SKKN Đổi mới phương pháp dạy học bài 1: Số phức

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình giải tích 12, nội dung Số phức có một vị trí hết sức đặc biệt và rất cần thiết. Tuy nhiên đối với học sinh ở các trường miền núi, vùng sâu, vùng xa, cụ thể là ở trường THPT Lê Lai thì số phức là một kiến thức mới, lần đầu tiên các em được tiếp xúc, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡ lúng túng và sai lầm khi học vấn đề này; Cụ thể là học sinh khó khăn, sai lầm về sự hiểu không đầy đủ, thiếu chính xác khái niệm mới, trong việc nhận dạng và thể hiện khái niệm, khó khăn trong việc vận dụng trực tiếp các công thức và phép toán. Đây cũng là vấn đề thực tế mà học sinh gặp khó khăn. Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức, rèn luyện và phát triển tư duy về số phức, có kỹ năng để giải các bài toán liên quan, tôi chọn đề tài "Đổi mới phương pháp dạy học bài §1 SỐ PHỨC ".
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Đưa ra một biện pháp, phương pháp dạy học giúp học sinh học tập nắm vững khái niệm, củng cố và rèn luyện về số phức. Qua đó giáo viên có thêm một tài liệu nhỏ để tham khảo.
- Cung cấp một số kỹ năng giải toán cơ bản về số phức. Qua đó bồi dưỡng cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các khái niệm, các bài toán cơ bản về §1 Số phức - Chương IV - Giải tích lớp 12 – Chương trình chuẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
1.5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra một số nhu cầu, động cơ, tầm quan trọng học tập về số phức.
- Đề xuất một biện pháp sư phạm giúp học sinh học tập và rèn luyện kỹ năng giải toán liên quan, phát triển tư duy về số phức.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Các kiến thức và khái niệm cơ bản về số phức: Khái niệm số i: i2 = - 1; Định nghĩa số phức: z = a + bi, trong đó a, b R; Số phức bằng nhau: 
a + bi = c + di ⟺ a = b và c = d; Biểu diễn hình học số phức; Môđun của số phức: ; Số phức liên hợp: . (GIẢI TÍCH 12 - SGK trang 130 - 131 - 132, NXB giáo dục, 2008).
Quả thật có ý nghĩa toán học rất lớn, nhưng HS chưa có khái niệm thì làm sao hiểu được điều đó, cũng như 2x2 = 4 là phép tính đúng mà chúng ta khó có thể giảng cho học sinh lớp 1!. Xuất phát từ lý do trên khiến tôi đổi mới và đưa ra cách tiếp cận và giải quyết vấn đề sao cho HS dễ tiếp thu, dễ chấp nhận nhất. Chúng ta dạy học vẫn thường hay nói (hành động - thao tác tư duy) “Quy lạ về quen” nhưng tôi mạnh dạn đổi mới cách suy nghĩ này và cho rằng: Hành động từ quen suy ra lạ - đây là quy trình gốc và mang ý nghĩa dạy học sáng tạo; Hành động quy lạ về quen - đây là quy trình suy ngược trở về và mang ý nghĩa bổ xung và phát triển; Hai hành động trên quan hệ tương hỗ, bổ trợ lẫn nhau; Và tôi cũng đã thực hiện phần nhỏ quan điểm trên trong SKKN này, nhằm triển khai một số hoạt động trong bài học.
2.2. Thực trạng của học tập, rèn luyện và phát triển tư duy về số phức
	Ở trường THPT Lê Lai, việc học tập, rèn luyện và phát triển tư duy về số phức còn hạn chế, chưa được tốt. Nguyên nhân có nhiều, nhưng có một số nguyên nhân cơ bản sau:
- Nguyên nhân khách quan: Số phức là kiến thức mới, liên quan đến tập hợp số, đến giải tích, hình học véc tơ và tọa độ, học sinh thiếu hụt, còn hổng về các kiến thức đó, chính vì vậy sẽ gây khó khăn cho học sinh trong việc học tập, rèn luyện và phát triển tư duy về số phức; Về mặt thời lượng: Do thời lượng có hạn nên học sinh chưa được học tập, rèn luyện và phát triển tư duy về số phức đầy đủ.
- Nguyên nhân chủ quan: Trong những trường hợp nhất định nào đó, giáo viên giảng dạy về số phức triển khai “bình thường ” như trước đây vẫn dạy, học sinh học tập một cách “khiên cưỡng” tiếp thu kiến thức mới dẫn đến hiệu quả không như mong đợi, còn hạn chế.
2.3. Tầm quan trọng trong việc học tập về số phức:
- Thực tế những năm gần đây, các kì thi đại học – cao đẳng và các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hầu như đều có câu hỏi về số phức. Đây là điều thiết thực nhất đối với học sinh, để đạt kết quả tốt, chúng ta cần phải học tập và rèn luyện tốt về số phức.
- Trong số các em đỗ vào các trường đại học – cao đẳng, các em sẽ tiếp cận chương trình toán cao cấp về số phức, nếu các em được học tập và rèn luyện, phát triển tư duy về số phức ở chương trình phổ thông thì càng có điều kiện và cơ sở để học tập, nghiên cứu sau này.
2.4. Đổi mới pháp dạy học §1 SỐ PHỨC.
2.4.1. Đổi mới phương pháp soạn giáo án
Tôi trích một phần của giáo án cũ (Trước đây tôi soạn):
Ngày soạn: 08/02/2018 
Ngày dạy: ...............
Chương IV: SỐ PHỨC
Tiết dạy:	57	§1 SỐ PHỨC.
I. MỤC TIÊU:
	Kiến thức: 	
Hiểu các khái niệm số phức, phần thực, phần ảo của một số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.
Hiểu ý nghĩa hình học của khái niệm môđun và số phức liên hợp.
	Kĩ năng: 
Biết tìm phần thực, phần ảo - Tính được môđun của số phức.
Tìm được số phức liên hợp, biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.
	Thái độ: 
Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. 
Tư duy một số vấn đề toán học một cách có lôgic và có hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
	Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh họa, bảng phụ.
	Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức về toạ độ trên mặt phẳng.
Rõ ràng phần giáo án này đã nêu tóm tắt những vấn đề cần thiết nhất trong bài dạy, nhưng qua một số năm tôi vẫn băn khoăn trong phần giáo án trên còn hạn chế hay thiếu sót gì đó, tôi cứ suy nghĩ cần soạn lại như thế nào. Cuối cùng tôi phát hiện ra phần giáo án trên đây chỉ xác định về mặt định tính và thiếu định lượng, mặt khác phần giáo án trên xem xét kỹ càng thì tôi thấy chủ yếu là GV đặt ra cho mình cần phải dạy (truyền thụ) cho HS và cũng xác định một số vấn đề mà HS cần đạt nhưng cũng chỉ xác định mặt định tính. Về mặt định lượng thì chưa thể hiện rõ ràng, rành mạch.
Sau đây tôi đưa ra biện pháp đổi mới cách soạn giáo thể hiện rõ hơn về mặt định lượng cũng như lấy HS (Người học) làm trung tâm, bởi một Bảng (Ma trận) như sau:
Mô tả
Kiến thức
Phương pháp
Kỹ năng riêng (của Nhóm HS) 
Kỹ năng chung (của cả lớp) cần đạt
Tư duy
Thái độ
1) Định nghĩa đơn vị ảo: 
Điều kiện của i
Tính chất 
lũy thừa
đơn giản 
Thực hiện các tính chất về lũy thừa bậc cao
Phân tích, khái quát hóa
- Nghiêm túc nhìn nhận số i
- Nắm vững về số i
Phát biểu Định nghĩa + Biểu thức (nếu có)
i2 = - 1.
i2 = -1, vậy thì: 
i3 = ? ; i4 = ? ; 
i5 = ?  
;
; 
; ; ; 
i2 = -1;
i3 = -i;
i4 = 1;
i5 = i
Mô tả
Kiến thức
PP
KNR
KNC
Tư duy
Thái độ
2) Định nghĩa số phức:
Biểu thức, ký hiệu
Mỗi HS đều viết được số phức 
 Phần thực , phần ảo của z.
Đặc biệt hóa
- Nghiêm túc nhìn nhận số phức
- Nắm vững về số phức
Phát biểu Định nghĩa +Biểu thức
z = a + bi
Ký hiệu tập hợp số phức: C
tìm các ví dụ về số phức: a, b nguyên, hữu tỉ, ...
 Phần thực a của z, phần ảo b của z tương ứng.
a = 0; b 0;
b = 0 ; a 0;
a = 0, b = 0
Suy ra:
R C
z = a + bi,
a, b 
Mô tả
Kiến thức
PP
KNR
KNC
Tư duy
Thái độ
3) Số phức bằng nhau, liên hợp nhau:
Biểu thức, ký hiệu
Mỗi HS Viết số phức bằng nhau, liên hợp nhau
 Phần thực , phần ảo .
So sánh, khái quát 
(mở rộng )
- Thấy được ý nghĩa số phức bằng nhau
- Nắm vững các ký hiệu
+ Phát biểu Định nghĩa +Biểu thức
z = a + bi, 
z’= a’+b’i
z = z’ ?
Các trường hợp a, b nguyên, hữu tỉ
 Phần thực của z, phần ảo của z tương ứng của z’, ().
a, b hay biểu thức nhận giá trị thực 
a + bi và 
a – bi 
một số là z, số kia 
Mô tả
Kiến thức
PP
KNR
KNC
Tư duy
Thái độ
4) Biểu diễn hình học số phức. Môđun của số phức
Biểu thức, ký hiệu
Mỗi HS viết một số phức 
 Phần thực , phần ảo của z.
Mô đun
- Từ quen suy ra lạ 
- Quy lạ về quen
- Liên hệ kiến thức hình học véc tơ và tọa độ
- Mỗi số phức là một điểm trong mpOxy
- Nắm vững cách biểu diễn số phức
- Độ dài véc tơ
z = a + bi
a 
b 
Tự biểu diễn số đã viết trong mpOxy
- Biểu diễn phần thực của z , phần ảo của z trong mp Oxy.
- Tính môđun
z = a + bi
- Từ tọa độ viết trở về số phức
- Nhìn nhận tên gọi trục Ox, trục Oy
- Tên gọi mặt phẳng phức
Trên đây tôi đã thể hiện tóm lược bài học của cả thầy và trò trong phần giáo án rất ngắn gọn; Khi tôi khi triển khai nội dung bài học khá dễ dàng theo từng phần đã đề ra ở trên.
2.4.2. Đổi mới tiến trình dạy lý thuyết 
Dưới đây tôi trích ra một phần giáo án cũ trước đây tôi soạn:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm số i
Phương pháp, kỹ thuật: vấn đáp gợi mở, nêu và Giải quyết vấn đề 
- Hình thức tổ chức: Hoạt động cá thể, nhóm nhỏ
· GV giới thiệu khái niệm số i
1. Số i
Nghiệm của phương trình là số i.
Hoạt động 2: Tìm hiểu định nghĩa số phức
· GV nêu định nghĩa số phức.
H1. Cho VD số phức? Chỉ ra phần thực và phần ảo?
Đ1. Các nhóm thực hiện.
, , , , , 
2. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng a +bi, trong đó a, b Î R, đgl một số phức.
a: phần thực, b: phần ảo.
Tập số phức: C.
Chú ý: Phần thực và phần ảo của một số phức đều là những số thực.
Nhìn vào phần giáo án trên thì quả nhiên là thể hiện rõ hoạt động của thầy và trò, ngoài ra những nội dung cốt lõi cũng được tóm tắt tỉ mỉ, chu đáo. Nhìn phần giáo án trên “rất đẹp” và đảm bảo khoa học, nhưng tôi thiết nghĩ rằng: Những GV mới vào ngành là cần thiết, nhưng GV đã dạy học toán lâu năm thì không nhất định phải đọc kỹ giáo án hay bám sát giáo án để giảng hoặc cứ theo phần giáo án trên để triển khai thì được nhưng “Rất khô cứng - Khô khan” thiếu tính hấp dẫn cũng như lôi cuốn HS vào hoạt động, bản thân GV còn thấy như vậy huống gì là HS?. như thế giáo án trở thành hình thức; Tôi vẫn băn khoăn làm sao triển khai ? 
Sau đó để vào bài và dẫn dắt, gợi trí tò mò hay lôi cuốn HS vào hoạt động thì tôi đổi mới cách triển khai
2.4.2.1. Gợi nhu cầu, động cơ học tập về số phức
	Giáo viên có thể có nhiều cách gợi động cơ, nhu cầu học tập về số phức cho học sinh. Tôi cho rằng có một số cách đặt câu hỏi và tổ chức các hoạt động:
- Kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh: 
+ Giáo viên có thể đặt câu hỏi vui một chút rằng: ta đã biết các số “số thực”, 
phải chăng có số không thực?
+ Nêu câu hỏi cho học sinh liệt kê các tập hợp số đã học?. Tùy theo các kiến thức mà hoc sinh đã biết, các nhóm học sinh sẽ liệt kê, bổ xung cho nhau các tập hợp sau: Tập hợp N các sô tự nhiên, tập Z các số nguyên, tập hợp Q các số hữu tỉ, tập hợp R các số thực.
+ Vậy có còn tập số nào khác nữa không?. Một số học sinh có thể đọc trước
SGK sẽ trả lời: còn tập C các số phức (nếu không có học sinh trả lời thì GV có
thể sẽ khẳng định). Có rất nhiều câu hỏi: tập hợp C có đặc điểm (tính chất)
nào? Có các phép toán nào? 
- Kích thích nhu cầu, gợi động cơ, gây hứng thú đối với học sinh: 
+ (Từ quen suy ra lạ) Nêu câu hỏi cho HS giải phương trình: x2 - 2x + 3 = 0 ? 
Tùy theo các kiến thức mà học sinh đã biết, các nhóm học sinh hầu hết sẽ trả
lời phương trình vô nghiệm. Hoặc là HS dùng máy tính Casio fx - 570ES,
570Vn vào MODE 5 3 giải phương trình thì sẽ thấy xuất hiện như sau
Rõ ràng như thế HS sẽ thắc mắc rồi! Nhân cơ hội này GV có thể dẫn dắt HS
vào hoạt động.
Khi giải một phương trình mà không có nghiệm thì không sao cả, cũng là bình thường. Mỗi người học toán đều mong muốn: tất cả các phương trình đều có nghiệm thì tốt biết bao, bởi lẽ chúng ta ai cũng hướng tới điều hoàn thiện, tốt đẹp hoàn mỹ hơn. Một phương trình vô nghiệm làm cho chúng ta cảm giác thiếu sót.
Người giáo viên cần khẳng định: chúng ta sẽ hoàn thiện về tập hợp số, và chúng ta cũng hoàn thiện về việc giải các phương trình. Chính là tập hợp các số phức giúp chúng ta điều đó.
2.4.2.2. Hướng dẫn HS nắm vững các khái niệm cơ bản về số phức
Sự xuất hiện của số i ở trên khiến GV vào bài rất tự nhiên và nhẹ nhàng:
a. Đơn vị ảo: Số i thỏa mãn điều kiện i2 = -1 được gọi là đơn vị ảo.
 	• Nhận xét: Số i là nghiệm của phương trình sau: x2 + 1 = 0.
+ Để có tính thuyết phục và nhằm củng cố “niềm tin chắc chắn” GV yêu cầu
 HS vào MODE 5 3 giải phương trình x2 + 1 = 0 ở trên (Từ quen suy ra lạ)
+ HS thấy được kết quả trên máy tính Casio không còn nghi ngờ gì nữa.
GV không chuyển ngay sang phần định nghĩa số phức, vì để khắc sâu số i là khái niệm mới cũng như tiếp tục lôi cuốn HS vào hoạt động thì GV đưa ra câu hỏi (CH) hay tổ chức thêm các hoạt động thành phần (HĐTP): theo suy luận tính chất của lũy thừa và định nghĩa của i, kể cả việc hướng dẫn HS vào MODE 2 dùng máy tính Casio để tính (Quy lạ về quen)
• Tính chất của số i:
+ CH: Số i có tính chất gì đặc biệt? i2 = -1, vậy thì: i3 = ? ; i4 = ? ; i5 = ? 
+ HĐTP1: Phát phiếu học tập hoặc dùng bảng phụ (máy chiếu) tính:
 + HĐTP2: Tùy theo lớp và đối tượng HS cũng như thời lượng hoạt động thì
 phần khái quát: xem như bài tập về nhà.
b. Định nghĩa số phức: (Từ quen suy ra lạ)
+ Giáo viên yêu cầu HS dùng máy tính giải phương trình: 4x2 + 4x + 17 = 0.
+ Kết quả HS sẽ thấy nghiệm là: và . 
(Công thức tính chúng ta sẽ tìm hiểu ở bài học sau - Nếu HS thắc mắc). 
+ Mỗi một nghiệm trên ta gọi là một số phức. Qua ba lần giải phương trình,
các em hãy tham khảo SGK để định nghĩa số phức là gì? 
+ Trong nghiệm thì phần thực và phần ảo bằng bao nhiêu?
c. Hai số phức bằng nhau; Hai số phức liên hợp: 
 Thông qua các hoạt động thành phần (HĐTP) sau: Nhằm củng cố phần thực - phần ảo, vừa dẫn dắt đến khái niệm tiếp theo (Từ quen suy ra lạ, quy lạ về quen)
 + HĐTP1: GV yêu cầu các nhóm HS tìm phần thực, phần ảo các số phức:
Số phức 
Phần thực
Phần ảo
Ghi chú
z1 = 1 + 6i
z2 = 1 - 6i
z3 = -1 - 6i
z4 = - 6i
z5 = 1 
z6 = 1 + 6i
z7 = -1 + 6i
+ HĐTP2: GV yêu cầu các nhóm HS nhận xét phần thực, phần ảo các cặp số
phức z1 và z2, z3 và z7; Trong đó HS phát hiện ra rằng z1 và z6 “lặp lại”
+ HĐTP3: GV yêu cầu các nhóm HS tham khảo SGK để Định nghĩa hai số phức bằng nhau, hai số phức liên hợp nhau. 
Hai phần kiến thức này được trình bày kế tiếp nhau đổi mới trình tự khác với SGK vì tôi cho rằng chúng nằm trong chuỗi kiến thức liên hệ mật thiết hơn 
+ HĐTP4: Củng cố hai số phức bằng nhau (Mở rộng - khái quát hóa): 
GV viết 1 + 6i = 1 + 6i, đối với HS khá giỏi sẽ thấy GV viết như thế cho là 
“tầm thường” thậm chí một số em sẽ buồn cười, các HS khác có vẻ ngạc nhiên
và cũng cho rằng không có gì đặc biệt đáng kể, đây là hiển nhiên rồi. 
Hành động trên nhằm “thư giản một chút” làm cho vấn đề trở thành “đơn giản 
hóa”, tạo ra không khí học tập bớt căng thẳng; Thực ra GV nhấn mạnh làm
cho HS thấy được “nó bằng chính nó” là bản chất của sự vật hiện tượng. Đồng
thời cũng làm cho HS thấy được một phần ý nghĩa hai số phức bằng nhau qua
các câu hỏi (CH) sau:
+ CH 1: Tìm các số thực a, b sao cho hai số phức bằng nhau: a + 3i = 6 – bi.
+ CH 2: Tìm các số thực x, y sao cho hai số phức bằng nhau: 
(x +1) + (y – 4)i = 6 – yi.
Rõ ràng từ sự đơn giản ở hành động trên (Thậm chí kéo dài thêm một ít phút
thì GV hãy ra các câu hỏi) và đến lúc này HS thấy có vấn đề rồi.
d. Biểu diễn hình học số phức: (Từ quen suy ra lạ)
+ HĐTP1: Vẽ điểm M(2; 3) trên mặt phẳng tọa độ Oxy? Câu hỏi này ở mức
dễ nên hầu hết các HS cũng dễ dàng thực hiện được. 
+ HĐTP2: Tìm mối liên hệ giữa điểm M(2; 3) với số phức z = 2 + 3i ? 
 Mặc dù đã thấy rõ nhưng hầu hết các em lại khó diễn đạt rồi, cuối cùng cũng 
 có HS phát biểu được: điểm M(2; 3) tương ứng duy nhất với z = 2 + 3i, ngược 
 lại số phức z = 2 + 3i tương ứng duy nhất với điểm M(2; 3).
 + HĐTP3: (Quy lạ về quen ) Hãy biểu diễn số phức z’ = 2 - 3i bởi điểm N 
 trên mặt phẳng tọa độ? (Số z’ chính là số liên hợp với z, ký hiệu là )
 + Tiếp theo GV yêu cầu HS khái quát hóa (tham khảo SGK).
e. Mô đun của số phức: (Từ quen suy ra lạ)
GV tiến hành tổ chức hoạt động và triển khai khá dễ dàng. Chẳng hạn như:
+ Tính độ dài của véc tơ và ?
+ Tiếp theo GV yêu cầu HS khái quát hóa (tham khảo SGK).
(Câu hỏi thêm cho HS khá giỏi - Hoạt động Trừu tượng hóa
 + CH1: Các trục Ox, Oy trong một số trường hợp khác nhau thì có tên gọi khác
 nhau, đó là những trường hợp nào?
 - Trong Đại số và Giải tích, PP tọa độ trong mặt phẳng: trục hoành, trục tung
 - Trong lượng giác: trục côsin, trục sin
 - Trong mặt phẳng phức: trục thực, trục ảo
 + CH2: Trục thực, trục ảo còn gọi trong trường hợp nào? 
 - Gợi ý: Vấn đề liên quan đến ba đường Cônic).
2.4.2.3. Củng cố các khái niệm cơ bản về số phức (Toàn bài)
Để củng cố, khắc sâu kiến thức bài học, GV cho HS vẽ bản đồ tư duy, có thể theo hai hình thức sau:
- Hình thức tích hợp (Bảng tổng hợp):
- Hình thức nhánh (Thứ tự theo các khái niệm):
GV khuyến khích HS có thể vẽ sơ đồ khác (Sơ đồ nhánh cây, sơ đồ cột, ... ).
2.4.3. Đổi mới tiến trình củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán 
Để giúp HS có thái độ nghiêm túc, thấy được sự cần thiết cần học tập về số phức, cũng như tránh gây khó khăn ban đầu khi tiếp thu kiến thức mới thì trong bài tập trắc nghiệm tôi đã lựa chọn một số bài tập ở mức độ “nhận biết, thông hiểu” đồng thời mang “tính thời sự, tính cập nhật”; Thông qua trích dẫn các bài toán trong đề thi THPTQG của Bộ giáo dục, đề thi khảo sát chất lượng của Sở giáo dục và sau đó mới đến các đề thi tham khảo khác của các trường THPT trong tỉnh... thế là mang tính phổ biến, qua đó HS tập trung và chăm chú hơn trong hoạt động. 
2.4.3.1. Hướng dẫn HS giải một số bài tập trắc nghiệm 
Đây là phần củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính nhanh - luyện thi trắc nghiệm, mục tiêu đầu tiên là chọn đúng đáp án, sau đó GV yêu cầu HS hay nhóm HS giải thích tại sao lại chọn đáp án đó? như thế các em đều được tham gia hay lắng nghe các ý kiến khác nhau, vừa phát huy tính tập thể vừa phát huy tính cá thể.
1
M
Câu 1 (Đề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 102): Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên ?
	A. .	B. .
	C. .	D. .
 Lưu ý:
	Câu này đa số HS đều chọn đúng đáp án C và cũng giải thích đúng trục thực
 Ox biểu diễn phần thực, trục ảo Oy biểu diễn phần ảo.
 Tuy nhiên GV không dừng lại ở đây mà còn hướng dẫn HS trừu tượng hóa
 bằng cách đặt câu hỏi để HS thấy rõ dấu hiệu bản chất (gạt bỏ phần trực 
 quan): Nếu không có hình vẽ mà cho tọa độ điểm M(-2; 1) thì các em có chọn
 đúng đáp án không ?. Tôi còn đưa ra yêu cầu: em Hiền đọc tọa độ của điểm M,
 các em khác nhắm mắt lại và hình dung ra số z = - 2 + i hay không?.
Câu 2 (Đề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 103): Cho số phức . Tìm phần thực a của z.
	A. .	B. .	C. .	D. .
 Tương tự câu 1, sau khi chọn đúng đáp án A, một em mở mắt đọc số phức, các
 em khác nhắm mắt và hình dung ra đáp án.
	Thông qua hành động đơn giản ở hai câu trên, tôi thấy mang lại hiệu quả rất cao,
không những gạt bỏ phần trực quan mà còn làm cho các em ghi nhớ, khắc sâu kiến thức. Để tiếp tục tôi lấy thêm hai ví dụ mà không có hình vẽ.
Câu 3 (Đề thi THPTQG năm 2018 Mã đề 101): Số phức có phần ảo bằng:
	A. 3.	B. – 7.	C. – 3.	D. 7.
Câu 4 (Trích đề thi THPTQG 2018 Mã đề 102): Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là:
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5 (Đề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 101): Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lưu ý:
	Câu này đa số HS đều chọn đúng đáp án B và cũng giải thích đúng z = 3i có
 phần thực bằng 0, phần ảo bằng 3.
	Tuy nhiên tôi không dừng lại ở đây mà còn chỉ ra cho HS thấy rõ dấu hiệu bản
 chất (khái quát hóa và trừu tượng hóa) bằng cách nhấn mạnh:
	 + Số (với b là số thực, ) là số thuần ảo.
	 + Số (với c là số thực) là số thuần ảo.
Câu 6 (Đề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 104): Cho số phức . Tính :
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Đối với câu 6: Tôi yêu cầu HS tính theo công thức tính mô đun, sau đó hướng
 dẫn các em dùng máy tính Casio (vào MODE 2) để tính, các em ghi nhớ được
 công thức, đồng thời tập cho các em kỹ năng dùng máy tính để kiểm tra lại, như
 thế các em tự tin vào kết quả tính toán của mình, củng cố niềm tin ở câu thứ 7.
Câu 7 (Trích đề thi KSCL lớp12 năm 2018 - SGD& ĐT Thanh Hóa): Tính môđun của số phức :
	A. 7.	B. 5.	C. 3.	D. .
Câu 8: Trong các số sau, số nào có mô đun khác 1?
 	A. -1. 	B. i.	 C.	D. 
Đối với câu 8: Các em dùng máy tính Casio và chọn kết quả đúng là đáp án D,
tuy nhiên tính theo công thức tự luận các em bắt đầu lúng túng trong tính toán,
đây là vướng mắc các em gặp phải. Lúc này tôi đặt câu hỏi gợi ý: 
 + Các mẫu số có có chứa số i không?
 + Như thế ta thực hiện tính mô đun ở tử số, sau đ