SKKN Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 Người thực hiện: Trịnh Thị Mai
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8, 9, 10, 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu.
 Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
 Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng các cấp độ kiến thức khác nhau.
 Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải các bài toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Ứng dụng của tích phân trong hình học. Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo khoa Giải tích 12.
 Lập ma trận các dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Phương pháp: 	
 - Nghiên cứu lý luận chung.
 - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
 - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
 Cách thực hiện:
 - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. 
 - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học. 
 - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
 Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho 
học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài học sinh
THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán Giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
 - Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng. Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây. Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
 - Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng đang học .
 - Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
 - Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. 
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng.
2.3.1. Lý thuyết cơ bản.
a) Cho hàm số liên tục trên. Khi đó diện tích của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ; trục () và hai đường thẳng là:
.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai 
đồ thị và
hai đường thẳng . Được xác
định bởi công thức:
.
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề.
CÁC CHỦ ĐỀ
MIÊU TẢ
CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH GIÁ
TỔNG
Thông hiểu
Vận dụng 
Vận dụng cao
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH
Cho hình vẽ, hỏi công thức tính diện tích hình phẳng được tô đậm
Câu 1
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đủ 4 đường cơ bản,,. Biểu thức trong trị tuyệt đối không đổi dấu
Câu 2
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đủ 4 đường cơ bản ,, , . Biểu thức trong trị tuyệt đối có đổi dấu
Câu 3
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường , (phương trình hoành độ có 1 hoặc 2 nghiệm)
Câu 4
Câu 5
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường , (phương trình hoành độ có nhiều hơn 2 nghiệm)
Câu 6
Câu 7
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường có công thức , (cho hình hoặc có thể vẽ hình).
Câu 8
Câu 9
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường có công thức , khó vẽ hình.
Câu 10
1
Ứng dụng diện tích hình phẳng để so sánh các giá trị hoặc tính giá trị biểu thức, 
Câu 11, 12
2
Bài toán thực tế liên quan tính diện tích hình phẳng (chọn hệ trục, lập công thức đường )
Câu 13, 14, 15, 16
Câu 17
5
Các bài toán cực trị liên quan tính diện tích hình phẳng
Câu 18
Câu 19, 20
3
TỔNG
6
11
3
20
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1.	Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính theo công thức nào?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C 
Vì trên đoạn nên . 
Câu 2.	Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , .
A. .	B. .	C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , là
.
Câu 3.	Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt , ta xét dấu . 
Xét .
Ta có bảng xét dấu
x
0 1 2 
 - 0 +
	Vậy diện tích hình phẳng đã cho 
Câu 4.	Hình phẳng được giới hạn bởi các đường , . Tính diện tích hình phẳng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: .
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
.
Câu 5.	Trong hệ trục tọa độ , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , tiếp tuyến của tại và trục là:
A. .	B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
; .
Phương trình tiếp tuyến của tại : .
Diện tích hình phẳng cần tìm là
 .
Câu 7.	Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
. 
Ta có 
Câu 8.	Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm là .
Diện tích hình phẳng cần tìm 
Câu 9.	Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , , trục hoành là:
A .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
. . .
Diện tích cần tìm là: .
Câu 10.	Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số , , .
	A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có
 .
Câu 11.	Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường và là:
A. . 	 B. . 
C. . 	 D. .
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
; ; 
Diện tích cần tìm là: 
Câu 12.	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án dưới đây là đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.
Ta có: . 
 .
Mà .
 Vậy .
Câu 13.	Cho hàm là một nguyên hàm của hàm số , biết đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
.
.
Vậy có: 
.
Câu 14.	Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố có dạng hình tròn đường kính . Công ty cây xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính tại tâm của hình tròn và cắt tại điểm thỏa mãn (phần tô đậm). Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc. Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là đồng và đồng. 
	Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) ?
A. đồng.	B. đồng.	
C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử phương trình của parabol phía trên trục hoành là 
Dễ có có đỉnh là và đi qua điểm . 
Ta có hệ phương trình 
.
Khi đó phương trình của parabol phí dưới trục hoành có phương trình là .
Diện tích phần trồng hoa giấy là: .
Diện tích phần trồng hoa cúc là: .
Chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế là:
Câu 15.	Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều rộng , chiều cao và được lắp kính. Biết mỗi kính có giá là đồng. Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là
A. đồng.	B. đồng.	
C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó parabol có phương trình dạng . Vì đi qua đỉnh nên ta có .
 cắt trục hoành tại hai điểm và nên ta có . Do đó .
Diện tích của cổng là: .
Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là: đồng.
Câu 16.	Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích . Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?
A. 30 triệu đồng.	B. 60 triệu đồng.	
C. 50 triệu đồng.	D. 40 triệu đồng
Lời giải
Chọn D
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là , chiều rộng là ().
Ta có diện tích hình chữ nhật là .
Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc sao cho đỉnh của parabol là và Parabol đi qua 2 điểm và .
Do đó phương trình parabol có dạng 
Vậy phần diện tích trồng cỏ là 
Số tiền trồng cỏ cần là: 
Câu 17.	Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết cm, cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.
A. .	B. .	C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đưa parabol vào hệ trục ta tìm được phương trình là . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành và các đường thẳng , là
 . Tổng diện tích phần bị khoét đi: . Diện tích của hình vuông là .
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là 
.
Câu 18.	Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao , chiều rộng , . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là đồng/m2. 
Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. (đồng).	B. (đồng).	
C. (đồng).	D. (đồng).
Lời giải
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ sao cho trùng , trùng khi đó
parabol có đỉnh và đi qua gốc tọa độ.
Gọi phương trình của parabol là 
Do đó ta có .
Nên phương trình parabol là 
Diện tích của cả cổng là 
Do vậy chiều cao ;.
Diện tích hai cánh cổng là 
Diện tích phần xiên hoa là .
Nên tiền là hai cánh cổng là 
và tiền làm phần xiên hoa là .
Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng.
Câu 19.	Cho các số thực thỏa mãn và hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. 
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của hàm số như sau
Từ đó suy ra , . (1)
Mặt khác: 
 (2) Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 20.	Cho parabol và một đường thẳng thay đổi cắt tại hai điểm , sao cho . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng . Tìm giá trị lớn nhất của 
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Giả sử ; sao cho .
Phương trình đường thẳng là: . Khi đó
 . Vì 
. 
Vậy khi và từ (*) ta suy ra .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính diện tích hình phẳng. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
 số
Điểm 8 
trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ
lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2018
-2019
12
B2
42
12
29%
26
61 %
4
10 %
12
B3
41
7
17 %
28
68 %
6
15 %
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 3.
Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
 Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
 Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Trịnh Thị Mai
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3]. Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục & Đào tạo.
[4]. Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT trên toàn quốc.