SKKN Áp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp

Môc lôc
Môc Trang
1. PhÇn më ®Çu	 2
2. Néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm 3
2.1 Ap dông quy t¾c ®Õm chøng minh 
 c«ng thøc Van- §ec- Mon 3
2.2 Ap dông quy t¾c ®Õm ®Ó tÝnh tæng 	 3
2.3 KÕt hîp cÊp sè céng vµ c«ng thøc Van-§ec-Mon
 ®Ó tÝnh tæng	 14
2.4 C¸c bµi tËp ®Ò nghÞ	 15
3. KÕt luËn	 16
4. Tµi liÖu tham kh¶o	 18
1.	 MỞ ĐẦU
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 Đại số tổ hợp là phần kiến thức cơ sở hết sức quan trọng . Phần này không những có tác dụng rèn luyện tư duy trừu tượng cho học sinh mà còn là kiến thức cơ sở cho việc hình thành phẩm chất tư duy trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế sau này.
 Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: Học sinh gặp nhiều khó khăn, chưa chủ động và thiếu tự tin trong quá trình học Đại số tổ hợp. Đặc biệt học sinh gặp khó khăn nhất khi gặp những bài toán tính tổng. Loại toán này lại thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi đại học. Để giúp học sinh chủ động và tự tin hơn trong quá trình học và làm bài tâp về dạng toán này, tôi xin đề xuất một phương pháp tính tổng thông qua bài viết : “Áp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp ”. 
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Nhằm giúp học sinh chủ động tự tin hơn trong khi giải bài toán tính tổng trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi các cấp.
 Đây là phần kiến thức khó trong khi học sinh kỹ năng tư duy logic chưa tốt, nên cần phải có một phương pháp tính tổng để chuyển một bài toán khó thành một bài toán quen biết và dễ hơn. Và thông qua phương pháp này học sinh có thể tự ra đề toán và giải bài toán đó một cách chủ động.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11qua các khóa trực tiếp giảng dạy.
 Thông qua việc tìm mối quan hệ giữa một tổng cần tính với một bài toán Đếm và giải bài toán đó bằng hai cách mà trong đó có một cách làm xuất hiện tổng cần tính.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê, tổng hợp ,khái quát hóa và đưa ra bài toán tổng quát.
2.	 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NHIỆM
2.1 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ
CHỨNG MINH CÔNG THỨC VAN-ĐEC-MON
Bài toán : Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ 
Giải bài toán này bằng hai cách.
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1 : Chọn 0 bạn nam và k ban nữ ta có cách chọn
TH2 : Chọn 1 bạn nam và k-1 ban nữ ta có cách chọn
 TH3: Chọn 2 bạn nam và k-2 ban nữ ta có cách chọn
..
THk: Chọn k bạn nam và 0 ban nữ ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
Từ hai cách giải trên ta có công thức Van Đéc Mon sau
Áp dụng công thức Van- Đec-Mon cho trường hợp n = m = k ta có:
2.2 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN 
 TÍNH TỔNG
Tính tổng sau
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 1: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có một bạn nam làm đội trưởng
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và k-1 ban nữ ta có cách chọn
 TH2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và k-2 ban nữ ta có cách chọn
..
THk-1: Chọn k bạn nam và có k cách chọn 1 trong k nam để làm tổ trưởng và 0 ban nữ ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có 
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách
Bài toán 2 : Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam làm quản lý. 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1 : Chọn i bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và k-i bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta có cách chọn 
 TH2: Chọn i+1 bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và k-i-1 bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta có cách chọn
..
THk-i-1: Chọn k bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có 
Tính tổng sau
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách
Bài toán 3: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ làm quản lý. 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1: Có cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn j bạn nữ làm nhiệm 
TH2: Có cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có cách chọn
..
TH k-i-j+1: Có cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có: 
Tính tổng sau
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 4: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có một bạn nam làm đội trưởng và có một bạn nam làm đội phó.
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
 TH1: Có cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có cách chọn ban nữ vậy ta có cách chọn
TH2: Có cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có cách chọn ban nữ vậy ta có cách chọn
..
TH k-1: Có cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có :
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 5: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam mỗi bạn nhận một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý đội 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1: Có cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ
Vậy ta có 
 TH2: Có cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có cách chọn
..
TH k-j+1: Có cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có : 
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 6: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1: Có cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý các bạn nam và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau quản lý các bạn nữ .Vậy ta có 
 TH2: : Có cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý các bạn nam và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau quản lý các bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
..
TH k-i-j+1: Có cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
 Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có : 
Tính tổng sau: 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 7: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có 1 bạn nam làm đội trưởng
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH 1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và cách chọn n-1 ban nữ, vậy ta có cách chọn
 TH 2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và cócách chọn k-2 ban nữ , vậy ta có cách chọn
..
TH n: Chọn n bạn nam và có n cách chọn 1 trong n nam để làm tổ trưởng và 0 ban nữ ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn 
 Từ hai cách giải trên ta có:
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 8: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có k bạn nam làm nhiệm vụ quản lý đội. 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH 1 : Chọn k bạn nam và có cách chọn k nam để làm quản lý và cách chọn n-k ban nữ, vậy ta có cách chọn
 TH 2: Chọn k+1 bạn nam và có cách chọn k nam để làm quản lý và cách chọn n-k-1 ban nữ, vậy ta có cách chọn
..
TH n-k+1: Chọn n bạn nam và có cách chọn k trong n nam để làm quản lý và 0 ban nữ ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn 
 Từ hai cách giải trên ta có: 
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 9: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý đội. 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH 1 : Chọn i bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và cách chọn n-i ban nữ và có cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có cách chọn
 TH 2 : Chọn i+1bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và cách chọn n-i-1 ban nữ và có cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có cách chọn
..
TH n-k-j +1: Chọn n-j bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và có cách chọn j ban nữ và có cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn 
 Từ hai cách giải trên ta có: 
Tính tổng sau
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 10: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có một bạn nam làm đội trưởng và có một bạn nam làm đội phó.
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
 TH1: Có cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có cách chọn ban nữ vậy ta có cách chọn
TH2: Có cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có cách chọn ban nữ vậy ta có cách chọn
..
TH k-1: Có cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn một nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có cách chọn ban nữ vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có : 
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 11: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam mỗi bạn nhận một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý đội 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
 TH1: Có cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ
Vậy ta có cách chọn
 TH1: Có cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
..
TH n-i+1: Có cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có : 
Tính tổng sau 
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 12: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ 
Cách 1: Ta có cách chọn
Cách 2: 
TH1: Có cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có 
 TH2: : Có cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
..
TH k-i-j+1: Có cách chọn n-j bạn nam trong n bạn nam và có cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có cách chọn j ban nữ trong n bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có cách chọn
 Theo quy tắc cộng ta có cách chọn
 Từ hai cách giải trên ta có : 
2.3 KẾT HỢP CẤP SỐ CỘNG VỚI CÔNG THỨC
 VAN- ĐEC- MON ĐỂ TÍNH TỔNG
Tính tổng sau
 Giải: Nhận thấy 2; -3; -8; -13;...;2-5n là một cấp số cộng với công sai là d = -5 
Ta có 
Cộng vế hai đẳng thức trên và để ý rằng ta có
 Vậy 
Tính tổng sau
Trong đó : ; ;;; là một cấp số cộng công sai là 
Giải:
Ta có 
Cộng vế hai đẳng thức trên và để ý rằng và ==== ta có 
 Vậy .
2.4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Tính các tổng sau:
 -------------------------------------------------------------------------------------
3. KẾT LUẬN
3.1 Kết quả thực nghiệm
3.1.1 Kết quả kiểm tra
Lớp
Sỹ số
Điểm TB
Điểm Khá
Điểm giỏi
Đạt yêu cầu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11B3
44
18
41
14
32
8
18
40
90
11B7
42
20
48
12
29
5
12
37
88
11B10
45
24
53
10
22
4
8
38
84
3.1.2 Kết quả chung
 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë c¸c líp 11B3 - 11B7 - 11B10 cña tr­êng THPT Hµm Rång, khi ¸p dông ®Ò tµi nµy t«i thÊy häc sinh chñ ®éng chuyÓn “L¹’’ thµnh “Quen’’ vµ gi¶i quyÕt mét m¶ng bµi tËp lín vÒ tÝnh tæng mét c¸ch chñ ®éng, tù tin vµ høng thó häc tËp phÇn to¸n tÝnh tæng.§Æc biÖt tõ ph­¬ng ph¸p nµy häc sinh cßn cã thÓ tù ra đề nh÷ng bµi to¸n tÝnh tæng lý thó vµ ®a d¹ng.
3.2 Bài học kinh nghiệm
 Từ thực tế áp dụng đề tài này vào giảng dạy, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm vững các quy tắc đếm và các khái niệm trong đại số tổ hợp để có thể đặt ra một bài toán đếm có liên quan đến tổng cần tìm. Rèn luyện kỹ năng giải một bài toán đếm bằng nhiều cách khác nhau.
3.3 kết luận
3.3.1 Ưu điểm
 Trong ph¹m vi cña bµi viÕt nµy ®· kh¼ng ®Þnh ®­îc vai trß quan träng cña quy t¾c ®Õm trong viÖc tÝnh tæng. B»ng ph­¬ng ph¸p nµy cho phÐp chóng ta thay thÕ viÖc tÝnh mét tæng “Phøc t¹p’’ thµnh viÖc gi¶i mét bµi to¸n “Quen’’
 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë c¸c líp 11B3 - 11B7 - 11B10 cña tr­êng THPT Hµm Rång, khi ¸p dông ®Ò tµi nµy t«i thÊy häc sinh chñ ®éng chuyÓn “L¹’’ thµnh “Quen’’ vµ gi¶i quyÕt mét m¶ng bµi tËp lín vÒ tÝnh tæng mét c¸ch chñ ®éng, tù tin vµ høng thó häc tËp phÇn to¸n tÝnh tæng.§Æc biÖt tõ ph­¬ng ph¸p nµy häc sinh cßn cã thÓ tù ra đề nh÷ng bµi to¸n tÝnh tæng lý thó vµ ®a d¹ng.
3.3.2 Hạn chế
 Phạm vi áp dụng phương pháp còn hẹp mới dừng lại ở một số tổng có tính chất đặc biệt.
3.3.3 Hướng phát triển đề tài
 Kết hợp quy tắc đếm với cấp số nhân và các dãy số đặc biệt để mở rộng các dạng tính tổng hơn nữa.
 Trong thêi gian tíi rÊt mong ®­îc sù céng t¸c cña c¸c ®ång nghiÖp ®Ó chóng ta cã thÓ ®­a ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng kh¸c, nh»m chuyÓn ho¸ viÖc tÝnh mét tæng “Khã’’ thµnh viÖc gi¶i mét bµi to¸n “Quen biÕt”.
 §iÒu mong muèn h¬n c¶ lµ ®­îc l¾ng nghe sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®ång nghiÖp cho ®Ò tµi nµy . Mét lÇn n÷a xin c¶m ¬n sù quan t©m ®äc vµ gãp ý cña mäi ng­êi ./.
 ---------------------------------------------------------------
4. tµi liÖu tham kh¶o
1. S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè vµ gi¶i tÝch n©ng cao líp 11 (SGK §S-GT 11 NC)
2. S¸ch bµi tËp ®¹i sè vµ gi¶i tÝch n©ng cao líp 11 (SBT §S-GT 11 NC)
3. S¸ch gi¶i to¸n ®¹i sè vµ gi¶i tÝch 11 ,cña t¸c gi¶ TrÇn Thµnh Minh viÕt cho häc sinh c¸c líp chuyªn vµ häc sinh kh¸ giái (Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc)
4. §¹i sè tæ hîp vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan cña t¸c gi¶ Lª S¸ng ( Nhµ xuÊt b¶n §µ N½ng – 1994 )
5. B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ
6. TËp c¸c ®Ò thi HSG cña c¸c tr­êng THPT trong c¶ n­íc, ®Æc biÖt lµ tËp ®Ò thi cña tr­êng THPT Hµm Rång Thµnh phè Thanh Ho¸.
 Nh©n dÞp hoµn thµnh bµi viÕt. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n tÊt c¶ c¸c t¸c gi¶ ®· viÕt s¸ch vµ xuÊt b¶n nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o quý b¸u cung cÊp cho bµi viÕt nµy !
 T«i xin cam ®oan SKKN nµy kh«ngph¶i lµ SKKN cò hay lµ b¶n sao chÐp cña ng­êi kh¸c, t«i xin chÞu hoµn toµn tr¸ch nhiÖm nÕu cã sù man tr¸. 
 Tr­êng THPT Hµm Rång ngµy 10 Th¸ng 5 N¨m 2016
Thñ tr­ëng c¬ quan	 Ng­êi viÕt
 NguyÔn Hång Quang