SKKN Bài toán chuyển đổi đồ thị chất khí từ một trong các hệ (p, V), (p, T), (V, T) sang hai hệ còn lại

MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ	2
NỘI DUNG	4
I. Đồ thị đã cho là các đoạn của đẳng quá trình	4
1.1. Phương pháp giải	4
1.2. Một số ví dụ	4
II. Đồ thị đã cho có quá trình biến đổi trạng thái không phải là đẳng quá trình 	8
2.1. Đoạn đồ thị không phải đẳng quá trình, có dạng là đoạn thẳng	8
2.1.1. Phương pháp giải	8
2.1.2. Một số ví dụ	9
2.1.3. Bài tập tự luyện	16
2.2. Đoạn đồ thị không phải đẳng quá trình, có dạng là phần parabol	17
2.2.1. Phương pháp giải 	17
2.2.2. Một số ví dụ	18
2.2.3. Bài tập tự luyện	21
2.3. Đoạn đồ thị không phải đẳng quá trình, là quá trình đoạn nhiệt	22
2.3.1. Lí thuyết quá trình đoạn nhiệt 	22
2.3.2. Một số ví dụ	24
2.3.3. Bài tập tự luyện	27
KẾT LUẬN	28
 ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trạng thái nhiệt của một lượng khí được xác định bằng các thông số trạng thái thể tích V, áp suất P, nhiệt độ T của nó. Các thông số này là các đại lượng cơ bản đặc trưng cho tính chất của khí. Các phân tử khí trong khi chuyển động va chạm với thành bình, gây nên áp suất thành bình. Động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử khí trong mỗi lượng khí làm thước đo nhiệt độ của lượng khí đó. Sự biến đổi trạng thái của lượng khí tuân theo các định luật đều được phát hiện bằng thực nghiệm: Định luật Bôi-lơ – Ma-ri-ốt (quá trình đẳng nhiệt) phát hiện năm 1662; định luật Sác-lơ (quá trình đẳng tích) phát hiện năm 1787; định luật Gay Luy – Xác (quá trình đẳng áp) phát hiện năm 1802. Các định luật này thiết lập được hệ thức liên hệ giữa hai trong ba thông số trạng thái của chất khí. Phối hợp các biểu thức của hai trong ba định luật này, năm 1834 nhà bác học người Pháp Cla-pê-rôn (1799-1864) đã viết được hệ thức giữa các thông số trạng thái, nghĩa là xây dựng được phương trình trạng thái của khí lí tưởng đối với lượng khí không đổi. Phương trình này cho thấy rằng ba định luật về chất khí không độc lập đối với nhau, mỗi định luật được coi là hệ quả của hai định luật kia. Đến năm 1874 nhà bác học người Nga Men-đê-lê-ép (1834-1907) đã dựa vào phương trình trạng thái của Cla-pê-rôn để xây dựng phương trình trạng thái cho một lượng khí l‎í tưởng có số phân tử khí thay đổi. 	Dựa vào các định luật và các phương trình này, áp dụng các nguyên lí của nhiệt động lực học có thể biểu diễn sự biến đổi trạng thái khí bằng đồ thị trên các hệ tọa độ vuông góc (p,V), (p,T), (V,T) và tính toán các thông số trạng thái, hiệu suất, công của khí thực hiện trong một quá trình hoặc cả chu trình. Trong phạm vi chương trình phổ thông, chỉ xét đồ thị của các đẳng quá trình, tuy nhiên trong thực tế có những quá trình biến đổi khí mà đồ thị không thuộc đẳng quá trình nào nhưng lại có dạng đường đặc biệt nào đó như đoạn thẳng, một phần parabol, đoạn nhiệt. Giữa các thông số trạng thái có mối liên hệ theo các định luật và các phương trình nói trên nên khi đồ thị được vẽ trên một trong ba hệ, ta có thể chuyển đổi sang hai hệ còn lại. 	Tuy nhiên việc chuyển đổi này và tính toán các thông số trạng thái, hiệu suất... hiện nay giáo viên và học sinh đang gặp nhiều khó khăn, chưa tìm ra được phương pháp chung để giải quyết kể cả dạng đồ thị thuộc các đẳng quá trình và đồ thị không thuộc đẳng quá trình nào nhưng có dạng đường đặc biệt. Vì vậy, việc đưa ra phương pháp chuyển đổi đồ thị từ một trong các hệ (p,V), (p,T), (V,T) sang hai hệ còn lại là một vấn đề rất cần thiết.
 Đã có nhiều tác giả tập trung nghiên cứu các đề tài về chất khí và đã có nhiều chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm, công trình khoa học có giá trị nhưng phương pháp chung để chuyển đổi đồ thị trên các hệ (p,V), (p,T), (V,T) thì chưa được đề cập sâu.
 Xuất phát từ những lí do đã nêu trên, đề tài nghiên cứu được chọn là: 
“Bài toán chuyển đổi đồ thị chất khí từ một trong các hệ (p,V), (p,T), (V,T) sang hai hệ còn lại”. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
	Đề tài nhằm tập trung nghiên cứu, phân tích lí thuyết và giải các bài tập để tìm ra phương pháp chung giải quyết vấn đề. Đề tài cũng giúp giáo viên và học sinh nhận biết và giải quyết được các bài toán thuộc hai loại đã nêu trên.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Bài toán chuyển đổi đồ thị trong các đẳng quá trình.
- Bài toán chuyển đổi đồ thị của các quá trình biến đổi chất khí không phải là các đẳng quá trình, có dạng là đoạn thẳng, một phần parabol, đoạn nhiệt.
- Tính toán các thông số trạng thái, hiệu suất, công của khí thực hiện trong một quá trình hoặc cả chu trình.
NỘI DUNG
Khi giải các bài toán về quá trình biến đổi khí trên các hệ trục tọa độ (p,V); (p,T) và 
(V,T) ta thường gặp hai loại cơ bản sau:
I. Đồ thị đã cho là các đoạn của đẳng quá trình trong các hệ (p,V); (p,T) và (V,T).
1.1. Phương pháp giải.
+ Căn cứ vào đồ thị của từng đẳng quá trình (biến đổi theo chiều mũi tên trên đồ thị).
+ Dựa vào 3 định luật biến đổi của chất khí, tìm sự biến đổi của 2 thông số còn lại.
Định luật Bôilơ – Mariôt (đẳng nhiệt): T1 = T2
 (Hai thông số còn lại tỉ lệ nghịch với nhau)
Định luật Saclơ (đẳng tích): V1 = V2
 (Hai thông số còn lại tỉ lệ thuận với nhau)
Định luật Gay – Luyxăc (đẳng áp): p1 = p2
 (Hai thông số còn lại tỉ lệ thuận với nhau)
Chú ý: 
- Các quá trình ở đây xét theo nhiệt độ tuyệt đối T.
O
2
3
4
1
V2=V1
V4=V3
V
T4
T2
T3
T1
T
Hình 1.1
- Có thể tìm sự biến đổi của hai thông số còn lại từ hai trục tọa độ của hệ. Nếu chỉ có một thông số trên hệ biến đổi thì phải dựa vào định luật của đẳng quá trình đó để tìm sự biến đổi của thông số thứ ba.
1.2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1.1: Cho đồ thị của chu trình biến đổi trong hệ (V,T) như hình 1.1. Hãy chuyển đồ thị của chu trình sang hai hệ còn lại (p,V) và (p,T).
Bài giải
1® 2 là đẳng tích, T tăng Þ p tăng (Định luật Saclơ)
2® 3 là đẳng áp, T tăng, V tăng (từ đồ thị)
3® 4 là đẳng tích, T giảm Þ p giảm (Định luật Saclơ)
4® 1 là đẳng áp, T giảm, V giảm (từ đồ thị)
Căn cứ vào sự thay đổi của các thông số trạng thái của các quá trình như nhận xét ở trên ta vẽ được đường biểu diễn chu trình lên hệ (p,V) và (p,T).
O
4
3
2
1
P1=P4
p2=p3
p
T4
T2
T3
T1
T
Hình 1.1b
3
2
O
p1=p4
p2=p3
p
1
V1=V2
V3=V4
4
V
Hình 1.1a
T2 (T2 >T4)
T4
0
9
180
36
360
4
3
2
1
T(K)
V(dm3)
Hình 1.2
Chú ý: Loại bài tập này không có số liệu cụ thể, cần so sánh giá trị các thông số ở các điểm trên đồ thị trước khi chuyển hệ.
Ví dụ 1.2: Một mol khí lí tưởng thực hiện theo một chu trình khép kín 1®2®3®4®1 như hình 1.2. Cho biết: T1=T2=360K; T3=T4=180K; V1 = 36dm3; V3 = 9dm3. 
Cho hằng số khí lí tưởng R = 8,31J/mol.K
a) Tính các thông số còn lại ở các trạng thái 1, 2, 3, và 4.
b) Vẽ đồ thị của chu trình trong hệ tọa độ (p,V) và (p,T).
Bài giải
a) Sơ đồ biến đổi:
b) Đồ thị của chu trình trong hệ tọa độ (p,V) và (p,T) như hình 1.2a và 1.2b.
O
Hình 1.2b
0,83
1,66
180
360
4
3
2
1
T(K)
p(105Pa)
O
Hình 1.2a
0,83
1,66
 18
36
 9
4
3
2
1
V(dm3)
p(105Pa)
Ví dụ 1.3: Có 1g khí Heli (coi là khí lí tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1®2®3®4®1 được biểu diễn trên hệ (p,T) như hình 1.3. Cho ; T0 = 300K.
p
T
0
T0
2p0
1
2
3
4
2T0
p0
Hình 1.3
 a) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
 b) Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu trình này trên hệ (p,V) và (V,T). 
 c) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình.
Bài giải
a) Ta có quá trình 4®1 là đẳng tích Þ V1 = V4.
Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép cho trạng thái 1:
Thay số: m = 1g; M = 4g/mol; R= 8,31J/(mol.K); T1= 300K và p1 = 2.105 Pa ta được:
b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
Căn cứ vào các thông số trạng thái ở các trạng thái 1, 2, 3 và 4 ta vẽ được đồ thị biểu diễn chu trình kín trong các hệ (p,V) và (V,T) như hình 1.3a và 1.3b.
p(105Pa)
Hình 1.3a
V(l)
0
3,12
2
1
2
3
4
12,48
1
6,24
V(l)
Hình 1.3b
T(K)
0
3,12
1
2
3
4
12,48
6,24
300
600
150
c) Dựa vào đồ thị biểu diễn chu trình trong hệ (p,V) ta sẽ tính công mà khí thực hiện trong từng quá trình:
Ta có dA = pdV
1®2 là đẳng áp Þ
2®3 là đẳng nhiệt Þ 
Þ 
3®4 là đẳng tíchÞ
4®1 là đẳng áp Þ . 
II. Đồ thị đã cho có quá trình biến đổi trạng thái không phải là đẳng quá trình.
2.1. Đoạn đồ thị không phải đẳng quá trình, có dạng là đoạn thẳng trong các hệ (p,V); (p,T) và (V,T).
Giả sử đó là quá trình biến đổi từ trạng thái 1 sang trạng thái 2
2.1.1. Phương pháp giải.
 + Lập phương trình đường thẳng chứa đoạn đồ thị đó dạng y = ax + b.
Cụ thể: Hệ (p,V) là p = aV + b; hệ (p,T) là p = aT + b; hệ (V,T) là V = aT + b	 (1)
 + Thay tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng của đồ thị ta có hệ phương trình:
Hệ (P,V) ; Hệ (p,T) ; Hệ (V,T) (2)
 + Giải hệ (2) tìm ra a và b rồi thay vào (1) ta được phương trình:
p = f(V); p = f(T); V = f(T)	 (3)
 + Theo phương trình Clapêrôn – Menđêlêép: 	 (4)
 + Giải hệ (3) và (4) để tìm thông số thứ ba (thông số không có trên hệ trục đã cho)
Hệ (p,V) ; Hệ (V,T) ; Hệ (P,T) 
 + Vẽ đồ thị trong các hệ còn lại
O
Hình 2.1.1
p0/2
p0
 2V0
 V0
2
1
V
p
2.1.2. Một số ví dụ.
Ví dụ 2.1.1: Một khối khí lí tưởng thực hiện quá trình dãn nở từ trạng thái 1 (p0,V0) đến trạng thái 2 (p0/2, 2V0) có đồ thị trên hệ (p,V) như hình 2.1.1.
 a) Biểu diễn quá trình này lên hệ (p,T) và (V,T) và xác định nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trình đó.
 b) Xác định công mà khối khí thực hiện được từ lúc bắt đầu biến đổi trạng thái đến lúc nhiệt độ cực đại.
Bài giải
a) Từ đồ thị ta có: P = aV + b	(1)
Thay các thông số trạng thái 1 và 2 ta có hệ:
Þ 	(2)
Giải hệ (1) và (2) ta được 
Thay a và b vào (1) được phương trình 	(3)
Mặt khác theo phương trình Clapêrôn – Menđêlêép:	(4)
* Vẽ trên hệ (p,T)
Từ (3) Þ thay vào (4) ta có
 Þ 	(5)
T là hàm bậc 2 theo p nên đồ thị trong hệ (p,T) là một phần parabol như hình 2.1.1a.
Từ (5) Þ 
Lại có 
Từ đồ thị của phương trình (5) ta thấy khi thì 
* Vẽ trên hệ (V,T)
Từ (3) và (4) ta được phương trình: 	(6)
T là hàm bậc 2 theo V nên đồ thị trong hệ (V,T) là một phần parabol như hình 2.1.1b.
3p0/4
3p0/2
O
Hình 2.1.1a
p0/2
Tmax
2
1
T
p
T1=T2
p0
2V0
3V0/2
3V0
O
Hình 2.1.1b
V0
Tmax
1
2
T
V
T1=T2
Từ (6) Þ 
Từ đồ thị của phương trình (6) ta thấy khi thì 
b) Tính công khối khí thực hiện được từ lúc bắt đầu biến đổi trạng thái đến lúc nhiệt độ cực đại
Theo câu a, khi khối khí có nhiệt độ cực đại thì 
3p0/4
O
Hình 2.1.1c
p0/2
p0
 2V0
V0
2
1
V
p
 3V0/2
Công mà khối khí thực hiện được chính là diện tích hình thang vuông (phần gạch chéo trong hình 2.1.1c)
Chú ý: Có thể tính công khối khí thực hiện được từ công thức:
,
Với 
Þ 
O
p2=p3
V
p
V1
V2
1
2
3
p1
Hình 2.1.2
Þ 
Ví dụ 2.1.2: Một khối khí lí tưởng biến đổi theo chu trình kín đượ mô tả bằng đồ thị trong hệ (p,V) như hình 2.1.2. Hãy biểu diễn sự biến đổi trạng thái đó sang hệ (p,T) và (V,T).
Bài giải
Ta có:	 2®3 là đẳng áp, V giảm Þ T giảm
	 3®1 là đẳng tích, p giảm Þ T giảm
Xét quá trình từ 1®2:
Đường thẳng chứa đoạn đồ thị đi qua O Þ p = aV	(1)
Ta có hệ phương trình
	(2)
Theo phương trình Clapêrôn – Menđêlêép: 	(3)
* Vẽ trên hệ (V,T)
Từ (2) và (3) Þ 	(4)
T là hàm bậc 2 theo V nên quá trình từ 1®2 sẽ có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là gốc tọa độ ở trong hệ (V,T) như hình 2.1.2a.
3
V2
O
Hình 2.1.2a
V1=V3
1
2
T
V
T1
T3
T2
3
p2=p3
O
Hình 2.1.2b
p1
1
2
T
p
T1
T3
T2
* Vẽ trên hệ (p,T)
Từ (2) và (3) Þ 	(5)
T là hàm bậc 2 theo p nên quá trình từ 1®2 sẽ có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là gốc tọa độ ở trong hệ (p,T) như hình 2.1.2b.
P3
p1
2
3
1
0
p2
p
V
Hình 2.1.3
V1
V3
Ví dụ 2.1.3: Một lượng khí lí tưởng thực hiện một chu trình kín như hình 2.1.3. Nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 là 200K, ở hai trạng thái 2 và 3 khí có cùng nhiệt độ và có V3= 3V1.
 a) Vẽ đồ thị biểu diễn chu trình đó trên hệ (T,V) và (p,T).
 b) Xác định nhiệt độ cực đại của khí.
Bài giải
a) Từ hình 2.3 ta thấy quá trình 3®1 nằm trên đường đi qua gốc tọa độ nên
	(1)
Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng cho trạng thái 2 và 3:
, với T2 = T3 và V3 = 3V2 Þ p2 = 3p3 = 9p1	(2)
Quá trình 1®2 là đẳng tích nên 	(3)
Ta viết phương trình đường thẳng biểu diễn quá trình 2®3 và 3®1:
+ Với quá trình 2®3 là p = aV + b.
Þ 
	Þ 	(4)
+ Với quá trình 3®1 là 	(5)
Theo phương trình Clapêrôn – Menđêlêép:	(6)
* Vẽ trên hệ (T,V)
Từ (6) Þ , thay vào (4) và (5) ta có các phương trình (8) và (9) của các quá trình
2®3 là 	(8)
Đồ thị của phương trình (8) là phần parabol trên hệ (T,V) và đi qua gốc tọa độ. Và có và khi T = 0 thì 
3®1 là 	(9)
Đồ thị của phương trình (9) là phần parabol trên hệ (T,V) và có đỉnh là gốc tọa độ. Và có Còn quá trình 1®2 là đẳng tích, có 
Từ đó ta vẽ được đường biểu diễn chu trình kín trong hệ (T,V) như hình 2.1.3a
* Vẽ trên hệ (p,T)
Từ (6) Þ , thay vào (4) và (5) ta được các phương trình (10) và (11) của các quá trình:
2®3 là 	(10)
Đồ thị của phương trình (10) là phần parabol trên hệ (p,T) và đi qua gốc tọa độ. Và có , khi T = 0 thì 
3®1 là 	(11)
Đồ thị của phương trình (11) là phần parabol trên hệ (p,T) và có đỉnh là gốc tọa độ. Và có 
Tmax
T1
2
3
1
0
T2
T
V
Hình 2.1.3a
V1
V3
P3
Tmax
T1
2
3
1
0
T2
T
p
Hình 2.1.3b
p1
P2
Từ đó ta vẽ được đường biểu diễn chu trình kín trong hệ (p,T) như hình 2.1.3b
b) Từ đồ thị ta thấy nhiệt độ cực đại ứng với quá trình 2®3, khi thì 
2 
1 
3 
4
V 
T 
0 
V2 
V1 
T1 
T2
Hình 2.1.4
2.1.3. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Một lượng khí biến đổi theo chu trình được biểu diễn trên đồ thị hình 2.1.4. Biết: p1=p3; V1 =1m3 , V2 = 4m3; T1 = 100K và T4=300K.
 a) Tính V3 = ?
 b) Biểu diễn chu trình lên hệ (P,T) và (V,T)
 c) Tính công mà lượng khí thực hiện trong cả chu trình
V
3
Hình 2.1.5
1
p
2
0
Bài 2: Chu trình thực hiện biến đổi 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử như hình 2.1.5. Có hai quá trình biến đổi trạng thái khí, trong đó áp suất phụ thuộc tuyến tính vào thể tích. Một quá trình biến đổi trạng thái khí đẳng tích. Trong quá trình đẳng tích 1®2 khí nhận nhiệt lượng Q=4487,4J và nhiệt độ của nó tăng lên 4 lần. Nhiệt độ tại các trạng thái 2 và 3 bằng nhau. Biết nhiệt dung mol đẳng tích R=8,31J/K.mol.
a) Hãy xác định nhiệt độ T1 của khí.
b) Tính công mà khí thực hiện được trong một chu trình.
V
3
Hình 2.1.6
2
p
1
0
Bài 3: Trên hình 2.1.6 biểu diễn một chu trình biến đổi trạng thái của n mol khí lí tưởng. Chu trình bao gồm hai đoạn thẳng biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất p vào thể tích V và một đường đẳng áp. Trên đường đẳng áp 1®2, sau khi thực hiện một công A thì nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ ở các trạng thái 1 và 3 bằng nhau. Các điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ. 
a) Biểu diễn chu trình lên hệ (p,T) và (V,T)
b) Xác định công mà khí thực hiện trong chu trình.
2.2. Đoạn đồ thị không phải đẳng quá trình, có dạng là phần parabol trong các hệ (p,V); (p,T) và (V,T).
Giả sử đoạn đồ thị đó là quá trình biến đổi trạng thái từ trạng thái 1 sang 2 và 3
2.2.1. Phương pháp giải.
 + Lập phương trình đường parabol chứa đoạn đồ thị đó dạng y = ax2 + bx + c.
Cụ thể: Hệ (p,V) là p = aV2 + bV + c; hệ (p,T) là p = aT2 + bT + c;
hệ (V,T) là V = aT2 + bT + c	(1)
 + Thay tọa độ của các điểm thuộc đoạn đồ đó ta có hệ phương trình:
Hệ (P,V) ; Hệ (p,T) ;
 Hệ (V,T) 	(2)
 + Giải hệ (2) tìm ra a, b và c rồi thay vào (1) ta được phương trình:
p = f(V); p = f(T); V = f(T)	(3)
 + Theo phương trình Clapêrôn – Menđêlêép: 	(4)
 + Giải hệ (3) và (4) để tìm thông số thứ ba (thông số không có trên hệ trục đã cho)
Hệ (p,V) ; Hệ (V,T) ; Hệ (P,T) 
 + Vẽ đồ thị trong các hệ còn lại
Chú ý: Với dạng bài toán này thường cho đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ () hoặc đi qua gốc tọa độ () hoặc có trục đối xứng là trục oy (y=x2 + c). Trong trường hợp này bài toán chỉ cho đường parabol đó là quá trình biến đổi của hai trạng thái
2.2.2. Một số ví dụ.
V(l)
T(K)
O
1
2
3
V1
V3
Hình 2.2.1
T1
T2
T3
Ví dụ 2.2.1: Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình kín 1®2®3®1 như hình 2.2.1. Biết T1=300K; T3 = 675K; V3 = 5lít; R=8,31J/mol.K; Đường biểu diễn quá trình 3®1 nằm trên một Parabol có đỉnh là gốc tọa độ.
a) Biểu diễn chu trình lên hệ (P,V).
b) Tính công mà chất khí sinh ra trong cả chu trình.
Bài giải
a) Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép cho một mol khí lí tưởng ở trạng thái 3: 
0
p2=p3
V
p
V1
V3
1
3
2
p1
Hình 2.2.1a
Quá trình 3®1 có dạng đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ nên ta có phương trình dạng 
Þ Þ 
Suy ra ; .105 N/m2
Từ 
Do đó, đường biểu diễn quá trình 3®1 trong hệ (p,V) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ, nên ta có đường biểu diễn chu trình trong hệ (p,V) như hình 2.2.1a.
b) Công mà chất khí sinh ra là diện tích hình tam giác biểu diễn chu trình trong hệ (p,V) là 
0
T1=T2
1
2
T
V
Hình 2.2.2
V1
V2
Ví dụ 2.2.2: Một mol khí lí tưởng biến đổi từ trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo quá trình có đồ thị T=f(V) là đường cong parabol có đường kéo dài qua gốc toạ độ như hình 2.2.2. Hãy tính công mà khí nhận được hoặc sinh ra từ trạng thái (1) đến khi nhiệt độ của nó đạt cực đại. Cho biết: T1=T2=300K, V1=4lít, V2=8lít.
Bài giải
Do đồ thị đi qua gốc tọa độ nên ta có phương trình 	(1)
Xét ở trạng thái 1 và 2 ta có hệ
Þ 	(2)
Từ phương trình (1) Þ Khi thì nhiệt độ cực đại
2
1
0
p1
p
V
Hình 2.2.2a
V1
V2
p2
p0
V0
Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép cho một mol khí, ta có:
	(3)
Từ (1) và (3) Þ 	(4)
Từ phương trình (4), ta thấy trong hệ (P,V) quá trình 1®2 được biểu diễn bởi đoạn thẳng như hình 2.2.2a.
Thay V1 = 4l, V0 = 6l, , , vào phương trình (4) ta được p1 = 6,15atm và p0= 4,6125atm.
	Từ đồ thị ta thấy, từ trạng thái 1 đến trạng thái chất khí có nhiệt độ cực đại thì chất khí giãn nở từ thể tích V1 đến V0, áp suất giảm từ p1 đến p0. Do đó chất khí sinh công A chính bằng diện tích tam giác gạch chéo như hình 2.2.2a.
p
0
V
a
Hình 2.2.3
Ví dụ 2.2.3: Một mol khí lí tưởng thực hiện các quá trình biến đổi như sau:
a) Đường biểu diễn áp suất chất khí theo thể tích khí là một phần parabol, biết rằng parabol này nhận trục Op làm trục đối xứng như hình 2.2.3. Trong đó a, b là các hằng số. Tìm nhiệt độ cực đại của khí và thể tích khí khi đó.
b) Nhiệt độ biến đổi theo quy luật T = cV2 + d. Tìm áp suất nhỏ nhất của khí (c, d là các hằng số)
Bài giải
a) Đường biểu diễn p theo V là parabol có trục đối xứng Op nên đỉnh parabol nằm trên Op.
Đường biểu diễn có dạng p = mV2 + n.
V = 0 Þ p = n = a
P = 0 Þ 
Vậy p = -bV2 + a	(1)
Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép cho một mol khí:
pV = RT	(2)
Từ (1) và (2) Þ 
Trong quá trình này nhiệt độ T phụ thuộc vào thể tích khí V. Khảo sát sự biến thiên của T theo V:
Đạo hàm 
Khi đó và 
b) Áp dụng phương trình Clapêrôn – Menđêlêép cho một mol khí:
pV = RT = R(cV2 + d)
Þ 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi: 
Vậy khi thì 
2.2.3. Bài tập tự luyện.
3
2
1
0
p
V
Hình 2.2.4
V1
V2
p1
p2
V3
Bài 1: Một mol khí lí tưởng thực hiện một chu trình kín 1®2®3®1 như hình 2.2.4. Biết quá trình 1®2 là một phần parabol, quá trình 2®3 là đoạn thẳng có đường kéo dài đi qua gốc tọa độ, quá trình 3®1 là đẳng áp. Cho V1 = 2l; V2 = 8l; V3=5l; p1 = 1at.
 a) Xác định nhiệt độ của lượng khí trên ở các trạng thái 1, 2 và 3.
 b) Biểu diễn chu trình lên các hệ (p,T) và (V,T).
 c) Tính công mà chất khí sinh ra trong cả chu trình.
T
0
V
2T1
T1
2
3
1
Hình 2.2.5
V2
V1
Bài 2: Cho n mol khí lí tưởng biến đổi trạng thái được biểu diễn như hình 2.2.5. Các quá trình 12 và biểu thị bằng các đoạn thẳng. Quá trình biểu thị bằng công thức: . Trong đó T1 = 350K, b là hằng số chưa biết.
 a) Biểu diễn chu trình lên hệ (p,T) và (V,T).
 b) Tìm công của khối khí thực hiện trong một chu trình. 
2.3. Đoạn đồ thị không phải là đẳng quá trình, là quá trình đoạn nhiệt.
2.3.1. Lí thuyết về quá trình đoạn nhiệt.
	Quá trình đoạn nhiệt là quá trình hệ không trao đổi nhiệt với môi trường ngoài, tức là Q = 0 hay dQ = 0.
Theo nguyên lí thứ nhất của nhiệt động học: dU = dA + dQ Þ dU = dA
Với là độ biến thiên nội năng của hệ.
	m, M là khối lượng và khối lượng mol phân tử chất khí
	i là số bậc tự do phân tử
	CV là nhiệt dung phân tử đẳng tích của chất khí
dA = - pdV là công mà hệ nhận