SKKN Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học 7

I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
	Giáo dục và đào tạo chúng ta đã qua một số lần đổi mới, thay sách giáo khoa, với định hướng chương trình giảm tải kiến thức và tăng thêm ứng dụng thực tiễn. Nhưng ta thấy rằng kiến thức gần như không giảm mà chỉ là sắp xếp lại, đặc biệt là các cuộc thi chưa giảm về nội dung kiến thức và yêu cầu kĩ năng đôi lần còn thấy tăng thêm, khó thêm. Chính vì vậy khi học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10, đôi khi cả bài thi học kỳ nội dung bài thi vẫn yêu cầu cao và kiến thức khó so với khả năng của học sinh đối với môn Toán nói chung, phân môn hình học nói riêng. Chính vì vậy chỉ dạy đơn thuần như chương trình sách giáo khoa thì chưa đáp ứng được yêu cầu các kì thi. Chính vì vậy giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu thêm tài liệu để soạn giảng lồng ghép vào các tiết dạy chính khóa và soạn giảng các chuyên đề bồi dưỡng đại trà (học thêm) cũng như các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT, để nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường và đáp ứng nhu cầu học tập tích cực của học sinh.
	Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học nói chung và hình học 7 nói riêng là một nội dung khó đối với nhiều học sinh cũng một số giáo viên; mà tài liệu về nội dung này gần như chưa có để đáp ứng nhu cầu dạy và học của thầy và trò. Nên khi gặp dạng toán này học sinh còn lúng túng, khó tìm ra cách giải vì học sinh chưa nắm được phương pháp. Khi học sinh đi thi gặp dạng toán này gần như các em không làm được.
	Từ những trăn trở và suy nghĩ trên tôi đã mạnh dạn tìm tòi và nghiên cứu viết chuyên đề “Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học 7”, giúp các em nắm được các phương pháp chứng minh và tránh được những sai lầm khi làm dạng toán này. Tôi cũng không tham vọng nhiều mà chỉ mong giải quyết được phần lớn những khó khăn trên, vấn đề mà nhiều học sinh và thầy cô đang trăn trở.
2. Mục đích nghiên cứu.
	- Giúp học sinh yêu thích bộ môn Toán nói chung và phân môn hình học nói riêng. Giúp các em có được phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng và tránh được những sai lầm mà nhiều học sinh khác trước đây mắc phải, hy vọng góp phần giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các bài toán hình học và giúp học sinh học ngày càng tốt hơn với môn hình học mà đa số các em rất sợ vì nếu không tích luỹ được một số kiến thức cơ bản, tư duy và kĩ năng thì các em sẽ không học được môn hình học. Qua đó nâng cao thành tích học tập cũng như thành tích trong các kỳ thi của học sinh trong trường. 
	- Giúp tôi cùng đồng nghiệp có thêm tài liệu về phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng để tự tin mỗi khi lên lớp, không còn ngại dạy phân môn hình học.
	- Nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
3. Đối tượng nghiên cứu.
	Học sinh lớp 7 trường THCS Thọ Hải học chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong phân môn hình học 7.
4. Phương pháp nghiên cứu.
	- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
	- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.
	- Phương pháp thu thập thông tin
	- Phương pháp thống kê
	- Phương pháp xử lý số liệu.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển.
	Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào thực tiễn giải quyết vấn đề cụ thể.
	Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn khả năng tư duy, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh tăng cường học tập thực hành, rèn khả năng tính toán.
	Hình học là môn suy diễn bằng lí luận chặt chẽ, từ những nguyên nhân nhất thiết phải suy ra kết luận chính xác, không mơ hồ. Mỗi một câu nói trong lúc chứng minh đều phải có lí do xác đáng, tuyệt đối không qua loa, không nói dư. Làm cho học sinh có thói quen nhìn nhận đúng sự việc. Nói đến kĩ năng giải toán chứng minh hình học chính là những thao tác tư duy chính xác, khoa học, những suy diễn có logic, chứng minh hình học không giống số học chỉ áp dụng những qui tắc cố định hoặc như đại số đã có sẵn công thức, mà phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một cách khoa học, logic.
	Môn Toán là môn học hay, có nhiều ứng dụng nhưng có nhiều nội dung còn trừu tượng khái quát nên nhiều em còn ngại học môn này, đặc biệt là phân môn hình học. Vì vậy tôi đã tìm tòi và nghiên cứu về nội dung và phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng tạo hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt lưu ý cho học sinh những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này.
Sau khi học xong chương II tôi đã hệ thống các bài tập có liên quan đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng và đưa ra các phương pháp giải (6 phương pháp) như sau:
1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước.
3. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.
4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc.
6. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc.
	Sang chương III tôi chỉ ra cho các em các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng tiếp theo (5 phương pháp tiếp theo):
7. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng.
8. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
9. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng.
10. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó.
11. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại.
Sau khi hướng dẫn học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng tôi thường lưu ý cho học sinh các sai lầm cần tránh hoặc đưa ra lời giải bài toán có sai lầm mà tưởng như đúng để các em tìm ra lỗi sai của bài toán đó. Qua đó củng cố kiến thức, kĩ năng cho dạng toán này.
2. Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 7 và kết hợp tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán: "chứng minh ba điểm thẳng hàng " thì phần lớn học sinh rất khó khăn trong việc vận dụng các kiến thức đã học để giải dạng toán này. Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập của học sinh còn thiếu linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến không làm được bài hoặc giải sai.
	Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào bài kiểm tra một tiết (Tiết 46- có 1 câu 3,0 điểm/10 điểm). 
Kết quả làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Năm học
Khối
Sĩ số
Làm đúng
Tỉ lệ (%)
Làm sai
Tỉ lệ (%)
Không làm
Tỉ lệ (%)
2014 - 2015
7
56
3
5,36
24
42.86
29
51,78
3. Các giải đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
	3.1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
 A B	 C  ABC=1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng. 
* Gợi ý: Muốn chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng ta cần chứng minh  A1+  BAC+  A2 = 1800
Bài giải
∆ABC vuông tại A, có  B = 600 nên  ACB = 300.
∆BAF cân tại B, có  ABF = 1200 nên  A1 =  F= 300
∆ACE cân tại C, có  ACE = 900 – 300= 600 nên  A2 =  E= 600
Suy ra  EAF = A1+  BAC+  A2 = 1800
Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng
* Sau khi chứng minh xong GV cho Bài giải, yêu cầu các em tìm ra sai lầm trong cách chứng minh sau:
Ta có ∆CEF vuông tại C nên  CEF +  CFE = 900
Mà ∆BAF cân tại B (vì BA = BF) nên  A1= F,
 ∆CAE cân tại C (vì CA = CE) nên  A2= E
Suy ra EAF = A1+  BAC+  A2 = E+  BAC+  F = 1800
Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng 
Trả lời: Sai lầm trong bài toán trên là đã thừa nhận góc BFA của ∆ABF bằng góc CFE của ∆CEF trong khi 3 điểm E, A, F chưa thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Bài giải
- GV hướng dẫn học sinh: Chứng minh  MCB +  BCD +  DCN = 1800 suy ra 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
- GV đưa ra 2 bài giải, yêu cầu học sinh cho biết các lời giải sau đúng hay sai?:
	Bài giải 1: 
Dễ dàng chứng minh 
∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra  MCB= MNA (đồng vị)
	∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra  NCD= NMA (đồng vị)
	mà DAB= BCD
	Suy ra MCB +  BCD +  DCN
= MNA+ DAB +  NMA =1800
	Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Trả lời: Bài giải này sai.
Sai lầm là đã vô tình thừa nhận 3 điểm M, C, N thẳng hàng nên mới có: 
BC // AD suy ra  MCB= MNA (đồng vị)
	DC // AB suy ra  NCD= NMA (đồng vị)
Bài giải 2: 
Chứng minh DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // MN. Suy ra  MCB=  CBD,  NCD= BDC (so le trong)
Nên MCB +  BCD +  DCN =  CBD+ BDC + BCD=1800 . Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Trả lời: Bài giải sai
Sai lầm là chỉ suy ra được BD//MC, chưa suy được BD // MN vì 3 điểm M, C, N chưa thẳng hàng.
- Qua đây giáo viên cần chú ý cho học sinh khi làm dạng toán này cần phải suy nghĩ 3 điểm đó(E,A,F hoặc M,C,N) chưa thẳng hàng, có những trường hợp cần vẽ hình trên nháp 3 điểm đó không thẳng hàng để khi chứng minh không ngộ nhận các yếu tố chỉ có khi 3 điểm đó thẳng hàng.
Bài giải đúng: 
∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra  MCB= ADB (đồng vị)
	∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra  NCD= ABD (đồng vị)
	mà DAB= BCD
	Suy ra MCB +  BCD +  DCN = ADB+ DAB +  ABD =1800
	Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng tiên đề Ơ clit => sang phần 3.2
3.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh 3 điểm thẳng hàng
(tiếp ví dụ 2) Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
Bài giải
Xét AOD và COD có: 
 	OA = OC (vì O là trung điểm AC)
 	 (hai góc đối đỉnh) 
 OD = OB (vì O là trung điểm BD)
Vậy AOD = COB (c.g.c)
Suy ra: . 
Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) 
Xét DAB và CBM có : AD = BC ( do AOD = COB), , 
AB = BM ( B là trung điểm AM).
 Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
 Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
 Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
Hướng dẫn:	Ta chứng minh AD // BC và AE // BC suy ra 3 điểm E, A, D thẳng hàng.
Bài giải.
 BMC và DMA có: 
MC = MA (do M là trung điểm AC)
	 (hai góc đối đỉnh)
	MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2) 
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
- GV hướng dẫn học sinh có thể làm bài này theo phương pháp 1, chứng minh góc EAD = 1800. 
BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: (1’), tương tự  ACB= EAB (2’)
Suy ra  EAB+ BAC+ CAD =  = 1800. Suy ra 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
- GV cho bài tập: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh A là trung điểm của DE.
Với yêu cầu của bài toán này nhiều bạn sai lầm sẽ không chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng mà chỉ chứng minh AD =AE rồi kết luận A là trung điểm của DE.
Để chứng minh A là trung điểm của DE ta cần chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và AD = AE. 
3.3. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
 Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
 Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.	Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
BÀI GIẢI
Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
 và vuông tại E và F có:
 BM = CN (gt), ( cùng bằng )
Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: ME = NF.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
- Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng  MEK =  NFK = 900 để chứng minh ∆MEK = ∆NFK suy ra  MKE=NKF, hai góc ở vị trí đối đỉnh nên 3 điểm B, K, C thẳng hàng. 
Sai lầm là 3 điểm B, K, C chưa thẳng hàng nên MEK =  NFK = 900 là chưa khẳng định.
Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
ΔMEK’ và ΔNCK’ có: 
 (so le trong của ME //AC)
	ME = CN (chứng minh trên)
	 (so le trong của ME //AC)
Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. 
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
 Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm không sử dụng điểm K’ mà sử dụng  MEK=  NCK (so le trong của ME//AC)để chứng minh ΔMEK = ΔNCK, vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý nhưng không biết là sai.
- GV hướng dẫn học sinh có thể làm theo phương pháp 1, khắc phục sai lầm ở trên, kẻ hình tương tự cách 2.
Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC
 ta được ME = CN.
Xét ΔMEK và ΔNCK có: 
EMK =  CNK (so le trong của ME //AC)
	ME = CN (chứng minh trên)
	MK = NK (K là trung điểm MN)
Do đó : ΔMEK = ΔNCK (c.g.c)  MKE = NKC. 
Mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh có M, K, N thẳng hàng
 Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
3.4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:
 AB ^ a
BC ^ a
=> A, B, C thẳng hàng
A
B
C
 a
Ví dụ 5: Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC ( H BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Lời giải sau đúng hay sai? 
Xét ADE và ABC 
Có AE = AC, AD = AB, 
E
K
C
H
B
A
D
nên ADE = ABC (c.gc)
 DE // BC AK ^ BC
Xét AHB và AKD 
Có AB= AD, BH= DK, = 900
Nên AHB = AKD (ch-cgv) 
Suy ra góc DAK = góc BAH mà 3 điểm B, A, D thẳng hàng nên 3 điểm H, A, K thẳng hàng
Khi có học sinh trả lời là “Lời giải sai” GV yêu cầu chỉ ra lỗi sai trong lời giải trên.
Lời giải sai ở chỗ khi DE // BC AK ^ BC , nếu suy ra như vậy đã vô tình thừa nhận 3 điểm H, A, K đã thẳng hàng.
Hướng dẫn giải.
Xét ADE và ABC 
Có AE = AC, AD = AB, 
E
K
C
H
B
A
D
nên ADE = ABC (c.gc
 DE // BC
 AHB = AKD (vì AB= AD, BH= DK, )
 AK ^ BC
mà AH ^ BC suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
- GV hướng dẫn học sinh có thể chứng minh theo phương pháp 1.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
Chứng minh AM BC.
Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
Gợi ý:.
 - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC 
	- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
BÀI GIẢI.
a) Chứng minh AM BC.
	 ΔABM và ΔACM có: 
 AB =AC (gt) 
 AM chung 
	 MB = MC (M là trung điểm BC)
	Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng)
	Mà (hai góc kề bù) nên 
 Do đó: AM BC (đpcm)
Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
	 Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900
	 Do đó: PM BC. 
 Lập luận tương tự QM BC 
 Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
* Qua dạng toán này củng cố cho các em cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các đường thẳng vuông góc từ đó suy ra 3 điểm thẳng hàng.
A
B
C
x
y
3.5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
=> A, B, C thẳng hàng
BA là tia phân giác   xAC
CA là tia phân giác   xAy
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài giải.
DABM = DACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC )
B
N
A
C
M
Þ 
Þ AM là tia phân giác (1)
Tương tự DABN = DACN (c.c.c)
	Þ AN là tia phân giác (2)
	Từ (1), (2) suy ra ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
	 Bài giải:
	ΔBOD và ΔCOD có: 
	OB = OC (gt)
	OD chung
BD = CD (D là giao điểm của hai đường
 tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
	Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). 
	Suy ra : . 
	Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
 Do đó OD là tia phân giác của .
 Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
	Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
 Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
* Qua dạng toán này củng cố cho các em kiến thức, kĩ năng chứng minh tia phân giác của một góc từ đó suy ra 3 điểm thảng hàng.
3.6. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc:
Chứng minh tia OA và OB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, và cùng tạo với Tia Ox một góc bằng nhau.
	AOx = 0 
	BOx = 0
	Þ O, A, B thẳng hàng. 
 	Ví dụ 10. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau.
 Bài giải.
 Tam giác ABC cân ở A nên 
 (tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của ,
 nên . Do đó 
 ΔBOM đều nên .
 Vậy : 
	ΔBOC và ΔMOC có: 
 	OB = OM ( vì ΔBOM đều)
	OC chung 
	Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
	Suy ra: mà (gt) nên .
	Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
* Qua bài toán này luyện tập củng cố cho các em cách chứng minh 2 tam giác bằng nhau, chứng minh góc bằng nhau từ đó chứng minh ba điểm thẳng hàng.
3.7. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
A
B
C
M
N
=> A, B, C thẳng hàng
 A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN
C thuộc đường trung trực của MN
Ví dụ 11: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
BÀI GIẢI
 ABC cân tại A suy ra AB = AC
D
C
E
B
A
Þ A thuộc đường trung trực của BC (1)
 DBC cân tại D suy ra DB = DC
 Þ D thuộc đường trung trực của BC (2)
EBC cân tại E suy ra EB = EC
Þ E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
* Qua phần này củng cố tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng từ đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
B
M
C
G
A
3.8. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
 G là trọng tâm tam giác ABC
AM là trung tuyến tam giác ABC
=> A, B, C thẳng hàng
M
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng.
Bài giải
 ABC có AM là trung tuyến
mà AQ = QP = PM (gt)
C
E
P
Q
B
A
 Þ AP = AM
Þ P là trọng tâm ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE
 là trung tuyến của ABC
 Þ BE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.
3.