SKKN Giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit

 MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu 
01
01
01
02
02
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
03
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
03
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
04
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 2.3.1 Mục tiêu của giải pháp 
 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 
 2. 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài Toán cơ bản
 2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp
 2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng Máy tính cầm tay để hỗ trợ giải Toán.
 Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.
 Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn.
 Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.
 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”
 2.3.2.5GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số .
 Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT.
 Hướng xử lí 2: Cô lập tham số
 Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
05
05
05
 16
3. KẾT LUẬN 
17
3.1. Kết luận
17
3.2. Kiến nghị
17
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI	
Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi. Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán. Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương pháp. 
 Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ). Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
 Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng TNKQ.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm ”. Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản
- Phương trình mũ cơ bản có dạng .
Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Phương trình logarit cơ bản có dạng .
Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ( hoặc )
với .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit.
- Bất phương trình logarit cơ bản có dạng 
( hoặc ) với .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit. [1]
2.1.2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 
- Phương pháp đưa về cùng cơ số
	 và 
- Phương pháp đặt ẩn phụ
 Ẩn phụ hoặc 
- Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa
 Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế
- Phương pháp hàm số
 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng. [1]
2.1.3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Để giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
* Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số
Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên lần lượt là M và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực là , ta có:
+ Phương trình có nghiệm trên 
+ Bất phương trình có nghiệm trên 
+ Bất phương trình có nghiệm với mọi 
Chú ý: Các dạng bất phương trình còn lại suy luận tương tự.
 Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện cho tham sô. Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup.
*Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán. 
Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1]. Mục 2.1.2 tác giả tổng hợp từ TLTK [1]. Mục 2.1.3 tác giả tự viết và tổng hợp.
 2.1.4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình.
Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên . Khi đó f(x) không đổi dấu trên ”.
Chứng minh:
 Giả sử f(x) đổi dấu trên suy ra tồn tại mà . Do f(x) liên tục trên nên f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b): Trái giả thiết. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Như vậy, nếu biểu thức f(x) liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp thì f(x) không đổi dấu trên . Do đó để xét dấu f(x) trên ta chỉ cần thử một giá trị cụ thể trên . Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác định được quy về giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình liên quan đến xét dấu của f(x).
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
 Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
2.2.2. Khó khăn:
 Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua. 
 Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán. 
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao. 
Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp.
Trong trang này: Mục 2.1.4 tác giả tự viết và tổng hợp. Mục 2.2 tác giả tự viết.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ- logarit. 
 2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
 2. 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản.
 Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản là rất quan trọng. Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.
Ví dụ 1. Tìm số nghiệm của phương trình . 
A. .	B. .	C. 2.	D.. [2] 
Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số để tránh sai lầm.
Lời giải 
Ta có: 
Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số dẫn đến giải sai bài toán. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 2. Trên đoạn , bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên. 
A. .	B. .	C. .	D.. 
Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số và cơ số để tránh sai lầm.
Lời giải 
Trong trang này:Ví dụ 1 được tham khảo từ TLTK số [2] ; Ví dụ 2 là “của” tác giả.
 Ta có: 
Kết hợp yêu cầu bài toán, bpt có 90 nghiệm nguyên. 
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Nguyên nhân là không chú ý cơ số dẫn đến giải sai bài toán.
Ví dụ 3. Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình . 
A. .	B. .	C. 29.	D.. [2]
Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : được mở rộng từ phương trình logarit cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit để tránh sai lầm.
Lời giải 
Ta có: 
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn phương án sai C, hoặc xử lí không tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D. 
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của bất phương trình . 
A. . B. . C. .	 D.. [2]
Tư duy: Đây là bất phương trình logarit cơ bản : được mở rộng từ bất phương trình logarit cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số để tránh sai lầm.
Lời giải
Ta có: 
Do đó chọn đáp án D
Trong trang này:Ví dụ 3, ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số [2] .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không 
chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án sai. 
Bài toán giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm và loại trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận.
Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví dụ trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp.
2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp .
Việc học phương pháp và giải toán theo phương pháp là cách học toán rất hiệu quả. Thông qua việc giải toán theo phương pháp giúp học sinh nắm vững cách giải toán, tăng khả năng nhận diện phương pháp giải và hoàn thiện hơn tư duy phương pháp.Từ đó tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.
Ví dụ 5. Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
 . 
A. .	B. .	C. . D. . [3] 
Tư duy: Việc xuất hiện giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit . Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán.
Lời giải 
Đặt: 
Pt trở thành: 
Khi đó : và . Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ lại cho thêm điều kiện nên chọn C là phương án sai.
Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 6. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?. 
A. B. 
C. D. [3] 
Trong trang này:Ví dụ 5, ví dụ 6 được tham khảo từ TLTK số [3].
Tư duy: Đây là bài toán dạng biến đổi bất phương trình bằng phương pháp logarit hóa .Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai.
Lời giải 
Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số hay để biến đổi đúng.
Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số nên không đổi chiều BPT, nhưng biến đổi sai lầm khi rút gọn .
Nhận xét
Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không tìm được cách giải thích. Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn .
Ví dụ 7. Bất phương trình có tập nghiệm là đoạn .
Tính . [4] 
 A. 	B. 	C. 	D. 
Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số. Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán.
Lời giải 
 với hàm đặc trưng đồng biến trên .
 , 
Khi đó . Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán, trong thực tế học sinh nắm vững cách nhận diện phương pháp sẽ làm rất nhanh. 
Ví dụ 8. Cho là số thực dương thỏa mãn và bất phương trình nhận làm một nghiệm. Tìm tập nghiệm của bất phương trình. 
A. 	B. 	C. 	 D.. [4] 
Trong trang này:Ví dụ 7, ví dụ 8 được tham khảo từ TLTK số [4].
Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến đổi đưa về cùng cơ số. Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ?.
Lời giải 
Vì bpt nhận làm một nghiệm nên: 
Khi đó: . 
Do đó chọn đáp án D
Nhận xét
Bài toán nàymột số học sinh gặp khó khăn khi xử lí nghiệm của bất phương trình để thu được . Một số học sinh sử dụng MTCT cũng cho kết quả nhanh.
2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán.
Việc giúp học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán là thiết thực, nhất là trong thi TNKQ. Sử dụng MTCT vừa giúp học sinh giảm thời gian tính toán, tăng độ chính xác vừa giúp học sinh phát triển tư duy thuật toán, khả năng loại trừ và cả khả năng đọc tình huống. Tuy nhiên không nên cường điệu hóa MTCT hoặc xem nhẹ việc sử dụng MTCT, cần cho học sinh thấy được sự cần thiết đúng mức của MTCT để hỗ trợ trong quá trình giải toán. 
Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.
Ví dụ 9. Tìm tập nghiệm của phương trình 
	A. B. C. D. [3] 
Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là rất khả thi.
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT
Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án trả lời. Phương án đúng là A
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận là tương đương nhau. Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh trung bình trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét điều kiện xác định cho phương trình và biến đổi sai.
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 9 được tham khảo từ TLTK số [3] .
Ví dụ 10. Biết rằng là số thực dương sao cho bất đẳng thức đúng với mọi số thực .Mệnh đề nào sau đây đúng ?.
	A. B. C. D. [4] 
Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT là cách giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này.
Hướng dẫn dùng MTCT
Ta có: với ( vì có )
Bước 1: Nhập hàm số vào MTCT
Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC): 
 Thay ta được nên 
 Thay ta được : nên 
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, học sinh không có hướng giải tự luận cho câu Vận dụng cao này. Tuy nhiên, khi sử dụng MTCT để khảo sát giá trị thì rất nhiều học sinh đi đến được đáp án cần chọn. Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cũng cho học sinh trải nghiệm rất tốt, khi học sinh dùng chức năng TABLE để khảo sát giá trị trên các khoảng đặc trưng khác nhau và tìm giá trị hợp lí.
Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau:
Từ thực hành MTCT dự đoán , và tiến hành chứng minh bđt: đúng với mọi số thực .
Chứng minh: (10)
Do (a) đúng với và cùng dấu với mọi khác 0 nên (10) đúng với mọi số thực .
Như vậy MTCT không chỉ hỗ trợ tích cực trong giải toán TNKQ mà trong một số tình huống còn định hướng giải toán tự luận.
Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm thực.
A. 	B. 	C. D. [3] 
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 10 được tham khảo từ TLTK số [4] .
Tư duy: Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là có hiệu quả cho học sinh.
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Chọn giá trị ta có bpt: (1)
 Thử MTCT thấy là nghiệm nên là một giá trị cần tìm.
Khi đó: Đáp án B và C bị loại
Bước 2: Chọn giá trị ta có bpt: 
 Bpt thu được vô nghiệm nên không là giá trị cần tìm.
Khi đó: Đáp án D bị loại.
Bước 2: Đáp án chọn là A
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận. Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số và hình thành kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án.
Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.
Ví dụ 11. Cho phương trình . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm.
A. 	B. 	
C. 	D. [4] 
Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 . Việc sử dụng MTCT để giải toán có hiệu quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số.
Hướng dẫn dùng MTCT
Cô lập tham số ta được: 
Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm
Chọn: Start: , End : , Step: 
 Bước 2: Căn cứ bảng giá trị trên MTCT ta thu được: 
, . Do đó chọn phương án C
Nhận xét 
Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ 
rệt so với cách làm tự luận. Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình trên khi thêm bước ẩn phụ để đơn giản khi dùng MTCT.
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [3] . Ví dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [4].
2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”.
Việc giải phương trình thường đơn giản hơn việc giải các bất phương trình tương ứng: . Vì khi giải phương trình chúng ta có thể giải theo pt hệ quả, giải xong rồi mới kiểm tra các điều kiện.., trong khi bpt việc biến đổi đòi hỏi chặt chẽ để thu được bpt tương đương.
Nhờ định lí (*), chúng ta chuyển bài toán giải bpt về giải phương trình tương ứng và kết hợp MTCT (Kn MTCT) để hỗ trợ giải toán.
Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện theo thuật toán sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của bpt.
Chuyển bpt về dạng:(hoặc dạng tương ứng)
Bước 2: Giải phương trình 
Bước 3: Xét dấu của trên tập xác định dựa vào định lí (*).
Kết luận nghiệm cho bài toán.
Ví dụ 12. Giải bất phương trình: ta được tập nghiệm là khoảng . Tính 
A. . B. . C. . D. . [4] 
Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải bpt thu được: cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian nhiều. Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng và thích hợp với thi TNKQ.
Lời giải 
Bước1: Tập xác định bpt: 
, với trên 
Bước 2: Giải phương trình: .
Đặt : . 
Trong trang này: Kĩ thuật giải toán là của tác giả.Ví dụ 12 được tham khảo từ TLTK số [4] .
Ta có hệ pt: 
Khi đó: hoặc 
Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình là: và
Bước 3: Lập bảng xét dấu của trên 
x
 2 3 
f(x)
 0 + 0 
Căn cứ bảng xét d