SKKN Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập trăc nghiệm về môđun của số phức ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM VỀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Người thực hiện: Phạm Văn Quí
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2019
MỤC LỤC 
Trang
1.Mở đầu
2
1.1. Lý do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
4
2.2.1. Đối với giáo viên
4
2.2.2. Đối với học sinh
4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
2.3.1. Phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức
5
2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩn hóa số phức
9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
13
3. Kết luận, kiến nghị
15
3.1. Kết luận
15
3.2. Kiến nghị
15
Tài liệu tham khảo
17
Danh mục 
Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Số phức là bài toán thường xuyên xuất hiện ở kỳ thi THPT Quốc Gia, đặc biệt từ khi môn toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan thì số phức trong đề thi trắc nghiệm chiếm tỉ trọng không nhỏ và càng đa dạng hơn kể cả về dạng toán cũng như mức độ nhận thức, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt của học sinh cũng như giáo viên. Hơn nữa chương trình SGK và nội dung thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh đại học trước đây thì các dạng toán về số phức được đưa ra rất căn bản, đa phần chỉ ở mức độ nhận biết, hoặc thông hiểu. Các câu hỏi mang tính vận dụng gần như không xuất hiện. Nhưng thực tế trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây thì thường xuyên xuất hiện các câu hỏi số phức ở mức độ vận dụng, điều đó làm cho không chỉ học sinh mà giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc tìm tòi lời giải. Mặt khác với hình thức thì trắc nghiệm thì không những áp lực về kiến thức mà áp lực về thời gian cũng rất lớn. Chính vì vậy định hướng được cách suy luận lôgic và cách giải bài toán để tìm đáp án đúng rất quan trọng trong khi làm bài thi. Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử. Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập trắc nghiệm về môđun của số phức ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán về môđun số phức ở mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết và yêu thích môn học của học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương Số phức trong chương trình toán THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩn hóa số phức
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản về phức
2.1.1. Định nghĩa 1
Một số phức là biểu thức dạng, trong đó là những số thực và số thỏa mãn . Kí hiệu số phức đó là và viết .
 được gọi là đơn vị ảo, được gọi là phần thực và được gọi là phần ảo của số phức 	 
2.1.2. Định nghĩa 2
 Hai số phức và gọi là bằng nhau nếu: và . Khi đó ta viết . 
2.1.3. Định nghĩa 3
Tổng của hai số phức , là số phức 	 
2.1.4. Định nghĩa 4
Hiệu của hai số phức và là tổng của với , tức là: 
2.1.5. Định nghĩa 5
Tích của hai số phức và 	 là số phức 
2.1.6. Định nghĩa 6
Số phức liên hợp của là và được kí hiệu bởi 	 
2.1.7. Định nghĩa 7
Môđun của số phức là số thực không âm và được kí hiệu là 	 
2.1.8. Định nghĩa 8
Số nghịch đảo của số phức khác là số .
Thương của phép chia số phức cho số phức khác là tích của với số phức nghịch đảo của , tức là: .	
2.1.9. Các tính chất
a. Tính chất của số phức liên hợp
 Với mọi số phức , ta có:
 + 
 + 
 + 	 
b. Tính chất của môđun số phức
 Với mọi số phức , ta có:
 + 
 + 
 + 	
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
	- Trước đây số phức trong chương trình thi THPT quốc gia (từ năm 2009 đến 2016) chỉ là một bài áp dụng định nghĩa hoặc tính chất và đặc biệt là các em học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
- Hiện tại với đề THPT Quốc Gia bằng hình thức trắc nghiệm khách quan của bộ giáo dục. Thông qua các đề minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần số phức đã xuất hiện nhiều hơn, rộng hơn. Đặc biệt những câu khó, hoặc “lạ” (mức độ vận dụng) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều. Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế.
- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán tích phân ở mức độ vận dụng
2.2.2. Đối với học sinh
	- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít.
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa.
- Học sinh còn lúng túng vì các dạng bài toán số phức ở mức độ vận dụng các em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phương pháp đúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán môđun số phức ở mức độ vận dụng bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập môđun số phức một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em. 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức 
Bài 1: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn: 
 [4]
A. .	B. .	C. .	D. .
* Phân tích: Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường gọi số phức dưới dạng và đưa về giải hệ phương trình tìm . Tuy nhiên với bài toán này nếu làm theo lối mòn đó ta sẽ gặp hệ phương trình phức tạp và tương đối khó khăn khi tìm . 
 Mặt khác ta đã biết là số thực không âm và một tính chất rất “mạnh” của môđun số phức đó là . Nếu biết kết hợp khéo léo với định nghĩa “Hai số phức và gọi là bằng nhau nếu: và ” thì ta sẽ có hướng giải bài toán nhanh chóng và triệt để
* Giải: 
Ta có: 
Lấy môđun hai vế ta được: 
Với thay vào đề bài ta tìm được 1 giá trị 
Với thay vào đề bài ta tìm được 1 giá trị 
Với thay vào đề bài ta tìm được 1 giá trị 
Vậy có 3 giá trị thỏa mãn bài toán
 Chọn C
* Nhận xét: 
1) Vì bài toán chỉ yêu cầu đếm số giá trị nên ta chỉ cần đếm số nghiệm không âm sau đó suy ra số giá trị thỏa mãn đề bài (vì mỗi cho ta một giá trị của )
2) Thực tế giải các bài toán như trên ta có thể đi đến quy trình sau:
+ Từ giả thiết ta chuyển về phương trình dạng: một vế chứa và một vế không chứa 
+ Đặt làm nhân tử chung và viết phần còn lại dưới dạng số phức dạng đại số 
+ Lấy môđun hai vế, sử dụng tính chất và giải phương trình với ẩn là 
+ Từ tìm được thay vào giả thiết ban đầu tìm (hoặc đếm số giá trị của )
Bài 2: (Đề minh họa lần 2 thi THPT Quốc Gia năm 2017) Xét số phức thỏa mãn: . Mệnh đề nào dưới đây đúng? [4]
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Một điều khá thú vị là đề bài không hỏi giá trị của (Nếu đưa ra thì ta có thể thay vào đề thử) mà hỏi thông qua đặc điểm của vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm được phương pháp giải toán chứ không thể dựa hoàn toàn vào máy tính Casio
Với các bước giải như Bài 1 ta có thể giải bài toán như sau:
* Giải:
. Lấy môđun hai vế ta có: 
Vậy 
 Chọn D
* Nhận xét: Ta thấy với phương pháp Môđun hóa hai vế thì bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu và cũng không tốn nhiều thời gian khi làm bài thi trắc nghiệm.
Bài 3: Cho số phức thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Với định hướng như hai bài ở trên ta dễ dàng đưa về giả thiết về dạng , sau đó lấy môđun hai vế
* Giải: 
Ta có: 
 . Lấy môđun hai vế ta có:
 Chọn B
* Nhận xét: Khi làm đến bài thứ 3 thì có lẽ đã hình thành khá rõ trình tự các bước thực hiện bài toán “Môđun hóa hai vế” và bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn khi thi trắc nghiệm hay giải tự luận cũng vậy
Bài 4: (Đề thi thử trường THPT Chuyên Long An năm 2018) Cho số phức thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính . Kết quả nào sau đây đúng?
A. 	B. 	
C. 	D. [5]
* Phân tích: Đây là bài toán quỹ tích điểm biểu diễn số phức . Sẽ không có gì phải băn khoăn nếu ta rút theo rồi thay vào giả thiết như các bài toán cơ bản mà giả thiết chỉ cho môđun . Tuy nhiên giả thiết bài toán lại cho biểu thức của và vì vậy nếu vẫn tư duy như các bài toán quỹ tích thông thường thì sẽ gặp khó khăn khi giải bài này. Mặc dù vậy với giả thiết như trên ta hoàn toàn có thể tìm được và đưa bài toán về dạng quen thuộc
* Giải: 
Ta có: 
 . Lấy môđun hai vế ta có:
Phương trình (2) có một nghiệm âm (Sử dụng máy tính Casio)
Mặt khác ta có thay vào (1) ta có:
 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .
 Chọn D
* Nhận xét: Bài toán này tác giả không có ý nói về quỹ tích điểm biểu diễn số phức, tuy nhiên với bài toán quỹ tích điểm biểu diễn số phức như vậy nếu không tìm được thì sẽ rất khó khăn. Mà để tìm được thì ta lại sử dụng phương pháp “Môđun hóa hai vế của biểu thức” để đưa bài toán về dạng quen thuộc khi biết .
 Ta có thể so sánh với lời giải chi tiết mà Diễn đàn toán học trên mạng Internet đưa ra sau đây:
Cách 2: Đặt và với 
Lại có 
Gọi với .
Khi đó 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính Chỉ có đáp án D là đúng với 
 Nếu so sánh hai cách trên ta thấy với phương pháp “Môđun hóa hai vế của biểu thức” ta tìm được nên bài toán được giải quyết triệt để. Còn ở cách 2 giải theo cách thuần túy bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức thì chỉ tìm được tâm đường tròn là chính xác, còn bán kính thì chỉ dự đoán. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm với 4 phương án như trên thì cách làm đó vẫn tìm được đáp án đúng, nhưng nếu hướng dẫn cho học sinh giải mà làm theo cách 2 thì có lẽ học sinh “không phục” .
Bài 5: Cho số phức thỏa mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Ở bài nay ta thấy xuất hiện và , tuy nhiên ta lại có: vì vậy ta vẫn sử dụng phương pháp “Môđun hóa hai vế” tương tự như Bài 2. Tuy nhiên ở bài này đề bài không yêu cầu tìm hay 
* Giải: 
Ta có: 
 . Lấy môđun hai vế ta có:
 Chọn B 
* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập nhỏ trên ta thấy:
 Lấy môđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéo theo của hai số phức bằng nhau . Do đó ta chỉ thực hiện khi giả thiết của bài toán được đưa về các dạng chuẩn sau:
+ với 
+ hoặc với 
+ hoặc với 
 Ta thường sử dụng các tính chất: và 
2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩn hóa số phức
Bài 1: (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2019 của Sở GD & ĐT Thanh Hóa) Gọi , là hai trong các số phức thỏa mãn và . Tìm môđun của số phức . 
A. . B. . C. .	D. . [5]
* Phân tích: Nếu giải bài toán này bằng cách gọi số phức dưới dạng đại số thì ta có 3 phương trình (và ) nhưng 4 ẩn (), về nguyên tắc là không giải được nghiệm cụ thể. Như vậy ta biết được có rất nhiều số phức thỏa mãn giả thiết nhưng môđun của số phức sẽ là không đổi. Chính vì vậy ta chỉ cần tìm hai số phức thỏa mãn giả thiết bài toán sau đó tính và suy ra là giải quyết xong bài toán. 
 Vấn đề ở chỗ ta chọn như thế nào để ta tính được là số “đẹp” , từ đó ta tính được 
 Ta có nên ta chọn , sau đó sử dụng máy tính cầm tay ta sẽ tìm được nhanh chóng từ đó chọn được đáp án đúng. Cụ thể như sau:
* Giải: Ta có: và 
Chọn chọn thỏa mãn . Gọi , từ giả thiết ta có:
hoặc 
Chọn (hoặc ) sau đó sử dụng máy tính cầm tay bấm . Ta chọn A
* Nhận xét: Phương pháp tư duy để giải bài toán trên rất đơn giản dễ hiểu với học sinh, đặc biệt gọi số phức ở dạng đại số học sinh rất quen thuộc, hơn nữa ta tận dụng được máy tính cầm tay nên tính toán rất nhanh
 Ta cũng có thể giải bài toán bằng cách biểu diễn hình học số phức như hướng dẫn giải của Sở GD & ĐT Thanh Hóa, tuy nhiên cách biểu diễn hình học đòi hỏi học sinh có tư duy tổng hợp, liên hệ kiến thức hình học tọa độ khá nhạy bén
 Ở đây tác giả không đề cập đến cách làm nào tối ưu hơn, mà chỉ đưa ra một cách làm khác cho học sinh có thể lựa chọn phù hợp với mình đồng thời làm cho bài toán hấp dẫn hơn mà thôi.
* So sánh cách giải khác (Hướng dẫn giải của Sở GD & ĐT Thanh Hóa)
Gọi là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức .
Theo giả thiết , là hai trong các số phức thỏa mãn nên và thuộc đường tròn tâm bán kính .
Mặt khác .
Gọi là trung điểm của suy ra là điểm biểu diễn của số phức và .
Do đó ta có .
Bài 2: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Nếu như ở bài 1 đề bài yêu cầu tính môđun của số phức có liên quan đến ta có thể liên hệ đến trung điểm của với là các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức . Tuy nhiên ở bài này đề bài yêu cầu tính môđun mà ta định hướng giải toán bẳng cách biểu diễn hình học như bài 1 thì có vẻ như hơi khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
 Từ giả thiết bài toán, về mặt đại số ta thấy bài toán cho 3 phương trình là: nhưng có tới 4 ẩn là (với ) vì vậy ta chỉ cần chỉ cần chọn hai số phức thỏa mãn giả thiết bài toán sau đó tính là ta đã tìm được đáp án bài toán.
 Ở đây để đơn giản ta chọn sau đó từ 2 điều kiện và ta sẽ tìm được 
* Giải: 
Ta có: 
Chọn . Gọi ta có:
Chọn 
Chọn B
* Nhận xét: Thực ra với giả thiết bài toán như vậy thì có rất nhiều số phức thỏa mãn đề bài vì vậy nếu ta cứ định hướng tìm tất cả các số phức như vậy thì đây không phải là chuyện dễ làm. Tuy nhiên có đặc điểm là môđun lại là số không đổi. Vì vậy ta chỉ cần tìm hai số thỏa mãn giả thiết là ta sẽ tìm được phương án đúng. Đây cũng chính là ý tưởng mà tác giả muốn trình bày ở dạng toán “chuẩn hóa số phức”
Bài 3: Cho các số phức thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Với ý tưởng “chuẩn hóa số phức” thì ta sẽ đi tìm hai số phức sao cho bằng cách chuẩn hóa sau đó tìm và tính 
* Giải: 
Chuẩn hóa 
Gọi ta có: 
.
Ta chọn . Khi đó 
Chọn C
* Nhận xét: Với những bài toán dạng như trên nếu biết cách “chuẩn hóa” hoặc thì bài toán được giải quyết rất nhanh. Ngược lại nếu vẫn tư duy “lối mòn” đi tìm tất cả , thì có lẽ rất tốn thời gian và công sức đồng thời xem những bài toán như vậy là rất khó khăn và gây chán nản khi làm những bài thi về số phức trong các đề thi THPT Quốc Gia
Bài 4: Cho hai số phức , thỏa mãn . Khi đó bằng 
 A. .	B. .	C. .	D. .
* Phân tích: Với bài toán này ta có thể định hướng cho học sinh giải theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn: 
Cách 1 : Gọi , là hai điểm lần lượt biểu diễn số phức , . Khi đó 
, , , với là hình bình hành. Tam giác có 
Cách 2: Đặt .Từ giả thiết có 
* Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm nên ta chỉ cần làm như thế nào để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất là được. Với ý tưởng “chuẩn hóa” như các bài trên thì ta sẽ chọn thỏa mãn giả thiết bài toán là được.
* Giải:
Chọn 
 Chọn B
* Nhận xét: Ta có thể chọn tùy ý sao cho là được. Ví dụ như chọn hoặc Tất nhiên ta nên chọn như thế nào cho đơn giản dễ tính nhất.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên. 
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần Số phức, đặc biệt là những bài toán về Môđun của số phức ở mức độ vận dụng, giúp tôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em. Từ đó định hướng cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụng.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán về Môđun của Số phức ở mức độ vận dụng
- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúp học sinh phát triển tư duy hơn. Học sinh có khả năng định hướng được cách làm với những dạng bài tập khó khác. Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập. Việc làm các bài tập về Số phức nói chung và Môđun của Số phức ở mức độ vận dụng của các em trở nên nhanh chóng và chính xác. Cụ thể, tôi cho các em một số bài kiểm tra phần Môđun của số phức trong từng quá trình trước và sau khi áp dụng phương pháp giải mới bài tập số phức, kết quả như sau:
Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)
Đề bài: 
Câu 1: Cho số phức thỏa mãn: . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho số phức thỏa mãn: . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3: Cho hai số phức thỏa mãn: và . Xét số phức . Tính ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Đúng 0 câu
Đúng 1 câu
Đúng 2 câu
Đúng 3 câu
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
12A2
41
11
26.8%
25
61 %
5
12.2 %
0
0 %
12A5
41
27
65.9%
14
34.1 %
0
0%
0
0 %
Bài kiểm tra số 2: ( Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)
Câu 1: Cho số phức thỏa mãn: . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho số phức thỏa mãn: . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3: Cho hai số phức thỏa mãn: và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Đúng 0 câu
Đúng 1 câu
Đúng 2 câu
Đúng 3 câu
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
12A2
41
0
0%
2
4.9 %
8
19.5 %
31
75.6 %
12A5
41
0
0%
10
24.4 %
16
39.0%
15
36.6%
 So sánh kết quả thu được từ hai bảng ta thấy sau khi áp dụng phương pháp giải nhanh thì học sinh làm bài tốt hơn và khả năng tư duy phát triển hơn. Điển hình là có những câu khó dạng mới gặp các em vẫn làm tốt.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình giảng dạy và học tập của học sinh đã thu đươc những kết quả tích cực như bảng số liệu đã phân tích. Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp và kiến thức cho học sinh. Bản thân học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải một bài toán. Khơi dậy ở các em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúp các em đạt hiệu quả cao nhất khi làm bài tập cũng như thi THPT quốc gia.
	Việc áp dụng đề tài không chỉ dừng lại ở một số bài toán Môđun số phức ở mức độ vận dụng, mà còn có thể mở rộng hơn nữa ở nhiều dạng toán khác. Bản thân đề tài là động lực cho mỗi giáo viên và học sinh tìm tòi phát triển hơn nữa để có được những phương pháp cách truyền thụ kiến thức và cảm hứng cho học sinh tốt hơn. 
3.2. Kiến nghị