SKKN Dạy học phát triển tư duy cho học Sinh lớp 6 qua Chuyên đề phân số

Mục lục
Trang
1. Mở đầu
1
 1.1. Lý do chọn đề tài 
1
 1.2. Mục đích 
1
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2 . Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.1. Cớ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2 
 2.2. Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiên kinh nghiệm 
3
 2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 
4
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
3. Kết luận và kiến nghị
18
 3.1. Kết luận
18
 3.2. Kiến nghị
19
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 	Nhiệm vụ đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước là một nhiệm vụ trong tâm và xuyên suốt của tất cả các cấp học trong hệ thống giáo dục nói chung và của Việt Nam nói riêng. 
	Công tác dạy học không chỉ trang bị cho các em học sinh những kiến thức khoa học của nhân loại mà còn phải giúp từng cá nhân học sinh phát huy tối đa năng lực của các em từ đó mồi em đều được phát triển cả về kiến thức, năng lực cũng như nhân cách con người.
 Để thực hiện mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo trong giai đoạn hiện nay. Nhiệm vụ của người giáo viên là phải nâng cao chất lượng dạy và học. Việc nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu quả cao là một việc làm hết sức quan trọng giúp học sinh tiếp thu các kiến thức một cách chủ động, hỗ trợ các em tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức từ sách giáo khoa, sách tham khảo và từ thực tiễn một cách chính xác, khoa học, đồng thời không ngừng phát triển tư duy kỹ năng của học sinh một cách linh hoạt. 
Đặc biệt hơn với bộ môn toán, không chỉ giúp các em có được những kiến thức cơ bản của bộ môn toán, có được kỹ năng giải toán, khả năng vận dụng bài toán vào cuộc sống mà còn phải giúp các em phát triển được các năng lực tư duy, từ đó các em có thể linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trong học toán, linh hoạt sáng tạo hơn trong việc giải quyết các tình huống đặt ra trong đời sống và sản xuất.
Chính vì vậy tôi nhận thấy rằng đối với bộ môn toán, ngoài việc học sinh học lý thuyết, làm bài tậpthì việc khai thác kiến thức từ một bài toán này sang thành những bài toán khác là rất quan trọng và cần thiết để phát triển tư duy. Đặc biệt trong chương trình dạy- học toán lớp 6 (đầu cấp). Việc mở rộng từ một bài toán này thành bài toán khác cũng là kỹ năng chuyên sâu trong môn toán. Chính vì lẽ đó là giáo viên đã từng nhiều năm giảng dạy tôi đúc kết kinh nghiệm để đưa ra một số phương pháp dạy học với mục đích giúp cho học sinh có hứng thú học môn toán tốt hơn. 
Hơn nữa trong những năm gần đây ở cấp tiểu học các em không còn các kỳ thi học sinh giỏi, chính điều đó mà cơ hội để các em phát triển tư duy sáng tạo cũng bị hạn chế. Khả năng tư duy trừu tượng, khái quát hóa, cụ thể hóa cũng bị hạn chế nhiều.
Vì vậy tôi chọn đề tài “DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 6 QUA CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Thông qua việc Thông qua dạy học chuyên đề phân số, nhằm kích thích tư duy sáng tạo, giúp các em biết nghiên cứu sâu bằng cách cho các em tập dượt dùng một số thao tác tư duy, khái quát hóa, tương tự hoá, để tự mình đặt, thay đổi bài toán từ bài toán ban đầu.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 
Đối tượng: Toàn bộ học sinh khá, giỏi lớp 6
Phạm vi: Học sinh lớp 6 trường THCS Cẩm Thành
	Các năm 2016-2017 và 2017-2018
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	- Nghiên cứu tài liệu
	- Thực nghiệm
	- Thống kê, phân tích kết quả
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 	Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất những mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng khách quan mà trước đó ta chưa biết 
 	Tư duy có các đặc điểm:
	Tính có vấn đề
	Tính khái quát
	Tính gián tiếp
	Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
	Tư duy có quan hệ với nhận thức cảm tính
	Tư duy là một hành động. Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn: Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau liên tục: từ khi gặp tình huống có vấn đề và nhận thức được vấn đề cho đến khi vấn đề được giải quyết. Sau khi giải quyết lại có thể làm nảy sinh vấn đề mới, khởi đầu cho một quá trình tư duy mới có thể phức tạp hơn.
	Các thao tác của tư duy bao gồm: Phân tích, tổng hợp; So sánh; Khái quát hóa, trừu tượng hóa.
	Theo Carol Dweck, nhà tâm lí học tại đại học Stanford tư duy được chi làm 2 loại là “Tư duy cố định” và “Tư duy phát triển” . Tư duy nếu không được nuôi dưỡng, phát triển hợp lí thì nó sẽ là tư duy cố định, bất biến, con người này khó có được những thành công. Còn tư duy được nuôi dưỡng, hợp lí và phát triển thì tư duy phát triển tích cực sinh sôi mạnh mẽ trong thách thức và nhìn nhận thất bại “không phải bằng chứng cho sự không hiểu biết mà là bước đệm cổ vũ cho sự phát triển lâu dài các năng lực.”
	Nếu bạn chỉ có trí thông minh nhất định, năng lực nhất định và phẩm chất đạo đức nhất định, vậy thì tốt hơn hết nên chứng minh rằng những yếu tố đó đang rất ổn. Không nên nhìn nhận hay cảm thấy thiếu thốn những nhân tố cơ bản này.” Dweck nói: “Tư duy cố định có thể tác động tiêu cực đến mọi mặt của cuộc sống.” “Tôi từng thấy rất nhiều người bị tư duy cố định (fixed mindset) chi phối khả năng đặt mục tiêu trong quá trình học tập, trong sự nghiệp và các mối quan hệ. Những trường hợp đó đều đòi hỏi một sự thừa nhận trí thông minh, phẩm chất hay cá tính của họ. Mọi trường hợp đều bị đánh giá: Tôi sẽ thành công hay thất bại? Trông tôi sẽ thật thông minh hay ngu ngốc? Liệu tôi có được chấp nhận hay bị từ chối? Tôi sẽ cảm thấy mình như người thắng hay kẻ thua?” Tuy nhiên, khi bạn bắt đầu nhìn mọi thứ một cách khả biến, tình huống sẽ sáng tỏ hơn. “Tư duy phát triển tích cực dựa trên niềm tin rằng những phẩm chất cơ bản là thứ bạn có thể trau dồi thông qua nỗ lực. Mặc dù mọi người có thể khác nhau trong cách thể hiện tài năng ban đầu và năng khiếu, sở thích hoặc khí chất, họ có thể thay đổi và trưởng thành thông qua ứng dụng và trải nghiệm.”
	Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng nhân tài chính là việc người thầy phải biết sử dụng phương pháp dạy học tích cực để giúp người học phát triển tư duy một cách tốt nhất.
	Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quản như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực. Chính từ những cơ sở đó mà việc dạy học toán không chỉ đơn thuần là dạy kiến thức khoa học cho học sinh mà còn phát triển được các năng lực tư duy cho các em. 
	Hơn nữa học sinh lớp 6 là lớp đầu cấp THCS năm học mà các em còn nhiều bỡ ngỡ với nhiều thầy cô, nhiều môn học, được học nhiều kiến thức hơn so với cấp tiểu học. Năng lực tư duy của các em còn nhiều hạn chế. 
	Các em đang còn nặng thói quen vừa chơi, vừa học, học ít hơn chơi. Chưa thực sự ý thức được mục đích của việc học, ý ngĩa của việc học tập.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Qua thực tế giảng dạy trong nhiều năm tôi thấy khả năng tư duy của học sinh lớp 6 còn nhiều hạn chế, đặc biệt là khả năng khái quát hóa, cụ thể hóa Hơn nữa cách học của học sinh còn quá thụ động, lười tìm tòi sáng tạo, chưa biết vận dụng khai thác các bài toán đã học vào giải bài tập. 
Gần như chỉ biết được những bài toán mà thầy cô cho làm, mà không có tính sang tạo trong suy luận, tư duy. 
Thời điểm
Số HS Khá giỏi được khảo sát
Số HS Khái quát được bài toán
Số HS khai thác được bài toán
SL
%
SL
%
Năm 2015-2016
10
3
30
1
10
 2.3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
	Trong các tiết luyện tập, ôn tập và các tiết tăng cường tôi đã lồng các kiến thức này vào tiết dạy nhằm phát triển tư duy của học sinh và tạo sự hứng thú, không nhàm chán trong học tập đối với các em khá giỏi.
 Trong chương trình toán lớp 6 THCS có rất nhiều dạng bài tập tôi chỉ 
chọn một số dạng toán sau:
2.3.1. Dạng toán tính tổng theo quy luật
*. Phát triển khả năng khái quát hóa.
Ví dụ1: Cho dãy số: 
	Hãy viết thêm 3 số tiếp tiếp theo của dãy
	Hãy viết số hạng tổng quát của dãy
Giải: Mẫu là các số chẵn liên tiếp.
	Nên 3 số tiếp theo là
	Số hạng tổng quát là Với 
Như vậy qua bài toán học sinh vừa nắm được quy luật của dãy, từ đó biết cách viết số hạng tổng quát. Bước đầu có khả năng tư duy khái quát hóa.
Ví dụ 2: Hai phân số có tính chất là tích bằng hiệu. Tức là
	a. Em hãy tìm them các cặp phân số có tính chất như vậy
	b. Hãy viết cặp phân số tổng quát có tính chất đó.
Giải: a. Các cặp phân số có tính chất hiệu bằng tích là
	và và .
	b. Đó là các cặp số có tử là 1 và mẫu là hai số nguyên liên tiếp
	Cặp phân số tổng quát có tính chất tích bằng hiệu là
Từ đó giáo viên đặt them câu hỏi: Hãy chứng minh khẳng định đó
Giải Quy đồng mẫu, ta được: - = = 
 Vậy: 
* Phát triển tư duy qua khai thác bài toán
Từ Bài toán ở ví dụ 2 giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển thành bài toán
Bài toán 1: Tính tổng. A = . + . + . + . + . + . + . 
* Định hướng tư duy:
 Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số tự nhiên liên tiếp có dạng: n và n+1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng :
 . 
Từ đó áp dụng bài toán ở ví dục 2 ta được
A = - + - + - + - + - + - + - 
 = - = 
Các bài toán tương tự 
	Tính tổng: B = + + + + + + 
	C = = + + + + + 
Tiếp theo giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác tiếp: Nếu hai phân số có mẫu cách nhau 2; 3; 4; 5 đơn vị thì tính chất đó có đúng nữa không?
Trả lời: Lúc đó hiệu bằng 2 lần; 3 lần; 4 lần; 5 lần tích của chúng.
Như vậy ta có bài toán sau: 
Bài toán 2: Tính tổng
D = + + +  + 
E = + + +  + 
* Định hướng tư duy:
Bài toán là tính tổng các phân số có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên khác nhau và hơn kém nhau hai đơn vị. Ở tổng D, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên chẵn liền nhau. Ở tổng E, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên lẻ liền nhau. Muốn có cách giải như bài toán 1 thì trên các tử cần phải có số mấy?
HS: Phải có số 2.
GV: Vậy thì các em hãy tính 2.D rồi từ đó sẽ tính được D
* Tìm lời giải: Áp dụng cách giải bài toán 1 bằng cách xét các hiệu sau:
 - ; - ;  ; - ; - ; 
Ta có: - = ; - = ; ; - = 
 - = ; - = ;; - = 
 	* Cách giải: 
 Từ nhận xét trên , để giải ta có thể nhân D và E với 2 hoặc .
Ta có: 2D = + + +  + 
 2E = + + + + 
Vậy: 2D = - + - + - + ...+ - 
 = - = 	
 Þ D = : 2 = 
 2E = 1 - + - + - ++ - = 1 - 
 Þ E = : 2 = 
 Từ kết quả trên ta hãy xét tiếp bài tập dưới đây:
Bài toán 3: Tính nhanh các tổng sau:
a. S1 = + + +  + 
b. S2 = + + +  + 
c. S3 = + + +  + 
* Định hướng tư duy:
Bài toán vẫn là tính nhanh các tổng: Mỗi tổng là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên cách nhau một khoảng nhất định nào đó. Ở câu a: Mẫu của mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị. Ở câu b: Mẫu của mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 5 đơn vị và ở câu c: Mẫu của mỗi phân số trong tổng lại là tích của 2 số tự nhiên cách nhau 10 đơn vị.
Ở cách giải bài toán 2, ta nhận thấy: Mẫu của mỗi phân số trong tổng hơn kém nhau 2 đơn vị, ta đã nhân tổng đã cho với 2 ( 2 là khoảng cách 2 thừa số ở mỗi mẫu) và như vậy đã viết được mỗi phân số thành hiệu của 2 phân số. Ta hãy xét tương tự đối với các phân số ở S1 , S2 , S3 .
Nhận xét thấy:
 = - ; = - ; 
 = 1 - ; = - ; 
 = 1 - ; = ; 
 	* Cách giải: 
 a. 3S1 = + + +  + 
 = - + - + - + + - 
 = - = = 
 Þ S1 = : 3 = ( có thể tính S1 ) 
 b. 5S2 = + + +  + 
 = 1 - + - + - + + - 
 = 1 - = Þ S2 = : 5 = (có thể tính S2 )
c. 10S3 = + + +  + 
 = 1 - + - + - + + - 
 = 1 - = Þ S3 = : 10 = 
 ( có thể tính S3 )
 Từ bài toán ban đầu, ta đã có bài toán 2, bài toán 3 và đã tính rất nhanh chóng các tổng tương đối phức tạp nhưng không mấy khó khăn. Bây giờ ta hãy xét tiếp bài toán sau:
Bài toán 4: Tính các tổng sau:
a. S4 = + + +  + 
b. S5 = + + +  + 
* Định hướng tư duy:
Bài toán đã cho có điểm giống với các bài toán đã giải là: Mẫu của các phân số trong mỗi tổng vẫn là tích của các số tự nhiên liền nhau và đều có tử là 1. Tuy nhiên, mẫu của mỗi phân số lúc này lại không phải là 2 thừa số nữa mà lại là 3 hay 4 thừa số.
+ Ở tổng S4: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 3 số tự nhiên liền nhau (theo thứ tự tăng dần).
+ Ở tổng S5: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 4 số tự nhiên liều nhau (theo thứ tự tăng dần).
 	Ở bài toán 2 và 3, mẫu của mỗi phân số trong các tổng đều là tích của 2 thừa số, ta đã đưa chúng về dạng hiệu 2 phân số. Hãy xét hiệu:
 - ; - ; 
 - ; - ; 
Ta có: - = ; - = ; 
 - = ; - = ; 
* Cách giải:
a. 2S4 = + + +  + 
 = - + - + - + + - 
 = - = 
Þ S4 = 
b.3S5 = + + + + 
 = - + - + - + + - 
 = - = 
Þ S5 = 
 Tóm lại: Việc tính 2 tổng trên cũng có quy luật như các tổng đã xét. Nếu thay đổi một chút như bài toán 2 chẳng hạn: + ;  Vậy cách tính có gì khác không? Hãy xét tiếp bài tập tiếp theo.
Bài toán 5: Tính tổng:
S6 = + + + + 
S7 = + + + + 
* Định hướng tư duy: 
 Bài toán là tính tổng gần giống như tổng S4 . Dãy cộng các phân số có tử
 là 1 và mẫu của mỗi phân số là tích của 3 số 
 tự nhiên lẻ liền nhau, chaün lieàn nhau .Phaûi chăng quy luật cũng giống
 như bài toán đã giải ở trên?
 ( S6 ) Ta xét các hiệu nhö treân: - ; - ; 
Ta có: - = ; - = ; - = ; 
* Cách giải: 
 4S6 = + + + + 
 = - + - + - + + 
 - = - = 
 => S6 = ( S7 giải tương tự )
Bài toán 6: Tính tổng:
 S8 = 
 S9 = 
 S10 = 
 * Định hướng tư duy: Bài toán có dãy cộng các phân số có tử lớn hơn 1 và mẫu của mỗi phân số cũng tương tự như các bài tập trên. 
 + Ở tổng S8: Mỗi phân số trong tổng có tử là 4 và mẫu tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 6 đơn vị
 + Ở tổng S9: Mỗi phân số trong tổng có tử là 8 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 4 đơn vị.
 + Ở tổng S10: Mỗi phân số trong tổng có tử là 52 và mẫu là tích của 3 số tự nhiên liền nhau (theo thứ tự tăng dần).
	Đưa bài toán trên về dạng bài toán có tử bằng 1 bằng
 cách áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và
 mẫu vẫn giữ nguyên khi đó bài toán giống như các bài toán đã giải ở trên.
 S8 = 
 = 4()
 => 6S8 = 4(1- + - + - ++- )
 = 4(1 - ) = 
 => S8 = : 6 = ( S9, S10 giải tương tự)
Nhận xét: Như vậy cách giải bài toán 5, 6 cũng không có gì khác so với cách giải các bài toán trước đó . Từ cách giải và nhận xét trên, các em cũng có thể tự đặt ra các bài toán tương tự và giải không mấy khó khăn.
* Khai thác thêm: ( Người ta có thể hỏi ta bằng cách khác) chẳng hạn:
Chứng minh: A = + + ++ < 
 B = + + ++ < 3
 Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trên chính là một trường hợp cụ thể của bài toán 5. Như vậy từ cách giải bài toán 5 ta có thể tính được nhanh chóng giá trị của biểu thức A . Đối với tổng B, tử của mỗi phân số đều bằng 36, mà 36 = 9.4, vậy là cách tính tổng B đã cho cũng không khác gì cách tính tổng S6 . Từ nhận xét trên, ta có:
A = ( - + - + - + + - ) 
 = ( - ) = . = 
 Do < = suy ra A < 
B = 9( + + + + )
 = 9( - + - + - + + - )
 = 9( - ) = 9 . = 
Do < = 3. Từ đó suy ra B < 3
Qua nội dung bài toán trên, kết hợp với các bài toán đã giải, các em lại có thể đặt ra các bài toán tương tự để giải.
 Trở lại bài tập1: Bây giờ ta lại xét bài toán theo nội dung khác, chẳng hạn:
Bài toán 7: Tính nhanh tổng sau:
P = + + + +  + 
* Định hướng tư duy:
Khác với các bài toán ở trên, bài toán 7 là tính nhanh tổng các phân số có tử bằng 1, còn mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số mũ khác nhau (Từ 1 đến n). Vậy làm thế nào để tính nhanh được và có thể áp dụng được (1) không?
Liệu mỗi số hạng có thể tách thành hiệu của hai phân số nào?
Để ý, ta có: = 1 – = 1 – 
 = = - = - 
 = = - = - 
 = = - = - ; ; = - 
* Cách giải: 
 P = + + + +  + 
 = (1- ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) +  + ( - )
 = 1 - + - + - + - + + - 
Vậy P = 1 - 
 Như vậy, để giải bài toán trên ta cũng đã tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số và thu được một dãy cộng, trừ các phân số đối nhau giống như quy luật của các bài toán ở trên và nhanh chóng tính được giá trị của P.
Nếu để ý thì ta lại có cách giải khác như sau:
Ta có: + = + = = 1 - = 1 - 
 + + = + = = 1 - = 1 - 
 + + + = + = = 1 - = 1 - 
 + + + +  + + = 1 - 
Đây chính là cách giải suy luận phổ biến được áp dụng cho nhiều dạng bài tập 
GV định hướng để có được bài toán tổng quát: Em hãy phát triểm thành bài toán tổng quát? Và kết quả của bài toán tổng quát bằng bao nhiêu
Tính nhanh tổng sau:
P = + + + +  + 
Kết quả: Tính nhanh tổng sau:
P = 1- 
Mặt khác, GV hướng dẫn để học sinh tìm cách giải khác khá độc đáo khác cũng được áp dụng từ cách giải của một dạng bài tập khá phổ biến – So sánh, chẳng hạn: Tổng A = 2 +22 + 23 +  + 210 có chia hết cho 3 không? Để giải bài toán này, ngoài cách áp dụng tính chất kết hợp của phép cộng và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có thể xét hiệu sau 2A – A (bằng A). Khi đó, dễ dàng tìm được giá trị của A.
Hãy thử áp dụng cách này với P.
Ta có: 2P = + + + + + + 
 = 1 + + + + +  + + 
=> 2P-P = 1+ + + + + + - (++ + + + +)
P = 1 - 
Nhận xét: Cách giải trên cũng giúp ta tính được tổng P không mấy khó khăn, vì 2P – P = P. Với cách giải này ta lại có vô số bài tập tương tự, chẳng hạn:
Các bài toán tương tự
Bài toán 8: Tính tổng Q = + + + +  + 
 R = + + + +  + 
Áp dụng cách làm trên ta có:
3Q = + + + +  + 
 = 1 + + + + +  + 
3Q - Q = 1+ + + + + + -( + + + + + )
 2Q = 1 - 
 	 Q = (1 - ): 2 (Caùch tính R töông töï )
2.3.2. Dạng toán tính tìm x biết.
	Sauk hi dẫn dắt cho các em nghiên cứu các bài toán dạng tịnh toán giáo viên định hướng cho các em chuyển sang bài toán tìm x.
Với cách sử lí như các bài toán trên ta dễ dàng giải quyết được các bài toán tìm x như sau:
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên x, biết:
 + + + + + = (*)
* Định hướng tư duy:
Bài toán là yêu cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của đẳng thức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên khác nhau, phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp giống như ở tổng C của bài toán 1; vế phải của đẳng thức là một phân số có tử nhỏ hơn mẫu một đơn vị.
 Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;như vậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính là tổng C ở bài toán 1. Từ đó suy ra cách giải.
	* Cách giải:
Ta có: + + + ++ 
 = + + + + 
= 1 - + - + - +  + - = 1 - 
Vậy (*) 1 - = = 1 - = 
=> x +1= 2005 hay x = 2004
Hoặc biến tướng bài toán trên đi ta có bài toán 2
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên x, biết:
 + + + +  + = (**)
* Định hướng tư duy :
Bài này có giống như bài toán 1 không ?
TL Không .
Vậy ta có thể dùng TC cơ bản của phân số để đưa về bài toán 1 được không.
TL : Nhân cả tử và mẫu với 2
* Cách giải: 
Ta có: + + + + + 
 = + + + +  + 
 = + + + +  + 
 = 2.( + + + +  + )
 = 2.( - + - + - + - + + - )
 = 2.( - ). Vậy (**) 2( - ) = 
=> - = : 2 = 	=> = - = 
=> x+1 = 4010 hay x = 4010 – 1 = 4009 
2.3.4. Dạng toán tính So sánh phân số 
Từ các bài toán 7 và 8 GV cho học sinh nhận xét kết quả để có được các bài toán sau :
Bài toán 3.1 : So sánh
a. P = + + + +  + với 1
b. Q = + + + +  + với 1
 c. R = + + + +  + với 1
Như vậy cách giải bài này chính là việc ta thực hiện giải như bài toán 7 và 8 rồi rút ra kết luận P < 1 ; Q < 1 ; R< 1
	Giáo viên cần định hướng để học sinh có thể phát triển khả năng khái quát hóa từ những bài cụ thể đến bài tổng quát. Như:
Ví dụ 1: So sánh 
a. và 
b. và