SKKN Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8

Môc lôc
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1. Cơ sở lí luận.
 2.2. Thực trạng.
 2.3. Giải pháp thực hiện.
 2.4. Biện pháp tiến hành.
2.4.1. Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá trị của một biểu thức là số nguyên tố.
2.4.2. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh chia hết, số chính phương.
2.4.3. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình nghiệm nguyên:
2.4.4. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
2.4.5. Khai thác phát triển chia hai đa thức một biến
 Một số bài tập phát triển:
2.5 Hiệu quả của sáng khiến kinh nhiệm.
3 - KẾT LUẬN.
3.1. Kết quả nghiên cứu.
3.2. Kiến nghị, đề xuất.
* Tài liệu tham khảo
Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 4
Trang 4
Trang 6
Trang 6
Trang 6
Trang 7
Trang 9
Trang 11
Trang 12
Trang 13
Trang 17
Trang 18
Trang 18
Trang 19
Trang 20
1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn Toán nói riêng, nhất là chất lượng mũi nhọn là một việc không hề dễ dàng hiện nay đối với một số trường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh tế khó khăn, trình độ dân trí thấp. Điều này, được minh chứng rất rõ qua các kì thi khảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 và đặc biệt là thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện hàng năm. 
 Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn là một vấn đề có tính chiến lược và vô cùng cần thiết ở nhà trường THCS. Bởi đây là cấp học “trung gian”, các em được trang bị một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản để học xong cấp học này các em có thể vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề và tiếp tục học ở bậc THPT. 
 Đối với môn Toán, nó có vai trò không nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn học khác. Nhưng dạy học như thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn giải quyết được các bài toán khó trong chương trình. Để giúp người học nắm kiến thức môn học có tính hệ thống và hiểu được bản chất của vấn đề. Đây là việc đặt ra cho mỗi giáo viên dạy Toán. Nhất là việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt , đặc 
biệt là các công cụ toán học, các kĩ năng khi thực hiện việc giải toán. Trong giải toán học sinh phải biết nhận dạng và từ đó nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp. Để làm được điều này, một trong những cái mà trong dạy học người dạy hướng cho học sinh cách khai thác và phát triển một bài toán.
 Việc khai thác và phát triển một bài toán được thể hiện rất đa dạng và phong phú, nhất là ở tiết luyện tập, ôn tập, và nó cũng là một hoạt động trong dạy học Toán. Nhưng nhiều giáo viên chưa chú trọng tới(!). Vì vậy mà khi giải một số bài toán khó học sinh hay lúng túng, không tìm ra cách giải hoặc giải được nhưng mất quá nhiều thời gian.
 Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán , tôi nhận thấy đây là điểm quan trọng mà mỗi học sinh cấp THCS nên biết để vận vào việc giải toán. Tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề: “ Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8". Đây chỉ là một phần nhỏ trong toàn bộ chương trình dạy học Toán 8 của tôi.
 Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản của môn học và có thêm một kĩ năng giải toán để làm nền tảng cho các em chuẩn bị cho các lớp học cao hơn cũng như tự tin hơn trong các kì thi. Tuy vậy do khuôn khổ đề tài cũng như kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, chắc rằng còn gặp những thiếu xót không mong muốn, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quí đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Đề tài này tôi nghiên cứu để phục vụ cho công tác giảng dạy của bản thân và sau đó là của các đồng nghiệp trong đơn vị, nhằm giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, có kĩ năng giải toán, phát triển tư duy, rèn luyện cho các em tính cẩn thận, cần cù, sáng tạo, có niềm tin và hứng thú trong học tập, nghiên cứu. Qua đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học, cải thiện chất lượng giáo dục của bản thân và đơn vị. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài này tôi nghiên cứu “ Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8", tính hiệu quả trong việc thực hiện đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu sơ sở lý thuyết về phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, tìm dư của phép chia đa thức cho đa thức, v.v. Học sinh biết khai thác, phát triển một bài toán, nhận dạng, quy lạ về quen, tương tự hoá,khi làm toán.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Trường tôi dạy thuộc một xã thuần nông, trình độ dân trí thấp, điều kiện kinh tế khó khăn, chất lượng học tập còn thấp, nhất là môn Toán được phản ánh rõ nhất qua điểm các bài kiểm tra định kì, kiểm tra học kì, thi chọn học sinh giỏi huyện, thi vào lớp 10. Trong những năm huyện tổ chức thi chọn học sinh giỏi lớp 8, kết quả đội tuyển của trường đạt được khá khiêm tốn (!). Qua đó chúng tôi đã nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ra nguyên nhân và giải pháp cho thực trạng vấn đề.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận: 
	Trên quan điểm của các Nghị quyết Đại hội của Đảng được cụ thể hoá trong Luật Giáo dục: “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” (Khoản 3, điều 27, chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, năm 2006). Hay trong Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 của Ban chấp hành Trưng ương khóa XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục” có nêu “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể  chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề  nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,” (mục 2. Mục tiêu cụ thể”. 
   Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm về tâm, sinh lí lứa tuổi các em muốn tìm hiểu, khám phá, vươn lên để thể hiện mình. Trong những năm qua thực hiện đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS đã có những chuyển biến tích cực góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy - học.
Từ những cơ sở trên đòi hỏi người thày luôn cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạo trong các hoạt động dạy học, không ngừng tích luỹ vốn kiến thức và kinh nghiệm cho bản thân. Dạy dỗ thế nào để đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học sinh, kích thích tính tò mò khoa học của các em, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của người học; phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho học sinhXây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực” để các em cảm nhận được “mỗi ngày đến trường là một niềm vui”. 
2.2. Thực trạng:
 Trong quá trình giảng dạy, tham khảo ý kiến đồng nghiệp và qua phụ huynh học sinh cũng như qua tìm hiểu các học sinh với nhau tôi nhận ra rằng: Đa số học sinh học yếu toán là do hổng kiến thức, lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, học tập dập khuôn, máy móc, tiếp thu kiến thức thụ động; các em không có phương pháp học đúng đắn; một số giáo viên chưa thật sự tâm huyết, chưa chịu tìm tòi nghiên cứu; các bài tập các em còn trình bày sơ sài, suy nghĩ giản đơn. Nhất là khi gặp những bài khó các em rất lúng túng, bối rối, không biết nên bắt đầu từ đâu và làm như thế nào, mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản. Đó là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấy nơi học sinh. Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm như thế nào? Đây là một câu hỏi cần được trả lời đối với mỗi người đang trực tiếp giảng dạy trên lớp.
 Trong chưng trình Đại số 8, nhiều bài toán phải vận dụng nhiều kiến thức, kĩ năng, trình bày chặt chẽ, logic. Từ chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC, phần bài tập sau mỗi tiết lí thuyết hay trong các tiết luyện tập và ôn tập chương có thể khai thác và phát triển thành những bài tập khó, thường có trong các đề thi chọn học sinh giỏi. Ví dụ: 1. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+ (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2008 – 2009 của huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa) . Bài này được phát triển từ bài 58 (trang 25 – SGK Toán 8 tập 1 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2010): Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n; 2. Tìm các số cặp số nguyên(x, y) thỏa mãn: x + y = xy. Bài này được phát triển từ bài 47 và bài 48 (trang 22 – SGK Toán 8 – Tập một). 3. Tìm số nguyên a sao cho a4 + 4 là số nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2013 – 2014 của huyện Thủy Nguyên, Hải Phòng và của huyện Việt Yên, Bắc Giang). Bài này được khai thác từ bài 57d (trang 25 – SGK Toán 8 – Tập một): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4... Đó là một vài ví dụ cho thấy các bài tập trong đề thi không dễ dàng đối với nhiều học sinh khi gặp phải. Nhưng nó lại được xuất phát từ những bài tập rất cơ bản ở sách giáo khoa mà đa số học sinh làm được. Tôi luôn nghĩ một bài tập dù khó đến đâu cũng không ngoài chương trình, kiến thức và phương pháp đã học. Chỉ có điều chúng ta dạy các em như thế nào mà thôi.
 Trong quá trình giảng dạy Toán 8 tôi nhận thấy năng lực học tập nơi các em nhìn chung còn hạn chế, đặc biệt là kĩ năng khai thác, phát triển một bài toán. Bên cạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều và chưa có sự quan tâm đúng mực đối với việc học tập của con em. Vì vậy việc học tập và nâng cao khả năng học tập môn toán gặp không ít khó khăn. Chính vì lẽ đó hàng năm, thực tế cho thấy khả năng tiếp thu, lĩnh hội môn toán nhất là các chuyên đề toán học nói chung cũng như vận dụng giải toán với tỉ lệ khá giỏi chưa cao. 
Lớp
Sỉ số
Điểm 9 -10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm 3 - 4
Điểm 0 - 2
Tổng số
%
Tổng số
%
Tổng số
%
Tổng số
%
Tổng số
%
8A
38
1
2,6
4
10,1
8
21,1
19
51,2
6
15,8
 Đề tài này tôi tích luỹ, rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy trong đó có sự định hướng của các thày cô dạy tôi ở Đại học. Tôi đã triển khai ở nhiều năm học trước đây (kết quả đạt được rất đáng khích lệ) và đang tiếp tục ở năm học 2016 - 2017 trong chương trình dạy học chính khóa cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường. Kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng cách khai thác, phát triển một bài toán được kết quả như sau:
 Từ thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ làm thế nào để học sinh biết cách sử dụng một bài toán cơ bản, bài toán gốc để giải bài toán nâng cao một cách linh hoạt, sáng tạo. Với trách nhiệm của người thày tôi thấy mình cần giúp các em làm tốt hơn phần này. 
 Giải pháp thực hiện: 
 Trong chương I (Phép nhân và phép chia đa thức) kiến thức vô cùng quan trọng. Nắm vững kiến thức của chương này mới học tốt chương trình tiếp theo được. Và kiến thức của chương này còn là công cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập. Các bài tập SGK cơ bản các em làm được như: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh, tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức một biến Nhưng khi gặp một số bài toán khi bồi dưỡng học sinh giỏi hay trong các đề thi các em gặp rất nhiều khó khăn, vướng mắc.
 Mà thực ra những bài toán lại bắt đầu từ những bài toán rất cơ bản. Nếu ta vận dụng được kiến thức cơ bản và hiểu bản chất của nó thì bài toán trở nên quen thuộc dễ giải. Tất nhiên, điều đầu tiên để nâng cao được chất lượng dạy học thì người học phải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi. Muốn vậy, hơn ai hết giáo viên phải là người gây được hứng thú, tạo sự chú ý, tính tò mò khoa học nơi các em, phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ trong nhận thức của học sinh.
 Người thày ngoài việc có kiến thức chuyên môn giỏi còn phải có phương pháp truyền thu tốt, kĩ năng sự phạm, nhà tâm tâm lí học thực sự yêu nghề, mến trẻ.
2.4. Biện pháp tiến hành
2.4.1. Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán tìm điều kiện để giá trị của một biểu thức là số nguyên tố.
Ví dụ 1: (Bài 57d trang 25 - SGK Toán 8 tập một). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4.
	 Lời giải
Ta có: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 
 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2).
Vậy, x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2).
Khai thác bài toán: 
Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1 1 với mọi x
và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1 1 với mọi x
nên x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) chỉ có thể là số nguyên tố khi x nguyên và x2 - 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1. Ta có thể khai thác bài toán trên rồi phát triển thành các bài sau:
Bài 1. Cho A = x4 + 4. Tìm số nguyên x để A là số nguyên tố.
Bài 2. Cho M = a4 + 4. Tìm số tự nhiên a để M là số nguyên tố.
Bài 3. Cho M = a4 + 4. Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên a2 thì M là hợp số.
Lời giải:
1. (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) 
Có x Z => x2 - 2x +2 Z; x2 + 2x +2 Z .
Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1 1 với mọi x
và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1 1 với mọi x
Do đó, A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) là số nguyên tố thị x2 - 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1.
Nếu x2 - 2x +2 =1 => x = 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Nếu x2 + 2x +2 =1 => x = - 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Vậy với x = 1 hoặc x = -1 thì A = x4 + 4 là số nguyên tố.
 2.(Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2).
Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 2a +2) = (a+1)2 + 1 2. Do đó, muốn M là số nguyên tố thì phải có a2 – 2a + 2 = 1 => a =1. Khi đó M = 5 là số nguyên tố.
Vậy, với a = 1 thì M = a4 + 4 là số nguyên tố.
 3. (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)
Vì (a-1)2 + 1 2 với mọi a 2 và (a+1)2 + 1 10 với mọi a 2 nên M là hợp số. 
(Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.)
Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán chứng minh chia hết, số chính phương:
Ví dụ 2. (Bài 58 trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z. 
Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 6.
Khai thác và phát triển bài toán:
1. Vì n(n -1)(n + 1) 6 => n(n -1)(n + 1) (6k)n 6 (n, k Z). 
Ta phát triển thành các bài toán: 
Bài 1. Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho 6 (với n Z). 
Bài 2 Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2016 có tổng bằng 20162017 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Lời giải bài 2: Ta có: Þ a1 + a2 + ..... + a2016 ( = 20162017)
Xét hiệu: A = () – (a1 + a2 + ..... + a2016) 
 = 
Dễ thấy a3 – a = a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Suy ra: 
 Mà a1 + a2 + ..... + a2016 nên 
Từ bài 2, ta có thể phát triển thành bài sau: Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2016 có tổng bằng 20162017. Chứng minh rằng: chia hết cho 6.
2. Vì n(n -1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 và 5 nên chia hết cho 30. 
Phát triển thành các bài toán sau:
Bài 3. Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 (với n Z).
Bài 4. Tìm số tự nhiên n để n5 - n + 2 là số chính phương.
Bài 5. Cho ba số a, b, c Z thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 30. 
Đối với bài 1 và bài 3: Nhiều học sinh có thể làm được. Nhưng đối với bài 2 , bài 4 và bài 5, nó ở cấp độ cao hơn, khó hơn vì phải vận dụng nhiều kiến thức và kĩ năng hơn. 
Bài 4: Vì n5 - n + = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n+1)(n2- 4 + 5) = 
 = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n + 1) 5 nên có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 . Do đó n5 - n + 2 có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7. Không có số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7=> n5 - n + 2 không phải là số chính phương.
Vậy không có số tự nhiên n nào để n5 - n + 2 là số chính phương. 
Bài 5. Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c) (vì a+b+c =0)
 = (a5 – a)+(b5 – b)+(c5 – c)30 ( theo kết quả bài 2)
mà a + b + c = 0 30 nên a5 + b5 + c5 30.
Và từ bài 2, bài 4 và bài 5 này chúng ta có thể khai thác phát triển thành nhiều bài toán khác. Đó là điều thú vị. Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sáng tạo, sự tò mò khoa học, say mê cho người học. 
Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên:
Khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường “rất sợ” (!). Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn hoặc có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Không có cách giải chung cho mọi phương trình. Tuy nhiên với việc vận dụng kiến thức của chương I này, chúng ta khai thác phát triển một số bài tập cơ bản trong SGK để đưa các phương trình về “dạng tích” giải một số bài tập từ đơn giản đến phức tạp, bước đầu cho các em làm quen, và từ đó hình thành một cách giải. Nó góp một phần không nhỏ để các em học sinh vững tin hơn khi gặp dạng toán này. 
Ví dụ 3. (Bài 53b. trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + x – 6.
Lời giải: Ta có x2 + x – 6 = x2 - 2x + 3x – 6 = (x2 - 2x) + (3x – 6) =x(x -2) + 3(x-2)
= (x-2)(x+3).
Đối với bài toán này, trong SGK (tiết học lí thuyết) không nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy hơi khó cho học sinh diện đại trà. Nhưng SGK đã gợi ý và giải mẫu (ở ý a bài 53 - SGK) nên học sinh dựa vào đó sẽ làm được. Và bài toán không còn khó nữa. Vậy ta dạy học sinh khai thác gì ở bài toán này? 
Như đã biết, (x-2)(x+3) nguyên nếu x nguyên. Do đó ta có thể phát triển thành bài sau: 
Bài 1. Tìm số nguyên x, thỏa mãn: x2 + x – 5 = 0.
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x - 6 = y2.
Với bài 1, nhiều học sinh sẽ làm được, nhưng bài 2 không dễ dàng với đa số học sinh.
Lời giải:
Bài 2. Ta có: x2 + x - 6 = y2 4x2 + 4x - 24 = 4y2 (2x + 1)2 – 4y2 = 25
( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = 25 
Suy ra: hoặc 	
 hoặc hoặc 
Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là (6; 6); (6; -6) ; (2; 0); (- 3; 0).
Sau khi HS đã hiểu được cánh làm của bài tập 1, 2 ở trên ta có thể nâng cao hơn cho HS luyện tập các bài sau:
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình: 
a) 2(x + y) + 5 = 3xy; b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7; c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2.
Lời giải:
a) Ta có: Ta có: 
Do x, y nguyên dương nên mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các khả năng sau: 	 hoặc	
Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là
.
b) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 ó 2x2 + 4xy – xy -2y2 = 7
Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta có bảng sau:
2x-y
1
-1
7
-7
x+2y
7
-7
1
-1
X
1,8 (loại)
-1,8 (loại)
3
-3
Y
2,6 (loại)
-2,6 (loại)
-1
1
Vậy nghiệm của phương trình là: 
c) Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2Û x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1Û (x+1)4 – y2 = 1
Û [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1.
Vì x, y nguyên dương nên (x+1)2 –y nguyên, (x+1)2+y nguyên và (x+1)2+y 5 
Suy ra [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương: ( x, y ) .
 Qua các bài tập trên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách làm, kiến thức vận dụng. Đó là: Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức
 chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Kiến thức vận dụng là phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp một số kĩ năng biến đổi. 
Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để 
chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị nhỏ n