SKKN Giải quyết một số dạng bài toán trắc nghiệm về giới hạn ở chương trình lớp 11 ban cơ bản bằng máy tính cầm tay CASIO FX - 570VN PLUS (hoặc loại máy tương đương)

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Những năm gần đây với việc thi THPT Quốc gia môn toán bằng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, thì việc sử dụng thành thạo máy tính cầm tay để tìm đáp án là một kỹ năng vô cùng quan trọng đối với các em học sinh trong quá trình làm bài. Điều đó không chỉ giúp học sinh tìm đáp án đúng mà còn giúp giảm thời gian làm bài rất nhiều.
Đối với học sinh lớp 11, việc vận dụng máy tính cầm tay giải toán chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản là thực hiện phép tính có sẵn như cộng, trừ, nhân, chia, giải phương trình bậc hai, bậc ba, hệ phương trình... Còn việc khái thác và sử dụng máy tính cầm tay ở mức độ cao hơn như tìm nghiệm của phương trình bất kỳ, định hướng giải cho một bài toán, lưu kết quả để sử dụng nhiều lần thì đa phần các em chưa biết khai thác và vận dụng sáng tạo để sử dụng triệt để các chức năng của máy tính cầm tay.
Trong nhiều năm giảng dạy môn toán ở các lớp cơ bản trường THPT Hà Văn Mao. Tôi nhận thấy rằng việc sử dụng MTCT hỗ trợ học sinh làm bài thi trắc nghiệm môn toán đạt được kết quả rất tốt. 
Tuy nhiên, phạm vi sử dụng MTCT là rất rộng, nó xuyên suốt gần như toàn bộ từ chương trình lớp 10 đến lớp 12. Trong đề tài này tôi không thể nêu hết những công dụng của nó được mà chỉ chọn lọc một nội dung đúng với thực tế mà bản thân đang thực hiện trong năm học này, đó là: “Giải quyết một số dạng bài toán trắc nghiệm về giới hạn ở chương trình lớp 11 ban cơ bản bằng máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS (hoặc loại máy tương đương)” . Mục tiêu của đề tài nghiên cứu đó là:
- Cung cấp cho học sinh những tính năng cần thiết của máy tính cầm tay.
- Giúp học sinh giải toán trắc nghiệm về giới hạn tốt hơn, nhanh hơn khi có sự trợ giúp của máy tính. 
- Trong quá trình giải toán bằng sử dụng máy tính các em còn có thể sáng tạo thêm nhiều phương pháp, nhiều cách giải mới hay hơn bằng máy tính trong quá trình giải toán sau này. 
- Khơi dậy niềm đam mê Toán học nói riêng và các môn khoa học tự nhiên nói chung ở các em học sinh. 
- Đặc biệt giúp những học sinh yếu có niềm tin trong học tập, tự tin làm bài kiểm tra mà không lo bị điểm kém.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Hướng dẫn học sinh lớp 11A6 ở trường THPT Hà Văn Mao, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa. Sử dụng máy tính cầm tay để giải một số dạng toán trong chương trình lớp 11 cơ bản 
- Hướng dẫn học sinh một số kỹ năng, quy tắc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán hiệu quả nhất. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	- Hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản về cách sử dụng và các tính năng của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS trong giải toán.
	- Sử dụng máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS để giải một số dạng bài tập về giới hạn thuộc chương trình toán 11 cơ bản.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về cách sử dụng các tính năng của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS trong giải toán. 
- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; dạy học phụ đạo cho học sinh yếu; giải bài tập trắc nghiệm; đề thi học kì; ôn thi THPT Quốc Gia ở trường THPT Hà Văn Mao, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em. 
- Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy; dạy học phụ đạo; hương dẫn học sinh giải bài tập về nhà ôn thi trắc nghiệm; ôn thi THPT Quốc gia trong năm học 2018 – 2019 của Trường THPT Hà Văn Mao.
1.5. Những điểm mới của SKKN
	- Cung cấp cho các em học sinh hệ thống kiến thức cơ bản về cách sử dụng và những tính năng của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS nói riêng và máy tính cầm tay nói chung.
	- Khai thác các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS trong việc giải và định hướng cách giải cho một số dạng bài toán về giới hạn trong chương trình Toán 11 THPT hiện hành.
	- Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, thì đề tài nghiên cứu của tác giả có vai trò quan trọng đối với giáo viên, cũng như các em học sinh trong quá trình dạy và học.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lí luận
Trong sản xuất, trong kinh doanh và trong nghiên cứu khoa học, học tập Nhiều khi đòi hỏi chúng ta phải xử lý nhiều phép tính một cách nhanh chóng và chính xác. Xuất phát từ yêu cầu kể trên trong cuộc sống, máy tính cầm tay ra đời nhằm giúp con người xử lý các phép tính chính xác và hiệu quả. 
Với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật, sự phát triển của công nghệ thông tin trong giai đoạn gần đây của thế giới. Máy tính cầm tay bây giờ không chỉ đơn thuần là máy tính giúp con người xử lý các phép tính: cộng, nhân, chia, lũy thừathông thường mà nó còn có thể giúp chúng ta tính toán các phép tính rộng hơn như: lượng giác, logarit, tổ hợp, thống kê, giải phương trìnhvà nhiều phép tính, bài giải phức tạp khác của Toán học.
Bộ giáo dục và đào tạo cũng yêu cầu các giáo viên cần dạy và hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải toán giúp các em học tập tốt hơn và giảm tính “hàn lâm” trong Toán học. Đồng thời việc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán còn giúp học sinh có kỹ năng sử dụng máy tính. Đó là một kỹ năng cần có của con người sống trong thế kỷ 21 này - thế kỷ của công nghệ thông tin.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Hà Văn Mao, tôi thấy rằng khi học sinh làm các dạng bài tập về giới hạn thường mắc phải một số vấn đề khó khăn như sau:
Một là đa số học sinh ban cơ bản ở trường THPT Hà Văn Mao đều có học lực ở mức trung bình và yếu. Vì vậy các em tư duy và tiếp thu kiến thức khá chậm, để dạy cho các em một dạng bài tập phải mất rất nhiều thời gian.
Hai là đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải cho bài toán. Các em thường chỉ làm được những bài tập tương tự như bài thầy cho. Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng trong việc tìm hướng giải cho bài toán đó.
Ba là việc dạy học sinh sử dụng MTCT tuy đã đưa vào trong chương trình học ở bậc THPT nhưng số tiết còn ít nên chưa được giáo viên và học sinh quan tâm đúng mức.
Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ mình trong quá trình giải toán, đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Chỉ cần học sinh hiểu được máy tính sẽ giúp mình tìm được gì từ yêu cầu của bài toán đã cho. Sau đó chuyển tải những điều mình muốn sang ngôn ngữ của máy tính và yêu cầu máy tính thực thi. Đó chính là điều mà tôi mong muốn trình bày trong đề tài này.
2.3. Giới thiệu cơ bản về máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS 
Máy tính cầm tay hỗ trợ cho việc giải toán của học sinh có rất nhiều loại, nhưng thông dụng nhất hiện nay là máy tính CASIO với các phiên bản máy như: CASIO FX-500MS, CASIO FX-500, CASIO FX-500PLUS, CASIO FX-570ES, CASIO FX-500VN PLUS, FX-570ES, FX-570ES PLUS, CASIO FX-580VN PLUS
Trong đề tài này, tác giả sử dụng máy tính CASIO FX-570 VN PLUS để giải toán và định hướng tìm lời giải cho các bài toán. Bởi đây là dòng máy mà đại đa số các học sinh đang sử dụng trong học tập và đây cũng là dòng máy tính cầm tay có tính năng ưu việt hơn các dòng máy tính cầm tay phổ thông khác. Hiện nay đã có dòng máy mới là CASIO FX-580VN PLUS Tuy nhiên, tác giả chọn CASIO FX-570 VN PLUS vì nó vẫn đang được học sinh sử dụng rộng dãi nhất. Ngoài ra một số dòng máy khác cũng có tính năng tương tự và sử dụng được trong đề tài này như: VINACAL-570ES, CASIO FX-570ES PLUS, CASIO FX-580VN PLUS
Tác giả xin giới thiệu một số phím chức năng của máy tính CASIO FX-570VN PLUS. Đồng thời để cho đơn giản trong trình bày, tác giả sẽ gọi máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS ngắn gọn hơn là máy tính CASIO hoặc máy tính cầm tay (MTCT) ở trong đề tài này.
2.3.1. Nhóm phím chung 
TT
Phím
Chức năng
1
ON
Mở máy
2
SHIFT + OFF
Tắt máy
3
AC
Xóa toàn bộ dữ liệu
4
DEL
Xóa ký tự bên trái con trỏ
5
Các phép toán
6
0,1,2,39
Các phím số
7
(-)
Dấu trừ số âm
8
sin, cos, tan
Hàm số lượng giác
9
Hàm số lượng giác ngược
10
log, ln
Hàm số logarit
11
Hàm số mũ
12
Lũy thừa
13
x!
Giai thừa
14
ABS
Giá trị tuyệt đối
15
Đổi hỗn số sang phân số 
16
Tích phân
17
Tính giá trị đạo hàm
18
ENG
Chuyển số về dạng lũy thừa n tăng
19
Chuyển số về dạng lũy thừa n giảm
20
Pol(
Đổi sang tọa độ cực
21
Rec(
Đổi sang tọa độ đề các
22
Rank#
Nhập số ngẫu nhiên
Phím thống kê
TT
Phím
Chức năng
1
DT
Nhập dữ liệu
 2
S – SUM
Gọi 
3
S – VAR
Gọi 
4
Số trung bình, độ lệch chuẩn
5
Tổng các số liệu, tổng bình phương các số liệu
Nhóm phím nhớ
TT
Phím
Chức năng
1
RCL
Gọi số ghi vào ô nhớ
2
STO
Gán (ghi) số vào ô nhớ
3
A,B,C,D,E,F,X,Y,M
Các ô nhớ (mỗi ô nhớ chỉ nhớ được 01 số riêng. Riêng ô nhớ M thêm chức năng M+, M- gán cho)
4
M+ Cộng thêm vào ô nhớ M, 
M- trừ bớt ô nhớ M
Phím đặc biệt
TT
Phím
Chức năng
1
SHIFT
Chuyển sang kênh chữ vàng
2
ANPHA
Chuyển sang kênh chữ đỏ
3
MODE
Chọn kiểu tính toán
4
SETUP
Cài đặt chế độ máy tính
5
CPLX
Tính trên tập hợp số phức
6
VECTO
Các phép toán vecto
7
MATRIX
Tính toán ma trận
8
CACL
Tính giá trị biểu thức
9
SLOVE
Tìm nghiệm phương trình
10
CPLX
Tính trên tập số phức
2.3.5. Một số lưu ý khi sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS...
Như đã nói ở trên, trong đề tài này tôi tập trung xây dựng các thuật toán để máy tính giúp chúng ta giải bài toán mà máy không cung cấp các chức năng có sẵn như: tìm giới hạn, giải một số dạng phương trình chứa căn cho nên việc sử dụng máy tính ở mức độ cơ bản như: Giải phương trình bậc hai, tính sinx, tính cosx  xem như học sinh đã biết hoặc chưa biết thì các em có thể tự học vẫn có thể hiểu được.
Vì thế các thao tác bấm máy, nhập dữ liệu trong đề tài này tôi trình bày ngắn gọn. Chỉ giải thích thêm những chỗ học sinh còn vướng mắc khi thực hiện theo yêu cầu nhưng lại không tìm thấy đáp án đúng.
2.4. Sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS để giải một số dạng bài toán trắc nghiệm về giới hạn ở chương trình lớp 11 ban cơ bản
Để sử dụng máy tính cầm tay tìm giới hạn hàm số (dãy số) ta dựa vào các định nghĩa về giới hạn: Giới hạn tại một điểm, giới hạn tại vô cực. và “quy ước lại” các khái niệm của giới hạn như: sang ngôn ngữ của máy tính cầm tay. 
Một số dạng giới hạn về hàm số cũng có thể áp dụng cách làm tương tự trong giới hạn dãy số nên tác giả không trình bày nhiều ví dụ về giới hạn dãy số.
Việc tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay thực chất là ta yêu cầu máy tính tính các giá trị của hàm số (dãy số) cần tìm giới hạn bởi những giá trị “được hiểu” là tương đương với các khái niệm: . Vì thế ta có các quy tắc sau:
Quy tắc 1: 
Khi ta sử dụng một số đủ lớn để thay thế là 99999999 hoặc . 
Khi ta sử dụng một số đủ nhỏ để thay thế là -999999hoặc-.
Lưu ý: Máy tính cầm tay có thể xử lý tối đa các phép toán có kết quả là 12 chữ số, dó đó trong trong trường hợp này ta có thể chọn . Tuy nhiên trong một số trường hợp phải xử lý linh hoạt hơn, như Ví dụ 4 chẳng hạn.
Quy tắc 2: Khi ta sử dụng một số đại diện là x = a + 0,0000000001 
 Khi ta sử dụng một số đại diện là x = a - 0,0000000001
Lưu ý:
Số a + 0,0000000001 và số a - 0,0000000001 được hiểu là một số thuộc lân cận của a theo định nghĩa giới hạn một phía. Số đó càng gần a thì kết quả giới hạn càng chính xác.
Và để đảm bảo kết quả giới hạn đủ độ chính xác ta thường lấy sau dấu phẩy ít nhất là 9 chữ số.
Quy tắc 3: Khi ta sử dụng số đại diện là x = a+0,0000000001
 và số x = a - 0,000000001 để tính.
Lưu ý: Nếu a thuộc tập xác định thì ta có thể lấy x = a để tìm giới hạn
Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số (dạng đơn giản): 
Giải:
Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn 
Bước 2: Ấn CALC, nhập 2 
Ấn “=” máy cho kết quả . 
Suy ra đáp án C: 
Ví dụ 2: Tìm giới hạn (giới hạn hữu hạn tại vô cực – dạng ) 
Nhận xét: Đây là một dạng giới hạn đơn giản mà đa số học sinh đều làm được, tuy nhiên nếu biểu thức phức tạp hơn thì đối với học sinh yếu ở trường THPT Hà Văn Mao thường gặp phải khó khăn trong tính toán nếu không có máy tính hỗ trợ.
Giải:
Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn
Bước 2: Ấn CALC, nhập số hoặc hoặc 999999999999
Ấn “=” , máy cho kết quả bằng hoặc 
Suy ra đáp án D: 
Nhận xét: Đối với ví dụ dạng này, những học sinh ở mức khá và trung bình cũng dễ dàng đoán được kết quả từ cách làm bài tự luận.
Ví dụ 3: Cho. Khi đó giá trị của là:
	A. B. . C. . D. .
Giải: Lưu ý: Đây là giới hạn của dãy số, để tiện lợi cho việc bấm máy ta có thể bấm x thay cho kí hiệu n.
Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn
Bước 2: Ấn CALC, nhập số hoặc hoặc 999999999999
 Ấn “=”, máy cho kết quả
Vậy đáp án là C: 
Nhận xét: Đối với dạng bài tập này nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc tìm kết quả khá là vất vả.
Lưu ý: Đây là giới hạn của dãy số, để tiện lợi cho việc bấm máy ta có thể bấm x thay cho kí hiệu n.
Ví dụ 4: Tìm giới hạn dãy số (giới hạn hữu hạn tại vô cực – dạng ) 
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn
Bước 2: Ấn CALC, nhập số hoặc hoặc 999999999999
 Ấn “=” , máy cho kết quả
Lưu ý: Trong trường hợp này do phép toán lũy thừa cho kết quả rất lớn nên việc nhập x bằng hoặc máy sẽ không thực hiện được. Để có kết quả ta chỉ cần thay x bởi 99 hoặc 100 là được
 ta có kết quả 
Suy ra đáp án A : 
Nhận xét: Trong thực tế giảng dạy đã có rất nhiều học sinh có lực học trung bình đã mắc phải sai lầm khi làm bài tập này.
Ví dụ 5: Tìm giới hạn (giới hạn một bên)
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn 
Bước 2: Ấn CALC, nhập số 2+0,0000000001 tức là 1,9999999999 
Ấn “=”, máy cho kết quả -3.1011 
Suy ra đáp án B: 
Nhận xét: Ở dạng ví dụ này, đa số học sinh ở mức trung bình và khá vẫn thường hay sai khi làm theo cách tự luận, các em thường sai lầm ở việc xét dấu, phân vân không biết kết quả là hay 
Ví dụ 6: Tìm giới hạn hàm số (dạng vô định ): 
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn 
Bước 2: Ấn CALC, nhập x = 2,99999999999
	 Ấn “=”, ta có kết quả 
Suy ra đáp án C: 
Nhận xét: Đây là một dạng giới hạn rất phổ biến trong chương trình toán 11, nó còn xuất hiện nhiều ở phần hàm số liên tục. Dạng giới hạn này rất đa dạng, nếu học sinh không nắm vững kiến thức thì sẽ rất khó khăn trong bài toán tụ luận.
Ví dụ 7: Tìm giới hạn hàm số (dạng vô cực): 
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn 
Bước 2: Ấn CALC, nhập hoặc 9999999999
Ấn “=”, ta có kết quả 
 Suy ra đáp án D: 
Ví dụ 8: Tìm giới hạn hàm số (dạng ) 
Nhận xét: Đây cũng là một dạng giới hạn đơn giản khi nó có dạng đa thức, tuy nhiên học sinh cũng dễ nhầm lẫn kết quả là hay
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn
Bước 2: Ấn CALC, nhập hoặc 9999999999
 Ấn “=”, ta có kết quả
Suy ra đáp án D: 
Ví dụ 9: Tìm giới hạn hàm số (dạng ) 
Giải: 
Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn
Bước 2: Ấn CALC, nhập hoặc 9999999999
 Ấn “=”, ta có kết quả
 Suy ra đáp án B: 
Nhận xét: Ở ví dụ 8 và 9 là những ví dụ khó đối với học sinh cơ bản, và kể cả những học sinh khá cũng dễ nhầm lẫn, tưởng rằng nó cùng dạng với dạng ví dụ 7 nhưng không phải. Trong 2 ví dụ này nếu thực hiện làm tự luận sẽ rất mất thời gian và dễ bị làm sai trong tính toán.
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
a, b, c, 
 d, e, 
 f, g, 
Bình luận: 
Qua các ví dụ trên ta thấy việc tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay có một phép quy đổi “ngầm hiểu” của các ký hiệu . Phép quy đổi “ngầm hiểu” không đúng về bản chất nhưng các kết quả thu được đều phản ánh đúng bản chất của giới hạn. Vì thế nếu học sinh biết khéo léo kết hợp máy tính và các bước giải thì có thể trình bày bài giải đầy đủ như yêu cầu của một bài toán tự luận nhanh và chính xác. Nếu bài giải chỉ cần kết quả của giới hạn thì chỉ cần vài thao tác máy tính quen thuộc thì các em đã có kết quả mình cần . 
Vận dụng các nguyên tắc trên các em học sinh có thể giải được rất nhiều bài toán, dạng toán tìm giới hạn dãy số, giới hạn hàm số trong chương trình phổ thông rất nhanh và chính xác. Hơn nữa việc tìm giới hạn bằng máy tính rất dễ thực hiện đối với mọi đối tượng học sinh.
2.5. Giải pháp thực hiện và kết quả thực nghiệm
Để đánh giá tính khả thi của đề tài, tác giả chọn hai lớp giảng dạy: 
+ Lớp 11A6 (sĩ số 41) chọn làm lớp thực nghiệm – áp dụng đề tài nghiên cứu vào giảng dạy.
+ Lớp 11A8 (sĩ số 39) chọn làm lớp đối chứng - giảng dạy theo phương pháp truyền thống (tự các em nghiên cứu máy tính khi giải toán).
Cả hai lớp này đều theo ban cơ bản và có chất lượng học tập đồng đều nhau và đều ở mức trung bình. Sau khi giảng dạy xong, tác giả tiến hành kiểm tra chất lượng bằng cách cho hai lớp cùng làm chung một đề kiểm tra 15 phút và 45 phút; thực hiện chấm bài lấy điểm, phân tích số liệu và rút ra những nhận xét. 
Sau khi tiến hành kiểm tra, chấm bài tác giả thu được kết quả như bảng sau: 
 Điểm
 Lớp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sĩ số
Lớp TN 11A6
15 phút
0
0
0
0
5
4
4
18
9
3
41
45 phút 
0
0
0
5
6
7
11
10
7
0
Lớp ĐC 11A8
15 phút
0
0
3
7
7
6
6
10
5
0
39
45 phút 
0
0
4
7
7
8
6
7
3
0
Từ kết quả trên tôi rút ra một số ưu điểm, khuyết điểm trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu:
a) Ưu điểm
- Học sinh rất thích thú với việc giải các bài toán trắc nghiệm về giới hạn có hỗ trợ của máy tính cầm tay.
- Kết quả bài giải có sự trợ giúp của máy tính tỷ lệ giải đúng cao hơn so với học sinh giải bằng tay thông thường.
- Tốc độ hoàn thành bài toán được tăng lên đáng kể.
- Tâm lý làm bài của học sinh khá tự tin chủ động.
b) Khuyết điểm
 - Một số học sinh lạm dụng MTCT quá nhiều dẫn đến việc kém tư duy trong bài toán tự luận.
 - Nếu học sinh chưa có kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay thì việc thực hiện các phép toán sẽ gặp nhiều sai lầm và chậm.
- Đa số học sinh chưa có thói quen chuyển hóa bài toán sang ngôn ngữ máy tính.
- Chỉ có khoảng 30% đến 35% số học sinh có máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính có chức năng tương đương). Nên việc triển khai dạy trên lớp có nhiều khó khăn.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
- Sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính có chức năng tương đương) vào việc giải bài toán giới hạn nói riêng và việc giải toán, học toán nói chung là một trong những biện pháp tích cực và hết sức cần thiết đối với việc giải toán của học sinh nhằm kiểm tra kết quả đã thực hiện, và so sánh các kết quả với nhau để từ đó tìm ra cách giải đúng hơn, hoàn thiện hơn cho bài toán.
	- Đề tài nghiên cứu đã cung cấp cho các em học sinh hệ thống kiến thức cơ bản về cách sử dụng và những tính năng của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS nói riêng và máy tính cầm tay nói chung.
	- Khai thác các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN trong việc giải và định hướng cách giải cho một số dạng bài toán trắc nghiệm về giới hạn trong chương trình Toán 11 cơ bản.
3.2. Kiến nghị
- Tùy theo sự hứng thú của học sinh mà giáo viên có thể tổ chức các buổi dạy thêm, phụ đạo giúp học sinh có sự nhận thức phong phú hơn đối với các dạng bài tập về giới hạn có thể giải được, tìm được dựa vào MTCT.
- Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì việc sử dụng MTCT vào giải toán là vấn đề rất thiết thực. Các trường THPT nói riêng và Sở GD&ĐT Thanh Hóa nói chung cần xây dựng lại khung chương trình học và phân phối chương trình mới, để việc sử dụng MTCT được đưa vào giải toán hiệu quả hơn.
- Kính mong Sở GD&ĐT Thanh Hóa sẽ tiếp tục tổ chức kỳ thi giải toán bằng máy tính cầm tay Casio. Bởi vì theo tôi đây là một kỳ thi hết sức hữu ích, nó tạo cho các em một sân chơi trí tuệ lành mạnh, các em học sinh có điều kiện giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau. Các thầy cô được rèn luyện và trau dồi kiến thức về MTCT nhiều hơn. Kỳ thi là một sự trải nghiệm thú vị đối với các em học sinh trên con đường chinh phục đỉnh cao tri thức nhân loại trong thời đại công nghệ thông tin. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
CƠ QUAN
Thanh hóa, ngày  tháng năm 2019
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN do bản thân viết ra, không sao chép của người khác
 Người viết SKKN
 Phạm Văn Phương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].
Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX570ES PLUS.
[2].
TS. Nguyễn Thái Sơn, Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO FX-570VN PLUS. 
[3].
Nguyễn Trường Chấng, Nguyễn Thế Thạch, Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy t