Sáng kiến kinh nghiệm Những sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục khi giải bài tập chứa căn thức bậc hai toán 9

I:ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc. Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trìnhthường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic.
II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Cơ sở lí luận:
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển hiện nay. Tại nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ương khóa VIII về những giải pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Chính vì vậy đòi hỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn.
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong trường THCS môn Toán là một môn nhiều học sinh cho là khó từ đó không thích học. Qua quá trình giảng dạy và gần gũi học sinh tôi nắm được học sinh thường chưa hiểu được công thức và không dám hỏi bạn bè và thầy cô giáo.
Với học sinh lớp 9 thì việc giải dạng toán tìm x trong dấu căn đẻ giải phương trình, các bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn gặp nhiều sai xót do các em khi khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn tại của căn bậc hai, các biểu thức liên hợp trong bài toán trục căn thức ở mẫu... nên dẫn đến kết quả sai hoặc bỏ xót nghiệm. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này
học sinh thường ngại, lúng túng không tự tin và hay né tránh nên kết quả kiểm tra phần này thường thấp.
Chính vì vậy cần khắc phục tính rụt rè, thiếu tự tin cho các em bằng cách cho các em phát hiện những chỗ sai trong các lời giải sai và phân tích nguyên nhân, từ đó đưa ra biện pháp để khắc phục.
Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi chưa hướng dẫn học sinh giải bằng cách áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh giải thường vướng mắc các sai lầm như sau:
Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có
A
căn bậc hai,	có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
( -4 ).( -25 )
100
Ví dụ 1:	Có học sinh viết:
+Vì
-147
-3
49
-147
-3
-147
-3
nên
=	= 10 và
( -4 ).( -25 )
100
( -4 ).( -25 )
-25
-147
-3
-147
-3
=	-4 .
-4 .	=
-25
49
(!)
=	= 10
+ Vì
=	=	= 7 và
=	= 7
nên	=
(!)
2 2010 - 2011
Ví dụ 2: Tính
+ Học sinh thường làm:
2 2010 - 2011
=
é-(	2010 - 1 )ù
2
ë
û
=

= -(

2010
- 1 )

=
-2010 + 2 2010 - 1
-( 2010 - 2 2010 + 1 )
2010
=	- 1(!)
Nguyên nhân:
A
Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để tồn tại.
Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc
hai.
Biện pháp khắc phục:
- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một
A
biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để	xác định, điều kiện để có:
a. b
ab
a
b
a
b
=	;	=	.
Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
a2
Ví dụ :	Rút gọn biểu thức sau:	A = 2
a2
+ Lỗi thường gặp như sau:
-5a
( Với a < 0 )
A = 2
-5a
= 2 a -5a = 2a -5a = -3a
( với a < 0 )	(!)
a2
+ Cách giải đúng là:
A = 2
-5a
= 2 a -5a = -2a -5a = -7a
( với a < 0 )
A2
Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:	= A
4(1 - x)2
Ví dụ 1: Tìm x, biết :	- 6 = 0
+ Nhiều học sinh làm như sau :
4(1 - x)2
(1- x)2
- 6 = 0 Û 2	= 6 Û 2(1 - x) = 6 Û 1- x = 3 Û x = - 2.
Theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
+ Cách giải đúng:
4(1 - x)2
(1- x)2
- 6 = 0 Û 2
= 6 Û 1- x
= 3.
Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 Û x = -2
2) 1- x = -3 Û x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
A2
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa vận dụng hằng đẳng thức một số
+ Biện pháp khắc phục:
= A	và giá trị tuyệt đối của
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối: a
9x2
Vi ́ dụ2: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
= ìa , neáu a ³ 0
í-a , neáu a < 0
î
Tìm x, biết:
= -12
+ Lỗi thường gặp như sau:
Vì
= -12
9x2
9x2
(3x)2
=
Þ
= 3x
= 12
9x2
nên ta có: 3x = 12	Þ	x = 4.
9x2
(3x)2
+ Cách giải đúng:
Vì
=	= 3x
nên ta có: 3x
= -12
Þ	3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
(4 - 17)2
Vi ́ dụ 3: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5) Rút gọn biểu thức:
(4 - 17)2
17
17
+ Lỗi thường gặp như sau:
Học sinh A:
= 4 -
= 4 -
(4 - 17)2
17
Học sinh B:	= 4 -
(4 - 17)2
+ Cách giải đúng:
17
17
= 4 -	=	- 4
A2
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức giá trị tuyệt đối của một số âm.
Vi ́ dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

= A ,
16x + 16
9x + 9
4x + 4
x + 1
B =	-	+	+	với x ³ -1
x + 1
x + 1
x + 1
+ Lỗi thường gặp như sau:
x + 1
B = 4
B = 4
-3	+ 2	+
x + 1
x + 1
16 = 4
Û 4 =
Û 42 = (
)2 hay 16 =
x + 1
x + 1
(x + 1) 2
Û 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 Û x = 15
2) 16 = -(x+1) Û x = - 17.
x + 1
x + 1
x + 1
+ Cách giải đúng:
x + 1
B = 4
B = 4
-3	+ 2	+
x + 1
(x ³ -1)
x + 1
16 = 4
Û 4 =
(do x ³ -1)
x + 1
Û 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
+ Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng.
Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ³ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta
có
= | A|, có nghĩa là :
A2
A2
= A nếu A ³ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
A2
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
2	3( x + y )2
x2 - y2	2
Rút gọn:	với x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y.
Một học sinh A làm như sau:
2	3( x + y )2
x2 - y2	2
3.22 ( x + y )2
2( x2 - y2 )2
6( x + y )2
( x - y )2 ( x + y )2
6
x - y
=	=	=
Một học sinh B làm như sau:
2	3( x + y )2
x2 - y2	2
3 . x - y
2
6
=	2	.	=
( x - y )( x + y )	x - y
(vì x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y )
Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
Dễ thấy em học sinh A làm sai!
20
45
18
72
Vi ́ dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau:
+Cách giải sai:
-	+ 3	+
20
45
18
72
4.5
9.5
2.9
36.2
2
5
2
7
-	+ 3	+	=	-	+ 3	+
5
5
2
= 2	- 3	+ 9	+ 6
= -	+15
= 14
+ Cách giải đúng là:
20
45
18
72
4.5
9.5
2.9
36.2
2
2
5
-	+ 3	+	=	-	+ 3	+
5
5
2
= 2	- 3	+ 9	+ 6
+ Nguyên nhân:
= 15	-
Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:
A
B
A
A
B
x	+ y	- z	+ m = (x - z )	+ y	+ m ( A,B Î Q+ ; x,y,z,m Î R )
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu và tránh những sai sót.
Vi ́ dụ 3: Bài tập
Rút gọn:

A =	+

(-5)2 x
4x
4x
x
x
( với

x ³ 0 )
32 x
(-5)2 x
+Cách giải sai :
32 x
A =	+
+ Cách giải đúng là :
Với x ³ 0 . Ta có:

-	= 3	- 5	- 2

x
x
= -4
32 x
(-5)2 x
4x
A =	+	-
x
x
x
x
x
x
x
= 3	+ -5	- 2	= 3	+ 5	- 2	= 6
x
y
Vi ́ dụ 4: Rút gọn biểu thức:
=
y2 -
M	- y
xy -
y (	-	y ) y. y
+ Lỗi thường gặp như sau:
x
y
x
y
x
x
y
y2 -	xy	xy -	y2	 
M =	- y	-	=
-	=	-
y
x -	y
y
x
y
x
y
x
y
=	-	=	-1-	= -1	(!)
+ Cách giải đúng :
Đk để M xác định:

xy ³ 0 ;

y ¹ 0. Ta xét hai trường hợp:
x
y
y2 -	xy y2
x
y
* x £ 0 ; y < 0 .
y2 -
M =	- y
xy -	=	-
x
y
x
y
x
y
= 1-	-	= 1- 2
* x ³ 0 ; y>0.
=
y2 -
M	- y
xy -	=	-
x
y
y
y (	-	x )
y. y
x
y
y -	x
y
x
y
x
y
x
y
=	-	= -1+	-	= -1
Vậy: nếu
x £ 0 ; y<0 thì
M = 1- 2
và nếu
x ³ 0 ; y>0 thì

M = -1
x
y
+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc
= A	với
B ³ 0,
A2B
B
A
điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
B
+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:
tồn
A2B
+	= A
B
=
ìï
+ A	í

A2B
với
vo'i
B ³ 0
A ³ 0; B ³ 0
ïî-
A2B
vo'i
A < 0; B ³ 0
A
+	tồn tại khi A ³ 0
+	³	,
=	Û ìïx ³ 0
a
î
a	0	x
íïx2 = (
a )2 = a
A
B
A
B
+ Nếu A ³ 0, B > 0 thì	=
Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học sinh thường mắc phải một số sai lầm:
Ví dụ 1: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
+ Lỗi thường gặp như sau:
a. 5+23=3⋅5+2(3)2=15+23
b. 25-1=2(5-1)(5-1)2=2(5-1)5-1=5-12
hoặc 25-1=2(5+1)(5-1)(5+1)=2(5+1)5+1=5+13
hoặc 25-1=2(5+1)(5-1)(5+1)=2(5+1)(5)2-1=2(5+1)25-1=5+112
hoặc 25-1=2(5+1)5-1(5+1)=2(5+1)-1=-2(5+1)
hoặc 25-1=2(5-1)(5-1)(5+1)=2(5-1)5-1=5-12
+ Cách giải đúng:
a. 5+23=3⋅(5+2)(3)2=15+233
b. 25-1=2(5+1)(5-1)(5+1)=2(5+1)5-1=5+12
- Nguyên nhân:
+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành
A + B
A
B
dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “	=	+	” tương tự như
A.B
A. B
=	( với
A ³ 0 và
B ³ 0) để tính .
một thương.
+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương
+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng
thức và tính chất cơ bản của phân thức.
+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng
đẳng thức: A2 - B2 = ( A - B)( A + B)
- Biện pháp khắc phục:
A + B
A
B
A.B
A. B
+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử
dụng
=	+	tương tự như
=	( với
A ³ 0 và
B ³ 0) .
+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:
AB=ABB, với B>0
CA±B=C(A∓B)A-B2, với A≥0 và A≠B2
CA±B=C(A∓B)A-B, với A≥0,B≥0 và A≠B
Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số các bài toán về căn bậc ba :
Vi ́ dụ 1:	Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
a ³ 0
khi giải
Giải phương trình: 3x-1+1=x
+Có học sinh làm::
3x-1+1=x⇔3x-1=x-1 ⇔x-1≥0x-1=(x-1)3⇔x≥1(x-1)x2-2x=0 ⇔x≥1x(x-1)(x-2)=0⇔x≥1x=0 (loai) x=2
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1;x2=2.
Cách giải đúng:
3x-1+1=x⇔3x-1=x-1⇔(x-1)3=x-1 ⇔(x-1)3-(x-1)=0⇔(x-1)x2-2x=0⇔x(x-1)(x-2)=0
⇔x=0 hoặc x=1 hoă̆c x=2.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1=0;x2=1;x3=2
Nguyên nhân:
Học sinh quá lạm dụng định nghia căn bậc hai sổ học của một số a≥0
a=x⇔x≥0x2=(a)2=a
HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba cuia một số a.
Biện pháp khắc plục:
Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giũa căn bậc hai của một số a≥0; căn bậc hai số học của một số a≥0 và căn bậc ba của một số a.
Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Vi ́ dụ 1 : Tìm x, biết :
(4-
17 ).2x <
3(4 -
17 ) .
3
- Lỗi thường gặp :
(4-
17 ).2x <
3(4 -

17 )
Û 2x <
( chia cả hai vế cho 4-
) Û x <	3 .
17
17
2
16
17
- Cách giải đúng : Vì 4 =	<
nên 4 -
< 0, do đó ta có:
(4-
17 ).2x <
3(4 -
17 )
Û 2x >
Û x >	3 .
3
2
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì.
Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
17
17
- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4
và
cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 -
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
x +	3
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : x 2 - 3
x +	3
- Cách giải sai :
x 2 - 3 =
= x -	.
(x -	3)(x +	3)
x +	3
3
3
3
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì
3
3
cần phải có x +
¹ 0 hay x ¹ -
. Khi đó ta có
x +	3
(x -	3)(x +	3)
x +	3
x 2 - 3 =
= x -
(với x ¹ -	).
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =-

3
thì x +

3
= 0, khi đó biểu thức
x 2 - 3
x +	3
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
Sai lầm khi giải phương trình vô tỉ.
x - 2010
Ví dụ 1:	Giải PT: ( x + 2011 )	= 0 (*)
+ Lơì giải sai:
Ta có :	( x + 2011)	x - 2010 = 0
Û é x + 2011 = 0
ê
Û é x = -2011	Û é x = -2011
ë
x - 2010 = 0
ê
ë x - 2010 = 0	ë x = 2010
ê
+ Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x ³ 2010 Þ x + 2011 > 0
Do đó: ( x + 2011)	x - 2010 = 0 Û	x - 2010 = 0 (Vì: x + 2011 > 0)
Û x - 2010 = 0 Û x = 2010
Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*).
Ví dụ 2:
x - 1
5x - 1
3x - 2
Giải pt:	-	=
+ Lời giải sai:
(1)
x -1
5x -1
3x - 2
(1) Û	=	+
15 x2 - 13 x + 2
Û x - 1 = 5 x - 1 + 3 x - 2 + 2
Û 2 - 7 x = 2	15 x2 - 13 x + 2
(Bình phương hai vế )
(4)
Û 4 - 14 x + 49 x2
= 4 (15 x2 - 13 x + 2)
(5)
Û 11x2 - 24 x + 4 = 0
 ⇔(11x-2)(x-2)=0 ⇔11x-2=0x-2=0⇔x=211x=2
+Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa x-1xác định khi x≥1. Do đó x=211 Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
 Mà (4)⇔2-7x≥0(2-7x)2=415x2-13x+2
Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chi tương đương với phương trình (4) với điều kiện: 2-7x≥0⇔x≤27. Do đó x=2 cũng không phài là nghiệm của (1).
+ Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
2 - 7 x ³ 0 Û x £ 2 . Do đó x = 2 cũng không
7
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định 1 £ x £ 2 . Do đó khi giải xong kết luận
7
phương trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô nghiệm.
x + 4
Ví du 3: Giải phương trình:
+ Lời giải sai:
= x + 2
x + 4
= x + 2 Û x + 4 = x2 + 4x + 4 Û x( x + 3 ) = 0 Û x=0x=-3
Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình.
+ Cách giải đúng:
x+4=x+2⇔x+2≥0x+4=x2+4x+4⇔x≥-2x(x+3)=0⇔x≥-2x=0x=-3⇔x=0
Ghi nhớ : A=B⇔B≥0A=B2
Ví dụ 4:Giải phương trình:
2x + 5 = 1
x - 2
+ Lời giải sai:
Điều kiện: x > 2
2x + 5 = 1 Û 2x + 5 = 1 Û 2x + 5 = x - 2 Û x = -7 (loại)
x - 2
x - 2
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A £ 0; B < 0 Nên mất một nghiệm x= -7
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x > 2 hoặc x £ -2,5
2x + 5 = 1 Û 2x + 5 = 1 (với x > 2 hoặc x £ -2,5)
x - 2
x - 2
Û 2x + 5 = x - 2 Û x = -7 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7
Kiểm nghiệm
Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh khá giỏi môn toán của trường trong năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào. Kết quả học sinh có thể định hướn