Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện

 MỤC LỤC
 Trang
1. Lời giới thiệu 2
2.Tên sáng kiến. 3
3.Tác giả sáng kiến... 3 
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến... 4 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến.. 4
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu.. 4
7. Mô tả bản chất của sáng kiến .. 4
 NỘI DUNG 5
A. CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ....... 5
 Bài toán............................................................................................................ 5
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH............. 5
 Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích 5
 của các khối đa diện.
 Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của 11
 các khối đa diện.
 Dạng toán 3: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong các bài toán Min, Max 18
 trong hình học không gian.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN 24
8. Những thông tin cần được bảo mật.. 29
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến. 29 
10. Đánh giá lợi ích thu được.. 29
11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử. 29
 1 nữa. Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này 
nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự 
phân tích, thiếu tư duy lôgic và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không 
giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” thể tích 
mới tính được. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính toán các 
bài hình còn yếu và kỹ năng “Nhìn hình vẽ trong không gian” còn hạn chế, mơ 
hồ. Trong sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó còn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn 
chế còn sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang 
mang cho học sinh vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, 
chưa kể các tài liệu viết rất lan man, nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh. 
Nhận thức được vấn đề đó nên tôi viết đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ 
SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” nhằm
giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu tham khảo cô đọng nhất. Trong 
đề tài này thì lượng bài tập được xếp theo thứ tự từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng 
mà trong đề thi THPT QG thường đề cập tới. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt 
kiến thức, kỹ năng tính tỉ số thể tích, tính thể tích hoặc làm các bài toán min, max 
liên quan đến khối đa diện. Học sinh thấy được việc sử dụng phương pháp tỉ số 
thể tích vào làm toán trắc nghiệm trong một số bài sẽ rất nhanh và chính xác, khi 
đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt về hình học không gian, 
các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài 
toán đó rất nhanh gọn.
2. Tên sáng kiến
 “Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện”
3. Tác giả sáng kiến
 - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh 
 Tường – Tỉnh Vĩnh Phúc.
 - Số điện thoại: 0976378504
 - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com
 3 NỘI DUNG
A. CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài toán: Cho hình chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần
lượt lấy ba điểm A, B,C khác với S . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các
 V
 S.ABC . Khi đó ta luôn có: SA SB SC 
khối chóp S.ABC và  . . .
 V  SA SB SC
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH 
Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích
của các khối đa diện. 
Phương pháp:
 - Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác.
 - Sử dụng các định lí, tính chất hình học đã biết.
Ví dụ 1.1. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SA, SB và
SC . Khi đó tỉ số thể tích giữa khối chóp S.MNP và khối chóp S.ABC bằng
 1 1 1 1 
 A. . B. . C. . D. .
 4 8 6 2
 Lời giải
Chọn B
 V SM SN SP 1 
Ta có: S .MNP  . .  .
 VS . ABC SA SB SC8
Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB
 V
. Tính tỉ số S . ABC .
 VS .MNC
 1 1 
 A. . B. . C. 2 . D. 4 .
 2 4
 5 S
 A' C'
 G
 B'
 A C
 B
Dễ dàng chỉ ra được 3 điểm A’, B’, C’ nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nên ta tính 
 V
được tỉ số SA' B 'C ' .
 VABC
 3
 V SA' SB ' SC '  2  8V8
Ta có: SA ' B 'C '  ..      SA ' B 'C ' 
 VSABC SA SB SC 3  27 VA ' B 'C ' ABC 19
Ví dụ 1.5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, 
D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính
 V
tỉ số thể tích S.AB 'C ' D ' .
 VABCDD' C' B'
 S
 Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao 
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’. C' D'
Ta có: B' I
V SB' SC' 1 SC ' O'
 S.AB ' C'  .  
VS.ABC SB SC 2 SC AD
V SC' SD ' 1 SC 'O
 S.AC ' D'  .  
VS.ACD SC SD 2 SC BC
Suy ra:
 1 SC'
 1 SC'  V )  . .V
V V 
  . (V 
 S.AB ' C' S.AC' D ' 2 SC S.ABC S.ACD 2 SC S.ABCD
Kẻ OO’//AC’ (O’SC). Ta có SC’ = C’O’ = O’C.
 1 1
 VS.A ' B'C' D' 1 
Do đó: VS.A ' B' C' D'  . .VS.ABCD Hay  
 2 3 VS.ABCD 6
 5 1 
Suy ra: V  . Vậy VS.AB ' C' D'  .
 ABCDD ' C' B'
 6 VABCDD 'C' B' 5
 7 VA.MDI AM AD AI 2 2 4 16 16 
Ta có: Vậy V
  . .  . . A.MDI  VA.SCB
 VA.SCB AS AC AB 3 3 3 27 27
 1 4 
(Do kẻ MJ//AB ta có: NMJ  NIB, BJ  NJBI  AB ;AI  AB)
 3 3
 V IB IN IE 1 1 1 1
Ta lại có: IBNE  . .  . .  
 VIAMD IA IM ID 4 2 2 16
 1 1 
  V 1 16  V
Suy ra: V  . V
 I.BNE 16 A.MDI 16 27 S.ABC 27 S.ABC
 1 
 16 5 
 V V  V  V  V  V
 AMDEN AMDI IBNE 27 S.ABC 27 S.ABC 9 S.ABC
Gọi VSMDCEN là phần thể tích còn lại ta có:
 5 
 4 V VS.ABC
V  V V  V . Vậy: AMDBNE  9  5
 SMDCEN S.ABC AMDEN S.ABC V 4 4
 9 SMDCEN V
 9 S.ABC
Ví dụ 1.8. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối đa diện có
 V ' 
các đỉnh là các trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho. Tính tỷ số .
 V
 V ' 1 V ' 5 V ' 3 V ' 1 
 A.  . B.  . C.  . D.  .
 V4V8 V8V2
 Lời giải
Giả sử khối tứ diện là ABCD . Gọi E, F,G, H , I , J lần lượt là trung điểm của
AB, AC, AD, BC,CD, BD .
 1
 VAEFG AE AF AG 1  V
Ta có      V
 V AB AC AD8 AEFG 8
 1 1 1
Tương tự V V ;V  V ;V V
 BEHJ 8 CHIF 8 DGIJ 8
 1 V  1 
Do đó V   V  V  V V V   V . Vậy  . Chọn D
 AEFG BEHJ CHIF DGIJ 2V2
 9 Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của 
các khối đa diện.
Phương pháp:
 - Nhiều khi tính trực tiếp thể tích của khối đa diện cần tính rất khó, tuy 
nhiên ta có thể sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác để 
đưa bài toán về tính thể tích của khối đa diện đơn giản hơn, từ đó ta sẽ tính được 
thể tích của khối đa diện cần tính.
 - Sử dụng các công thức, định lí, tính chất hình học đã biết.
Ví dụ 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng SBD  và  ABCDlà 60. Gọi M ; N
là trung điểm của SB; SC . Tính thể tích khối S.ADMN ?
 3 3 3 3
 A. V  a 6 . B. V  a 6 . C. V  3a 6 . D. V  a 6
 16 24 16 8
 Lời giải
Chọn A
 SO  BD  
Ta có    SBD; ABCD  SOA  60
  AC  BD
 a 2 a 6
AC  a 2  AO   SA  AO.tan 60 
 2 2
 1 6 
 1 a 2 6 
V V  SA.S  .a  a3
 S . ABCD 3 ABCD 3 2 6
 1 1 1 
VS . AMD SM   V  V  V
  S . AMD S . ABD S . ABCD
VS . ABD SB2 2 4 
 1 1 1
VS .DMN SM SN   V  V  V
  . S .DMN S .DBC S . ABCD
VS .DBC SB SC4 4 8 
 1 1 3 3 6 6 
V V V  V  V  V  . a3  a3 .
 S . ADMN S . AMD S .NMD 4 8 8 8 6 16
 11