SKKN Giải phương trình – Bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

Mục lục
Thứ tự
Danh mục
Trang
PHẦN 1
MỞ ĐẦU
2
1.1
Lý do chọn đề tài
2
1.2
Mục đích nghiên cứu
3
1.3
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3
1.4
Kế hoạch nghiên cứu
4
1.5
Phương pháp nghiên cứu
4
PHẦN 2
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
5
2.1
Cơ sở lí luận
5
2.2
Thực trạng của đề tài 
7
Giải pháp thực hiện
7
2.3
2.3.1. Giải phương trình , bất phương trình không chứa tham số.
7
a) Các ví dụ
7
b) Bài tập rèn luyện
12
2.3.2. Giải phương trình , bất phương trình chứa tham số.
12
a) Các ví dụ
12
b) Bài tập tự luyện
15
2.4
Hiệu quả của SKKN
16
PHẦN 3
KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
18
3.1
Kết luận
18
3.2
Kiến nghị
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh THPT thì khái niệm phương trình, bất phương trình thì lên lớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trên thực tế thì phương trình, bất phương trình đã học và giải từ rất sớm bằng các bài toán tìm số chưa biết thỏa mãn các điều kiện cho trước. Do đó khi học và giải các phương trình, bất phương trình thì học sinh đã quá quen thuộc, vấn đề là giải như thế nào cho hợp lôgic. Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn. Lớp 11 có phương trình lượng giác. Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Đặc biệt ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Với tính năng ưu việt của việc ứng dụng đạo hàm vào giải toán, không những chỉ đơn thuần giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như biện luận số nghiệm của phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mà còn có thể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sát nghiệm phương trình và bất phương trình vô tỉ, đặc biệt là các dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy bộ môn toán THPT tôi nhận ra rằng toán học nói riêng và bộ môn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, thậm chí là nỗi “khiếp sợ” đối với đông đảo học sinh. Điều gì đã khiến học sinh suy nghĩ như vậy? Tôi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về sự vận dụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng những kiến thức đã có vào từng dạng toán cụ thể. Trong các kỳ thi, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy ? ’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh THPT ta phải cần giải quyết các vấn đề sau:
Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình bằng những phép biến đổi tương đương thông thường thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả.
Hai là: Khi học sinh làm bài tập về phương trình, bất phương trình hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện của nó, hoặc đã tìm chính xác điều của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác.
Ba là: Từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào. 
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai
thác cách giải phương trình, bất phương trình bằng việc ứng dụng tính chất của hàm số. Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về phương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản. Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “Giải phương trình – Bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số”
1.2. Mục đích nghiên cứu	
Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình. Đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số.
 Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình hoặc bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ.
 Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số.
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
1.4. Kế hoạch nghiên cứu (Bỏ)
Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh THPT, chủ yếu là học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào các kì thi làm các bài toán về phương trình, bất phương trình. Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình, bất phương trình bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc có tìm điều kiện của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác.
 Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh không thể giải được vì các em chưa biết cách sử dụng các tính chất của hàm số hoặc có sử dụng nhưng còn máy móc, thiếu chính xác. 
 Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2017 – 2018 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chọn ôn thi và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?”. Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp.
 Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn ôn thi, tôi đã lồng ghép các bài tập phương trình, bất phương trình mà khi giải phải cần đến hàm số. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận:
2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số 
	Cho hàm số có đạo hàm trên D.
 Nếu thì hàm số đồng biến (tăng) trên D.
 Nếu thì hàm số nghịch biến (giảm) trên D.
(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)
Nếu hàm tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Nếu hàm tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có .
Nếu hàm tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có ( ).
Nếu hàm tăng và là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Cauchy : Nếu hàm số liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một điểm để .
Nếu hàm số đơn điệu và liên tục trên và thì tồn tại duy nhất một điểm để .
Nếu là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì 
 y = đồng biến (nghịch biến ), với là nghịch biến ( đồng biến), nghịch biến (đồng biến ).
Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D.
Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trên D.
2.1.2. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
	Cho hàm số xác định trên D.
	Số M được gọi là GTLN của hàm số trên D nếu và sao cho . Kí hiệu 
	Số m được gọi là GTNN của hàm số trên D nếu và sao cho . Kí hiệu 
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm trên đoạn mà tại đóbằng 0 hoặc không xác định.
- Tính các giá trị 
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số trên đoạn .
2.1.3. Các dạng toán liên quan 
a) Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi đó ta có: u = v. 
Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng rồi chứng minh f đơn điệu để kết luận. 
b) Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-GTNN.
 Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình thì số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng . Ta giải các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số theo các định hướng sau:
 Biến đổi các phương trình, bất phương trình chứa tham số m về dạng : với hàm số có GTLN - GTNN trên tập xác định . Khi đó:
- Phương trình có nghiệm trên D khi và chỉ khi .
- Bất phương trình thỏa mãn khi và chỉ khi .
 - Bất phương trình thỏa mãn khi và chỉ khi .
 - Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
 - Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . 
 Trong trường hợp hàm số không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp.
 Nếu bất phương trình có dạng hoặc thì bổ sung thêm dấu cho các điều kiện.
2.2. Thực trạng của đề tài:
 	 Đối tượng học sinh tôi trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình và trung bình khá nên khi giải phương trình , bất phương trình thì học sinh rất lúng túng không biết giải quyết vấn đề từ đâu.
	Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không đúng hoặc không làm được.
2.3. Giải pháp thực hiện:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên theo hướng dễ tiếp cận đối với học sinh.
Kiến thức cơ bản:
2.3.1. Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số
a) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Nhận xét:
 Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.
Giải
Điều kiện: . 
Đặt . Ta có .
Do đó hàm số đồng biến trên , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Hơn nữa, nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 	(2)
Nhận xét:
	Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp. Trong bài này chỉ có thể nhân liên hợp là hợp lí.
	Giải 
Cách 1: Dùng lượng liên hợp
Điều kiện: . Khi đó
Do .
Vậy là nghiệm của phương trình.
Cách 2: Dùng hàm số
Điều kiện: . Đặt 
Ta có .
Do đó hàm số đồng biến trên .
Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 	 (1)
Giải
Cách 1:
 Ngược lại với thay vào (1) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
Cách 2: Đặt 
Ta có: 
Do đó hàm số đồng biến.
Mà nên suy ra là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
Ví dụ 4: Giải phương trình : 
Giải
Điều kiện: 
Đặt 
 Ta có nên hàm số đồng biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 5 : Giải phương trình : (1)
Nhận xét :
Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện 
Điều kiện:
Khi đó, (1) 
Xét hàm số trên 
Ta có 
 Do đó hàm số đồng biến trên .
Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 6. Giải phương trình : 
Giải 
 Cách 1: 
Viết lại phương trình dưới dạng 
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn .
Nhận thấy nếu thì hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy 
 là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm 
Ta chứng minh là nghiệm duy nhất .
 với nên ta có 
hay suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng .
với làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên . Vậy nghiệm của phương trình là .
Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất 
Cách 2: 
Viết lại phương trình dưới dạng: 
 (1)
Xét hàm số trên . Ta có . Do đó hàm số đồng biến trên .
Từ (1). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 7: Giải phương trình 
 Giải
Nhận xét: nên khi thì phương trình vô nghiệm.
Viết phương trình về dạng 
Xét hàm số trên . 
Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên .
 Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 10: Giải phương trình 
Giải
 Ta có:
 (*)
Xét hàm số trên .
 Ta có . Suy ra hàm số đồng biến. 
Từ (*)
Vậy phương trình có nghiệm là 
Chú ý : Đối với bất phương trình ta cũng sử dụng tính đơn điệu của hàm số một cách linh hoạt thì bài toán sẽ trở nên đơn giản.
Ví dụ 11: Giải các bất phương trình sau: 	 (*)
Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn.
Giải
 Giải bất phương trình 
Cách 1: Đặt ẩn phụ
 Điều kiện: 
Với điều kiện trên ta đặt 
Khi đó ta có 
. 
Do nên ta được . Suy ra 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là .
 Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Điều kiện: 
Xét hàm số trên .
Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên .
Mà nên bất phương trình 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Ví dụ 12 : Giải bất phương trình (*)
Giải
Điều kiện: 
Bất phương trình (*) được viết lại dưới dạng 
Xét hàm số trên . 
Do trên nên hàm số đồng biến trên . 
 Mà nên . 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên, đối với những ví dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu. Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp và có bài thấy thiếu sự tự nhiên, không có “Manh mối” để tìm lời giải . Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải. Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết. Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ.
b) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1/ 	2/ 
3/ 	 4/
5/ 	6/ 
7/ 	8/ 
2.3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 
a). Các ví dụ 
Ví dụ 1. Tìm tham số để phương trình: , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1.
Giải:	Phương trình (1) , Xét hàm số .
Yêu cầu của đề bài là phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn . Ta có 
Bảng biến thiên 0 1 2 
 + 0 - - 0 +
 0 
	 -2
 -4
Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là .
Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải
Xét hàm số: trên .
Ta có 
(Vô nghiệm)
Mặt khác: . Suy ra nên hàm số đồng biến.
Hơn nữa, ;
Bảng biến thiên:
-∞ +∞
 +
 1
-1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 < m < 1.
Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là và dẫn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 
Gi¶i:
Điều kiện: 
Phương trình đã cho tương đương với 
Xét hàm số . Ta có 
Bảng biến thiên
 - 1 0 +∞
 + 0 -
 2
 1 -∞
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt khi .
Ví dụ 4.Chứng minh rằng , phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: 
Giải
Do nên 
(1) 
Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong 
 Biến đổi (*).
Xét hàm số với .
 Ta có và 
Bảng biến thiên:
+
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng một nghiệm .
 Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt .
Nhận xét:
 Sau khi tìm được điều kiện việc khảo sát hàm số ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số .
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất 
 ` 
Nhận xét : 
Đây là một phương trình mà khi giải nó cần có sự có mặt của tư duy hàm số .Sau đây là một vài cách tiếp cận lời giải .
Cách 1: Với , 
biến đổi phương trình về dạng (*)Suy ra .
Mặt khác là hàm số đồng biến trên .
 nghịch biến trên nên phương