SKKN Dạy học chủ đề giới hạn Lớp 11 Trung học Phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu bức thiết và đang trở thành một phong trào rộng lớn trong toàn ngành Giáo dục và Đào tạo. Nhiệm vụ quan trọng này đã được chỉ rõ ở Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung Ương Đảng (khoá VIII ): “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thói quen, nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và định hướng tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ”. Điều 28, Luật giáo dục 2005 qui định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Ở nước ta, trong những năm gần đây phong trào đổi mới PPDH đã phát triển với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau như : “lấy người học làm trung tâm ”, “ phát huy tính tích cực ”, “ phương pháp dạy học tích cực ”, “ tích cực hoá hoạt động học tập ”, “ hoạt động hoá người học ”... và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu tiêu biểu về đổi mới phương pháp dạy học. Tuy nhiên những nghiên cứu trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào những chủ đề cụ thể chưa được đề cập nhiều.
Giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Giới hạn là cơ sở, hàm số là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân, nội dung bao trùm chương trình giải tích 11,12 THPT. Mặc dù có vị trí quan trọng như đã nói, song trong thực tiễn dạy và học chủ đề này vẫn còn nhiều khó khăn: Đối với giáo viên, việc giúp học sinh chuyển từ tư duy “ hữu hạn, rời rạc ” của đại số sang tư duy “ vô hạn, liên tục ” của giải tích, giúp học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa giới hạn còn gặp nhiều khó khăn nhất định, về phía học sinh, sự chuyển biến về chất trong nhận thức đòi hỏi phải suy nghĩ, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo những qui tắc, định lý vào từng bài toán cụ thể là rất khó khăn và còn bộc lộ những sai lầm trong khi giải toán.
Như vây, việc đi sâu nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh vào một lĩnh vực cụ thể trong môn toán là rất cần thiết, giúp người giáo viên nâng cao kiến thức và các kỹ năng nghề nghiệp, phù hợp với định hướng về phương pháp dạy học tích cực của chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.
Với những lí do trên đây, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ”.
2.Tên sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Phan Thị Dung
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại: 0386356614
E mail:phanthidung.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Phan Thị Dung
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng với môn toán 11, đổi mới phương pháp nhằm nâng cao chất lượng của môn học. 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu : Tháng 2 năm 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung của sáng kiến
Ngoài mục lục, lời nói đầu, tài liệu tham khảo sáng kiến gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương này trình bày một cách khái quát về cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, là cơ sở cho các chương sau.
Chương 2. Vận dụng một số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Với cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tác giả đã đưa ra các biện pháp gợi vấn đề trong dạy học chủ đề giới hạn, đưa ra quy trình dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ vận dụng vào chủ đề giới hạn.
Chương 3. Những sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán giới hạn.
Chương này tác giả đưa ra một số sai lầm về kiến thức, kĩ năng và ví dụ về những sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về chủ đề giới hạn. Các ví dụ đó được trình bày theo hệ thống các dạng vô định, trong mỗi dạng đều đưa ra những bài tập điển hình, phân tích sai lầm, chỉ rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục những sai lẫm đó. Đây là một chương tham khảo rất hữu ích cho việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập chủ đề giới hạn của học sinh.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH.
1.1.1. Khái niệm về tính tích cực học tập của học sinh.
Nói về tính tích cực, theo Kharlamov trong tài liệu Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào: “ Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, nghĩa là của người hành động ”.
Tích cực ở đây là tích cực trong hoạt động nhận thức như là một trạng thái hoạt động được đặc trưng bởi khát vọng học tập, sự nỗ lực tự nguyện về mặt trí tuệ và với nghị lực cao trong quá trình nắm vững tri thức.
Còn nói về nhận thức, như chúng ta đã biết, nhận thức là sự phản ánh không phải như bức tranh những hiện tượng, sự kiện và quá trình của hiện thực vào ý thức con người. Hình ảnh của đối tượng hiện thực xuất hiện trong ý thức thông qua sự phản ánh có tính chất cải tạo, bao gồm trong đó sự sáng tạo. Đó có thể là sự phản ánh giống hệt của những đối tượng trong hiện thực và cũng có thể là sự tạo nên những hình ảnh mới của sự vật, hiện tượng, quá trình chưa có trong thế giới khách quan bằng cách tổng hợp, xây dựng từ những hình ảnh của các bộ phận khác nhau của sự vật, hiện tượng, quá trình đang tồn tại trong hiện thực.
Có thể nói con đường của nhận thức khoa học tức là con đường phát hiện những thuộc tính bản chất và những quy luật của thực tại khách quan, là một quá trình phức tạp và rất đa dạng. Khoa học không chỉ nghiên cứu những gì nằm trên bề mặt và có thể tri giác trực tiếp được, mà chủ yếu còn đi sâu vào những gì thường ẩn náu sau những biểu hiện bề ngoài và chỉ có thể được phát hiện bằng sức mạnh của lí trí, của tư tưởng. Theo V.I. Lênin: sự nhân thức “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, nhận thức thực tế khách quan”. (V.I. Lênin toàn tập, tập 152 ).
Hơn nữa, sự học tập lại là trường hợp riêng của hoạt động nhận thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng đi và được thực hiện dưới sự chỉ đạo của giáo viên. Vì vậy bất kì một sự nhận thức nào, trong đó có sự học tâp là một quá trình tích cực.
Nói về tính tích cực nhận thức, có nhiều quan điểm khác nhau. Trong sáng kiến này, tác giả đồng tình với quan điểm của I. F Kharlamov . “Tính tích cục nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh , đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”
 1.1.2 Những biểu hiện của tính tích cực của học sinh.
	Tính tích cực thể hiện ở tích cực bên trong và tích cực bên ngoài.
- Tính tích cực bên trong là tích cực tư duy. Đây là tư duy nhằm phát hiện, tìm hiểu và giải quyết các vấn đề mới đặt ra bằng kiến thức và kĩ năng đang có.
- Tính tích cực bên ngoài thể hiện ở trong hành động, ngôn ngữ. Ta có thể nêu ra những dấu hiệu bề ngoài của tích cực học tập như sau:
+ Học sinh khao khát trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích được phát phát biểu ý kiến của mình về vấn đề nêu ra.
+ Học sinh hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề giáo viên trình bày chưa đủ rõ.
+ Học sinh chủ động vân dụng linh hoạt những kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề.
+ Học sinh mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin mới lấy từ những nguồn khác nhau, có khi vượt ra ngoài phạm vi bài học, môn học,
Ngoài những biểu hiện mà giáo viên dễ nhận thấy nói trên còn có những biểu hiện về mặt xúc cảm, khó nhận thấy hơn như thờ ơ hay hào hứng, phớt lờ hay ngạc nhiên, hoan hỉ hay buồn chán trước một nội dung nào đó của bài học hoặc tìm ra lời giải thích cho một bài toán. Những biểu hiện khác nhau ở từng học sinh, bộc lộ rõ ở học sinh các lớp dưới, kín đáo ở các lớp trên.
	Tác giả còn phân biệt tính tích cực về mặt ý chí đó là:
Tập trung chú ý vào vấn đề đang học.
Kiên trì làm cho xong các bài tập.
Không nản trước những tình huống khó khăn.
Thái độ phản ứng khi chuông báo hết giờ học: tiếc rẻ, cố làm cho xong hoặc vội vàng gấp vở ra chơi.
Ngoài ra, tính tích cực học tập còn được phân ra làm ba cấp độ được biểu hiện từ thấp đến cao:
- Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất hiện do tác động bên ngoài, người học làm theo mẫu, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào trong theo chế độ nhập nội. Loại này phát triển mạnh ở học sinh tiểu học.
	- Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình lĩnh hội khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,... với sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí.
	- Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm ra phương thức hành động riêng, trong đó có cách thức giải quyết mới mẻ, không dập khuôn, độc đáo.
Hiện nay, gắn liền với PPDH người ta thường dùng các khái niệm: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau.
Có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những hình tròn đồng tâm như sau:
Tư duy tích cực
Tư duy sáng tạo
Tư duy độc lập
Ta làm sáng tỏ mối quan hệ này bằng ví dụ sau:
	Một học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng minh định lý, cố gắng hiểu được tài liệu. Ở đây có thể nói đến tư duy tích cực.
	Nếu giáo viên đáng lẽ giải thích lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa theo sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này có thể nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tư duy tích cực ).
	Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết. Chỉ có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh đã có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
	Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập cho học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất để cho họ hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Chủ thể sử dụng thông tin xuất phát từ hành động của bản thân mình tốt hơn là thông tin từ sự kiện bên ngoài. Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh biết sử dụng nó một cách độc lập, sáng tạo. Tính độc lập thực sự của học sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết cách tổ chức công việc của mình một cách hợp lý trến cơ sở quy trình được giáo viên hướng dẫn.
1. 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THƯỜNG ĐƯỢC VẬN DỤNG TRONG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG.
Để có thể lĩnh hội một cách tích cực những tri thức mà con người đã khám phá được và để tạo tiềm năng làm giàu thêm những tri thức đó thì không thể không sử dụng những tiềm năng to lớn của PPDH.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học hợp tác nhóm nhỏ là một số trong các PPDH có tác dụng kích thích tính tích cực học tập của học sinh.
1.2.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Cơ sở lý luận :
Cơ sở triết học :
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Một vấn đề gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn có.
Cơ sở tâm lý học .
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề.
 Cơ sở giáo dục học.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Nó cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất.
Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
a. Vấn đề trong dạy học:
Theo Nguyễn Bá Kim trong tài liệu phương pháp dạu học môn toán, trong dạy học toán, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các yêu cầu sau:
 - Câu hỏi còn chưa được giải đáp (yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện).
- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra.
	Trong dạy học toán, câu hỏi hoặc yêu cầu hành động còn được gọi là bài tập. Như vậy mọi vấn đề đều là bài tập nhưng vấn đề không đồng nghĩa với bài tập. Nếu bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một qui tắc có tính chất thuật giải thì không phải là vấn đề.
Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết phương pháp khử dạng vô định giáo viên cho học sinh làm bài tập: Tìm thì đây không phải vấn đề. Nhưng nếu ta đưa bài tập này khi học sinh chưa biết phương pháp trên đây thì đây lại là vấn đề.
Vấn đề mang tính chất tương đối: cùng một bài tập nhưng đối với học sinh này là vấn đề, đối với học sinh khác có thể không là vấn đề.
 b. Tình huống gợi vấn đề trong dạy học:
Tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều kiện sau:
- Tình huống phải tồn tại các vấn đề mà trình độ nhận thức, kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm sẵn có chưa giải quyết được, gây ra các khó khăn, nảy sinh mâu thuẫn giữa thực tiễn và trình độ nhận thức.
Gợi nhu cầu nhận thức: Nghĩa là tình huống đặt ra học sinh phải thấy cần thiết phải giải quyết, tốt nhất là tạo ra sự ngạc nhiên, hứng thú.
Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tức là tình huống đặt ra tuy chưa giải quyết được ngay nhưng học sinh đã có những tri thức liên quan đến vấn đề và nếu tích cực suy nghĩ thì có thể giải quyết được.
Ví dụ: Dạy học số hạng tổng quát của một cấp số cộng:
Cho một cấp số cộng mà ba số hạng đầu của nó lần lượt là 1, 7, 13.
Tìm các số hạng lần lượt là số hạng thứ 4, 5, 6 của cấp số cộng đó.
	Lời giải:
Ta có: nên 
	Hãy tính 
Khi đó học sinh sẽ không dễ dàng tính được như ở câu hỏi trước, lúc này học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề. Học sinh phải phân tích được quá trình có ở trên.
 Từ đó có dự đoán 
 Do đó nảy sinh vấn đề: có thể tính số hạng bất kỳ của cấp số cộng theo và d được không?
 Giải quyết được vấn đề thì học sinh sẽ đi đến định lý về số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d.
 c. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
	Dạy học giải quyết vấn đề bao gồm việc tạo ra trước học sinh những tình huống có vấn đề, làm cho các em ý thức được, thừa nhận và giải quyết những tình huống này trong quá trình hoạt động chung của giáo viên và học sinh, với tính tự lực cao nhất của học sinh và dưới sự chỉ đạo chung của giáo viên.
Cũng tương tự V.Ôkôn trong tài liệu dạy học nêu vấn đề, viết: “ Dưới dạng chung nhất dạy học nêu vấn đề là tập hợp những hoạt động như tổ chức các tình huống có vấn đề, giúp đỡ cần thiết cho học sinh trong việc giải quyết vấn đề , kiểm tra những phép giải đó và cuối cùng quá trình hệ thống hoá và cuối cùng củng cố những kiên thức tiếp thu được ”.
Như vậy trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra nhũng tình huống gọi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác.
Do đó ta thấy hạt nhân của nó là việc điều kiển học sinh thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề.
Theo V.Ôkôn: “Nét quan trọng nhất của dạy học giải quyết vấn đề không phải là việc đặt câu hỏi mà là việc tạo ra các tình huống có vấn đề
• Đặc điểm:
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau:
Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.
Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải nghe thầy nói một cách thụ động .
Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho học sinh phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học sinh học được bản thân việc học.
• Các cấp độ trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
	- Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc lập của người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó.
	- Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc lập của người học cũng được phát huy cao độ nhưng quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ mà có sự hợp tác giữa những người học
- Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này người học sinh không hoàn toàn độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết.
	- Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này mức độc lập của học sinh thấp hơn ở các cấp độ khác, thầy giáo tạo ra các tình huống gợi vấn đề sau đó thày phát hiện trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề đó.
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh sẽ phải trải qua các khâu sau:
+ Quan sát và nghiên cứu các sự vật, hiện tượng.
+ Phát hiện vấn đề.	
	+ Nêu giả thuyết.
+ Lập kế hoạch nghiên cứu.
+ Thực hiện kế hoạch.
+ Phát biểu lời giải.
+ Kiểm tra lời giải.
+ Rút ra những kết luận thực tiễn vế khả năng và sự cần thiết vận dụng tri thức đã thu được vào thực tế.
• Các bước tiến hành dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Ta thấy hạt nhân của cách dạy và học này là việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề.
Quá trình này có thể chia thành các bước như sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra.Có thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học nhưng có thể liên tưởng đến những cách tìm tòi dự đoán sau: Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế, hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc, chính xác hoá một khái niệm, hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống, lật ngược vấn đề, xét tương tự, khái quát hoá, tìm sự liên hệ và phụ thuộc.
- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp.
Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ sau:
Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết
Hình thành giải pháp
Giải
Pháp
đúng
Kết thúc
* Giải thích sơ đồ:
	- Khi phân tích vấn đề cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm. Trong toán học ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng đến những định nghĩa và định lý thích hợp.
Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu huy động tri thức thường hay sử dụng những phưong pháp kỹ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hoá, khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược lùi,... Phương hướng được đề xuất là không bất biến, trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lý.
	- Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp.
	- Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem có đúng đắn không.
Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm ra giải pháp đúng.
Sau khi tìm ra một giải pháp, có thể tìm ra một giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát hiện vấn đề cho tới giải pháp.
Bước 4: