SKKN Một số kinh nghiệm giúp đỡ học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LANG CHÁNH
TRƯỜNG THCS TÂN PHÚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP ĐỠ HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
 Người thực hiện: Tống Văn Thủy
 Chức vụ: Phó hiệu trưởng
 Đơn vị: Trường THCS Tân Phúc
 SKKN Môn: Toán
LANG CHÁNH NĂM 2018
 PHỤ LỤC
NỘI DUNG
TRANG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
2
1. Lí do chọn đề tài
3
2. Mục đích nghiên cứu
3
3. Đối tượng nghiên cứu
3
4. Phương pháp nghiên cứu 
3
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
3
1. Cơ sở lí luận
3
2. Thực trạng của vấn đề
5
3. Các giải pháp tổ chức thực hiện
6
3.1 Phân tích những điểm mới và khó về căn bậc hai :
6
3.1.1 Điểm mới:
6
3.1.2 Những điểm khó
6
3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai
7
3.2.1 Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học
7
3.2.2 Sai lầm trong kĩ năng tính toán
9
3.3 Những phương pháp giải toán về căn bậc hai
13
3.3.1 Xét thuật ngữ toán học
13
3.2.2 Xét biểu thức phụ có liên quan
13
3.3.3 Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học
14
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
16
1. Kết luận
16
2. Kiến nghị
18
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài: 
Toán học là một môn khoa học vô cùng trừu tượng, đòi hỏi người học phải có khả năng tư duy logic, có khả năng phân tích, tổng hợp, khả năng khái quát hóa, trừu tượng hóa. Học sinh học tốt môn toán sẽ là tiền đề để học tốt các môn học khác, đặc biệt là các môn Khoa học tự nhiên. Chính vì thế để giảng dạy môn Toán, ngoài việc trang bị cho mình một kiến thức chuyên môn vững chắc, các thầy cô giáo còn phải biết cách dẫn dắt học sinh để các em có niềm đam mê đối với Toán học. Phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh, từng kiểu bài làm cho hiệu quả giờ học đạt kết quả cao nhất.
Qua quá trình giảng dạy thực tế trên lớp, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh (45%) chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích, kỹ năng tính toán yếu Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
 Trước tình hình trên, qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy toán, đặc biệt là toán 9 tại trường THCS Tân Phúc, tôi đã rút ra “ một số kinh nghiệm giúp đỡ học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”. Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra... Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp giáo viên trực tiếp giảng dạy toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp các em phát triển khả năng tiềm tàng trong chính bản thân các em.
2. Mục đích nghiên cứu:
Đánh giá thực trạng kỹ năng giải toán về căn bậc hai ở lớp 9A trường THCS Tân Phúc
Từ đó đề xuất một số kinh nghiệm giúp đỡ học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh lớp 9A trường THCS Tân Phúc
3. Đối tượng nghiên cứu:
Kỹ năng phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai của học sinh lớp 9A ở trường THCS Tân Phúc.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp ngiên cứu tài liệu: Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo Tham khảo, tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ học hỏi..
- Phương pháp điều tra khảo sát, phân tích kết quả học tập của học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm dạy ở lớp 9A trường THCS Tân Phúc.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận:
 - Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và các nghành khoa học khác. Vả lại đặc điểm về môn toán nội dung nhiều, công thức tính nhiều, bài tập thì đa dạng (có khó, có dễ, có phức tạp). Vì thế trong quá trình tính toán, vận dụng các em học sinh rất dễ bị nhầm lẫn, sai sót. Cho nên khi giải toán về “Căn bậc hai” học sinh cũng rơi vào trường hợp tương tự.
 -Trong những năm gần đây, định hướng đổi mới PPDH đã được thống nhất theo tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên, học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện, giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được.
 Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của học sinh cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy. Mặt khác, cũng có trường hợp học sinh mong muốn được học theo Phương pháp dạy học tích cực nhưng giáo viên chưa đáp ứng được. Do vậy, giáo viên cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo phương pháp dạy học tích cực, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh. Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả. Phương pháp dạy học tích cực hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học.
* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực:
a) Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học chú trọng rèn luyện PP và phát huy năng lực tự học của HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.
e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
Vấn đề cần quan tâm ở đây là chất lượng dạy và học của GV và HS như thế nào là hiệu quả, nên chúng ta cần bàn đến.
2 .Thực trạng của vấn đề:
a) Giáo viên: 
Nhìn chung đội ngũ giáo viên nhà trường có nhiều thầy cô giáo đã công tác lâu năm trong trường nên giàu nhiệt huyết và kinh nghiệm dạy học song cũng có một bộ phận thầy cô giáo không nắm vững kiến thức cơ bản, đổi phương pháp dạy học còn hạn chế, hiệu quả đạt được chưa cao.
b) Học sinh: 
Trong quá trình giảng dạy Toán về “Căn bậc hai ” học sinh thường vấp phải những sai lầm không đáng có và những sai lầm do kỹ năng tính toán yếu, lúng túng khi làm bài tập, không đáp ứng được yêu cầu và vận dụng tính chất của bài toán. Hai nguyên nhân chính dẫn đến kết quả đó là :
 + Nguyên nhân khách quan: Giáo viên giảng dạy phải đáp ứng yêu cầu truyền đạt tri thức lý thuyết có phần “quá tải”, vì thời gian thì eo hẹp do chuẩn kiến thức kĩ năng quy định, bài tập thì nhiều không giải quyết hết được, cũng có khi giáo viên chưa quan tâm nhiều đến học sinh, đôi khi năng lực giáo viên còn hạn chế....Chính vì thế mà chất lượng giữa dạy và học còn hơi thấp.
 + Nguyên nhân chủ quan: Giáo viên chưa quan tâm nhiều đến học sinh, chưa lắng nghe tâm tư nguyện vọng, ý kiến của học sinh, có một số giáo viên cho rằng kiến thức truyền đạt cho học sinh là đơn giản nên chưa nhấn mạnh những điểm cần thiết, học sinh chưa chú ý nghe giảng bài, học sinh chưa có Phương pháp học tập đúng, mất căn bản về kiến thức, lười, học yếu, chán học, thụ động trong học tập, giáo viên dạy chưa lôi cuốn, thu hút được học sinh ... Những nguyên nhân nói trên dẫn đến kết quả học tập của học còn thấp.
Thực tế qua bài kiểm tra khảo sát (bằng kiểm tra 15 phút) trước khi áp dụng sáng kiến đối với học sinh lớp 9A có kêt quả như sau :
Lớp 
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
9A
41
1
2,4%
7
17,1
13
31,7%
15
36,6%
5
12,2%
3. Các giải pháp tổ chức thực hiện:
3.1 Phân tích những điểm mới và khó về căn bặc hai:
So với chương trình cũ thì chương I - Đại số 9 trong chương trình SGK mới này có những điểm mới và khó chủ yếu sau:
3.1.1 Điểm mới:
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phương.
- Phép tính khai phương và căn bậc hai số học được giới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫn chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn ( nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phương và phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai được phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phương thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ? có ngay trong phần bài học của mỗi bài.
3.1.2 Những điểm khó:
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn.
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
 3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi giải Toán về căn bậc hai:
 	3.2.1 Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:
a) Định nghĩa về căn bậc hai:
* Ở lớp 7 Đưa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là và một số âm ký hiệu là -.
* Ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học:
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x =. Ta viết
x= 
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương).
 Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và "căn bậc hai số học”. 
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4.
 Ví dụ 2: Tính 
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau:
 = 4 và - 4 có nghĩa là = 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là: = 4 và = -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
*Lời giải đúng: = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học:
Với hai số a và b không âm, ta có a < b 
Ví dụ 3: so sánh 4 và 
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
*Lời giải đúng: Ta có 16 > 15 nên > . Vậy 4 = > 
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học: 
với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =.
Ví dụ 4: Tìm số x, không âm biết: = 15 
*Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau: 
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là:
 x = và x =- học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
 Do x ≥ 0 nên = 152 hay x = 225 và x = -225. 
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225
* Lời giải đúng: cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phương:
Ví dụ 5: Tính - 
- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau : 
 - = 5 và - 5
* Lời giải đúng là: - = - 5 
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức= | A|
 Căn thức bậc hai: 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
 Hằng đẳng thức: = | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6: Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai): 
 (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
* Lời giải đúng: (-8)2 = 64 và = 8.
Mối liên hệ = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ 7: Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhưng = 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khảng định được kết quả như ở trên.
3.2.2 Sai lầm trong các kỹ năng tính toán:
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = x + 
 * Lời giải sai: A= x + = (x++ ) - = (+)2 ≥ - 
Vậy min A = -.
 * Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý).
 * Lời giải đúng: 
Để tồn tại thì x ≥0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 2: Tìm x, biết : - 6 = 0
 * Lời giải sai:
- 6 = 0 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
 * Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau: 
Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là:
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng: 
- 6 = 0 | 1- x | = 3. 
Ta phải đi giải hai phương trình sau: 
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. 
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
Ví dụ 3: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x ≥ -1
* Lời giải sai:
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau: 
1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
* Phân tích sai lầm: Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2= - 17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= - 17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với 
x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng: 
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = (do x ≥ -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi:
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 4: Tìm x, biết: 
(4- .
* Lời giải sai:
(4- 
 2x < ( chia cả hai vế cho 4-)
 x < .
* Phân tích sai lầm: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng: Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có
(4- 2x > x > .
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức : 
* Lời giải sai: = = x - .
* Phân tích sai lầm: Rõ ràng nếu x = - thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng: Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + ≠ 0 hay x ≠ -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x ≠ -).
Ví dụ 6: Cho biểu thức: 
Q = với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
Giải :
 a) Q = 
 Q = - 
 Q = 
 Q = = 
 Q = = 
 Q = - 
 b) * Lời giải sai: 
 Q > -1 nên ta có : - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1
 * Phân tích sai lầm: Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng: 
Q > -1 nên ta có: - > -1 3 > 2 x > 4.
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
3.3 Những phương pháp giải toán về căn bậc hai
 3.3.1 Xét thuật ngữ toán học: Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục được nhược điểm này của học sinh ( GV: Có thể áp dụng vào giảng dạy hằng ngày bằng cách nhắc nhở và đặt câu hỏi vấn đáp trả lời).
3.3.2 Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1: Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh < 
Giải: Ta đi so sánh hai biểu thức sau: a + b và (+ )2
Ta có: (+ )2 = a+ b + 2
Suy ra a + b < (+ )2 do đó ta khai căn hai vế ta được:
 0, b > 0 nên ta được:
 < 
* Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được với thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A:
 A = 
Giải:
Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau:
 B = 2- 
Ta có: 0 ≤ ≤ => - ≤- ≤ 0 => 2- ≤ 2 - ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- = x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ .
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi = 0 x = , khi đó giá trị nhỏ nhất của A = = .
* Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ .
3.3.3 Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học:
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu được bài toán đó .
Ví dụ 1: Cho biểu thức:
P = với a > 0 và a ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0 
Giải:
 a) P = 
 = = 
 = = .
Vậy P = với a > 0 và a ≠ 1. 
b) D