SKKN Giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường Trung học Cơ sở Lương Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ. Toán học là một môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con người chúng ta trong bất kì hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán. Nghiên cứu về toán cũng chính là nghiên cứu một phần của thế giới. Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mĩ của người công dân. 	
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng. Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Toán học thì trước hết phải đào tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn Toán. Đây là nhiệm vụ hết sức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo. Do đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo phải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học hiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình toán học ở trung học cơ sở. Việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử không những giúp học sinh làm tốt các bài toán dạng này mà còn là công cụ cần thiết giúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, chứng minh.Đặc biệt giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất. Qua quá trình dạy toán ở trung học cơ sở, qua kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi của bản thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà thiết nghĩ mỗi thầy cô giáo dạy toán đều cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao tư duy toán học tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung. Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán gặp rất nhiều trong toán trung học cơ sở, nó đa dạng nên khi giải các bài toán trên học sinh phải biết lựa chọn phương pháp phù hợp đối với từng bài để phân tích đúng và triệt để đến kết quả cuối cùng. Đối với giáo viên khi dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ khắc phục những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin học tập bộ môn toán.
Kĩ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên luôn phải quan tâm. Thông qua bài kiểm tra 15 phút, bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kì cho thấy kĩ năng giải toán và vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao. Đây là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo viên dạy toán 8, kể cả toán 9. Vì vậy, với bản thân trong những năm dạy học ở toán 8 tôi xây dựng thành “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk ”
 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
a) Mục tiêu
- Giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi nhọn của bộ môn.
- Giúp học sinh có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử 
- Giúp học sinh yêu thích môn toán hơn, đồng thời phát triển năng lực tự học, tự nguyên cứu.
b) Nhiệm vụ
- Tìm hiểu các sai lầm phổ biến, những khó khăn của học sinh lớp 8 khi phân tích đa thức thành nhân tử.
	- Phân tích tìm ra được các sai lầm khi giải toán
- Đề xuất các biện pháp để giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán trung học cơ cở.
3. Đối tượng nghiên cứu 
- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó học sinh biết vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán. 
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ sở Lương Thế vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắklắk năm học 2017- 2018. 
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩ năng, nâng cao và pháp triển toán 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các quá trình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh theo từng đợt; nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp điều tra, khảo sát.
- Phương pháp đàm thoại – gợi mở. 
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp tác động giáo dục .
- Phương pháp thực nghiệm. 
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
Căn cứ công văn hướng dẫn số 04/PGDĐT-TĐKT ngày 06 tháng 01 năm 2015 của Phòng GD-ĐT huyện Krông Ana về việc hướng dẫn viết, đánh giá SKKN từ năm học 2015- 2016 (Kèm theo Công văn số 232 /PGDĐT-TĐKT ngày 09 tháng11 năm 2017).
Để việc dạy học đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng nghiệp, tôi thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử được thể hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15 phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều bài không định hình được cách trình bàyVà sau khi hướng dẫn, tìm cho các em những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến thức này.
Việc dạy học phải bám sát vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo dục phổ thông để xác định mục tiêu của bài học, chú trọng dạy học nhằm đạt được các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không quá tải; mức độ khai thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh; sáng tạo về phương pháp dạy học, phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác của học sinh tạo niềm vui, phấn khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập cho học sinh; dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên với học sinh, giữa học sinh với học sinh, chú trọng đến việc động viên, khuyến khích kịp thời tiến độ của học sinh trong quá trình học.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương pháp nâng cao để phân tích, đó là:
a) Phương pháp đặt nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C).
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Duøng khi caùc haïng töû cuûa ña thöùc coù daïng haèng ñaúng thöùc.
 ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
 ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
 A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
 ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
 ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
 A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 
 A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
 + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
d) Phối hợp các phương pháp cơ bản
Vận dụng và phát triển kỹ năng là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: 
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
	+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
	+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
e) Phöông phaùp tìm nghiệm của đa thức: 
Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Khái niệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức có nghiệm là a thì nó chứa nhân tử x- a.
 	Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của hệ số tự do. 
	Thật vậy giả sử đa thức a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + an với các hệ số a0 ; a1 ; a2 ;a3 ;.an nguyên, có nghiệm x = a ( a là số nguyên) . 
Từ đó suy ra a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + an = (x – a) (b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-1)
Trong đó b0 ; b1 ; b2 ;.bn-1 nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng –abn-1, Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an 
	Vì vậy –abn-1= an suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an
 	Chú ý khi xét nghiệm nguyên của đa thức, Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
f) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử 
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình thường. 
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
g) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử
h) Phương pháp đặt biến phụ (phương pháp đổi biến)
k) Phương pháp hệ số bất định
 Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.
m) Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhận tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại. 
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Điểm kiểm tra khảo sát đầu năm môn toán các lớp 8A1 và 8A3 kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Trên Trung bình
Tỉ lệ %
8A1
27
5
18,5%
8A3
32
10
31,3%
 	Từ kết quả khảo sát trên thông qua việc điều tra tình hình học tập của các em học sinh tôi nhận thấy một số thuận lợi như: 
 	 + Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường.
 	 + Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.
 	 + Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạy học.
Tuy nhiên vẫn còn nhiều khó khăn:
 	 + Trình độ nhận thức của các em không đồng đều (có nhiều học sinh khá giỏi nhưng cũng có không ít học sinh yếu kém).
 + Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học.
 	 + Học sinh không có sự ôn luyện hè ở nhà.	
 	 + Học sinh còn chịu ảnh hưởng của bệnh thành tích ở những năm trước không cần học cũng vẫn lên lớp. 
+ Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học
+ Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo. Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài toán khó.
 	 + Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưa thuộc).
 	+ Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa tuổi các em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ.
 + Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu kém.
 + Nhiều gia đình kinh tế khó khăn, bố mẹ thường xuyên vào rẫy xa để trồng mía, trồng sắn... chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập.
 	Từ những thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để các em học sinh ngày thêm yêu thích môn toán hơn, hình thành cho học sinh kĩ năng giải toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo.
Từ những nguyên nhân các yếu tố tác động tôi có thể phân tích các vấn đề về thực trạng như sau:
+ Đối với học sinh : Có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thì học sinh gặp ngay một dạng toán mới tương đối khó đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớn chưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Hơn nữa, một số kĩ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như nhân – chia đơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số công thức về lũy thừa là chưa thành thạo. Chính vì thế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.
Đối với giáo viên: Có thể trong tiết luyện tập, ôn tập về nội dung bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những đặc điểm trên của học sinh. Cũng có thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưng chưa định hướng cách giải chung cho dạng toán này.
 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 
	a. Mục tiêu của giải pháp 
 	 Đề xuất các biện pháp sư phạm để giúp học sinh biết sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở lớp 8. Tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất. 
	b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
	* Biện pháp 1: Củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản.
Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan đã học. Vì vậy giáo viên phải củng cố, khắc sâu cho học sinh cña m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh­ c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
 Đặc biệt giáo viên phải cho học sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
 §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Khi giải một số bài toán đơn giản người ta có thể sử dụng một trong các phương pháp giải thông thường như:
+ Đặt nhân tử chung.
Ví dụ1: x2 – 2x= x( x–2) 
	+ Dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2
	+ Nhóm nhiều hạng tử (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác nhau)
Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y) 
	= (1– 3y)(x+ 1+3y) 
Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo các phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử. 
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 
 	 = ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y) (Nhóm các hạng tử)
 	 = 3x( x–y) –5( x–y) (Đặt nhân tử chung)
 	 = ( x–y) ( 3x –5)	 (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 B = x - 2y + x2 - 4xy + 4y2
	= (x - 2y) + (x2 - 4xy + 4y2)	(Nhóm các hạng tử)
	= (x - 2y) + (x - 2y)2 (Dùng hằng đẳng thức)
	= (x- 2y) (1 + x - 2y) (Đặt nhân tử chung)
Vậy muốn các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các em lưu ý một số bước sau:
+ Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải biết cách nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
M = x4 +2x3 + x2 - 9x2y2 
Nhìn vào biểu thức ta cần dùng phương pháp nào trước để phân tích? Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là x2
+ Đặt nhân tử chung: x2( x2 +2x + 1- 9y2)
Trong ngoặc có 4 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không
+ Nhóm hạng tử: 	M = x2[(x2 - 2x + 1 ) - 9y2 ]
+Dùng hằng đẳng thức: M = x2 [( x - 1)2 - (3 y)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M = x2 (x - 1+ 3y) (x - 1 - 3y)
Vậy để phân tích tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi chúng ta cần quan sát kĩ bài toán và sử dụng linh hoạt các phương pháp trên giải bài toán một cách logic và chính xác. 
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a - a = a( a2- 1 ) = am(a+1)(a-1) 
 * Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở rog các phương pháp thông thường cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử dụng linh hoạt hầu hết tất cả các phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả mong muốn, do đó chúng ta cần giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài toán phức tạp hơn đó là:
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp đặt biến phụ
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:
Phương pháp tách hạng tử
Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với các hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với các hạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán.
Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách tách tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx +c thành nhân tử chung, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b 
Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:
 	N = 3x2 + 4x – 7.
 	Cách 1: N = 3x2 +4x - 4 - 3 (Tách -7 = -4 - 3)
= (3x2 - 3) +(4x- 4) (Nhóm hạng tử)
= 3(x2 - 1) + 7(x - 1) (Đặt nhân tử chung)
= 3(x - 1)(x+1)+7(x - 1) (Dùng hằng đẳng thức)
= (x - 1) (3x+7) (Đặt nhân tử chung)
 Cách 2: 3x2 +7x - 3x- 7 (Tách 4x = 7x - 3x
= (3x2 - 3x) + (7x - 7) (Nhóm hạng tử)
= 3x (x - 1) + 7(x - 1) (Đặt nhân tử chung)
= (x - 1) (3x+7) (Đặt nhân tử chung)
Ngoài ra tùy từng bài toán cụ thể ta có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do, hạng tử bậc nhất)
Phương pháp thêm bớt hạng tử
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 P = x4 + 324 = x4 + 182 = x4 + 182 + 36x2 - 36x2 ( thêm bớt 36x2)
	 = (x2 + 18)2- (6x)2 ( nhóm hạng tử)
	 = (x2 + 6x + 18)(x2 - 6x + 18) ( dùng hằng đẳng thức)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Q = a5 + a + 1
 P= x7 + x2 + 1
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
Q = a5 + a + 1 
= a5 + a + 1+ a2 - a2 ( Thêm bớt a2)
= (a5 - a2 )+( a2 + a + 1) ( Nhóm hạng tử)
 = a2(a- 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức)
 = ( a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung )
P= x7 + x2 + 1
= x7 – x + x2 + x + 1 (Thêm bớt x ) 
= x(x3+1) (x3-1)+ (x2 + x + 1 ) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức) 
= x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +(x2 + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 - x + 1 )
Chú ý: Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 1,. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1
Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cần thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
 Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có thể đặt ẩn phụ để đưa bài toá