Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh Trung học Phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT
--–&—--
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT
Họ và tên: 	NGUYỄN DUY LONG
Chức vụ: 	Phó Hiệu trưởng
Chuyên môn:	Toán học
Đơn vị: 	Trường THPT số 1 Bát Xát
Bát Xát, tháng 6 năm 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
2
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
3
2.1. CỞ SỞ LÝ LUẬN
3
2.1.1. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
3
2.1.2. Các căn cứ tìm lời giải
3
2.1.3. Kiểm tra lời giải
3
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
3
2.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
3
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
7
2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
9
2.2.4. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý
11
2.2.5. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
12
2.2.6. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
14
2.2.7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
15
2.2.8. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
16
2.2.9. Sai lầm liên quan đến suy luận
19
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
20
2.3.1. Quan điểm 1
20
2.3.2. Quan điểm 2
21
2.3.3 Quan điểm 3
21
2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
22
3. KẾT LUẬN
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
25
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, thực tế cuộc sống nói chung và toán học nói riêng đang đòi hỏi chúng ta về tốc độ và độ chính xác cao. Trong toán học, muốn giải được một bài toán trước hết phải có nhận định đúng đắn về bài toán đó. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Có nhiều nguyên nhân dẫn tới tình trạng này, trong đó phải kể đến việc học sinh không chịu khó đào sâu suy nghĩ và thầy cô giáo kịp thời phát hiện và khắc phục các nhận định sai lầm cho học sinh. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Từ những sự phân tích trên đây, cùng với kinh nghiệm 10 năm giảng dạy tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi nghiên cứu đề tài: 
“Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT” 
nhằm giúp các em học sinh nhà trường khắc phục được các sai lầm của mình, đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm 2014.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự cộng tác và giúp đỡ của các thầy cô giáo trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong nhóm Toán trong thời gian nghiên cứu và tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Dù bản thân tác giả đã hết sức cố gắng bằng việc tham khảo một lượng lớn kiến thức từ các tài liệu mới và cũ nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót bởi kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những góp ý quý báu của quý đồng nghiệp.
Bát Xát, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Duy Long
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2. 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Mỗi loại bài toán có các cách giải khác nhau, nhưng con đường tìm đến kết quả thì hầu hết đều phải đảm bảo những điều cơ bản sau:
2.1.1 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán:
Kết quả chính xác.
Lập luận lôgíc và có căn cứ chính xác.
Ngoài ra, đối với những bài toán có nhiều cách giải thì phải nêu được cách giải ngắn gọn, trình bày hợp lý và dễ hiểu nhất.
2.1.2 Các căn cứ tìm lời giải:
Bài toán thuộc dạng nào đã biết.
Giả thiết và kết luận của bài toán.
Các kiến thức cơ bản và kiến thức liên quan để giải bài toán.
2.1.3 Kiểm tra lời giải.
- Sau khi có lời giải, phải tiến hành kiểm đáp án, lời giải. Sau đó tìm hướng khác giải bài toán và so sánh với lời giải vừa tìm được về tính chính xác, tính ngắn gọn và dễ hiểu.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ	
Với thời gian giảng dạy 10 năm tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi thấy có nhiều sai lầm của học sinh phổ biến từ khóa này đến khóa khác. Cụ thể như sau:
2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng.
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
2.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm. 
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:.
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: với nghiệm của phương trình là ; với x < 1 nghiệm của phương trình là . 
Lời bình: Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng chưa rõ cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hơn hoặc bằng 1; đã nhỏ hơn 1.
Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: m(x – m + 3) m(x - 2) + 6.
Sai lầm: Bất phương trình mx - m2 + 3m mx - 2m +6 m2 – 5m + 6 0 2 m 3. Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 m 3.
Lời bình: Thực ra chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu biện luận.
2.2.1.2 Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình: 
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: bất phương trình tương đương với: 
x2 – 3x + 2a x2 + 2ax + 5 x(2a + 3) 2a -5 x
Lời bình: Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các phép biến đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.
2.2.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
Sai lầm: (1) lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1)x2 + 2mx = x – 1 (2)
 x2 + x(2m - 1) + 1 = 0. 
Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi = 0 hoặc .
Lời bình: Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương trình: x2 + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện , hay nói gọn hơn là, phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp: vàthì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
2.2.1.4 Không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình: (1)
Sai lầm: Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biến đổi:
(1)
Lời bình:
TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm.
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x 3a, khi đó bất phương trình tương đương với 4a - x > (2), vì a > 0 nên 
(2) . 
TH 3: Nếu a . Vì a < 0 và x ≥ a nên , do đó bất phương trình này vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a 0 căn cứ một phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: ; ; . Phần sau của đề tài sẽ trở lại vấn đề này. 
2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường hợp.
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình: chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 3.
Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3.
. 
Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3: 
x1 ≤ 3 < x2 là điều kiện cần tìm.
Lời bình: Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài toán, với cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai nghiệm bằng nhau lớn hơn 3”. Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp và thành một trường hợp . Tuy nhiên đã viết điều kiện bỏ sót trường hợp .
Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến đổi và tính toán.
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:
Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa.
Không ít học sinh đã cho rằng: 
; ; ; ; (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ); ; cos4x =, ...
Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc đã nắm được kiến thức một cách thực thụ.
Ví dụ 7: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; “cos đối, sin bù, phụ chéo”... học sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ không hiểu bản chất Toán học.
Ví dụ 8: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất, toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, ... Trong trường hợp này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì mang một phong cách rất “vần” nên học sinh dễ nhớ được 
,
nhưng ít học sinh hiểu được bản chất của dấu “=” đó. Trong hoàn cảnh này học sinh nắm cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên học sinh không hiểu vì sao I = 1 + I ?
Chẳng hạn, khi tính , có học sinh giải như sau: Kí hiệu I =. 
Đặt u = ; v = lnx.
Theo công thức nguyên hàm từng phần I = ta có 
I = , suy ra I = 1+ I (?)
	Đã có sự vô lí, bởi lẽ dấu “=” trong hoàn cảnh này chỉ sự bằng nhau giữa hai tập hợp: I là tập hợp của các hàm, mà I + 1 cũng là tập hợp của các hàm. Hơn nữa với cách giải trên không đi đến kết quả gì.
	Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyên hàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khác nhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả. Khi hai người chọn hai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau nhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số. Điều này rất hay gặp ở các hàm lượng giác ngược. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.
	2.2.2.2 Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng ấy.
	 Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là ”, hoặc, “Chỉnh hợp chập k của n là ”; “mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0”.
	2.2.2.3 Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái niệm khác có những từ gần giống.
	Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa không chẵn, vừa không lẻ.
	2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ của ngôn ngữ tự nhiên.
	Ví dụ 11: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).
 b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).
 c. ngày như ngày (một ngày như mọi ngày).
	 2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.
	Ví dụ 12: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết ; học sinh còn cho rằng .
	Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn, nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
	2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.
	Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm số y = là những số dương và là các điểm cực trị. Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?
	2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
	Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
	Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
 + Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
 + Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng minh).
 Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=; x=; x=.
	Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình: là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - .
	Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn.
	Học sinh không hiểu khái niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằng cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập hợp bằng nhau. 
	Do không nắm vững khái niệm đường cong trên mặt phẳng tọa độ và đồ thị hàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phương trình y= x là đồ thị của hàm số ngược của hàm số y =, hoặc khi tìm tiếp tuyến của đường cong như đường tròn có phương trình đã không xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a mà chỉ xét tiếp tuyến có dạng y = ax + b như trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trường hợp. Ta biết rằng đồ thị hàm số là một đường cong trên mặt phẳng tọa độ nhưng không hẳn bất cứ đường cong nào trên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số. Căn cứ vào định nghĩa hàm số ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đường cong (C) là đồ thị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi thuộc tập xác định của hàm số thì đường thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất.
	Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx, xem ; .
Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.
	Cấu trúc thông thường của định lí có dạng AB trong đó A là giả thiết của định lí, B là kết luận của định lí. Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lí. 
 Ví dụ 15: Tính tích phân I = 
 Sai lầm: I = -
 Lời bình: Ta thấy rằng hàm số gián đoạn tại x = -1 nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên. Giả thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân trên không tồn tại.
Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I =
Sai lầm: Ta có , ...,. 
Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0.
Lời bình: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn. 
 Lời giải đúng là: Đặt ,
 ta có:
=
= =
= 2sin
 Nên ,
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh. 
	2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức: 
 (1) với a, b, c, d, e.
	Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trước hết không phải vì mục đích tìm cho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng tổng quát hóa bài toán: 
Cách 1: Ta có 
+.
Cách 2: Xét hiệu f(a) = là một tam thức bậc hai đối với a có .
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được:, từ đó suy ra đpcm.
Học sinh có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cố định nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được: 
 với a, ,..., 
 Lời bình: Với cách giải tương tự
 Xét hiệu: f(a) = 
 = 
 Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm thì (1)
 Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì: 
 (1) 
 .
 	Nếu n 4 
 (1) luôn được thỏa mãn . 
Nhưng với n > 4, nếu chọn thì nên tồn tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm, cụ thể ta có thể lấy thì khi đó f(a) = (vì n > 4) nên bất đẳng thức tổng quát hóa không đúng.
 Vậy bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có lặp lại bốn lần và cộng lại thì bằng . Nhưng nếu số hạng ở vế trái nhiều hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên không đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số thì cần phải có n lần có tổng bằng a2, khi đó với cách viết tương tự ta được:  .
Vậy bất đẳng thức được tổng quát đúng là:
.
2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầm trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trong bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ.
Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm:
 (1)
Sai lầm: Bài toán có nhiều hướng giải, tuy nhiên nếu chọn ẩn phụ: 
t = với , thì bài toán trở thành: tìm m để phương trình có nghiệm. Vì thế cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ. Học sinh có thể lí giải như sau:
+) Do t là tổng hai căn bậc hai nên t ≥ 0.
+) Do thay vào t ta có: .
+) Do t , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t nên điều kiện của t là t .
Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x. Lẽ ra điều kiện của t là t.
2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x > 3.
Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :
 với mọi x > 3.
Ta có với mọi m nên tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 3 là có f(x) nên ta suy ra .
 Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: nếu học sinh không nắm được lược đồ giải dạng bài toán trên, nếu giáo viên không làm nổi rõ lí do tại sao vị trí tương đối giữa x1; x1; là thế này, thế khác, thì dù có được giáo viên làm mẫu một số bài đến lượt học sinh, chỉ cần thay đổi một chút thôi, ví như lúc làm mẫu là còn bây giờ là họ vẫn có thể gặp sai lầm!
 Vì sao họ sai lầm? đơn giản là vì họ nghĩ rằng: Với bài thì 
x1 < x2 , bây giờ với bài không còn dấu “=” nữa, thế thì cũng phải bỏ dấu “=” ở x1 < x2 để thành x1 < x2 < 3 (!?).
 Thực ra, nếu nắm vững kiến thức về tập hợp lôgíc, nếu thông thạo cách