SKKN Dạy học sinh có năng khiếu môn Toán lớp 5 về “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”

1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài:
Đất nước ta đang trong thời kì đổi mới và mở cửa nên rất coi trọng việc đào tạo nhân tài. Ngay từ cấp Tiểu học các học sinh đã được bồi dưỡng học sinh giỏi(học sinh năng khiếu). Hai môn học được chú trọng bồi dưỡng nâng cao ở Tiểu học là Toán và Tiếng Việt. Do đặc điểm tâm sinh lí của lứa tuổi Tiểu học là từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng nên việc dạy bồi dưỡng môn Toán đặt ra cho giáo viên bồi dưỡng rất nhiều cái khó.
Một trong các mạch kiến thức nâng cao của môn Toán các em cảm thấy khó nhất là hình học lớp 5. Dẫn dắt cho các em nối thêm đường phụ để giải quyết một dạng toán hình học là cái mà một giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi như tôi cần phải trăn trở nhiều năm nhất. 
Được phân công bồi dưỡng học sinh năng khiếu lớp 5 đến nay đã tròn 6 năm, mảng kiến thức dạy học sinh có năng khiếu môn Toán lớp 5 về “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” là mảng kiến thức khi các em đã hiểu sẽ giúp các em thêm yêu môn Toán, thích khám phá và cái quan trọng nhất là “không ngại hình khó”.
Với những lí do khách quan và chủ quan trên, tôi đã chọn đề tài: Dạy học sinh có năng khiếu môn Toán lớp 5 về “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” để đưa ra kinh nghiệm riêng của bản thân và trao đổi cùng đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở tiểu học theo hướng phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường hoạt động cá thể phối hợp với học tập. Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực hiện.
Góp phần gây hứng thú học tập môn toán được coi là khó khăn, hóc búa thì việc đưa ra dạy học sinh giỏi tìm tỉ số hai đoạn thẳng nhằm để các em ứng dụng vào làm hình học tốt hơn, có lời nói rõ ràng, mạch lạc hơn. Giải toán về tìm tỉ số hai đoạn thẳng đó giúp các em sẽ lĩnh hội được tri thức và thực hiện được các tri thức ấy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 5A trường Tiểu học nơi tôi công tác.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp khảo sát;
+ Phương pháp thống kê;
+ Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động học tập của học sinh;
+ Phương pháp kiểm tra đánh giá;
+ Phương pháp phân tích tổng hợp.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 	2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Quá trình dạy học Toán 5 phải góp phần thiết thực vào việc hình thành phương pháp suy nghĩ, phương pháp học tập và làm việc tích cực, chủ động, khoa học, sáng tạo cho học sinh. Cho nên, giáo viên cần tổ chức hoạt động học tập thường xuyên tạo ra các tình huống có vấn đề, tìm các biện pháp lôi cuốn học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề bằng cách hướng dẫn học sinh tìm hiểu kĩ năng vấn đề đó, huy động các kiến thức và các công cụ đã có để tìm ra con đường hợp lí nhất giải đáp từng câu hỏi đặt ra trong qua trình giải quyết vấn đề, diễn đạt các bước đi trong cách giải, tự mình kiểm tra lại các kết quả đã đạt được, cùng các bạn rút kinh nghiệm về phương pháp giải. Tuy nhiên, để tổ chức được các hoạt động học tập, tôi đã xác định được: Nội dung toán cần cho học sinh lĩnh hội là gì? Cần tổ chức các hoạt động như thế nào? Mặt khác, nội dung dạy giải toán ở lớp 5 được sắp xếp hợp lí, đan xen và tương hợp với mạch kiến thức khác, phù hợp với sự phát triển nhận thức của học sinh lớp 5. Dạy học hình học mà dạng tỉ số hai đoạn thẳng là những con đường hình thành và phát triển trình độ tư duy của học sinh. Các em biết phát hiện và tự giải quyết vấn đề, tự nhận xét so sánh, phân tích, tổng hợp, rút ra quy tắc ở các dạng khái quát nhất định.
Tuy nhiên, tôi phải chủ động tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động theo chủ đích nhất định với sự trợ giúp đúng mức của giáo viên, của sách giáo khoa và đồ dùng dạy học, để mỗi cá nhân học sinh “khám phá” tự phát hiện và tự giải quyết bài toán thông qua việc biết thiết lập mối quan hệ giữa kiến thức mới, với các kiến thức liên quan đã học, với kinh nghiệm của bản thân. Đó là các cơ sở để các em học dạng tỉ số hai đoạn thẳng nói riêng, học toán hình nói chung. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong hai năm trở lại dây, do có rất nhiều cuộc giao lưu học sinh giỏi Toán được tổ chức: thi giao lưu Toán Tuổi Thơ, thi giao lưu giải Toán qua mạng,nên việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán của các trường rất được quan tâm. Tuy nhiên, vốn là mảng khó nên việc dạy hình học cũng chỉ được một số trường thực sự chú trọng đào sâu.
 Về thực trạng học của học sinh thì sao? Tâm lí của các em học sinh những ngày đầu tiếp nhận đều là: “ngại vì khó quá”. Số em thực sự hiểu và vận dụng bài học phần hình học rất ít. Một số em nản chí thực sự, muốn rút lui khỏi lớp bồi dưỡng cũng do hình học. Chính vì lẽ đó, giáo viên phải hết sức kiên trì, ngôn từ giảng dạy cần cụ thể hóa, gần gũi với các em, không ép các em nhớ một cách máy móc.
	Năm học 2016 - 2017, sau khi dạy mảng “Tìm tỉ số của hai đoạn thẳng” được 3 ngày, tôi đã tiến hành kiểm tra 10 em trong lớp bồi dưỡng học sinh năng khiếu cho dạng toán đầu tiên của mảng này như sau:
+ Thời gian làm bài khảo sát: 15 phút
+ Thang điểm: 10
	+ Đề khảo sát gồm một bài.
+ Kết quả khảo sát như sau:
Tổng số học sinh
khảo sát
Kết quả khảo sát
Điểm 9 - 10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm < 5
10 em
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
2
20%
3
30%
2
20%
3
30%
 Do bước đầu của sự nhận biết nên kết quả đạt được chưa cao. Sai sót trong bài làm của các em chủ yếu theo các nhóm nguyên nhân sau:
+ Nguyên nhân thứ nhất là các em vẽ hình sai tỉ lệ nên bài làm sai ngay từ đầu.
+ Nguyên nhân thứ hai là chưa thực sự hiểu cách làm nên đã đi sai hướng.
+ Nguyên nhân thứ ba là hiểu hướng làm song diễn đạt chưa trôi chảy vì chưa thực sự nhớ lí luận của bài.
Mặc dù mới chớm hiểu bài song tôi nhận thấy các em rất say mê, thích được tranh luận, biết nêu ra những điều mình còn vướng mắc để hỏi cô. Và câu nói của một em học sinh: “Cô ơi! hình khó nhưng khi giải được rồi thì thấy rất vui và thú vị lắm ạ!” đã tạo cho tôi thêm say mê với nghề và thêm niềm tin vận dụng đề tài của mình vào giảng dạy.
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Từ thực trạng dạy và học phần hình học mảng: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” và kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhiều năm, tôi đã đưa ra các giải pháp dạy học sinh có năng khiếu môn Toán lớp 5 “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” như sau:
2.3.1 Giải pháp 1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo về mảng kiến thức: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” trong hình học.
	1.1. Tìm những bài toán thuộc mảng: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”
 Các bài toán thuộc mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” trong hình học khá phong phú và đa dạng. Thông qua những câu hỏi của bài tập để nhận dạng ta thấy ngay được sự phong phú đó. Có những bài nêu câu hỏi trực tiếp: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” có những câu hỏi nêu câu hỏi gián tiếp như:
 + So sánh BN và AB.
 + Chứng tỏ O là trung điểm của AC.
 + B cách N bao nhiêu cm?
 + Tìm BN biết BC dài 20 cm.
 Các bài toán thuộc mảng này xuất hiện trong tất cả các dạng hình học: tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông,
 	1.2. Phân loại bài toán thuộc mảng: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”.
 Qua nghiên cứu, những bài toán thuộc mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” phân làm hai dạng bài:
 + Dạng bài tìm tỉ số hai đoạn thẳng trong tam giác.
 + Dạng bài tìm tỉ số hai đoạn thẳng trong hình thang.
 Sau khi phân loại theo dạng hình học, giáo viên tiến hành khái quát hướng giải của dạng, so sánh sự giống và khác nhau giữa 2 dạng toán để giúp học sinh không nhầm lẫn, lúng túng.
 Tìm ra trong dạng những bài toán có hướng làm giống nhau nhưng sai khác nhau một số dữ kiện ở đề bài khiến hình vẽ khác nhau hoàn toàn dẫn đến học sinh hay lúng túng. Khắc sâu được điều này sẽ giúp học sinh có tư duy linh hoạt hơn trong học toán.
	Ví dụ minh họa:
	Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM = 2 MB. Trên AC lấy N sao cho AN NC. BN cắt CM tại O. So sánh BO và BN?
Hình vẽ của bài
	Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM = 2 MB. Trên AC lấy N sao cho AN NC. MN kéo dài cắt BC tại O. So sánh BO và BC?.
	Hình vẽ của bài
	1.3. Những bài toán vận dụng cách giải của mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”.
 Tìm hiểu nhiều tài liệu cho thấy có rất nhiều bài toán hình vận dụng được cách giải của mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”. Thường đó là những bài toán về: tìm diện tích của một hình, so sánh diện tích của 2 hình. Điểm chung trong hình vẽ của các bài toán này là có 2 đường thẳng cắt nhau, trên mỗi đường thẳng đó có ít nhất 3 điểm.
 Có những bài toán nếu so sánh cách làm của sách tham khảo với cách làm vận dụng cách giải của mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” thì thấy ngay ưu điểm ngắn gọn và dễ hiểu của cách giải thứ hai.
	Ví dụ bài toán: Cho hình thang ABCD có đáy CD bằng 2 lần đáy AB.
 a) Tìm chiều cao của hình thang, biết diện tích của hình thang bằng 241,5 m2, AB = 11,5 m.
 b) Kéo dài AB về phía B một đoạn BN, nối N với C sao cho diện tích tam giác BNC bằng diện tích hình thang ABCD. So sánh BN với AB?
 c) Trên AC lấy điểm O sao cho AO = OC, nối NO cắt BC tại M. So sánh diện tích tam giác ABO với diện tích tam giác MOC.
Bài giải
a)
Độ dài đáy CD của hình thang ABCD là:
11,5 2 = 23 (m)
Chiều cao của hình thang ABCD là:
241,5 2 : ( 11,5 + 23) = 14 (m)
b) 
	Kéo dài AB về phía B một đoạn BN nên BN song song với DC và đường cao của tam BNC bằng chiều cao của hình thang ABCD và bằng 14 m.
	Độ dài đáy BN của tam giác BNC là:
	241,5 2 : 14 = 34,5 (m)
	 Vì 
	Vậy BN gấp 3 lần AC
c)
Cách giải ý c của sách tham khảo như sau:
 SACB SBNC (1) vì AB BN và chung chiều cao hạ từ C xuống AN.
 SAMB SBMN vì AB BN và chung chiều cao hạ từ M xuống AN.
 Do đó: SACB  - SAMB SBNC - SBMN
 SACB  - SAMB (SBNC - SBMN)
 SAMC SMNC (2)
	Ta có:
	SAMO SMOC vì AO = OC và chung chiều cao hạ từ M xuống AC. Hai tam giác này có chung đáy OM nên hai chiều cao tương ứng bằng nhau là: AE = CG.
	Do đó SMOC SAMC (3)
	Hai tam giác AMN và MNC có chung đáy MN và hai chiều cao tương ứng bằng nhau là AE = CG. Do đó SAMN SMNC (4)
	Từ (2) và (4) ta có SAMN = SMNC SAMC 3
	Coi diện tích của tam giác AMC là 1 phần thì diện tích tam giác MNC là 3 phần và diện tích của AMN là 3 phần.
	Ta có: SAMC + SMNC + SAMN = SACN. Do đó diện tích tam giác ACN được biểu thị là: 1 + 3 + 3 = 7 (phần).
	Suy ra: SAMC SACN.
 Trên hình vẽ ta có: SACN = SABC + SBNC (6)
 Theo câu b thì SBNC 241,5 m2
 Từ (1) ta có: SABC SBNC = 241,5 : 3 = 80,5 (m2) (7)
 Từ (6) và (7) ta có:
 SACN = SABC + SBNC
 = 80,5 + 241,5 = 322 (m2)
 Từ (5) ta có: SAMC 322 : 7 = 46 (m2)
 Từ (3) ta có: SMOC SAMC = 46 : 2 = 23 (m2)
 Hai tam giác ABO và ABC có AO AC và chung chiều cao hạ từ B xuống AC.
 Do đó: SABO SABC.
 Từ (7) ta có SABC = 80,5 m2. Do đó:
 SABO = 80,5 : 2 = 40,25 (m2)
	Vậy = ; hoặc SABO = SMOC 1,75
Cách giải ý c vận dụng mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” 
Sơ đồ hướng dẫn giải
 => => => trung gian SAON
Bài giải
 SBON SAON (Vì đáy BN = AN; chung chiều cao hạ từ O)
 SAON SCON (Vì đáy AO = CO; chung chiều cao hạ từ N)
 => SBON = SCON
 Tam giác BON và tam giác CON có chung đáy ON nên chiều cao hạ từ B bằng chiều cao hạ từ C.
 => SBMO SCMO (Vì chung đáy MO; chiều cao nói trên).
Tam giác BMO và tam giác CMO có chung chiều cao hạ từ O nên đáy BM CM.
 =>
 SCBO SMOC (Vì chung chiều cao hạ từ O; đáy nêu trên).
 SCBO SABO (Vì chung chiều cao hạ từ B; đáy CO= AO).
 => SABO SMOC.
	2.3.2 Giải pháp 2. Hướng dẫn học sinh đưa ra cách giải cho từng dạng bài
2.1. Dạng toán 1: Dạng bài tìm tỉ số hai đoạn thẳng trong tam giác.
 A.Giải bài toán cụ thể: 
Bài toán: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM AB. Trên AC lấy N sao cho AN = 2 NC. BN cắt CM tại O. Tìm tỉ số .
Hướng dẫn giải
GV hướng dẫn học sinh vẽ hình và nhắc nhở học sinh vẽ đúng tỉ lệ đoạn thẳng đã cho.
Để tìm tỉ số ta cần đi tìm tỉ số của (Lấy điểm cắt O của hai đoạn thẳng BN và CM vào làm điểm chung cho hai đoạn thẳng cần tìm tỉ lệ).
Để tìm tỉ số của hai đoạn thẳng BO và NO ta phải làm gì? (Đưa hai đoạn thẳng vào hai tam giác và đi tìm tỉ số diện tích của hai tam giác đó).
Nêu cách tìm điểm ghép cùng hai đoạn BO và NO để tạo thành tam giác. (Chọn cùng một điểm để tạo đường cao chung cho hai tam giác và điểm cần chọn nằm trên đường thẳng CM là đường thẳng cắt BN tại O)
 => Có hai điểm có thể chọn là C hoặc M. Giả sử chọn C.
Hai tam giác BOC và NOC ngoài chung chiều cao hạ từ C còn chung đáy nào? (Chung đáy OC).
 => Từ tìm tỉ số diện tích hai tam giác BOC và diện tích tam giác NOC ta chuyển sang tìm tỉ số hai chiều cao hạ từ B và N xuống đáy chung OC.
Đáy chung OC nằm trên đường CM nên để tìm tỉ số hai chiều cao trên ta đổi đáy OC thành đáy CM để chuyển thành tìm tỉ số diện tích tam giác BCM và diện tích tam giác NCM.
Có so sánh trực tiếp tỉ số diện tích tam giác BCM và diện tích tam giác NCM được không? (Không vì 2 tam giác không có đáy tỉ lệ - đáy chia phần cùng nằm trên một đường thẳng).
 => Tìm tam giác trung gian để so sánh diện tích 2 tam giác trên. Tam giác trung gian cần chọn cũng có đáy chung CM =>là tam giác ACM, một tam giác có đáy AM tỉ lệ với đáy BM của tam giác BCM, có đáy AC tỉ lệ với đáy NC của tam giác NCM.
- Giáo viên vừa hướng dẫn học sinh vừa ghi lại tóm tắt quy trình hướng dẫn đó thành sơ đồ.
=> = trung gian SACM
- Rà soát lại tên của từng hình trong sơ đồ trên ta có đường nối M với N. 
- GV hướng dẫn học sinh khắc sâu sơ đồ trên bằng cách nói lại lần lượt từng bước của sơ đồ và vai trò của đường CM (đường cho điểm ghép trong hai lần thay đổi tên hình trong sơ đồ).
- Khi học sinh đã hiểu sơ đồ trên thì việc tiếp theo gv lần lượt hướng dẫn học sinh giải bài toán ngược lại (từ phải sang trái) theo quy trình của sơ đồ.
Bài giải
Nối M với N
 SBCM SACM (Chung chiều cao hạ từ C, đáy BM =AM).
 SACM 3 SNCM (Chung chiều cao hạ từ M, đáy AC = 3 NC).
=> SBCM 3 SNCM = SNCM
Tam giác BCM và tam giác NCM có chung đáy CM nên chiều cao hạ từ B đến cạnh đáy MC bằng chiều cao hạ từ N đến cạnh đáy MC.
=> SBOC = SNOC (Chung đáy OC, chiều cao nói trên).
	Xét tam giác BOC và tam giác NOC có đường chung cao hạ từ C đến cạnh đáy BO và ON nên cạnh đáy BO ON
Suy ra = =
 Đáp số: 
	 B. Khái quát sơ đồ hướng dẫn giải và cách giải của dạng toán tìm tỉ số hai đoạn thẳng trong tam giác
a) Sơ đồ hướng dẫn giải
- Bước 1: Viết tỉ số 2 đoạn thẳng đã cho thành tỉ số của 2 đoạn thẳng sao cho điểm cắt của 2 đường thẳng là điểm thứ hai trong mỗi đoạn. 
- Bước 2: Lấy 1 trong 2 điểm còn lại trên đường thẳng không tìm tỉ số ghép với mỗi đoạn ở bước 1 để tạo thành hai tam giác và đi tìm tỉ số diện tích của 2 tam giác đó.
- Bước 3: Bỏ đáy chung của hai tam giác ở bước 2, giữ lại 2 chiều cao và chuyển đổi đáy bằng cách lấy hai điểm trên đường thẳng không tìm tỉ số ( lưu ý không lấy điểm cắt) làm đáy chung. Tìm tỉ số diện tích của hai tam giác vừa lập được.
- Bước 4: Tìm tam giác trung gian dựa theo các cách sau (Tùy thuộc vào từng bài cụ thể).
 + Cách 1: Tam giác trung gian có đáy chính là đáy chung của hai tam giác lập được ở bước 3.
+ Cách 2: Tam giác trung gian là tam giác lớn nhất trong hình vẽ.
+ Cách 3: Tam giác trung gian tìm được dựa trên tỉ lệ đoạn thẳng đã biết.
	Hai đường thẳng được nhắc tới ở bước 1 bao gồm:
	+ Đường thẳng thứ nhất chứa hai đoạn thẳng đang tìm tỉ số.
	+ Đường thẳng thứ hai (Đường thẳng không tìm tỉ số) là đường thẳng cắt đường thẳng thứ nhất. Đường thẳng này thường là đường thẳng chưa được chia phần bằng nhau.
b) Cách giải: Tiến hành giải ngược lại theo sơ đồ.
2.2. Dạng toán 2: Tìm tỉ số 2 đoạn thẳng trong hình thang
A.Giải bài toán cụ thể
Bài toán: Cho hình thang ABCD có đáy AB CD. DA và CB kéo dài cắt nhau tại O. Tìm tỉ số của OA và OD?
GV tiến hành hướng dẫn học sinh như dạng toán thứ nhất để đi đến sơ đồ hướng dẫn giải sau
Bài giải
- Nối A với C, B với D
- SABC = SDBC (Vì đáy AB CD, chiều cao hạ từ C xuống đáy AB bằng chiều cao hạ từ B xuống đáy CD và cùng chiều cao của hình thang ABCD).
- Hai tam giác ABC và DBC có chung đáy BC nên chiều cao hạ từ A xuống đáy BC bằng chiều cao hạ từ D xuống đáy BC.
 => SAOB SDOB (Vì chung đáy OB, chiều cao nói trên).
- Tam giác AOB và tam giác DOB có chung chiều cao hạ từ B xuống đáy OD nên đáy OA OD.
 Đáp số: OA = OD
B. Khái quát sơ đồ hướng dẫn giải và giải
- Sơ đồ hướng dẫn giải của dạng toán này giống sơ đồ hướng dẫn giải của dạng thứ nhất song bỏ bước 4: “Tìm tam giác trung gian” vì hai tam giác ở bước 3 có thể so sánh tỉ số diện tích trực tiếp với nhau
- Cách giải cũng tiến hành ngược lại theo sơ đồ.
2.3.3. Giải pháp 3. Phát triển dạng toán thuộc mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”.
 Từ bài toán cụ thể trên, giáo viên sẽ mở rộng ra các hướng khác nhau làm mẫu toán thêm phong phú và giúp cho học sinh phát triển tư duy, không bị rập khuôn mẫu.
A. Phát triển dạng toán: tìm tỉ số hai đoạn thẳng trong tam giác
Hướng phát triển thứ nhất: chuyển vị trí điểm cắt song quy trình làm giống mẫu.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = CM. Trên AM lấy N sao cho AN AM. BN cắt AC kéo dài tại I. Chứng tỏ rằng I là trung điểm của AC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy M sao cho AN NC. Trên AB lấy M sao cho = 3. NM kéo dài cắt BC tại K. Tìm tỉ số BK và BC.
Hướng phát triển thứ hai: Bài toán có quy trình làm khác mẫu ở cách tìm tam giác trung gian. 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM AB. Trên AC lấy N sao cho AN AC. Trên BC lấy P bất kì. AP cắt MN tại Q. Tìm tỉ số của AQ và AP?
Sơ đồ hướng dẫn giải:
=> trung gian SABC
Lí do thay đổi tam giác trung gian vì tam giác PMN không có cạnh tỉ lệ, muốn tính diện tích tam giác này phải lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích các tam giác AMN, MBP, NCP, mà các tam giác đó đều so được với tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên AB và AC lần lượt lấy các trung điểm M và N. BN cắt CM tại I. AI kéo dài cắt BC tại K. Tìm tỉ số BK và CK.
Sơ đồ hướng dẫn giải
 trung gian SBIC
	Tam giác trung gian trong trường hợp này khó xác định hơn trường hợp ở ví dụ 1 vì học sinh phải sử dụng tỉ lệ 2 đoạn thẳng đã cho (AM = BM; AN = CN) mới xác định được.
B. Phát triển dạng toán: tìm tỉ số đoạn thẳng trong hình thang
Hướng thứ nhất: Tìm tỉ số đáy của hình thang
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Tìm tỉ số MN và BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Lấy M là trung điểm của AB. Từ B kẻ đường thẳng song song với MC cắt AC kéo dài tại D. Biết AC = CD. So sánh MC và BD.
Hướng thứ hai: Phát triển sang các dạng hình cũng có cặp cạnh song song như hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, 
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên Ab lấy M sao cho AM AB. Trên CD lấy N sao cho CN CD. AC cắt MN tại I. Tìm tỉ số của AI và AC.
C. Những bài toán vận dụng cách giải của mảng “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng”.
 Những bài toán này giáo viên thường chỉ dạy cho những em thực sự có năng khiếu về môn toán, giúp các em phát huy óc sáng tạo, tìm tòi thêm kiến thức để vận dụng và thực hành. Dưới đây là một số bài toán tham khảo:
 Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy M sao cho BM = 2 MC. Trên AM lấy N sao cho AN = NM. BN kéo dài cắt AC tại D.Biết diện tích ANC bằng 60 cm2. Tính diện tích tam giác AND.
 Bài toán 2: Cho hình thang ABCD có đáy bé AB bằng đáy lớn CD. Kéo dài DA về phía A và CB về phía B, chúng cắt nhau tại O. Biết diện tích tam giác OAB bằng 5 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.
 Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên AB lấy M sao cho AM AB. Trên CD lấy N sao cho CN CD. NM kéo dài cắt AD tại E. So sánh diện tích tam giác EMB và diện tích tam giác ADM.
 Bài toán 4: Hình vuông ABCD có độ dài cạch là 18 cm. M là trung điểm của BC. Hai đoạn DM và AC cắt nhau tại E. Tính diện tích tam giác MCE.
2. 3. 4 Giải pháp 4. Tổ chức các hình thức học tập để khắc sâu kiến thức và tạo hứng thú học tập cho học sinh.
 Học sinh chỉ thích và ham học toán khi các em hiểu được bài. Trong khi đó, những bài toán thuộc mảng: “Tìm tỉ số hai đoạn thẳng” là những bài toán khó trong các bài toán nâng cao về hình học. Vì vậy, để khắc sâu bản chất của từng dạng toán, giáo viên cần có những hình thức học tập phù hợp giúp các em từ tiếp cận đến hi