SKKN Áp dụng bất đẳng thức cô-Si và bunhia côpxki giải các bài tập cơ học sơ cấp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
**********
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI VÀ BUNHIA CÔPXKI GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC SƠ CẤP
 Người thực hiện : Nguyễn Thọ Tuấn
 Chức vụ : Giáo viên
 Đơn vị công tác : Trường THPT Triệu Sơn 2
 SKKN thuộc môn : Vật lý
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
- Phương pháp dùng bất đẳng thức (BĐT) là một phương pháp quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán Vật lý, trong đó có các bài toán Cơ học sơ cấp. Đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi dùng BĐT để giải bài toán là phương pháp duy nhất với nhiều bài toán khó, lạ. Tuy nhiên trong thực tế lại không có nhiều giáo viên và học sinh biết sử dụng hoặc có thể sử dụng thành thạo cách này. 
- Trong các kỳ thi, đặc biệt là thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và các kì thi Olympic xuất hiện nhiều bài toán về tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng Vật lý. Hầu hết học sinh khi tham gia giải quyết các bài toán Vật lý có liên quan đến phương pháp dùng BĐT để tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý đều chưa thành thạo, hoặc có làm được thì cũng làm một cách máy móc mà chưa nắm được bản chất của vấn đề, đôi khi hiểu sai bản chất, áp dụng một cách máy móc. Khi biến đổi một vài dữ kiện của bài toán để chuyển thành bài toán khác thì học sinh lại gặp phải nhiều lúng túng. 
- Bằng sự học hỏi và kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi đã mạnh dạn và kiên trì nghiên cứu những phương pháp giải toán hay, trong đó có phương pháp dùng BĐT để tìm nghiệm Vật lý. Mục đích là phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn, nâng cao chất lượng dạy của thầy và học của trò. Đồng thời cũng mong muốn các đồng nghiệp có thêm một tài liệu hay để phục vụ tốt hơn nữa công tác giảng dạy của mình.
Vì những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và Bunhia côpxki giải các bài tập Cơ học sơ cấp”
2. Mục đích nghiên cứu.
Thực hiện đề tài này, người viết muốn chia sẻ với đồng nghiệp, các em học sinh đang ôn thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, thi THPT Quốc gia môn vật lý những kinh nghiệm sử dụng BĐT để giải bài toán Cơ học hiệu quả nhất. Đó cũng chính là những kinh nghiệm mà chúng tôi đúc kết từ thực tiễn ôn luyện đội tuyển HSG môn Vật lí và ôn thi THPT Quốc gia tại trường THPT Triệu Sơn 2 trong nhiều năm qua.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (hoặc giá trị giới hạn) của các đại lượng Vật lý trong các bài toán Cơ học sơ cấp THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu và tổng hợp tài liệu.
- Tổng hợp kinh nghiệm thực tế.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý thuyết của sáng kiến kinh nghiệm
1.1. Bất đẳng thức Côsi
Cho hai số a và b, có : a + b ³ 2	(a, b dương)
Mở rộng cho 3 số : a + b + c ³ 3	(a, b, c dương) 
+ Hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng có giá trị lớn nhất khi hai chúng bằng nhau.
+ Tích hai số không âm có giá trị không đổi thì tổng của chúng có giá trị nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi các số bằng nhau : a = b hoặc a = b = c.
1.2. Bất đẳng thức Bunhia côpxki
 Với 4 số a1, b1, a1 và b2 ta có : (a1b1 + a2b2)2 £ (a1 + a2)2.(b1 + b2)2.
Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi hoặc .
1.3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giải bài toán Cơ học sơ cấp
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức (BĐT) thường dùng để tìm giới hạn của một đại lượng vật lý nào đó (lớn nhất, nhỏ nhất hoặc một điều kiện giới hạn nào đó). Đề bài có thể nói rõ yêu cầu tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Để giải các bài toán Cơ học liên quan đến áp dụng BĐT, trước tiên ta phải đọc kĩ đề bài. Sau đó dựa vào dữ kiện đề bài cho, phân tích điều kiện bài toán, áp dụng các định luật, định lí vật lý đã có để viết biểu thức của đại lượng cần tính cực trị. Biểu thức của đại lượng phải chứa các thông số biến đổi và không biến đổi mà nếu sử dụng BĐT sẽ cho ra giới hạn là hằng số. Nếu biểu thức đơn giản mà thấy được thì ta áp dụng BĐT ngay, nếu biểu thức còn phức tạp và chưa rõ ràng thì ta biến đổi thêm để đưa biểu thức về dạng đơn giản dễ thấy để áp dụng BĐT. 
	Lưu ý rằng một số bài toán có kết quả cần tìm được suy ra từ hệ quả của BĐT. 
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT (cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và trong các đề thi Olympic,), nhìn chung có nhiều bài tập cơ học cần phải giải bằng cách áp dụng BĐT.
 - Trong tình hình chung chưa có một tài liệu chuẩn và hệ thống bài tập nào về phương pháp này trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quôc gia, vậy nên các giáo viên được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quôc gia đều phải mò mẫm và thiếu tính hệ thống.
- Áp dụng BĐT để giải các bài toán cơ học đều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên, bởi lẽ các bài toán này mang tính đơn lẻ, mỗi bài lại phải qua nhiều bước tính toán. Nhiều giáo viên và học sinh chưa nắm vững hoặc không biết sử dụng BĐT cho giải toán vật lý.
 	Với phương pháp và hệ thống bài tập phong phú dưới đây, chúng tôi hi vọng sẽ giúp cho giáo viên và các em học sinh hiểu rõ bản chất và giải tốt các bài toán dạng này.
3. Hệ thống các bài toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải 
3.1. Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Cô-si
Bài 1: Một hành khách còn cách xe buyt đang đứng yên một đoạn L = 25 m thì xe đột ngột chuyển động về phía trước (ra xa người) với gia tốc a = 0,5 m/s2. Hành khách chạy đuổi theo với vận tốc không đổi v. Hỏi người phải chạy với vận tốc tối thiểu v bằng bao nhiêu để đuổi kịp xe buyt ? Tính thời gian đuổi kịp xe buyt.
Hướng giải: 
+ Vận tốc tối thiểu khi người gặp xe một lần duy nhất.
+ Quảng đường người đó phải chạy cho tới khi gặp nhau bằng 
+ Vận tốc của người này bằng : 
+ Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cô-si : = hằng số (hs).
+ Vận tốc tối thiểu : m/s.
* Vận tốc tối thiểu đạt được khi s.
Bài 2: Một người trượt băng trên khoảng cách l = 500 m ban đầu với vận tốc v không đổi, rồi sau đó người này hãm lại với gia tốc có độ lớn a = 0,05 m/s2. Hỏi với vận tốc v bằng bao nhiêu thì thời gian người đó chuyển động cho tới khi dừng lại là bé nhất ?
Hướng giải: 
+ Thời gian chuyển động gồm hai số hạng : thời gian chuyển động với vận tốc không đổi và thời gian chuyển động chậm dần đều cho tới khi dừng hẳn lại.
+ Ta có tổng thời gian: 
+ Áp dụng BĐT Cô – si: = hs.
+ Suy ra thời gian chuyển động nhỏ nhất : = 200 s.
+ Thời gian nhỏ nhất khi: m/s.
Bài 3: Một hòn đá được ném lên từ mặt đất theo phương hợp với phương ngang góc α. Cần phải ném hòn đá với vận tốc ban đầu tối thiểu v0 bằng bao nhiêu để nó đạt tới được độ cao h ? Tính thời gian để hòn đá đạt độ cao đó.
Hướng giải: 
+ Đặt gốc O của trục tọa độ Oy thẳng đứng ở ngay điểm ném. Khi đó phương trình chuyển động của hòn đá theo phương thẳng đứng là 
+ Tại thời điểm hòn đá đạt tới độ cao theo yêu cầu của đề bài, ta có y = h. Thay vào biểu thức trên và rút ra v0 : 
+ Vì . 
+ Áp dụng BĐT Cô-si : = hs.
+ Suy ra vận tốc ban đầu cực tiểu của hòn đá : .
+ Đồng thời cực tiểu này đạt được với điều kiện : 
+ Từ đó suy thời gian hòn đá đạt được tới độ cao h là : .
m
α
m
l
l
2m
Bài 4: Hai vật có cùng khối lượng m có thể trượt không ma sát trên một thanh nằm ngang, được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không giãn, có chiều dài 2l. Một vật khác khối lượng 2m được gắn vào trung điểm của sợi dây. Thả nhẹ cho hệ chuyển động, hãy tính vận tốc cực đại của mỗi vật và tính góc α khi đó.
Hướng giải: 
+ Gọi u là vận tốc quả cầu 2m và v là vận tốc 2 quả cầu m (hai quả cầu m có cùng độ lớn vận tốc ở mọi thời điểm), hợp với phương ngang góc α.
+ Vì dây luôn căng nên ta có : v.cosα = u.sinα	(1)
+ Định luật bảo toàn cơ năng : 	(2)
+ Suy ra : 	(3)
+ Khi hai quả cầu sắp chạm nhau thì α = 900, tức là sinα = 1 và cosα = 0. 
+ Suy ra khi hai quả cầu sắp chạm nhau thì vận tốc hai quả cầu m cực đại và bằng :
	 khi α = 900.
+ Từ (1) ta có v = utanα (α ¹ 900), thế vào (2) ta được :
	u2(tan2α + 1) = 2glsinα 
+ Áp dụng BĐT Cô-si : 
 = hs.
+ Dấu “=” xảy ra khi 2 – 2cos2α = cos2α Þ .
+ Vận tốc cực đại của quả cầu 2m là : khi α = 35,260.
m1
m2
α
Bài 5: Một khối lăng trụ tam giác có khối lượng m1, với góc α, có thể trượt theo đường thẳng đứng và tựa lên khối lập phương có khối lượng m2, còn khối lập phương có thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua tất cả ma sát. Xác định giá trị góc α sao cho gia tốc của khối m2 có giá trị lớn nhất. Tính gia tốc của mỗi khối trong trường hợp đó. 
Hướng giải: 
+ Các lực tác dụng lên các vật như hình vẽ.
+ Phương trình chuyển động của mỗi vật :
	P1 – Nsinα = m1a1	(1)
	Ncosα = m2a2	(2)
+ Hệ thức giữa các gia tốc : a2 = a1.tanα	(3) 
+ Từ (1), (2) và (3) suy ra : 
+ Gia tốc của m2 : 
+ Áp dụng BĐT Cô-si cho biểu thức của a2 : 
 = hs.
+ Dấu “=” xảy ra khi : .
+ Khi đó a2 lớn nhất : và .
A
B
 Bài 6: Thanh AB cứng, nhẹ, chiều dài l, mỗi đầu gắn một quả cầu nhỏ khối lượng bằng nhau tựa vào tường thẳng đứng như hình vẽ. Truyền cho quả cầu B một vận tốc rất nhỏ theo phương ngang để nó trượt trên mặt sàn nằm ngang. Giả thiết rằng trong quá trình chuyển động thanh AB luôn nằm trong mặt phẳng vuông góc với tường và sàn. Bỏ qua ma sát giữa các quả cầu với tường và sàn. Gia tốc trọng trường là g. 
a) Xác định góc α hợp bởi thanh với sàn vào thời điểm mà quả cầu A bắt đầu rời khỏi tường.
b) Tính vận tốc quả cầu B khi quả cầu A bắt đầu rời khỏi tường.
Hướng giải: 
A
B
G
α
a) Vào thời điểm quả cầu A còn tựa vào tường, AB hợp với phương ngang góc α. Vận tốc của A và B là và , lúc đó đầu A đi xuống một đoạn x = l(1 - sinα).
+ Định luật bảo toàn cơ năng : 
 	(1)
+ Vì thanh AB cứng nên theo định lí về hình chiếu của hai điểm A và B trên vật rắn : vAsinα = vBcosα 	(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra : 
 (3)
+ Khi A chưa rời khỏi tường thì lực gây ra gia tốc và vận tốc theo phương ngang là phản lực của tường tác dụng lên A theo phương ngang. Lực này làm vận tốc trọng tâm vGx tăng dần, nên khi đầu A rời tường, tức là N = 0 thì aGx = 0 và vGx đạt giá trị cực đại.
+ Mà vB = 2vGx nên vB cũng đạt giá trị cực đại.
+ Xét biểu thức 
+ Áp dụng BĐT Cô-si : 
+ Do đó vB đạt giá trị cực đại khi 
b) Thay vào (3) ta được .
Bài 7: Hai hạt A và B có khối lượng mA và mB, với mA > mB. Hạt A chuyển động tới va chạm hoàn toàn đàn hồi với hạt B, lúc đầu hạt B đang đứng yên. Sau khi va chạm vận tốc của hạt A lệch đi so với hướng vận tốc trước khi va chạm là q. Tính giá trị lớn nhất của sinq.
Hướng giải: 
Bảo toàn động lượng: 
 	(1)
+ Bảo toàn năng lượng:	(2)
+ Rút từ phương trình (2) thế vào (1) ta có :
 	(3)
+ Đặt x = , ta có: 2.cosq = 	(4)
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
2.cosq = ≥ Þ sinq £ 
* Vậy: [sinq]max = 
a
M
2M
 Bài 8: Một cái nêm khối lượng M được giữ trên mặt phẳng nghiêng cố định với góc nghiêng a so với đường nằm ngang. Góc nghiêng của nêm cũng bằng a và được bố trí sao cho mặt trên của nêm cũng nằm ngang như hình vẽ. Trên mặt nằm ngang của nêm có đặt một khối hộp lập phương có khối lượng 2M đang nằm yên. Nêm được thả ra và bắt đầu trượt xuống. Cho g = 10 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát ở các mặt tiếp xúc. Hỏi với giá trị nào của a thì gia tốc của nêm đạt giá trị cực đại ? Tính giá trị cực đại của gia tốc nêm khi đó.
Hướng giải: 
Phương trình của nêm và khối hộp : và .
+ Suy ra gia tốc nêm : 
+ Để amax thì 
+ Áp dụng BĐT Cô-si : 
+ Dấu “=” xảy ra khi Þ
* Suy ra: = 10,4 m/s2.
A
B
α
α
C
Bài 9: Xác định hệ số ma sát cực tiểu m của một thanh mảnh đồng chất với nền nhà để có thể dựng chậm (không trượt) thanh này tới phương thẳng đứng bằng cách tác dụng vào đầu của thanh một lực vuông góc với thanh.
Hướng giải: 
+ Điều kiện để thanh không trượt là : Fms £ mN, hay .
+ Ta sẽ tìm sự phụ thuộc của vào góc nâng α của thanh.
+ Chọn trục quay vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua A là giao điểm là hai giá của lực và trọng lực . Đối với trục quay này, mômen của lực và đều bằng 0. Đoạn AB là cánh ta đòn của lực ma sát , đoạn CB là cánh tay đòn của phản lực . 
+ Gọi chiều dài của thanh là l, ta có điều kiện cân bằng của thanh đối với trục quay đã chọn là :
+ Từ đó ta rút ra : 
+ Phân số trên đạt cực đại khi mẫu số cực tiểu.
+ Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số : = hs.
+ Đo đó 
* Vậy trong quá trình nâng chậm thanh, để thanh không bị trượt thì giá trị của m thỏa mãn : m ³ 0,35.
Bài 10: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song kề nhau có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của chúng và có cùng một tần số góc w, biên độ lần lượt là A1, A2. Biết A1 + A2 = 8 cm. Tại một thời điểm vật 1 và vật 2 có li độ và vận tốc lần lượt là x1, v1, x2, v2 và thỏa mãn x1v2 + x2v1 = 8 cm2/s. Tính giá trị nhỏ nhất của w.
Hướng giải: 
+ Ta có: 
+ Mặt khác: x1v2 + x2v1 = (x1x2)’ = 
 	(1)
+ Theo BĐT Cô - si: (A1 + A2)2 ³ 4A1A2 = hs. 	 (2)
+ Thay (2) vào (1) được: wmin = 0,5 khi sin(2wt + j1 + j2) = 1.
Bài 11: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox, có phương trình x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2). Giả sử x = x1 + x2 và y = x1 – x2. Biết rằng biên độ dao động của x bằng hai lần biên độ dao động của y. Tính độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2
Hướng giải: Đặt Dφ = φ2 – φ1. Biểu diễn biên độ của x là và của y là như hình vẽ.
+ Ta có : 
+ Suy ra: 2(A12 + A22) = A2 + B2 
và 
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si :
 , suy ra :
.
* Vậy : Dφmax = 53,130.
O
G
α
Bài 12: Một con lắc vật lí được làm bằng thanh nặng, thẳng, đồng chất, tiết diện đều, chiều dài l0. Người ta có thể cho thanh dao động với trục quay qua bất kì điểm nào trên thanh. Tìm vị trí trục quay trên thanh sao cho chu kì của thanh nhỏ nhất.
Hướng giải: 
Gọi l là khoảng cách từ khối tâm G của thanh đến vị trí trục quay O. + Chu kì dao động của con lắc vật lí là :
+ Với : là mômen quán tính đối với trục quay.
 là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm G song song với trục quay.
+ Áp dụng BĐT Cô-si : = hs.
+ Suy ra . Khi đó .
+ Vậy có hai vị trí O1 và O2 đối xứng nhau qua G và cùng cách nhau một khoảng thì chu kì dao động của thanh cực tiểu.
3.2. Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki
Bài 1: Một khúc gỗ khối lượng m = 0,5 kg đặt trên sàn nhà. Người ta buộc khúc gỗ vào sợi dây nhẹ không dãn và kéo bằng lực hướng chếch lên, hợp với phương nằm ngang một góc α. Biết hệ số ma sát trượt giữa gỗ và sàn là m = 0,2. Lấy g = 9,8 m/s2. Để kéo khúc gỗ trượt đều với lực kéo nhỏ nhất thì góc a bằng bao nhiêu ? Tính lực kéo khi đó.
Hướng giải: 
Các lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực , phản lực , lực ma sát và lực kéo , được biểu diễn như hình vẽ.
a
O
x
y
+ Định luật II Niutơn: 	(*)
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ
+ Chiếu lên (*) lên Ox ta có: 	(1)
+ Chiếu lên (*) lên Oy ta có: 
	Þ 	(2)
+ Thế vào (1) có: 
+ Khi vật chuyển động thẳng đều thì a = 0 nên: 
+ Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki ta có: 
	Þ 
	 N.
+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: .
·
·
A
A'
B'
B
β
b'
g
0
α
α'
Bài 2: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đường OA và OB, ban đầu AB = 40 km; vận tốc của hai tàu vA = 40 km/h, vB = 40km/h. Chiều chuyển động các tàu được biểu diễn như hình vẽ. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu. Biết α = 300, β = 600.
Hướng giải: 
Ta có : α + = β Þ = 300
+ Đặt : AO = d1; BO = d2. 
+ Trong tam giác OAB : 
+ Khi tàu A đến A' thì = d1 - v1t = 40 - 40t ; d2 = d2+ v2t = 40 + 40t.
+ Khoảng cách giữa 2 tàu d' = A'B'. Có 
+ Áp dụng BĐT Bunhia côpxki : 
* Suy ra : km.
A
A'
d1'
d2'
0
B'
B
g
a
b
Bài 3: Hai vật chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O. Với v2 = , α = 300. Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách vật thứ nhất đến O là m. Hãy tìm khoảng cách vật thứ hai đến O lúc này. 
Hướng giải: 
Gọi d1, d2 là khoảng cách các vật 1 và vật 2 đến 0 lúc đầu ta xét (t = 0) ta có: 
+ Vì Þ 
+ Với sinβ = sin(1800 - β) = sin (α + ) = sin (300 + )
Þ .
+ Ta thấy : dmin khi ymax
+ Áp dụng BĐT Bunhia côpxki Þ y £ 
ymax = 2 Û và 
* Lúc đó : 
M
m
α
Bài 4: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa M và sàn là m2. Hệ số ma sát giữa M và m là m1. Tác dụng lực lên M theo phương hợp với phương ngang một góc α (α thay đổi). Hãy tìm lực nhỏ nhất Fmin để m thoát khỏi M. Tính α tương ứng.
Hướng giải: 
Vật m: 	 (1)
 Þ a1 = 
Þ a1 £ m1g (*) Khi m bắt đầu trượt a1 = m1g
+ Xét vật M: 	(2)
+ Chiếu lên Ox: F cosa - Fms12 - Fms = Ma2 Þ a2 = 
	 Oy: F sina - (P1 + P2) + N2 = 0 Þ N2 = P1 + P2 - Fsinα.
+ Mà Fms = m2N2 Þ a2 = 	(**)
+ Ta có a1 £ a2 Þ m1g £ 
+ Fmin khi yMax. Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki
y £ 
* Vậy Fmin = , lúc đó 
Bài 5: Người ta quấn một sợi chỉ không giản vào một khối trụ. Kéo trụ bằng một lực Tìm lực cực tiểu Fmin để trụ lăn không trượt tại chỗ. Xác định góc α lúc đó, biết hệ số ma sát là m.
Hướng giải: 
Khi trụ lăn tại chỗ không trượt thì khối tâm G của trụ đứng yên.
(Lúc đó vật chỉ quay, không chuyển động tịnh tiến).
+ Ta có 
+ Chiếu lên trục x, y: 
α
·
G
y
x
+ Mà Fms = mN Þ m(P - Fsina) = F cosa
.
+ Đặt y = cosa + msina
+ Ta có : F cực tiểu khi y = yMax . 
+ Theo BĐT Bunhia côpxki :
 y £ 
* Vậy FMin = Lúc đó 
Bài 6: Vật khối lượng m được kéo đi lên trên mặt phẳng nghiêng với lực , hợp với mặt phẳng nghiêng góc β. Mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nghiêng là m. 
a) Tìm biểu thức tính F khi vật đi lên đều theo mặt phẳng nghiêng.
b) Với m = 5 kg, α = 450, m = 0,5, lấy g = 10 m/s2. Xét vật đi lên đều, tìm β để F nhỏ nhất, tìm giá trị lực F nhỏ nhất đó.
Hướng giải: 
a) Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
+ Vật chuyển động đều nên: (1)
+ Chiếu (1) lên Ox : (2)
Oy : 	 (3)
+ Thay vào (2) ta được: 
 (4)
b) Vì P = mg, m và α xác định nên từ (4) thì F = Fmin khi mẫu số cực đại.
+ Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki: 
.
+ Dấu ‘=’ xảy ra .
* Vậy khi thì N. 
Hình 1 
α
β
m1
m2
Bài 7 (Trích đề thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa 2019): Khung dây cứng có dạng hình tam giác vuông với α = 300 đặt trong mặt phẳng thẳng đứng. Hai vật m1 = 0,1 kg và m2 = 0,3 kg nối với nhau bằng sợi dây nhẹ và có thể trượt không ma sát dọc theo hai cạnh của khung dây hình vẽ. Tính lực căng dây nối và góc β khi hai vật ở vị trí cân bằng ? Cân bằng của hệ vật là bền hay không bền ? Vì sao ? Lấy g = 10 m/s2.
Hướng giải: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
+ Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: 
+ Khi hệ cân bằng: 
α
β
m1
m2
O
x
y
L
a
- Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy: 
+ Trên Ox: N1sinα = N2cosα Þ N2 = N1tanα.
+ Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2
Þ N1(cosα + tanα.sinα) = P1 + P2 Þ N1 = (m1 + m2).g.cosα = 2 (N)
+ Xét với vật m1: (1)
 Þ T2 = T1 = ≈ 2,65(N)
+ Chiếu (1) lên phương của thanh: P1sinα = T1cosβ Þ cosβ = Þ β ≈ 79,10
+ Gọi khoảng cách từ m1 đến O là a, chiều dài sợi dây khi hệ cân bằng là L. Cân bằng của hệ hai vật là bền nếu tọa độ trọng tâm trên trục y là thấp nhất.
+ Trên Oy, ta có:
+ Vật m1y1 =- a.sinα . Vật m2 : y2= - .cosα
+ Tọa độ trọng tâm hệ vật : yG = 
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki, ta có :
a.sinα + 3.cosα.≤.
+ Dấu bằng xảy ra Û= Û a = 
Þ yG min khi a = Û cosβ = Þ β = 79,10. 
 * Vậ y đây là cân bằng bền vì G ở vị trị thấp nhất.
3.3. Các bài toán luyện tập kiểm tra năng lực tiếp thu của học sinh
A
B
α
h
H
C
s
Bài 1: Một quả cầu nhỏ rơi từ điểm A đến một tấm chắn đặt nghiêng một góc α = 450 so với mặt phẳng ngang như hình vẽ. Sau khi va chạm đàn hồi trên tấm chắn, quả cầu rơi xuống mặt đất tại điểm C nằm cách đường thẳng đứng AB (AB = H) một đoạn s. Hỏi phải đặt tấm chắn ở độ cao h bằng bao nhiêu (không thay đổi hướng của nó) để khoảng cách s đạt cực đại. Tính khoảng cách cực đại này. Bỏ qua sức cản không khí.
HD: + Gọi s là tầm bay xa, ta viết biểu thức s dưới dang : .
+ Áp dụng BĐT Cô-si ta được kết quả.
ĐS: smax = H khi h = H – h, suy ra .
L
l
Bài 2 (Đề thi Olympic Vật Lý toàn Liên Bang Nga lần thứ XLI): Một đoàn tàu khách dài l đỗ trên sân ga. Anh N ngồi ở toa cuối cùng đợi thư của người yêu do con chó Lulu mang tới. Vào đúng thời điểm tàu chuyển bánh, con Lulu suất hiện đối diện ngay với đầu tàu như hình. Hỏ