Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ
Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2017
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ
Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2017
MỤC LỤC
 TT
Mục 
Trang
I
MỞ ĐẦU
1
1.1
Lý do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu
2
1.4
Phương pháp nghiên cứu
2
II
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
2.1
Cơ sở lý luận
3
2.2
Thực trạng
3
2.3
Các giải pháp đã sử dụng
3
2.3.1
Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.
3
2.3.2 
Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.
7
2.3.3
Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích
15
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
III
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20
1
Kết luận
20
2
Kiến nghị
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
	Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực đã từng được khẳng định trong các văn kiện Đảng trước đây, đặc biệt là trong Nghị quyết sô 29 của Hội nghị Trung ương 8, khóa XI, khẳng định đây không chỉ là quốc sách hành đầu, là “ chìa khóa” mở ra con đường đưa đất nước tiến lên phía trước, mà còn là “ mệnh lênh” của cuộc sống.
	Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục theo chủ trương của Đảng, từ năm 2015, bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT quốc gia được tổ chức theo hướng giảm áp lực, giảm tốn kém cho thí sinh, gia đình và xã hội những kết quả vẫn bảo đảm độ tin cậy để xét tootd nghiệp THPT và làm căn cứ cho các trường đại học, cao đẳng sử dụng trong tuyển sinh.
	Các kỳ thi năm 2015, 2016 đã được tổ chức thành công, sau mỗi năm có những điều chinh, hoàn thiện tốt hơn. Tuy nhiên, việc tổ chức thi 8 môn với 4 môn theo hình thức tự luận tạo điều kiện để học sinh học tủ, học lệch
	Để từng bước khắc phục các hạn chế trên, kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 sẽ tổ chức thi 5 nài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ, Khoa học tự nhiên (KHTN) và Khoa học Xã hội (KHXH), Môn ngữ văn thi theo hình thực tự luận, các bài thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan. Với hình thức thi này sẽ hướng tới học sinh học tập toàn diện, khắc phục dần tình trang học tủ, học lệnh.
Đối với môn Toán, năm nay là năm đầu tiên thi THPT Quốc gia theo hình thức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng khi làm bài tập đặc biệt là một số dạng bài tập ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế. Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng tích phân có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học sinh.
- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	- Ứng dụng tích phân trong giải bài toán thực tế 
	- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2016-2017 tại trường THPT Nguyễn Trãi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet, các đề thi thử của các trường THPT, các chuyên đề có liên quan.
Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong tổ bộ môn.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là chuyên đề quan trọng trong toán THPT, tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về chuyển động, tính diện tích, tính thể tích
Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn Khoa học tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt được cao hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa thực tế của tích phân. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra một tiết, thi học kì II ,đề thi THPT quốc gia. Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Không biết mối liên hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, gia tốc trong bài toán chuyển đông.
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) . 
 -Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học .
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng chuyển bài toán về dạng quen. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải . 
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
2.3. Các giải pháp đã sử dụng
2.3.1 Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.
a. Cơ sở l‎‏‎ý thuyết Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian,. Chứng minh rằng quãng đường S vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm là trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên khoảng (0;T ).[2]
Trong mục 2.3.1.a: Cơ sở l‎‏‎ý thuyết được tham khảo từ TLTK số 2.
 Bài giải 
Gọi là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm là 
Mặt khác, ta đã biết do đó là một nguyên hàm của f. Thành thử, tồn tại một hằng số C sao cho . 
Ta có: 
Vâỵ: 
b. Bài tập 
Bài 1: Bạn Mai ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là . Tính quãng đường máy bay bay được từ giây thứ 4 đến giây thứ 8?
Bài giải
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Bài 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/ s thì người người đạp phanh . Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bài giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. 
Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc ô tô dừng hẳn.ccc
Ta có 
 Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó ô tô di chuyển được quãng đường là :
Bài 3: Một vật đang chuyển động với vận tốc 15 m /s thì tăng tốc với gia tốc . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Bài giải
Gọi là vận tốc của vật. Ta có 
 Suy ra . Vì nên suy ra 
Thành thử quãng đường vật đi được là: .
Bài 4: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là , gia tốc trọng trường là . Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi dừng lại. [2]
Bài giải:
 Gọi là vận tốc của vật. Ta có 
Suy ra , do , 
Tại thời điểm cao nhất thì 
Quảng đường viên đạn đi 
Bài 5: Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 35km/h đến 40km/h. Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc . Hỏi khi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến chướng ngại vật.
Bài giải:
 Lấy mốc thời gian là lúc xe bắt đầu được đạp phanh. 
Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe máy dừng hẳn. 
Ta có 
Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là:
Trong mục 2.3.1.b: Bài 4 được tham khảo từ TLTK số 2.
Vậy người điều khiển xe máy phải phanh cách chướng ngại vật ít nhất 10m
Bài 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc sau khi đi được một khoảng thời gian thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc và đi thêm một khoảng thời gian nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét. [3]
Bài giải
Đến lúc phanh vận tốc của xe là: đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm thì vận tốc là 0 nên 
 Lại có nên ta có hệ: 
Tổng quãng đường đi được là: 
Bài 7: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m /s) thì người đạp phanh từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu?[4]
Bài giải
Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: 
Trong khoảng thời gian đó ô tô di chuyển được quãng đường là :
 Theo bài ra ta có: 
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là: 20 m/s
c. Bài tập trắc nghiệm khách quan.
Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là: 
 A. .	B. .	C. . 	D. .
Trong mục 2.3.1.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 3, bài 7 được tham khảo từ TLTK số 4
Câu 2: Một vật đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc là một hàm phụ thuộc thời gian t được xác định . Khi đó quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là. 
A. 5600 (mét) B. 2150 (mét) C. 2160 (mét) D. 5580 (mét) 
Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc . Khi thì vận tốc của vật là . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây [4]
A.106 .	B.108 .	C. 107 . D. 109 .
Câu 4: Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc thì tăng vận tốc 
với gia tốc . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong 
khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.[7] 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 5: Giả sử một vật đi từ trạng thái nghỉ chuyển động thẳng với vận tốc . Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động chậm dần đều với phương trình vận tốc . Hỏi ô tô chuyển động được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?[5]
 A. m. B. m	 C. m	 D. m
2.3.2.Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.
A. Cơ sở l‎‏‎ý thuyết 
Dạng 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là: 
Trong mục 2.3.1.c: Câu 3 được tham khảo từ TLTK số 4, câu 4 được tham khảo từ TLTK số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 5.
 [1]
Ghi nhớ : 
* Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] (hay vô nghiệm trên [a ; b] ) thì ta có : [1]
* Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , , (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .
 Khi đó để tính tích phân ta có thể tính như sau :
[1]
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f (x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: [1]
Ghi nhớ : 
 Nếu phương trình f(x)-g(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , , (xk ; b) biểu thức f(x)-g(x) có dấu không đổi .
Trong mục 2.3.2.a: Cơ sở l‎‏‎ý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.
 Khi đó để tính tích phân ta có thể tính như sau :
GV nhấn mạnh cho học sinh cố gắng đưa tích phân của trị tuyệt đối về trị tuyệt đối của tích phân và hạn chế vẽ hình vì thời gian làm bài TNKQ rất ít.
Bài tập 
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 2.
Bài giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
 Hình 5
Phương trình vô nghiệm trên [-1;2] nên:
.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và các đường thẳng x = -1 , x = .
Bài giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Phương trình do đó:
(đvdt)
Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 .
Bài giải
Trục tung có phương trình : x = 0
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Phương trình 
 (đvdt)
Bài 4: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m. Tính diện tích của cổng .[4]
Bài giải
Giả sử parabol có phương trình 
(P) có đỉnh và đi qua B(4;0) nên ta có hệ phương trình:
Vậy 
Khi đó diện tích cần tìm là: 
Trong mục 2.3.2.b: Bài 4 được tham khảo từ TLTK số 4.
Bài 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này, biết kinh phí lắp cửa là 660.000/m2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để lắp cửa ?
 Bài giải
Giả sử parabol có phương trình 
(P) có đỉnh và đi qua B(4;0) 
nên ta có hệ phương trình:
 Vậy 
Diện tích vòm cửa là: 
Số tiền cần dùng là: đồng.
Bài 6: Một mảnh vườn hình tròn tâm bán kính . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận làm tâm 
đối xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị). [7]
Bài giải
Xét hệ trục tọa độ 0xy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là .
Trong mục 2.3.2.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 7.
Phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình 
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị và hai đường thẳng 
 Đặt .
 Đổi cận : ; 
Do đó số tiền cần dùng là T= đồng.
Bài 7: Ông A trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết , . Tính số tiền ông A cần có để trồng hoa biết rằng kinh phí trồng hoa là 1.000.000/m2.[6]
Bài giải
Xét hệ trục tọa độ 0xy như hình
Diện tích trồng hoa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS , trục 0x, hai đường thẳng 
Diện tích trồng hoa là: 
Do đó số tiền cần dùng là: T= đồng.
Trong mục 2.3.2.b: Bài 7 được tham khảo từ TLTK số 6
Bài 8: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).[3]
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)
Gọi Parabol trên có phương trình (): (do (P) đi qua O)
là phương trình parabol dưới
Ta có ) đi qua I và A 
Trong mục 2.3.2.b: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 3.
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với là phần giới hạn bởi trong khoảng 
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
 số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu 
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần bê tông. 
Bài tập trắc nghiệm khách quan.
y
y = f (x)
O	a
c
b
x
 Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng (như hình bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng?
	A. 	 B. 
	C. 	D. 
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là [5] 
 A. 4	 B. 	 C. 	 D. 1
Câu 3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường [6]
	A. 	B. 	C. 	D. 
 Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng .[7] 
 A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 5: Người ta trồng hoa vào phần đất được tô
 màu đen được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết , . Tính diện tích phần còn lại.
A. B. C. D. 
Câu 6: Gọi S là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P) và trục Ox .[7]
Trong mục 2.3.2.c: Câu 2 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 3 được tham khảo từ TLTK số 6, câu 4 được tham khảo từ TLTK số 7.
A. B. C. D. 
2.3.3. Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích.	
A. Cơ sở l‎y thuyết
Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
 [1]
x
a
b
x
z
f(x)
y
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục, cùng dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: 
 [1]
b
y=g(x)
a
y=f(x)
O
y
x
B. Bài tập 
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành, y = 0 , x = 0 , x = 1.
Bài giải
 Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : 
 (đvtt) 
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành , y = 2x -4 , x = 0 , x = 2 .
Trong mục 2.3.1.c: Câu 6 được tham khảo từ TLTK số 7.
Trong mục 2.3.3.a: Cơ sở l‎‏‎ý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.
Bài giải
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : 
(đvtt)
Bài 3: Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): quanh trục Ox. [4]
Bài giải
Hình tròn (C) có tâm I(0;2) bán kính R=1 có phương trình là: 
 Ta có: 
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : 
Bài 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây). Kí hiệulà thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính . [6]
Trong mục 2.3.3.b: Bài 3 được tham khảo từ TLTK số 4, bài 4 được tham khảo từ TLTK số 6.
 Hình 1 Hình 2
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình : 
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ,
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là (xem hình).
Dễ thấy và khi đó 
suy ra thể tích hình nêm là : 
Bài 5: Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm. Đường cong của bình là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9. [3]
Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có phương trình là 
khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường tròn , 
Vậy thể tích là: 
Trong mục 2.3.3.b: Bài 5 được tham khảo từ TLTK số 3
c. Bài tập trắc nghiệm khách quan.
Câu 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x=1 và x=4 khi quay (H) quanh Ox.[5]
A..	 B.12 p .	 	 C.12.	 D.6p .	
Câu 2: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giói hạn bởi các đường quay quanh trục là: [6]	
A.	 B. 	 C. 30	D. 
Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và quay quanh trục Ox. [7] 
 A. 	 B. 	C. 	 D. 
Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục và hai đường thẳng quay xung quanh trục tạo thành khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay.[7]
	 A. 	B. C. D. 
Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành, trục tung, đường thẳng . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. [5]	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox có kết quả viết dưới dạng (a, b nguyên tố cùng nhau). Khi đó a+b bằng [7]
 A. 11	 B. 17	 C. 31 D. 25 
Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục và hai đường thẳng quay xung quanh trục tạo thành khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay. [5]
	 A. B. C. D. 
Trong mục 2.3.3.c: Câu 1 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 2 được tham khảo từ TLTK số 6, câu 3, 4 được tham khảo từ TLTK số 7
Trong mục 2.3.3.c: câu 5 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 6,
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả từ thực tiễn 
- Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các ứng dụng tích phân phân trong bài toán thực tế và học sinh không