Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng
 Mã sáng kiến: 31.52.02
 Vĩnh Phúc, năm 2019
 1 NỘI DUNG
 ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. Cơ sở lý thuyết
 Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên 
tập D: 
 1/ Nếu tồn tại x0 D sao cho f (x0 )  0 thì trên D phương trình f (x)  0 có 
nghiệm duy nhất x  x0 .
 2/ Nếu f (u)  f (v)  u  v, u,v D .
 3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có 
hướng giải sau: 
 a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào 
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
 b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x 
và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm 
số.
II. Áp dụng
 A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào 
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
 Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục 
trên tập D nếu tồn tại x0 D sao cho f (x0 )  0 thì trên D phương trình f (x)  0 có 
nghiệm duy nhất x  x0 .
 2 3 4 6
  2x y  y  2x  x 1
Bài tập 1 Giải hệ phương trình:  2 
  x  2 y 1  x +10x+10 2
 Hướng dẫn: Điều kiện y  1 (*). 
 Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
 Xét x ¹ 0 . Từ phương trình (1) chia hai vế cho x3 ta được 
 3
  y  y 3
    2   x  2x (3) 
  x  x
 3 2
 Xét hàm số f(t)  t + 2t với t R , f '(t)  3t +2>0 t R  Hàm số luôn 
đồng biến và liên tục trên R.
  y y 2
Từ (3) f    f (x)   x  y  x thay vào (2) ta được: 
  x x
 æ ö2
 2 ç x + 2 ÷ x + 2
 x + 2 x2 + 1 = 3 x + 2 - 2 x2 + 1 « 3ç ÷ - - 2 = 0
 ( ) ( ) ( ) ç ÷
 èç x2 + 1ø÷ x2 + 1
 x + 2 x + 2 2
 « = 1 hoặc = -
 x2 + 1 x2 + 1 3
 3  2 2 4 2
 2y 4y  3x   x  x  3 1
Bài tập 4 Giải hệ phương trình: 
 2019x 2y  2x  5  x 1  4038 2
     
Hướng dẫn: Điều kiện 2y  2x  5  0 (*). Từ phương trình (1)  y ³ 0
Ta nhận thấy x = 0 ® y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét x ¹ 0
 3
 æ2yö æ2yö 3
Phương trình (1) « ç ÷ + 3ç ÷=x +3x (3)
 èç x ø÷ èç x ø÷
 3 2
 Xét hàm số f (t)  t  3t với t R , f '(t)  3t +3>0 t R  Hàm số luôn đồng 
biến và liên tục trên R.
  2y 2y 2
 Từ (3) f    f (x)   x  2y  x thay vào (2) ta được: 
  x  x
 x 2 x  2 
 2019 x  2x  5  x 1  4038  2019  x 1  4   x 1 =4038 (4)
    
Đặt u = x - 1phương trình (4) « 2019u+1 ( u2 + 4 - u)= 4038 (5)
Xét hàm số g(u)= 2019u+1 ( u2 + 4 - u) u Î R .
 æ ö æ ö
 + ç u ÷ ç u ÷
 g' u = 2019u 1 çln 2019 + - 1÷³ 0 çDo ln 2019 > 2, - 1< < 1÷
 ( ) ç ÷ ç ÷
 èç u2 + 4 ø÷ èç u2 + 4 ø÷
  Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
 1
Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5) « x=1 y = thỏa mãn (*).
 2
 æ 1ö
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= ç1; ÷.
 èç 2ø÷
 ïì 2 2
 ï (x + x + 1)(y - 2 + y - 4y + 8)= 2 (1)
Bài tập 5 Giải hệ phương trình: íï
 ï 2 2
 îï x + y + 2x + y + 2 - 6 = 0 (2)
Hướng dẫn: Điều kiện 2x  y  2  0 (*). 
 Ta nhận thấy x 0
 2 2
Phương trình (1) « y - 2 + (y - 2) + 4 = (- 2x)+ (- 2x) + 4 (3)
 2 t
 Xét hàm số f(t)  t  t  4 với t R , f '(t) 1 >0 t R
 t2 4
  Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
 Từ (3) f y  2  f (2x)  y  2  2x thay vào (2) ta được: 
 5 3 2
Xét hàm số f (t)  t  t với t R , f '(t)  3t +1 >0 t R
  Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R.
Từ (3) f x  y  f(2x)  x  y  2x  x  y thay vào (2) ta được: x2 - x + 2 - 2 = 0
Điều kiện x ³ - 2 . 
 ì 2
 ï x = u + 2 (4)
Đặt u = x + 2 u ³ 0 (*) Ta được íï
 ï 2
 îï u = x + 2 (5)
 Trừ vế với vế ta được (x - u)(x + u + 1)= 0
+ Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 x = u = 2 ® x = y = 2 là nghiệm 
 - 1- 5
+ Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được ® x = y = là nghiệm 
 2
 æ ö
 ç- 1- 5 - 1- 5 ÷
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (2;2);ç ; ÷.
 èç 2 2 ø÷
 ïì 2 æ 1 2 ö
 ï x(2+ x + 3) + (2y + 2)ç1+ 4 + 2y + y ÷= 0 (1)
 ï èç 2 ø÷
Bài tập 9 Cho hệ phương trình:íï
 ï x- 1
 ï (x- 2)(5+ y)+ x- 2 + 5+ y = + x + 1 (2)
 îï 2
 n
Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x1;y1), (x2;y2 )...(xn ;yn ) T = å xk bằng
 k=1
 17 26
 A. 10 B. 15 C. D. 
 2 5
 Hướng dẫn: Điều kiện 2  x  4 .(*) 
 2
 Phương trình(1)  x 2  x2  3  (y 1)2  (y 1)  3 (3)
 2
 2 t
Xét hàm số f (t)  t 2  t2  3  t R , f '(t)  2  t  3  >0 t R 
   t2  3
  Hàm số luôn đồng biến trên R. 
Từ (3) f(x)  f(y1)  x  y1 y  x 1.
 x 1
 Thay vào (2) ta được  x  24  x  x  2  4  x   x 1
 2
 Đặt t  x  2  4  x điều kiện 2  t  2 (**). 
 2
 t2  2  x 1  2
Phương trình (1)   t   x 1 (2)
 2 2
 k2  2
 g(k)   k k 2;4 , g '(k)  k 1 0 k  2;4  Hàm số g(k) luôn 
 2  
đồng biến trên 2;4. Từ (2) ta có g(t)  g( x 1)  t  x 1
 7 ì 6 3 2 2
 ï x - y + x - 9y - 30 = 28y
5/ í 
 ï
 îï 2x + 3 + x = y 
 B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ 
x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương 
pháp hàm số để giải.
 Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục 
trên tập D nếu tồn tại x0 D sao cho f (x0 )  0 thì trên D phương trình f (x)  0 có 
nghiệm duy nhất x  x0 .
 ì 2 3 2
 ï x + y - xy - (y + 6)x + 6y = 0 (1)
Bài tập 11 Giải hệ phương trình: íï
 ï 4 4
 îï 4 - x + y - 2 = 2 (2) 
 x  4
 Hướng dẫn: Điều kiện  * . 
 y  2
 éx = y 
 x2 - y2 + y + 6 x + y y2 + 6 = 0 « ê
Phương trình (1) « ( ) ( ) ê 2 
 ëêx = y + 6(VN do(*))
Thay vào (2) ta được 4 x  2  4 4  x  2
 Điều kiện 2  x  4 . Xét hàm số f (x)  4 x  2  4 4  x liên tục trên 2;4
 1 1
Ta có f '(x)   , f '(x)  0  x  3
 4 4 x  23 4 4 4  x3
Bảng biến thiên: x 2 3 4
 y’ + 0 -
 2
 y
 4
 4 2 2
Ta có f 3  2  x =3 là nghiệm của phương trình f x  2 . Với x=3 y=3 thỏa 
mãn (*). Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (3;3).
 ì 3 3 2 2
 ï x - 6y + 4xy +x y =0 (1) 
Bài tập 12 Giải hệ phương trình: íï
 ï 2 2
 îï x +15 =3y - 2 + y +8 (2) 
 Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét y ¹ 0 chia hai vế của phương trình (1) cho y3 ta được
 3 2
 æxö æxö x x
 ç ÷ +ç ÷ +4 - 6 =0 « = 1« x = y thay vào (2) ta được
 èçyø÷ èçyø÷ y y
 2 2 2 2
 x + 1 5 = 3 x -2 + x + 8  3x - 2 + x +8 - x +15=0 (3)
 9