SKKN Giúp học sinh giải nhanh bài toán:xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm ẩn bằng công cụ đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TOÁN:XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM ẨN BẰNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM
Người thực hiện: Lại Duy Tám
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2019
 MỤC LỤC Trang 
NỘI DUNG 
1. MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................................1 
1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................................................................................1 
1.3. Đối tượng nghiên cứu ..............................................................................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ........................................................................2-13
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ............................................................................. 2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm............... ............2
2.3. Các biện pháp thực hiện .................................................................................................................................3
2.3.1. Một số kiến thức cơ bản và ví dụ minh họa ............................................................................3-14
2.3.2. Bài tập tự luyện	 .............................................................................................................................................14
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................................................15
3.1. Kết quả nghiên cứu.........................................................................................................................................................16
3.2. Kết luận........................................................................................................................................................................................16
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của một hàm số là phần kiến thức cơ bản mà đa số học sinh làm được ở mức độ vận dụng thấp.Ngược lại nếu cho đồ thị của hàm số yêu cầu xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số ,đây là bài toán tương đối khó đối với học sinh do chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán, mặt khác các bài tập trong SGK cơ bản chỉ đưa ra các bài tập xét tính đơn điệu của một số hàm số cụ thể, khi đó học sinh có thể sử dụng máy tính Casio để có đáp án nhanh đối với các bài toán dạng trắc nghiệm.
Nhưng trong một số đề thi thử,minh họa, thi THPT Quốc gia luôn có những câu hỏi vận dụng cao về xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số mà không cho hàm số cụ thể (xét tính đơn điệu của hàm ẩn),nên việc sử dụng máy tính Casio để có thể tìm đáp án là hạn chế .Do đó trong quá trình giảng dạy tôi thấy cần có một hệ thống kiến thức và bài tập nâng cao về vấn đề này để học sinh có thể làm tốt các bài tập loại này trong các đề thi THPT Quốc gia .Với mục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là nhằm mục đích bồi dưỡng chuyên môn cho chính bản thân mình, tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài: “Giúp học sinh giải nhanh bài toán: xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm ẩn’’
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một hệ thống bài tập theo từng cấp độ để học sinh tiếp nhận kiến thức một cách nhẹ nhàng.Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp xét tính đơn điệu của hàm ẩn,biết đọc đồ thị,biết quy lạ về quen , rèn luyện tư duy sáng tạo, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Nghiên cứu mối quan hệ giữa đồ thị hàm số với tính đơn điệu và sự tồn tại cực trị của hàm ẩn .Các phương pháp xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm ẩn ,nghiên cứu về bài tập ở dạng vận dụng cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
-Thu thập thông tin và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu SGK lớp 12 
-Tìm hiểu thực tế qua việc giảng dạy,giải đề thi thử THPT Quốc Gia 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Một số kiến thức cơ bản 
·Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lý:
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
 · Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng .
 · Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
 · Nếu thì hàm số không đổi trên khoảng .
·Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 
Định lí 
Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên hoặc trên , với 
- Nếu thì là một điểm cực đại của hàm số 
- Nếu thì là một điểm cực tiểu của hàm số 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
·Thời gian và các bước tiến hành:
 	- Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học: 2017-2018
 	- Khảo sát chất lượng qua kỳ thi thử THPT Quốc Gia lần 1
Thông qua việc đánh giá kết quả thi thử THPT Quốc Gia lần 1 còn thấp, đa số học sinh chưa làm được bài toán dạng này nên bài thi trắc nghiệm còn chọn bừa đáp án 
·Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên: 
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ ở các điểm sau:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập 
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Đây là dạng toán đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Nhiều em hổng kiến thức đạo hàm,kỹ năng đọc đồ thị còn yếu
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học và học sinh khá không nhàm chán.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, nội dung này đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm .Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải và hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia.
2.3. Các biện pháp thực hiện
2.3.1. Kiến thức cơ bản: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm ẩn
Bài toán : 
Cho đồ thị hàm số Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp giải: 
-Dựa vào đồ thị hàm số ta sẽ thấy các khoảng để 
 đồng biến trên khoảng đó
 nghịch biến trên khoảng đó
-Xét dấu bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số đã xét ở trên
2.3.2 .Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Bài toán cơ bản)
Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. 
Hãy tìm các khoảng đồng biến và nghich biến của hàm 
Khó khăn đối với học sinh
- Các bài tập SGK chỉ có dạng toán là:Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số suy ra được các khoảng đơn điệu của nó
-Học sinh chưa biết đọc đồ thị hàm số để thấy mối quan hệ giữa dấu của và tính đơn điệu của hàm số 
Hướng dẫn
-Quan sát đồ thị hàm số hãy chỉ ra các khoảng mà ,?
-Nêu mối quan hệ giữa dấu của và tính đơn điệu của hàm số 
Bài giải
Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy
● khi đồng biến trên các khoảng , .
● khi nghịch biến trên khoảng . 
Ví dụ 2. 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên 
Hãy tìm các khoảng nghịch biến của hàm số 
Khó khăn đối với học sinh
-Chưa biết tính đạo hàm của hàm số 
-Khó khăn trong việc tìm được các khoảng để (Do không thấy mối quan hệ giữa dấu của và )
Hướng dẫn
-Quan sát đồ thị hàm số hãy chỉ ra các khoảng mà ,?
-Tính (GV hướng dẫn cách tính đạo hàm của hàm hợp)
-Tim các khoảng mà ?
Bài giải
Dựa vào đồ thị, suy ra 
Ta có 
Xét 
Vậy nghịch biến trên các khoảng và 
Nhận xét: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh lập bảng biến thiên của hàm số như sau 
. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nghịch biến trên các khoảng và 
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ ta chọn 
suy ra Khi đó 
Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
 Ví dụ 3. (Bài tập tương tự) 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hãy tìm các khoảng đồng biến của hàm số 
Bài giải
Cách 1.Dựa vào đồ thị, suy ra 
Ta có 
Xét 
Vậy đồng biến trên các khoảng và 
Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên đồng biến trên các khoảng và 
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn suy ra Khi đó 
 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu.
 Ví dụ 4. 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số 
Bài giải
Cách 1.Dựa vào đồ thị, suy ra 
Ta có 
Xét 
Vậy đồng biến trên các khoảng 
Cách 2. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên. đồng biến trên các khoảng 
 Ví dụ 5. 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số 
Khó khăn đối với học sinh
-Hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối nên lúng túng trong cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối nên chưa biết quy bài toán lạ về quen (Sau khi xét 2 trường hợp của giá trị và sẽ đưa về bài toán quen thuộc)
	Hướng dẫn
-Quan sát đồ thị hàm số hãy chỉ ra các khoảng mà ,
-Vì hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối nên ta xét 2 trường hợp và 
Bài giải
Dựa vào đồ thị, suy ra và 
= Với khi đó kết hợp với 
Ta có hàm số đồng biến trên các khoảng và 
= Với khi đó 
hàm số đồng biến trên khoảng 
 Ví dụ 6. 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số 
Bài giải
Cách 1.Ta có Hàm số đồng biến 
Vậy: đồng biến trên các khoảng 
Nhận xét: 
Bài tập này khi tính đạo hàm của hàm ta có và dấu của phụ thuộc dấu của x và nên phải chia thành 2 trường hợp
Ngoài ra ta có thể làm theo cách lập bảng biến thiên
Cách 2. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên đồng biến trên các khoảng 
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
= 	
= . Với 	
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
2.3.3. Kiến thức cơ bản Cực trị của hàm số
Bài toán: 
Cho đồ thị hàm số Tìm số điểm cực trị của hàm số 
 Phương pháp giải:
 -Tính 
 -Giải phương trình 
 -Từ đồ thị hàm số tìm và lập bảng biến thiên,từ đó suy ra cực trị
Khó khăn đối với học sinh
 -Các bài tập SGK chỉ có dạng toán là tìm cực trị của hàm số cho trước 
 hoặc dựa vào đồ thị hoặc dựa vào bảng biến thiên của hàm số để tìm cực 
 trị
 -Học sinh chưa có phương pháp giải đối với hàm ẩn
 	 2.3.4. Các ví dụ minh họa
 Ví dụ 1. 
 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
Khó khăn đối với học sinh
-Còn lúng túng khi tính đạo hàm của hàm số 
-Chưa thấy mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và các giá trị làm cho 
-Khó khăn trong việc xác định dấu của trên từng khoảng trong bảng biến thiên
Hướng dẫn
-Tính 
-Từ đồ thị hàm số hãy chỉ ra các giá trị của x để ?
-Giải phương trình 
-Lập bảng biến thiên 
Bài giải
Ta có 
Bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số là 3
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
= 	
= 	
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ) nên qua nghiệm không đổi dấu.
 Ví dụ 2. 
 Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây
Tìm số điểm cực trị của hàm số 
Khó khăn đối với học sinh
-Từ đồ thị hàm số không tìm ra được số điểm cực trị của hàm số là 3 hoặc có thể nhầm là 2
-Khó khăn trong việc xác định các giá trị của làm cho 
Hướng dẫn
-Từ đồ thị hàm số hãy cho biết số điểm cực trị của của hàm số 
-Tính 
-So sánh số điểm cực trị của hàm số và 
Bài giải
Ta thấy đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt, suy ra hàm số có điểm cực trị.
Ta có 
Vì với mọi nên 
Suy ra số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số 
Ví dụ 3. 
 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số 
Bài giải
Ta có 
= 
= không xác định 
Bảng biến thiên
 Kết luận:Hàm số có 3 điểm cực trị
Ví dụ 4. 
 Cho hàm số có đạo hàm với mọi Tìm số điểm cực trị của hàm số 
Bài giải
Ta có 
Ta thấy và đều là các nghiệm đơn hàm số có điểm cực trị.
 Ví dụ 5. 
 Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?
Bài giải
Ta có 
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại 
 Ví dụ 6. 
 Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của như sau
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
Khó khăn đối với học sinh
-Kĩ năng đọc bảng biến thiên còn yếu 
-Chưa thấy mối quan hệ của x làm cho và 
-Khó khăn trong việc xác định dấu của khi lập bảng biến thiên
Hướng dẫn
-Tính 
-Từ bảng biến thiên của hàm số hãy chỉ ra các giá trị của x để ?
-Giải phương trình 
-Lập bảng biến thiên 
	Bài giải
Ta có 
Bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên số điểm cực tiểu của hàm số là 1
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
= 	
= 	
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
 Ví dụ 7. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồng thời đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm số điểm cực trị của hàm số 
Hướng dẫn
-Từ đồ thị hãy lập bảng biến thiên của hàm số 	
-Lập bảng biến thiên của hàm số 
Bài giải
Dựa vào đồ thị, ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
Xét 
Bảng biến thiên của hàm số 
Vậy hàm số có điểm cực trị.
Nhận xét: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn 
= 	
= Theo giả thiết 	
Từ và suy ra trên khoảng 
Nhận thấy là các nghiệm đơn nên đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của 
 Ví dụ 8. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm số điểm cực trị của hàm số là
Bài giải
Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số có điểm cực trị.
Bài tập tự luyện
 Bài 1. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số 
 Bài 2. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số 
 Bài 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi 
 Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
 Bài 4 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới 
 Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số ?
 Bài 5. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình 
 vẽ bên dưới.
Tìm điểm cực đại của hàm số 
Bài 6. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hàm số tìm điểm cực tiểu của hàm số
 Bài 7. Cho hàm số bậc bốn Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. 
 Tìm số điểm cực đại của hàm số 
3. KẾT LUẬN
3.1.Kết quả nghiên cứu
Trong đề tài này tôi đã hệ thống được một số dạng bài tập về xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm hợp trong các bài toán cơ bản và bài toán thi ĐH 
Đối với mỗi dạng bài tập tôi đã cố gắng đưa kỹ năng tìm lời giải bài toán, cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho một số bài toán cụ thể. Thực tế cho thấy, học sinh rất hào hứng và thích thú khi tôi thực hiện đề tài này trong các tiết học và kết quả tương đối khả quan. Nếu như trước đó, học sinh thường làm các dạng bài tập trên rất mất thời gian và việc lựa chọn để có kết quả gọn là rất khó hầu như các em chán nản. Sau khi áp dụng đề tài này thì kết quả có sự tiến bộ rõ rệt và thời gian làm bài nhanh hơn nhiều.
Để đánh giá kết quả vận dụng phương pháp này tôi đã thử nghiệm 1 bài tập ở lớp 12A8 với 32 học sinh
 Bài tập : Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hàm 
 số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
Số học sinh
Năm học
Dưới TB
Trung bình
Khá
Giỏi
Trước khi áp dụng phương pháp
32
2018-2019
11 (34,3%)
16 (50%)
4 (12,5%)
1 (3,2%)
Sau khi áp dụng phương pháp
32
2018-2019
2 (6,4%)
9 (28,1%)
16 (50%)
5 (15,5%)
3.2.Kết luận
Tuy đề tài hữu ích song đây cũng chỉ là một phương pháp trong nhiều phương pháp để giải bài toán dạng này .Việc tích cực đọc tài liệu và tập hợp các bài tập thành những dạng cụ thể đề ra định hướng giải các dạng bài tập đó để phục vụ cho việc giảng dạy được hiệu quả hơn.
 Do thời gian có hạn và điều kiện nghiên cứu và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong sự quan tâm, góp ý chỉ bảo của Ban giám hiệu nhà trường, các đồng nghiệp trong tổ Toán để đề tài được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong tổ Toán đã góp ý, chỉnh sửa để tôi hoàn thành tốt đề tài này.
 Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết
 không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết sáng kiến
 Lại Duy Tám