Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng đồ thị hàm ẩn

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
 TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 CẤP : CƠ SỞ x ; TỈNH
 Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN 
 Môn/nhóm môn : TOÁN
 Mã môn : 03.52.02
 MỤC LỤC
 Vĩnh Phúc, năm 2020
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 1 MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU..................................................................................................4
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................4
2. Mục đích nghiên cứu:..........................................................................................7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: .........................................................................................7
4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: ........................................................7
5. Các phương pháp nghiên cứu:.............................................................................7
6.Cấu trúc của SKKN..............................................................................................7
PHẦN II : NỘI DUNG............................................................................................8
A. Cơ sở lý luận:......................................................................................................8
B. Thực trạng vấn đề ...............................................................................................8
C. Giải pháp.............................................................................................................8
D. Nội dung .............................................................................................................8
1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d,( a  0 ) ...............................8
1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị..........................................9
1.2. Bài tập vận dụng.............................................................................................10
2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax4  bx2  c,a  0 ......18
2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị................18
2.2.Bài tập vận dụng..............................................................................................19
 ax  b ....................................
3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất: y  23
 cx  d
 ax  b
3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhất y  dựa vào đồ thị.....23
 cx  d
3.2.Bài tập vận dụng..............................................................................................23
4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số y = f (x), y = f '(x), y = f ''(x),........28
4.1.Lý thuyết cơ sở ................................................................................................28
4.2. Bài tập vận dụng.............................................................................................28
5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên..40
5.1.Lý thuyết cơ sở ................................................................................................40
5.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................40
6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
 ............................................................................................................................... 50
6.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................50
7. Phép biến đổi đồ thị...........................................................................................56
7.1. Lý thuyết cơ sở ...............................................................................................56
7.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................57
E.BÀI TẬP TỰ LUYỆN:......................................................................................64
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................79
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN3  31
 A. 5;  .
  5 
  9  
 B. ;3 .
  
  4 
  31  
 C. ;  .
  
  5 
  25 
 D. 6; .
  
  4 
Câu 36- Đề 102:
Cho hàm số f x  ax3  bx2  cx  2 và g x  dx2  ex  2a,b,c, d,e R . Biết rằng
đồ thị của hàm số y  f x và y  g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt
là -2;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện 
tích bằng:
 A. 37 .
 6
 B. 13 .
 2
 C. 9 .
 2
 D. 37 .
 12
Câu 47- Đề 102: Cho hàm số y  f x và y  g x . Hai hàm số y  f 'x và
 y  g 'x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của
  9 
hàm y  g 'x. Hàm số hx  f x  7  g 2x  đồng biến trên khoảng nào dưới
  
  2 
đây?
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN5 nghiệm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán ở 
trường THPT tôi lựa chọn đề tài:
 “VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN”
2. Mục đích nghiên cứu:
 Để cho người học thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số
 y = f (x), y = f '(x), y = f ''(x) với các vấn đề của hàm ẩn số y = f (x):
 o sự tương giao giữa các đồ thị
 o tính đồng biến nghịch biến
 o vấn đề cực trị
 o vấn đề biến đổi đồ thị: tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
 o ứng dụng vào phương trình, bất phương trình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp 
dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.
4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12
- Học sinh các đội tuyển lớp 12
- Chương trình môn Toán 12 cơ bản và nâng cao.
5. Các phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên môn.
- Tổng kết kinh nghiệm.
- Phân tích sản phẩm.
- Quan sát trực tiếp kết quả bài tập, bài kiểm tra của học sinh.
-Qua thực tế chấm bài.
6.Cấu trúc của SKKN:
Đề tài được sắp sếp theo cấu trúc gồm:
A- Lý thuyết cơ sở
B- Vận dụng:
 + Gồm các dạng toán
 + Trong mỗi dạng toán đó đều có các ví dụ tiêu biểu được tác giả phân tích 
 và trình bày có thể bằng nhiều cách khác nhau. Cũng có thể xây dựng thêm 
 bài toán tổng quát.
 +Sau cùng là một số bài toán giúp người học tự luyện tập.
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN7 2
 2
 Pt y’ = 0 có 
 nghiệm kép
 4
 2
 Pt y’ = 0 vô 2
 nghiệm
1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị
 ❖ Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi lên là a>0, 
 Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi xuống là a<0
 ❖ Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là d.
 Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì d  0
 Nếu giao điểm này nằm dưới Ox thì d  0
 ❖ Đồ thị có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị trái
 dấu nhau  ac  0  a,c trái dấu nhau.
 Đồ thị có 2 cực trị nằm về cùng 1 phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị
 cùng dấu nhau thì ac  0  a,c cùng dấu nhau.
 ❖ Đối với dạng có 2 điểm cực trị thì điểm uốn luôn là trung điểm của đoạn
 b 
 thẳng nối hai cực trị. Hoành độ điểm uốn là x  .
 3a
 b 
 Nếu điểm uốn nằm phía bên phải Oy   0  a,b trái dấu nhau.
 3a
 b 
 Nếu điểm uốn nằm phía bên trái Oy   0  a,b cùng dấu nhau.
 3a
 ❖ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b2  3ac  0 .
 ❖ Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b2  3ac  0 .
 ❖ Đồ thị đi qua điểm M x0 ; y0  thì ta có phương trình
 y  ax 3  bx 2  cx  d
 0 0 0 0
 ❖ Đồ thị có điểm cực trị M x0 ; y0  thì ta có các phương trình
  y  ax 3  bx 2  cx  d
 3 ax0 2  2bx0  0c  0 0
  0 0
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN9 Hướng dẫn giải:
 Phương pháp Tự luận:
 Ta có: y  ax3  bx2  cx  d a  0 ;
  2   
 y ' 3ax 2bx c. 
 y ''  6ax  2b
 lim ax3  bx2  cx  d  
 x a  0
  2   
 Theo bài ra ta có: b 3ac 0 b  0
  b  
   1  0 c  0
  3a d  0
 y 0  d  0 
 Phương pháp Trắc nghiệm: 
 Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a  0 .
 Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  0
 Bài 3: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của
 a;b;c;d là?
 Hướng dẫn giải:
 Tự luận: Ta có: y  ax3  bx2  cx  d a  0 ;
 y'  3ax2  2bx  c .
 Gọi
 x1 ; x2 là các điểm cực trị của hàm số.
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN 11 y
 O x
 Hướng dẫn giải:
 Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a  0 , đồ thị cắt trục tung
 tại điểm có tung độ dương nên d  0 .
 Ta có: y  3ax2  2bx  c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung
 nên y  0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
 a  0
  2
 b  3ac  0 a  0
  b2  3ac  0
 Suy ra 2b  .
   0 
  3a b  0
  c c  0
   0 
 3a
 Bài 6: Cho hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của
 a;b;c;d là?
 Hướng dẫn giải:
  Tự luận: Đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d .
 + Đồ thị có nhánh đầu tiên đi xuống nên a  0
 + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d  0
 + Hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương nên PT
 b
 x  x    0  b  0
  1 2
 2 có hai nghiệm dương phân biệt  a
 y'  3ax  2bx  c  0  c 
 x .x   0  c  0
  1 2 a
VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN 13