Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian

Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 1
MỤC LỤC 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ: 2 
 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 
 2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề 2 
 2.2. Thực trạng của vấn đề 3 
 2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 20 
 3. KẾT LUẬN 22 
Trang 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 2
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình học 
không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. 
Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng 
gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các 
dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng 
đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt 
hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng 
lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với 
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những 
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những 
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần 
chất lượng giảng dạy toán học nói chung và môn hình học không gian nói riêng. 
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành 
một kinh nghiệm: “Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song 
trong không gian” 
2. GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ 
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề 
 Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian 
ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải 
chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình 
vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của 
đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến 
thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác 
và lôgic có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà 
không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, 
phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt 
phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chứng minh 3 điểm thẳng 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 3
hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh hai đường thẳng song 
song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. 
2.2. Thực trạng của vấn đề 
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong 
không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng 
khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song 
trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học 
lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm 
bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát 
kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách 
không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc 
chứng minh quan hệ song song trong không gian. 
2.3. Các biện pháp để tiến hành giải quyết vấn đề 
I. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng 
Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này. 
I.1. Phương pháp 
+) Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng. 
Nếu    
   
   
A
AB
B
 
 
 
 
  
 
- Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng tìm điểm chung của   và 
  cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a   và đường thẳng b   sao cho a và b 
cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3. 
+) Cách 2: Tìm 1 điểm chung và dựa vào một trong các kết quả sau: 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 4
A
D
E
S
B
C
Hệ quả (SGK – trang 57): Nếu 
/ /
/ / / /
( )
( )
( ) ( )
a b
a b
a
a
b
b


 

          
Định lý 2 (SGK – trang 61): Nếu 
 
 
   
/ /
/ /
a
a b a
b


 


 
  
Hệ quả ( SGK – trang 62): Nếu 
 
 
   
/ /
/ / / /
a
b b a
b


 



  
* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu 
phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1 
điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2. 
I.2. Ví dụ cụ thể 
- Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh 
một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn. 
Ví dụ 1: Trong mp( ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD 
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( ). Tìm giao tuyến của 
các mp sau: 
a) mp (SAB) và mp(SCD) 
b) mp(SAC) và mp(SBD) 
Hướng dẫn giải 
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện: 
Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm 
chung nào của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao? 
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung 
thứ nhất là S 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 5
F
A
D
E
S
B
C
Ta có   ( ) ( ).
( )
E AB E SAB
E SAB SCD
E CD E SCD
      
  
Vậy ( ) ( )SE SAB SCD  . 
- Với câu b) tương tự cách làm câu a). 
 Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF, 
nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình 
giải thích vì sao. 
Có   ( ) ( ).
( )
F AC F SAC
F SAC SBD
F BD F SBD
      
  
Vậy ( ) ( )SF SAC SBD  
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là 
trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của 
(MHK) và (SAD). 
Hướng dẫn giải 
- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác 
định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp. 
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi 
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung 
thứ nhất là điểm nào? 
Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy 
 S = (MHK)  (SAD). 
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2 
đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD) 
và cùng nằm trong mặt phẳng thứ 3? 
Với câu hỏi này học sinh chọn 2 đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong mặt 
thứ 3 là (ABCD). Khi đó kéo dài HK và AD cắt nhau tại E. 
Câu hỏi 3: Chứng minh E là điểm chung của (MHK) và (SAD)? 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 6
Ta có 
( )
( ) ( )
( )
E HK E MHK
E MHK SAD
E AD E SAD
  
  
  
. 
Câu hỏi 4: (MHK) và (SAD) có giao tuyến là đường thẳng nào? 
Ta có ( ) ( )SE MHK SAD  . 
- Trong ví dụ 2 giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ: Hai đường thẳng 
trong không gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một mặt phẳng và 
không song song. 
 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm 
hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 
  đi qua O, song song với AB và SC. 
* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của   và cần xác định 
giao tuyến của   với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng 
không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học 
sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm   đi qua và chứa đường thẳng mà   
song song. 
* Hướng dẫn 
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh 
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước? 
+ Xác định giao tuyến của   với mp (ABCD) 
Câu hỏi 2: mặt phẳng   và (ABCD) có những điểm 
chung nào? 
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của   với (ABCD) ta 
làm thế nào? Vì sao? 
Thấy O =    ABCD  
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 7
Thấy
 
 
/ /AB
AB ABCD
 

 Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của   và 
(ABCD) phải song song với AB. 
Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d  BC = N, d  AD = M 
Vậy    d ABCD  . Đoạn giao tuyến là MN. 
+ Xác định giao tuyến của   với (SBC) 
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là 
điểm nào? 
Câu hỏi 5: (SBC) và   có quan hệ gì? 
Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của   và (SBC) bằng 
cách nào? 
Thấy N =   ( )SBC  
Thấy 
 
 
SC
SC SBC
 


giao tuyến của   và (SBC) 
phải song song với SC. 
Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P. Vậy   ( )SBC  = d’ hay đoạn giao tuyến là NP. 
+ Xác định   ( )SAB  
Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là 
điểm nào? 
Câu hỏi 8: (SAB) và   có quan hệ gì? 
Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của   và (SAB) bằng 
cách nào? 
Thấy P =   ( )SAB  
Thấy 
 
 
/ /AB
AB SAB
 

 giao tuyến của   và (SAB) phải 
song song với AB. 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 8
Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =   ( )SAB  hay đoạn giao tuyến là PQ. 
+ Xác định   ( )SAD  
Câu hỏi 10:   và (SAD) có mấy điểm chung và đó là 
những điểm nào? 
Câu hỏi 11:   ( )SAD  là đoạn giao tuyến nào? 
Thấy M =   ( )SAD  và Q =   ( )SAD  
Vậy   ( )SAD  theo đoạn giao tuyến là MQ. 
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện? 
Thiết diện là hình thang MNPQ. 
I.3. Bài tập đề nghị 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho 
MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau: 
 a) (MNI) (ABC) b) (MNI) (BCD) 
 c) (MNI) (ABD) d) (MNI) (ACD) 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến 
sau: a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm 
các giao tuyến sau: a) (BMN) (ACD) b) (CMN) (ABD) c) (DMN) (ABC) 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và 
ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau: 
 a) (ABJ) (ACD) b) (IJK) (ACD) 
 c) (IJK) (ABD) d) (IJK) (ABC) 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC 
 a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau 
 b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (JAD) 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 9
 c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao 
tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (DMN) 
II. Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và   
II.1. Phương pháp: Để tìm giao điểm của d và   ta có thể thực hiện theo các 
bước sau: 
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng   chứa d (Nên chọn mặt phẳng   sao cho dễ tìm 
giao tuyến với   ) 
+ Bước 2: Xác định =      . 
+ Bước 3: M = d 
+ Bước 4: Chứng minh M = d    . 
- Với dạng toán này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn giản để 
học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng toán này. 
II.2. Ví dụ cụ thể 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh 
AD sao cho 2
3
AN
AD
 . Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (BCD). 
* Hướng dẫn 
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng chứa MN là 
mặt phẳng nào? 
- Với câu hỏi này học sinh dễ dàng chọn 
được mặt phẳng là mặt phẳng (ABD). 
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của 
(ABD) và (BCD)? 
 Ta dễ thấy BD = (ABD)  (BCD). 
Gọi E = MN  BD. 
Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN ( )BCD ? 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 10
Ta có ( )
( )
E MN
E MN BCD
E BD E BCD

  
  
. 
- Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập khó 
hơn. Cụ thể: 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J 
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD. 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC). 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC) 
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM). 
* Hướng dẫn 
a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng 
cách đặt ra các câu hỏi 
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp 
(SAC)? 
Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn 
là mp (SBD). 
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)? 
Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của 
(SAC) và (SBD). 
Dễ thấy S = (SAC)  (SBD). 
Gọi O = AC  BD. Khi đó O = (SAC)  (SBD). 
Vậy SO = (SAC)  (SBD) 
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM? 
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM  (SAC)? 
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp 
(SBD). 
Gọi E = SO  BM. 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 11
 Khi đó ( )
( ) ( )
E BM
E BM SAC
E SO SAC E SAC

  
   
. 
b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề. 
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến 
với (SBC) là mặt phẳng nào? 
Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM 
Câu hỏi 6: Xác định (SAD) (SBC)? 
Ta có S = (SAD) (SBC). 
Gọi P = AD  BC. Khi đó 
( )
( )
P AD P SAD
P BC P SBC
  

  
=> P = (SAD) (SBC). 
Vậy SP = (SAD) (SBC). 
Gọi F = SP  IM 
Câu hỏi 7: Chứng minh F = IM (SBC)? 
Ta có 
( ) ( )
F IM
F SP SBC F SBC


   
 => F = IM (SBC). 
c) Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được 
mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học 
sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét. 
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa 
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến 
với (IJM)? 
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP). 
Câu hỏi 9: Xác định (SBP)  (IJM)? 
Thấy J = (SBP)  (IJM) ( Vì J SB ) 
Mặt khác (IJ ) ( )
F IM
F M SBP
F SP

  

Vậy JF = (SBP)  (IJM) 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 12
Gọi K = SC  JF 
Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC  (IJM)? 
Thấy (IJ )
(IJ ) (IJ )
K SC
K SC JF K SC M
K JF M K M

     
   
II.3. Bài tập đề nghị 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt 
là trung điểm của SB và SC 
a) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC) 
b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ) 
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ) 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các 
giao điểm sau: a) IJ  (SBC) b) IJ (SAC) 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên 
đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của: 
a) CD và (MNP) b) AD và (MNP) 
Bài 4: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên 
đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK) 
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC). 
III. Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng   . 
III.1. Phương pháp: Để chứng minh cho d //   ta chứng minh cho d // a với a là 
một đường thẳng nằm trong mp   . 
Tóm tắt: Nếu 
 
 
/ /
/ /
d a
d
a


 

- Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được 
đường thẳng a   . Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác 
định được a. 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 13
III.2. Ví dụ cụ thể 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của AB và CD 
a) Chứng minh rằng MN // (SBC). 
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB // (MNP) 
c) Chứng minh SC // (MNP). 
* Hướng dẫn 
a) Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng 
a là đường thẳng BC. Do đó học sinh dễ dàng chứng 
minh được MN // (SBC). 
Cụ thể: Do 
/ /
/ /( )
( )
MN BC
MN SBC
BC SBC



. 
b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a 
là đường MP. Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ 
của giáo viên. 
* Hướng dẫn: 
Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP? 
Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên 
SB // MP 
Mà MP  (MNP) nên SB // (MNP). 
c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi 
này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a. 
Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì 
học sinh mới có thể giải quyết được vấn đề. 
* Hướng dẫn: 
Câu hỏi 2: Lấy O = MN  AC. 
Chứng minh SC // OP? 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 14
Vì O = MN  AC => O là trung điểm của AC 
=> OP là đường trung bình của tam giác SAC 
=> SC // OP. 
Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)? 
Do SC // OP mà OP  (MNP) 
=> SC // (MNP). 
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt 
phẳng. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE. 
Chứng minh MN // (CEF). 
* Hướng dẫn 
- Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện 
đường thẳng a trong mp (CEF). Khi đó giáo viên phải 
chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp 
(CDFE). Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng 
chính là chứng minh MN // (CDEF). 
Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ? 
Do M là trọng tâm của tam giác ABD => 1
3
KM
KD
 
Do N là trọng tâm của tam giác ABE => 1
3
KN
KE
 
Vậy / /KM KN MN DE
KD KE
  (Định lý Talet) 
Câu hỏi 2: Chứng minh MN // (CEF) ? 
Do MN // DE mà DE  (CDFE) => MN // (CDFE) 
Mà (CEF)  (CDFE). Vậy ta có MN // (CEF). 
III.3. Bài tập đề nghị 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 15
 a) Chứng minh rằng BD//(AIJ) 
 b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. 
 Chứng minh rằng HK//(ABD) 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là 
trung điểm của SA và SC 
a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD) 
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = 
1
3 SD 
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN) 
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC) 
và (IJN)//(SAD). 
IV. Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song 
IV.1. Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho 
mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. 
Tóm tắt: Nếu 
 
 
 
   
,
/ /
/ /
/ /
a b
a b I
a
b

 


 

 




- Cái khó của phương pháp này là phải xác định được 2 đường thẳng a và b. Vậy 
nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn làm sao để học sinh phát hiện được 2 
đường thẳng a và b đó. 
IV.2. Ví dụ cụ thể 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M và 
N lần lượt là trung điểm của SA và CD. 
a) Chứng minh (OMN) // (SBC). 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên 
mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB). 
* Hướng dẫn 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 16
a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần 
chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn 2 đường là OM, ON 
hoặc BC, SC 
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)? 
Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam 
giác SAC) 
Mà SC ( )SBC . Vậy OM // (SBC). 
Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)? 
Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong 
tam giác DBC) 
Mà BC ( )SBC . Vậy ON // (SBC). 
Câu hỏi 3: Chứng minh (OMN) // (SBC)? 
Ta có 
, ( )
/ /( )
( ) / /( )
/ /( )
OM ON = O
OM ON OMN
OM SBC
OMN SBC
ON SBC


 

 
- Trong ý a) giáo viên cũng có thể hướng cho học sinh cách chứng minh 
BC//(OMN) và SC // (OMN). 
b) Với ý này trước tiên giáo viên phải hướng dẫn học sinh xác định điểm K 
Gọi P là trung điểm của BC. Khi đó những điểm 
nằm trên JP sẽ cách đều AB và CD. Do đó ta chỉ cần 
lấy K JP . 
Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)? 
Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD 
 => IJ // SA  (SAB) => IJ // (SAB). 
Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)? 
Có JP // AB mà K JP nên JK // AB  (SAB) => JK // (SAB) 
Câu hỏi 3: Chứng minh (IJK) // (SAB)? 
Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 
 17
Ta có 
IJ, JK (IJ )
IJ//(