SKKN Giải phương trình vô tỷ bằng kiền thức trong chương trình lớp 10

PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và cách giải rất linh hoạt, đặc biệt là phương trình vô tỷ.
Trong năm học trước và năm học này phương trình vô tỷ ít xuất hiện trong các đề thi Đai Học và Cao Đẳng là do nội dung này nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng từ kì thi THPT quốc gia năm 2019 thì nội dung này chắc chắn sẽ có trong nội dung thi. Vì vậy việc trang bị cho các em kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm theo kiến thức giải chúng ngay từ lớp 10 là rất cần thiết và quan trọng.
Việc giải phương trình vô tỷ thường gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh cho nên rất nhiều học sinh chọn phương án bỏ hoặc giải quyết bài toán này bằng sự hỗ trợ của những kiến thức của lớp 12 hoặc máy tính. Tuy nhiên trong chương trình lớp 10 chúng ta có một số công cụ giải quyết rất hiệu quả bài toán này. Trên cơ sở những kiến thức đã biết và những kinh nghiệm tích lũy được sau nhiều năm giảng dạy tôi xin trình bày nội dung đề tài “ Giải phương trình vô tỷ bằng kiền thức trong chương trình lớp 10’’. Với mỗi phương pháp đều có ví dụ minh họa bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm được cái cốt lõi của mỗi phương pháp.
Qua đó giúp các em có một cái nhìn đầy đủ hơn, tự tin hơn về dạng Toán này rèn luyện kỹ năng kỹ xảo , phát triển tư duy và chuẩn bị tốt cho các kì thi 
PHẦN II: NỘI DUNG
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Khử căn bằng các phương pháp chính như nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ, lượng giác , hình học.
Ngoài ra có thể dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số trong một số bài toán đặc biệt.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
 Là phương pháp sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình về phương trình đã biết cách giải.
Một số phép biến đổi tương đương :
Cộng, trừ vào hai vế của phương trình với cùng một biểu thức mà không thay đổi tập nghiệm của phương trình. Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.
Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.
Lũy thừa bậc chẵn hai vế., khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình không âm.
Chú ý các phương pháp sau:
* Bình phương hai vế không âm.
* Phân tích thành nhân tử.
* Nhân hai vế với một lượng liên hợp khác không.
1.Các dạng cơ bản
Hoặc điều kiện pt
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải: 
Ví dụ 2: Giải phương trình: .
 Giải: đk: . Khi đó pt tương đương với:
 Đối chiếu đk suy ra pt có nghiệm duy nhất x=0.
Vi dụ 3: Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.
Giải: pt 
Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Ta thấy pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt .
Bài toán được thõa mãn khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc 
bằng - 1
Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Giải: ĐK: 
Pt 
 ( do đk (*)).
 ( thỏa mãn đk (*)).
Vậy pt có hai nghiệm như trên.
Ở ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:
1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:
* x = 0 là một nghiệm của phương trình.
* 
* .
Vậy pt có hai nghiệm 
2) Khi biến đổi , học sinh thường mắc sai lầm khi cho rằng .
 Đẳng thức này chỉ đúng khi Nếu thì 
Chú ý: Một số phương trình nếu giải theo cách thông thường thì phức tạp, vì vậy ta nên tăng cường phát hiện mối quan hệ của các biểu thức trong phương trình, đôi khi sử dụng phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 5: Giải phương trình: 
Đk: 
Bình phương hai vế không âm ta được phương trình. .
 Giải phương trình không khó nhưng hơi phức tạp
Sẽ rất đơn giản nếu ta đưa về : 
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả: 
Thử lại , x=1 thõa mãn phương trình. Vậy nghiệm của pt là x = 1.
Nhận xét: Nếu pt: mà có: 
Thì biến đổi pt về dạng sau đó bình phương hai vế giải phương trình hệ quả và thử lại nghiệm.
Vi dụ 6: Giải phương trinh: 
Đk: 
Bình phương hai vế phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào ?
Ta có nhận xét . Suy ra cách giải như sau: pt 
Bình phương hai vế ta được pt hệ quả: 
Thử lại ta có là nghiệm của pt.
Nhận xét: Nếu pt 
 Mà có f(x)h(x) = g(x)k(x) thì ta biến đổi pt về dạng sau đó bình phương hai vế giải pt hệ quả và thử lại nghiệm.
Bài tập áp dụng: 
 a. b. 
 c.. d. .
 e. Tìm m để phương trình có nghiệm.	 
2. Trục căn thức:
2.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung:
Cơ sở của phương pháp này là: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm . Như vậy pt luôn phân tích thành dạng tích ta có thể giải pt A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm dựa vào điều kiện của ẩn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: =1 + x .
 đk: 
Ví dụ 2: Giải pt: 
Đk: 
Pt 
Do vô nghiệm vì VT > 0 với những x thuộc tập xác định của bài toán.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt.
Bài tập áp dụng: Giải các pt sau:
a. b. 
c. d. 
2.2. Đưa về ‘’hệ tạm’’:
Nếu phương trình vô tỷ có dạng mà A - B = kC, C có thể là hằng số hoặc là biểu thức của x.
Ta có thể giải như sau:
 khi đó ta có hệ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Ta thấy: 
Pt có nghiệm khi 
X = - 4 không là nghiệm của phương trình.
Với x > - 4 trục căn thức ta có:
Thử lại hai giá trị trên thỏa mãn.Vậy pt có hai nghiệm như trên.
Bài tâp áp dụng:
Giải các phương trình sau: 
a. b. 
3. Phương trình biến đổi về tích:
Một số pt có thể phân tích thành nhân tử.
Chú ý: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Biến đổi pt về dạng .
Ví du 1:Giải phương trình: .
 Đk: 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Đk: 
 Vậy pt đã cho có hai nghiệm như trên.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Đk: , pt 
 Hoặc .
Hoặc .
 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 
a. b. 
c. d. 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường đưa về pt đã biết cách giải
Đối với nhiều pt vô tỷ, ta có thể đặt t = f(x) và chú ý điều kiện
 của t. Nếu pt ban đầu trở thành pt chứa một biến t thì việc đặt 
ẩn phụ xem như hoàn toàn.
Ví dụ 1.Giải phương trình: 
Đk: 
Nhận xét: 
Đặt, pt trở thành 
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Cách 1 HD: Đk 
 Đặt 
Pt thành: .
Cách 2 Đặt =>a + b = 5 =>x
Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Đk: 
Đặt pt thành 
Chú ý: GV có thể hướng dẫn cho HS các cách khác.
Ví dụ 5:Tìm m để pt sau có nghiệm
 . HD: Đặt 
Áp dụng BĐT Côsi ta có: , kết hợp với (*) 
 pt thành 
Pt đã cho có nghiệm có nghiệm .
Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên đoạn trên 
.Vậy là những giá trị cần tìm
Lưu ý cho hs qua vd trên: Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị 
là Y thì pt có nghiệm trên D 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
 e. 	
 f. Tìm m để pt sau có nghiệm 
Nhận xét:Đối với cách đặt ẩn phụ như trên ta chỉ giải quyết được 
một lớp bài toán đơn giản, một số bài đối với ẩn mới lại quá khó.
2. Đặt ẩn phụ đưa về pt đẳng cấp bậc hai đối với hai biến:
Chúng ta đã biết cách giải pt: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải: Đk: 
Đặt pt thành 
Vậy pt có một nghiệm là x = 5.
 Ngoài ra một số các pt dạng sau đưa về pt (1):
2.1. Phương trình dạng : 
Với phương trình Q(x) = kP(x) có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Chú ý:
Ví dụ:Giải phương trình: 	
Đk 
Đặt pt thành
.
Vậy pt có hai nghiệm như trên.
2.2. Phương trình dạng : 
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Đk: hoặc .
Đặt .Khi đó pt thành
	Ví dụ 2: Giải phương trình: .
Đk: 
Đặt 
Bài tập áp dụng: 
 a. 
 b. 
 c. 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương pháp: Một số phương trình khi đặt ẩn mới thì đưa về phương
 trình phức tạp hơn phương trình ban đầu. Vì vậy ta không đưa hoàn
 toàn về ẩn mới mà có một số biểu thức của ẩn cũ được giữ lại.
Đặt ; pt đã cho trở thành: 
Sau đó giải t theo x rồi thay vào pt rồi đưa ra kết luận.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Bài tâp áp dụng- 
 a. 
 b. 
 c 
 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ
4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường như hệ đối xứng loại 1, hệ đã biết cách giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Đặt 
Giải hệ này được 
Vậy nghiệm của pt là x = 2; x = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Đk: 
 Đặt .
Giải hệ tìm a, b suy ra x.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Đk: 
Đặt .
Hệ này biết cách giải. GV gọi HS làm.
Bài tâp áp dụng: Giải các phương trình sau:
 . 
4.2. Đưa về hệ đối xứng loại 2:
 Dạng 1: 
Cách giải: Đặt ta có hệ đối xứng loại 2 
Ví dụ: Giải phương trình: 
Đặt 
Giải hệ này ta được x = y = 1 hoặc .
Vậy pt có ba nghiệm là .	
 Dạng 2: 
Cách giải: Đặt . Ta có hệ đối xứng loại 2: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
Đk: .
Đặt . 
Giải hệ này ta suy ra 
 Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ viêc làm ngược
Ví dụ: Giải phương trình: 
Đk 
Đặt , Chọn a, b để hệ là hệ đối xứng loai 2.
Suy ra a = 1, b = -1
. Giải hệ này ta được .
Vậy nghiệm của pt là .
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình: a. .
 b. 
Dạng 4: 
Cách giải: Đặt ; n = 2, 3,chon d, e đưa về hệ 
đối xứng loai 2.
Ví dụ: Giải phương trình: 
Giai : đk: 	
Pt . Đặt 
Ta có hệ: 
 Giải hệ này suy ra nghiệm của pt đã cho là: 
Bài tâp áp dung: Giải phương trình: 
4.3 Đặt ẩn phu đưa về hệ gần đối xứng
Ví dụ: Giải phương trình: 
Nếu biến đổi như các pt trước thì:
Ta chọn sao cho sau đưa về hệ có thể giải được.
Ta có thể giải như sau: 
Đk: 
Đặt . Ta thu được hệ sau:
Với 
Với 
Vậy pt có hai nghiệm như trên.
Chú ý: Phương trình viết như sau: 
Ta đặt ,nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn., ta thấy dấu của cùng dấu với trước căn.
Bài tập áp dụng: 
 a. b. 
4.4. Chia rồi đặt ẩn phụ
Một số bài toán sau khi chia thì có thể đưa về một ẩn mới
Ví dụ : Giải phương trình: 
Nhận xét: VT> 0 
Nếu pt vô nghiệm. Chia hai vế cho x ta được
Vì a > 0 nên a = 1 => x = 1. Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau
 a. 
 b. .	
 c.Tìm m để pt sau có nghiệm 
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Dùng hằng đẳng thức: 
Dùng các bất đẳng thức :
 Chứng minh được : 
Khi đó pt f(x) = g(x) với 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
HD: đk: 
Pt tương đương với: 
Vậy pt có duy nhất nghiệm x = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
HD: đk: 
Pt 
Theo bđt BunhiaCopsky ta có: 
Tương tự 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau-
 a. 
 b. 
IV. PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ
Phương pháp: Sử dụng các bất đẳng thức vec tơ và xét trường hợp xảy ra dấu bằng. 
* . Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng với 
* . Dấu bằng xảy ra khi ngược hướng với .
* . Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng với .
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
HD giải:
Pt tương đương với 
Trong mp Oxy chọn .
Khi đó phương trình thành cùng hướng hay tồn tại số k dương sao cho .
. Vậy nghiệm của pt là .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
HD: đk: 
 Trong mp Oxy chọn 
Từ pt ta có: 
Thử lại ta được x = 3 là nghiệm của pt.
Bài tâp áp dụng: Giải các phương trình sau:
 a. 
 b. 
 c. .
PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIỂM NGHIỆM
Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong khuôn khổ chương trình lớp 10. Khi dạy xong nội dung này cho học sinh, đa số các em đã có được kỹ năng giải bài tập về phần này tốt hơn, biết nhận dạng cũng như biết cách đưa một phương trình vô tỷ hay bất phương trình vô tỷ về dạng quen thuộc đã biết cách giải và còn có thể làm được các bài tập chứa căn thức khác nữa. Cụ thể là trước khi dạy chuyên đề này thì 10% học sinh trong lớp chưa thành thạo giải bài tập phương trình vô tỉ dạng nhận biết. Sau khi dạy xong chuyên đề này thì 100% học sinh biết làm bài tập phương trình vô tỉ ở dạng thông hiểu, học sinh hứng thú hơn với việc học toán. Từ đó học sinh phát triển kỹ năng, kỹ xảo, tư duy, chuẩn bị tốt cho việc ôn thi Đại học. Tuy vậy biển học là vô cùng, sự sáng tạo của con người là vô hạn. 
Dù cố gắng tìm tòi, nhưng bài viết còn nhiều hạn chế, mong các thầy cô góp ý chân thành và bổ sung.
 Thiệu Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2018
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác
Lê Anh Dũng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phương pháp giải phương trình vô tỷ của Nguyễn Quốc Hoàn.
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ của Nguyễn Phi Hùng.
SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.
 vnmath.
MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
Phần I:
Lời nói đầu 
1
Phần II
Nội dung 
1- 20
I.
Phương pháp biến đổi tương đương 
1- 9
1
Các dạng cơ bản 
1 – 6
2
Trục căn thức 
6- 8
2.1
Trục căn thức xuất hiện nhân tử chung 
6 - 7
2.2
Trục căn thức đưa về hệ tạm
7- 8
3
Phương trình biến đổi về tích 
8- 9
II.
Phương pháp đặt ẩn phụ 
9- 18
1
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đã biết cách giải 
9- 10
2
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2
10- 13
3
Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
13
4
Đặt ẩn phụ đưa về hệ 
13
4.1
Đặt ẩn phụ đưa về hệ loại 1 và hệ đã biết cách giải
13 -14
4.2
Đặt ẩn phụ đưa về hệ loại 2 
14- 17
4.3
Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng
16- 17
4.4
Chia rồi đặt ẩn phụ 
17
III.
Phương pháp đánh giá 
18- 19
 IV.
Phương pháp véc tơ 
19- 20
Phần III
Kết luận và kiểm nghiệm
20