có giá trị lớn nhất. Tìm ?
A. 16 cm.                     B. 14 cm.             C. 18 cm.                         D. 12 cm.
 Giải : 
Ta biểu diễn dao động tổng hợp  như hình vẽ.
Áp dụng định lí hàm số sin:
Vì  , A không đổi, 
Lúc đó: Chọn D.
 Nhận xét: Đây là bài toán cực trị mà trong đề thi thường là câu từ điểm 8 trở lên nhưng ta thấy nếu ta nhận dạng nhanh và áp dụng định lý hám số sin giải thì có thể lam nhanh trong vòng vài phút.
 Ví dụ 3 (ĐH -2014). Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là và . Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là . Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị nào nhất sau đây?
	A. 25 cm.	B. 20 cm.	C. 40 cm.	D. 35 cm.
 j
a 
A
A2 b
A1
Giải: j1 = 0,35 rad = 200; j2 = -1,58 rad = - 900
 Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ
 a = + j
 b = 1800 - j1- j2 = 700
 Áp dụng ĐL hàm số sin
 = = = = 21,3
 A1 = 21,3sina = 21.3cosj
 A2 = 21,3sin(200 - j)
A1 + A2 = 21,3[cosj + sin(200 - j)] = 21,3[cosj + cos(700 + j)] = 42,6cos350cos(j + 350)
(A1 + A2)max = 42,6cos350  = 34,896 cm = 35cm. chọn đáp án D.
 Nhận xét: Đây là bài toán cực trị mở rộng của 2 ví dụ 1 và 2 ở đây là tìm giá trị cực đại của (A1 + A2) nếu ta áp dụng định lý hàm số sin ta thấy bài toán sẽ vô cùng đơn giản.
 *Các bài toán vận dụng tự giải:
 Câu 1: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là và và dao động tổng hợp có phương trình . Để biên độ A2 đạt giá trị cực đại thì biên độ A1 có giá trị là
A. .	B.. 	 C.. 	 D. 15cm.	
 Câu 2: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là và thì phương trình dao động tổng hợp là . Để năng lượng dao động đạt giá trị cực đại thì biên độ A2 phải có giá trị 
A.. 	 	B. . 	 C.. 	D.. 	 
 Câu 3: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa và , phương trình dao động tổng hợp của vật là . Để vật dao động với biên độ cực đại của biên độ thì A2 bằng 
A. 10 cm .	B. 20cm .	C. 20 / cm. 	 	D. 10/ cm.
 Câu 4: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, biết: , dao động tổng hợp có phương trình: cm. Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ nhất là
	A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
 Câu 5: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa và , phương trình dao động tổng hợp của vật là . Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2 bằng 
A. 10 cm. 	B. 20cm .