Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng modun để giải một số bài toán khó về số phức

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 	Trong chương trình toán học phổ thông, có một phần nội dung được đưa vào giảng dạy ở lớp 12 trong thời gian gần đây, đó là chương Số phức. Mặc dù không còn quá mới nhưng nội dung này đã gây cho học sinh và giáo viên không ít những khó khăn trong nghiên cứu và học tập.
Nội dung chương số phức đã giúp cho phương trình bậc hai, bậc n () trở nên “ đẹp “ hơn, giải được trọn vẹn hơn. Đặc biệt, nó cũng giúp học sinh không bỡ ngỡ khi tiếp cận với khái niệm hàm số phức sẽ được học trong các trường Đại học.
	Chính vì kiến thức mới nên học sinh và giáo viên không tránh khỏi những khó khăn khi giải toán, đặc biệt là trong các chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức về số phức. Việc sử dụng khái niệm modun của số phức đã giúp cho học sinh cảm thấy vấn đề trở nên gần gũi, đưa bài toán số phức về bài toán hình vectơ và bài toán trị tuyệt đối,,. Giờ đây học sinh đã thấy yêu thích những bài toán “ Số phức” và vững tin để bước vào các kỳ thi phía trước.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích khi tôi nghiên cứu đề tài này là nhằm cung cấp thêm một góc nhìn mới, một cách giải mới cho bài toán số phức để từ đó những người học toán có thêm một công cụ hiệu quả để giải bài toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài này nghiên cứu một lớp những bài toán số phức trong chương trình lớp 12 THPT .
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Đề tài này sử dụng chủ yếu các tính chất về modun của số phức để giải những dạng toán thuộc dạng khó của số phức
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Phần I : Lý thuyết 
1. Khái niệm:
 Một biểu thức dạng z = a + bi , trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i = -1 được gọi là một số phức .
	a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo 
	i được gọi là đơn vị ảo.
 + Tập các số phức được kí hiệu là C
 + Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên RC.
 + Số phức có phần thực bằng 0, phần áo khác 0 gọi là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau 
	Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i ( a, b, a’, b’ là các số thực )
 + Hai số phức trên bằng nhau 
 	3. Cộng, trừ hai số phức
 Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a – bi ; z + (-z) = 0.
 	4. Nhân hai số phức
 	5. Modun của số phức, số phức liên hợp
 z = a + bi (a, b ) thì modun của z là 
 z = a + bi (a, b ) thì số phức liên hợp của z là = a - bi.
 Ta có:
	z là số thực khi và chỉ khi z = 
	z là số ảo khi và chỉ khi z = -
 	6. Chia cho số phức khác 0
 + Nếu z = a + bi (a, b ) khác không thì số phức nghịch đảo của là :
.
 + Thương của z’ cho z khác không là : 
 . Ta có : .
7. Định lý viet cho phương trình bậc hai: 
a/ Cho phương trình : az2 + bz + c = 0 (a ) có 2 nghiệm z1, z2 thì : 
b/ Ngược lại, nếu thì z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình:
	z2 – Sz + P = 0
8. Biểu diễn số phức : 
* Cho số phức z = a + bi ( a, b ). 
+ Điểm A(a, b) biểu diễn số phức z. 
+(a, b) biểu diễn số phức z và 
* Cho số phức z’ = a’ + b’i (a’, b’) có điểm biểu diễn B(a’, b’).
Khi đó : và (a’ – a ; b’ – b) biểu diễn số phức ( z’ – z). 
Ngoài ra ta còn có : AB = 
Phần II : Bài tập 
Dạng 1: Các bài toán về tính giá trị biểu thức
Bài 1: Cho = 1, = . Tính : 
a/ 
b/ 
Hướng dẫn :
a/ + Từ = 1 = 1
+ Từ : = (z1 + z2)() = 3 z1 + z2 = 1
+ 2 = () = = 1 
 = 1 
	Vậy = 1
b/ + Từ = 1 = 1 
+ Ta cũng có : 
+ Thay vào đẳng thức: z1 + z2 = 1 được: 
+ Giải phương trình trên tìm được: hay 
	Vậy .
Bài tập áp dụng : Cho . Tính và 
Bài 2: Cho z1, z2 thỏa mãn : > 0 . Tính : A = 
Hướng dẫn :
+ Từ giả thiết ta có : z1 = z2 = 2z1- z2 - z1 , tìm được : 
	z1( - ) = z2(1) ; z2 ( - ) = - z1 (2)
+ Lấy (1) chia (2) được : , 
+ Biến đổi tương tự có : , = 
 = A = 
+ Từ z1 = z2 = và z1 = 2z1- z2 - z1 
 z1 = z2 + z1 A = - = = -1 
Vậy A = -1.
Dạng 2 : Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Giả sử : a, b, c C và abc 0 , . Chứng minh: nếu các nghiệm của phương trình : az2 + bz + c = 0 có modun bằng 1 thì b2 = ac.
Hướng dẫn:
+ Xét phương trình: az2 + bz + c = 0 có 2 nghiệm z1, z2 . Khi đó có : 
	 và 
+ Từ (1) : (z1 + z2)() = 1 
	= 1 với = 1
	 + 1= 0 
	 z12 + z22 + z1z2 = 0 
	(z1 + z2)2 – z1z2 = 0 b2 = ac .
	Vậy b2 = ac. 
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c C và abc 0 , . 
Chứng minh : nếu mỗi phương trình : az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0 có 1 nghiệm có modun bằng 1 thì .
Bài 2: Giả sử : z1, z2, z3 thỏa mãn: (z1 + z2 + z3) và .
	Chứng minh: . 
Hướng dẫn :
+ Ta có : z1z2 = , tương tự cho z2z3; z3z1 
 = 
 = 
	Vậy (đpcm). 
Bài 3: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thỏa mãn : .
 Chứng minh: 	(1).
Hướng dẫn :
+ Ta có : = 1
+ VP(1) = = 
 = = = VT(1). 
	Vậy .
Bài 4: Chứng minh : với z1, z2 là hai số phức.
Hướng dẫn :
+ Ta có : = 
	 = = (1)
+ tương tự có : = (2)
+ lấy (1) + (2) được: (đpcm)
	Chúng ta có thể đặt : z1= a1 + b1i , z2 = a2 + b2i rồi theo công thức tính modun để chứng minh. Tuy nhiên cách này dài và phức tạp.	
Bài tập áp dụng : Chứng minh với z1, z2 là hai số phức ta có : 
	a/ 
	b/ . 
Bài 5: Cho . Chứng minh: .
Hướng dẫn :
+ Ta có : z1 + z2 + z3 = 0 
+ Có : 0 = (z1 + z2 + z3)2 = () (1)
+ Lại có : =
	= = 0 (2)
+ Từ (1) và (2) có (đpcm).
Bài 5: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thỏa mãn : . 
Chứng minh có ít nhất một số phức bằng 1.
Hướng dẫn:
+ Từ : 
	Vậy có ít nhất một số phức bằng 1.
Dạng 3: Chứng minh số thực, số ảo: 
* Ta sử dụng nhận xét :
+ z là số thực 
+ z là số ảo 
Bài 1 : Chứng minh: z = là số thực với = = 1.
Hướng dẫn :
Ta có : = = = 
do = = 1
Vậy là số thực.
Chúng ta có thể đặt : z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , rồi chứng minh z có phần ảo bằng 0 . Tuy nhiên cách này rất dài và cồng kềnh.
Bài 2: Cho = 0. Chứng minh: z = là số ảo.
Hướng dẫn :
Ta có : = = = - 
 	 Vậy là số ảo.
Bài 3: Giả sử p, q C và phương trình : x2 + px + q2 = 0 có hai nghiệm cùng modun. Chứng minh: R với q0.
Hướng dẫn:
+ Xét phương trình: x2 + px + q2 = 0 (1) có 2 nghiệm x1, x2 0 và . 
Ta có : 
+ đặt : z = = = . Sử dụng : 
	 z = = = = 
	 z là số thực R với q0. 
	Vậy R với q0. 
Bài 4: Cho . Chứng minh: 
	A= là một số thực. 
Hướng dẫn:
+ Ta có : = 
+ Tương tự : ,  , 
 (1)
+ Lại có : , tương tự : 
	 ,  , 
	(2)
+ Từ (1) và (2) 
= 
 = = 
 = = 
Vậy A là số thực.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1: Chứng minh với mỗi số phức z, ít nhất 1 trong 2 bất đẳng thức sau xảy ra: 
	(1) hoặc (2). 
Hướng dẫn :
+ (1) (1’)
+ (2)(2’)
+ đặt : u = z + , v = z, ta xét :
 VT(1’) + VT(2’) = u2 + u + v2 – v + = (u + )2 + (v - )2 0 
 ít nhất (1’) hoặc (2’) đúng hay ít nhất (1) hoặc (2) đúng. 
Bài 2: Cho Chứng minh: .
Hướng dẫn:
+ Giả sử: với x1, x2, y1, y2 R
+ Ta có : 
+ 
	 (1) 
+ Lại có : 
= (2)
+ Lấy (1) cộng (2) được : (đpcm).
Bài 3: Cho z1, z2, z3C và . 
Chứng minh: (1).
Hướng dẫn :
+ Ta có : (2)
 + 	(3)
+ 	(4)
+ Lấy (2) cộng (3) cộng (4) được : 
	VT(1) 	(5)
+ Lại có : = 
	 	= 
+ Tương tự : = 
	= 
	 = 
	= = 
	= = 
	= = VP(1)	(đpcm).
Bài 4 : Cho z thỏa mãn : . Chứng minh: .
Hướng dẫn:
+ Ta có : 
	 (1).
+ Đặt: t = (t > 0). (1) trở thành : t3 – 3t – 2 0 
	(t – 2)(t + 1)2 0 t 2 hay 2 
	Vậy 2. 
Bài 5 : Cho 2 số phức z, z’. Chứng minh: (1)
Hướng dẫn:
+ Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, z’, z + z’. 
Ta cã . Tõ OC OA + AC suy ra .
H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC. Khi O A (hay z 0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k 0 ®Ó tøc lµ z’ = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng ).
VËy khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z 0 th× tån t¹i 
®Ó w = kz.
	Vậy . 
Bài tập áp dụng : Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, z’ ta ®Òu cã :
	a/
	b/ 2
c/ 	 
Dạng 5: Các dạng toán khác : 
Bài 1: Xét phương trình : z2 + 2bz + c = 0 (b, c , c). Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình. Tìm điều kiện của b, c để tam giác OAB vuông cân tại O.
Hướng dẫn :
+ Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình (z1, z2 do c). Khi đó , , lần lượt biểu diễn các số phức z1, z2, z1 – z2 
+ vuông cân tại O 
+ Từ (1) (1’)
+ Từ (2)
	 (2’)
+ Từ (1’) và (2’) được: 
+ Lại có : 
	Vậy 2b2 = c thỏa mãn .
	Trong bài toán này ta có thể chứng minh bằng cách đặt 
z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i , rồi sử dụng và đưa về hệ phương trình 4 ẩn. Tuy nhiên cách chứng minh tương đối phức tạp.
Bài 2: Cho A, B biểu diễn z1, z0 thỏa mãn : . Chứng minh tam giác OAB đều. 
Hướng dẫn :
+ Ta có : (1)
+ Tương tự có: (2)
+ Từ (1) và (2) được: (1’) 
+ Lại có, thay vào (1) được: (2’)
+ Từ (1’) và (2’) được : OA= OB = AB OAB đều.
	Vậy OAB đều. 
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trước khi triển khai đề tài này thưc sự đã có sự khó khăn lúng túng nhất định của học sinh khi giải những bài toán về số phức. Nhiều học sinh đã có suy nghĩ bỏ những bài khó về số phức và không tự tin là sẽ đạt điểm tối đa ở nội dung này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đ ề 
 Để kiểm chứng đề tài tôi đã khảo sát trên một số nhóm học sinh và đã có nhiều kết quả khả quan
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
 Sau khi cho học sinh học tập theo phương pháp trên, tôi cho một lớp gồm 40 học sinh làm bài kiểm tra 45’với đề bài như sau: 
Đề bài :
	Câu 1: Cho . Tính 
Câu 2: Chứng minh với z1, z2 là hai số phức ta có : 
	 .
	Câu 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, z’ ta ®Òu cã : .
Kết quả thu được :
Dưới TB
Trung	 bình
Khá
Giỏi
Tổng
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
10
25%
20
50%
10
25%
40
100%
 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
 Trên đây là một số bài toán mà tôi đã nghiên cứu và giải bằng phương pháp sử dụng Modun. Nó là kết quả của một thời gian dài nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng thực tế bước đầu đã mang lại kết quả khả quan.
 Trên cơ sở này chúng ta có thể áp dụng phương pháp sử dụng modun cho một số dạng toán khác như: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất....
3.2. Kiến nghị
 Mặc dù bản thân đã dành nhiều thời gian nghiên cứu, triển khai. Tuy nhiên đề tài vẫn còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cám ơn.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG
 Thanh Hóa ngày 16 tháng 5 năm 2017
 Tôi xin cam đoan trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi mà trong quá trình công tác tôi đã tích lũy được. Tôi không sao chép của ai
 Lê Anh Dũng
Tài liệu tham khảo