SKKN Dạy học Đại số và giải tích 11 - NC theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh THPT

 MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý và là công cụ trong hầu hết hoạt động của con người. Tuy nhiên, toán học có tính trừu tượng cao độ, đặc điểm này đã làm cho nó có tính độc lập tương đối so với thực tiễn. Tính trừu tượng của toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc thực tiễn và càng làm tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời sống con người. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu nhiều nghành khoa học - công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội. Toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong lao động sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của nhiều nghành khoa học. 
 Trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn liền với phát triển nền kinh tế trí thức và xu hướng toàn cầu hóa đòi hỏi phải có con người lao động toàn diện, có tư duy sáng tạo, kĩ năng thực hành giỏi và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong những điều kiện thực tế nhằm mang lại hiệu quả lao động cao. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là nhiệm vụ cấp bách hiện nay, góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho HS tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh trí thức, khả năng vận dụng, thực hành, đáp ứng được với yêu cầu thực tế cuộc sống. “Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí”. Chủ tịch Hồ Chí Minh khẳng định “Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác – Lê Nin Thực tiễn mà không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông”. Điều này còn được cụ thể hoá và quy định trong Luật giáo dục nước ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Do đó dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay phải gắn liền với thực tiễn đời sống. 
 Tuy nhiên thực tế dạy học môn Toán ở bậc Trung học hiện nay, vì nhiều lý do khác nhau giáo viên Toán thường quan tâm nhiều hơn đến dạy học các tri thức, kĩ năng thuộc về lý thuyết, mà có phần xem nhẹ thực hành vận dụng, hoặc học sinh không được tiếp cận tri thức toán học từ những vấn đề có nguồn gốc thực tiễn, ít được vận dụng tri thức toán vào những vấn đề thực tiễn. Điều này dẫn đến hậu quả là học sinh nắm các tri thức toán lỏng lẻo, không thấy hết ý nghĩa thực tiễn của môn Toán, thấy môn Toán khô khan, nặng nề lí thuyết...
 Chính vì những lý do nêu trên, đề tài “Dạy học Đại số và giải tích 11-NC theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh THPT’’ được lựa chọn để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Xây dựng một số định hướng, biện pháp dạy học Đại số và giải tích 11-NC theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Nghiên cứu về tính thực tiễn và ứng dụng của toán học.
 - Thực trạng vấn đề vấn đề vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học Toán hiện nay.
 - Đề xuất một số định hướng, biện pháp nhằm rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11-NC.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 - Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn Toán.
 - Nghiên cứu chương trình, sách GV, sách giáo khoa môn Toán, các tài liệu đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.
 - Nghiên cứu các đề tài có nội dung phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SƠ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.1.1 Đặc điểm của Toán học.
2.1.1.1 Tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.
 Trong toán học, cái trừu tượng tách khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ giữ lại quan hệ về số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. Như vậy Toán học có tính trừu tượng cao độ. Sự trừu tượng của toán học diễn ra trên các bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả sự trừu tượng hóa đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn khái niệm nhóm, vành, trường, không gian véc tơ.
 Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và đời sống: khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, y học, sinh học, thiên văn học, tâm lí học 
2.1.1.2. Tính logic và tính thực nghiệm của toán học.
 Khi xây dựng toán học, người ta dùng suy diễn logic, cụ thể là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thủy và các tiên đề rồi dùng các quy tắc logic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh đề khác. 
 Khi trình bày môn Toán trong nhà trường phổ thông, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của tầng bậc học, cấp học, nói chung là vì lí do sư phạm, người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính logic: mô tả (không định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thủy, thừa nhận (không chứng minh) một số mệnh đề không phải là tiên đề  Tuy nhiên, nhìn chung là giáo trình toán phổ thông vẫn mang tính logic, hệ thống: tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ.
2.1.2. Nguyên lí giáo dục thực hiện trong môn Toán.
2.1.2.1. Làm rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn.
 Thông qua cái vỏ trừu tượng của Toán học, phải làm cho học sinh thấy rõ mối quan hệ của Toán học và thực tiễn, cụ thể:
- Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ lưu vực các con song.
- Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học: khái niệm véc tơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực, khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn v.v
- Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học : ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không thể tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tíchMuốn vậy, cần tăng cường cho HS tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn có trong khi học lí thuyết cũng như làm bài tập.
 2.1.2.2. Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng.
 Cần dạy theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy, cần tổ chức cho học sinh học Toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, được thực hiện độc lập hay trong giao lưu.
 Dạy Toán trong hoạt động và bằng hoạt động của học sinh góp phần thực hiện nguyên lí “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. 
2.1.2.3. Tăng cường vận dụng và thực hành Toán học.
 Trong nội bộ môn Toán, cần cho HS làm toán có nội dung thực tiễn như giải những bài toán bằng cách lập phương trình, giải toán cực trị, đo những khoảng cách không tới được bằng các dung những hàm số lượng giác,
 Cần cho HS vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học vào những môn học trong nhà trường. 
 Tổ chức những hoạt động thực hành Toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như ở nhà máy, đồng ruộng 
2.1.3. Thực tiễn và mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn.
2.1.3.1.Thực tiễn.
 Thực tiễn không phải bao gồm tất cả hoạt động của con người mà chỉ là những hoạt động vật chất, hoạt động đặc trưng , có mục đích , có ý thức, năng động, sáng tao. Hoạt động này có sự thay đổi trong các giai đoạn lịch sử khác nhau và được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong xã hội. Con người sử dụng các phương tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chất của mình tác động vào tự nhiên, xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thực cho phù hợp với nhu cầu của mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh của sự vật trong nhận thức.
2.1.3.2. Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn.
 Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm. Hình học phát sinh do nhu cầu đo đạc Toán học có tính trừu tượng cao độ, là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất khác nhau xuất phát từ nhu cầu thực tiễn bao gồm nhu cầu đời sống hàng ngày, nhu cầu của các ngành khoa học khác và nhu cầu nội tại toán học. Do đó thực tiễn không chỉ là nguồn gốc động lực cho sự phát triển của toán học mà còn là nơi bộc lộ sức mạnh vốn có của nó. Nói đến toán học người ta thường nghĩ đến những mệnh đề, định lí có cấu trúc chặt chẽ logic. Đó là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng có nguồn gốc từ thực tiễn. 
 Ngược lại Toán học có ứng dụng rộng rãi và ngày càng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội. Toán học thúc đẩy mạnh mẽ quá trình tự động hóa trong lao động sản xuất, mở rộng phạm vi ứng dụng và là công cụ thiết yếu cho mọi khoa học. Trong cuộc sống ngày nay con người phải đối mặt với nhiều vấn đề thực tế liên quan đến đến toán học: đo đạc, bài toán kinh tế tối ưu trong công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận tải, xác suất thống kê : thu thập, phân tích, xử lí số liệu,Do đó ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường học sinh cần được rèn luyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn. Qua đó học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của mỗi nội dung toán học mà học sinh được lĩnh hội, tạo được hứng thú và đam mê học toán. Khi bước ra cuộc sống bắt gặp những tình huống thực tế có liên quan đến toán học, học sinh có thể linh hoạt, sáng tạo vận dụng kiến thức toán để giải quyết. 2.1.4. Ý nghĩa của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.
2.1.4.1. Vận dụng Toán học vào thực tiễn có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông.
 Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, tăng cường bồi dưỡng cho thế hệ trẻ lòng yêu nước , yêu quê hương và gia đình, tinh thần tự tôn dân tộc, lí tưởng xã hội chủ nghĩa, lòng nhân ái, ý thức tôn trọng pháp luật, tinh thần hiếu học, chí tiến thủ lập thân, lập nghiệp. Ngoài những giá trị truyền thống cần được kế thừa và phát triển như lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, lòng nhân ái, thái độ quý trọng nhiệt tình lao động, ý thức trách nhiệm, các kĩ năng cơ bản còn có những giá trị mới xuất hiện trong quá trình chuyển đổi từ nền kinh tế tập trung, bao cấp sang kinh tế công nghiệp và kinh tế trí thức như tư duy phê phán khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi, ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, để thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, năng lực hợp tác và giao tiếp có hiệu quả, năng lực chuyển đổi nghề nghiệp theo yêu cầu mới của sản xuất và thị trường lao động, năng lực quản líDo đó cần rèn luyện cho học sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực sống và làm việc tập thể, cộng đồng, năng lực tự học. Có kĩ năng vận dụng những kiến thức đã học để giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống bản thân và cộng đồng. 
2.1.4.2. Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông .
 Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần thực hoàn thành tốt mục tiêu dạy học môn Toán THPT:
- Hoàn thiện một số tri thức và kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh.
 Vận dụng Toán học vào thực tiễn giúp học sinh hoàn thiện các tri thức: tri thức phương pháp, tri thức sự vật, tri thức giá trịRèn luyện các kĩ năng bao gồm: 
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán học.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác.
+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống.
 - Vận dụng Toán học vào thực tiễn sẽ góp phần làm rõ mối quan hệ biện chứng giữa toán học và thực tiễn.
 - Vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần hình thành và phát triển các năng lực trí tuệ.
+ Khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và suy luận logic.
+ Các thao tác tư duy cơ bản: phân tích, so sánh, tổng hợp.
+ Các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo.
+ Khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng người khác.
+ Phát triển trí tưởng tượng không gian.
 - Vận dụng Toán học vào thực tiễn nhằm giáo dục về tình cảm và thái độ.
+ Có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập.
+ Có đức tính trung thực, cần cù vượt khó, cẩn thận chính xác, kỉ luật sáng tạo.
+ Có ý thức hợp tác trân trọng thành quả lao động của mình và của người khác.
+ Nhận biết được vẻ đẹp của Toán học và yêu thích môn Toán.
+ Giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆN NAY. 
 Những năm gần đây giáo dục và đào tạo đã có nhiều thay đổi về nội dung sách giáo khoa, phương pháp dạy học. Sách giáo khoa môn Toán, các tác giả đã tăng cường hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn, tăng cường mạch toán ứng dụng trong chương trình. Phương pháp dạy học có nhiều thay đổi theo hướng phát huy tính tích tực của học sinh, sát thực, trực quan và nhẹ nhàng. Tuy nhiên thực tế việc dạy học Toán hiện nay vẫn chưa có sự chuyển biến mạnh mẽ. Kiến thức truyền thụ cho học sinh vẫn mang nặng tính lí thuyết hàn lâm, chưa chú trọng tính ứng dụng thực tiễn. Học sinh không biết học toán làm gì ? vận dụng kiến thức toán vào chỗ nào? Học sinh vẫn thấy học toán là khô khan, khó khăn, không thấy được cái hay cái đẹp của Toán học. Tâm lí thi cử vân còn nặng nề, thi cái gì thì học cái đó. Điều này dẫn đến không ít giáo viên không coi trong mạch toán ứng dụng, đôi khi còn cắt giảm chương trình. Chủ yếu rèn cho học sinh các nội dung thi cử, các thủ thuật làm toán, xa rời thực tiễn. Có chăng giáo viên chỉ đổi mới phương pháp theo hướng tiếp cận thực tế khi có kiểm tra, thanh tra hay các tiết dự giờ.
 Chúng tôi cho rằng những hạn chế trên đây có thể do các nguyên nhân chính sau:
- Thứ nhất là do khối lượng kiến thức yêu cầu của mỗi tiết học trong phân phối chương trình khá nhiều. Sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham khảo chưa thực sự quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoài Toán học mà thông thường chỉ tập trung vào các ứng dụng trong nội bộ môn Toán.
- Thứ hai là do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh thành tích trong giáo dục dẫn đến cách dạy và cách học phổ biến hiện nay là “thi gì, học nấy”.
- Thứ ba là khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của GV còn nhiều hạn chế. Nguyên nhân là do trong quá trình đào tạo của các trường sư phạm GV chưa được đào tạo một cách có hệ thống về phương pháp dạy học toán theo hướng vận dụng vào thực tế.
 Do đó dạy học toán không tạo được hứng thú, niềm đam mê học toán cho học sinh. Học sinh không thấy được ứng dụng thực tế của mỗi nội dung toán học mà học sinh được lĩnh hội. Khi bắt gặp những tình huống thực tế, học sinh thường lúng túng không biết vận dụng kiến thức toán vào đâu và giải quyết vấn đề gì ? Đây là những hạn chế cần được nghiên cứu và giải quyết nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông hiện nay.
2.3. DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC VẬN DỤNG VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH. 
2.3.1. Một số định hướng nhằm rèn luyên năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và giải tích 11 NC
Định hướng 1: Làm rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn
 Trong dạy học GV cần làm cho học sinh thấy được nguồn gốc thực tiễn cũng như ứng dụng thực tiễn trong đời sống kinh tế xã hội, trong các môn học khác của mỗi nội dung Toán học mà học sinh được lĩnh hội. Thông qua đó HS thấy được các hay, cái đẹp của Toán học và tạo được niềm đam mê, hứng thú học Toán của học sinh.
Định hướng 2. Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn nhằm rèn luyện năng lực vân dụng, thực hành Toán học.
 Phương pháp chung giải bài toán có nội dung thực tiễn.
Bước 1: Toán học hóa nội dung bài toán.
 Trong bước này HS phải chuyển từ ngôn ngữ, giả thiết bài toán thực tiễn thành ngôn ngữ toán học : Các con số, kí hiệu, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình.
Bước 2: Tìm kiếm hướng giải quyết bài toán.
 Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giải hơn. Phải huy động những kiến thức đã học (Định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong bài toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với những dữ kiện bài toán. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán : Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm, liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau đó, xét bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho. 
Bước 3 : Trình bày lời giải.
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
-Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
-Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp giải một loại toán nào đó.
-Tìm thêm các cách giải khác (nếu có).
-Khai thác các kết quả có thể của bài toán.
-Rút ra kết luận cuối cùng của bài toán thực tiễn : một phương án tối ưu, một kế hoạch sản xuất, một kết quả đo đạc...Nghiên cứu sâu lời giải, khả năng ứng dụng thực tiễn của kết quả đó.
-Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán.
Định hướng 3. Rèn luyện năng lực dùng Toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn cho HS.
Định hướng 4. Cần chú trọng mạch toán ứng dụng có trong chương trình.
2.3.2. Dạy học một số nội dung Đại số và giải tích 11 nâng cao theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh.
2.3.2.1. Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
Những kiến thức cần nhớ.
- Hiểu khái niệm hàm số lượng giác , , , và tính chất tuần hoàn của chúng.
- Nắm được sự biến thiên và hình dáng đồ thị của các hàm số lượng giác nêu trên.
- Hiểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Những nội dung thực tế cần rèn luyện cho HS. 
 Nhiều hiện tượng tự nhiên thay đổi có tính chất tuần hoàn như: Chuyển động các hành tinh, chuyển động guồng nước quay, chuyển động quả lắc đồng hồ, sự biến thiên của cường độ dòng điện...Để giải quyết các bài toán này có sử dụng các hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác.
Ví dụ 1: Một guồng nước có dạng hình tròn có bán kính 2, 5m, có trục quay cách mặt nước 2 m, quay đều mỗi phút một vòng. Khi guồng quay đều, khoảng cách h(mét) từ một chiếc gầu gắn từ điểm A của guồng nước đến mặt nước tính theo công thức trong đó 
 với x là thời gian quay của guồng () tính bằng phút, ta quy ước khi gầu ở trên mặt nước, Hình 1
khi gầu ở dưới nước. Hỏi:
a, Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?
b, Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?
c, Chiếc gầu cách mặt nước 2m đầu tiên là khi nào?
Giải:
a, Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi : ta có: 
Điều đó chứng tỏ gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút, 1 phút, 2 phút, ...
b, Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi : ta có: 
Điều đó chứng tỏ gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút, 1,5 phút, 2,5 phút, ...
c, Chiếc gầu cách mặt nước 2m khi ta có:
Do đó lần đầu tiên cách mặt nước 2m khi quay được phút.
 Hình 2
Ví dụ 2. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh ) có trò chơi đu. Khi người đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t () 
được tính bằng giây bởi hệ thức:
 trong đó Hình 3
ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu, d < 0 trong trường hợp trái lại.
a, Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b, Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2mét.
Giải: 
a, Người chơi đu