Sáng kiến kinh nghiệm Những định hướng trước một bài toán

MỤC LỤC
Nội dung Trang
 I. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài...2
 1.2. Mục đích nghiên cứu. ..2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu...3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu......3
II. NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......3
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. 3
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..4
 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
 giải quyết vấn đề. .....4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. ...24
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.25
3.1. Kết luận. ....25
3.2. Kiến nghị. ..26
Tài liệu tham khảo: .28
I. MỞ ĐẦU
 1.1 Lí do chọn đề tài
 Giải một bài toán bằng nhiều cách trong “thời buổi này”, “ ở cách thi này” có lẽ quá “ xa xỉ” đối với nhiều em học sinh, kể cả những em có học lực Khá – Giỏi.
 Bởi một lý do rất đơn giản là : có tìm được cách giải hay thì khi đi thi cũng có ai cho thêm điểm vì cách giải hay, cuối cùng cũng chỉ là “ khoanh tròn” một đáp án. Theo tôi những suy nghĩ trên không hề sai, tuy nhiên nó chỉ áp dụng cho những học sinh học Toán chỉ với mục đích là để “thi” chứ không phải là để “ học” để tìm tòi và rèn luyện tư duy sáng tạo, từ đó dẫn đến sự nhàm chán cho học sinh. Chúng ta là những người dạy Toán, chính vì vậy trước hết phải khơi dậy được niềm vui, niền đam mê học Toán cho học sinh. Không cứ phải là giải được bài toán khó là hay mà theo tôi cái hay, cái thú vị của bài toán là người làm toán phải biết nhìn bài toán đó dưới nhiều góc độ, phải biết bám vào từng lý do, từng điều kiện liên quan giả thiết cho để phụ vụ mục đích giải toán của mình, phải “khám phá” nó rồi mới hiểu được bài toán thì mới khơi dậy niềm đam mê.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Tất nhiên đối với học sinh đi học cuối cùng cũng là để đi thi được kết quả cao, nhưng học với mục đích chỉ để “thi” thì để đạt được kết quả cao là rất khó, mà nếu có đạt được thì những học sinh đó cũng chỉ là những “cỗ máy” giải Toán. Điều đó có nghĩa là cần phải hướng cho học sinh một cái “đích” xa hơn và đúng nghĩa hơn cho việc “học”, cho học sinh hiểu học Toán là cả một quá trình tìm tòi, khám phá và rất cần sự “sáng tạo” để phát triển tư duy, còn việc đi thi thì là điều tất yếu sẽ đến, chỉ là sự đánh giá quá trình học hỏi của mình.Thành quả đạt được sẽ tốt nếu người học nắm vững kiến thức, làm chủ kiến thức.
 Mặc dù hiện nay môn Toán được Bộ Giáo Dục tổ chức thi trắc nghiệm, học sinh không có cơ hội thể hiện cách giải đặc sắc của mình nhưng nếu đứng trước một bài Toán nói riêng, trước một vấn đề cần giải quyết nói chung thì nếu các em có nhiều sự lựa chọn thì đó là một lợi thế để các em có cơ hội chiến thắng trong cuộc thi. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay. Một khối lượng bài cần giải quyết trong 90 phút (50 câu = 50 bài toán khác nhau) thì đó là rất nhiều, đòi hỏi các em không chỉ giải được mà còn phải giải nhanh thì mới xong được điều đó đòi hỏi tính quyết đoán, tính chính xác trong việc xác định phương hướng giải quyết bài toán: nếu định hướng đúng thì đương nhiên bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn còn khi định hướng sai thì bài toán không giải quyết được “mất thời gian” ảnh hưởng tâm lí và dẫn đến thất bại!
 Mục đích nghiên cứu của đề tài này là dẫn dắt cho học sinh: “Những định hướng trước một bài toán ” để từ đó học sinh có thể tự mình phát hiện thêm nhiều lời giải cho bài toán. Để các em thấy được mặt tích cực của việc học Toán là phát triển được tư duy, yêu thích môn học này từ cái hay của nó chứ không phải chỉ là mục đích “thi”. Đó là lí do tôi chọn nghiên cứu đề tài này.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
 Dưới đây với nội dung có hạn, tôi xin được đề cập đến một phần nhỏ của Toán học đó là phần Hình học giải tích được giảng dạy ở cuối chương trình hình học lớp 12 và cũng là nội dung quan trọng không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc Gia với mục đích cùng với đồng nghiệp, cùng học sinh chia sẻ những kinh nghiệm và tiếp thu những ý kiến góp ý để việc giảng dạy của bản thân có kết quả tốt hơn! Giúp học sinh hiểu , yêu Toán và có kết quả cao trong các kì thi quyết định của các em!
1.4 Phương pháp nghiên cứu
 Trong đề tài này, tôi chọn phương pháp nghiện cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Từ các bài toán cụ thể, căn cứ vào yêu cầu của bài toán kết hợp với điều kiện mà từ đó định hình cho học sinh phương hướng giải quyết bài toán trước mắt từ dễ đến khó. Hình thành cho học sinh một “phản xạ” có điều kiện phát hiện được nhanh và chính xác ít nhất một hướng giải quyết bài toán.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Đối với hình học nói chung và với hình học tọa độ trong không gian nói riêng, các đối tượng cơ bản mà học sinh cần phải xác định đó là Điểm – Đường thẳng – Mặt phẳng và Mặt cầu.
 Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào giả thiết để: Xác định điểm, viết phương trình đường thẳng,viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước. Và khó hơn một chút nữa là các bài toán thể hiện mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trên với nhau.
 Để làm được các bài toán đó, theo tôi học sinh khi bắt đầu giải một bài toán thì cần phải nắm được các nguyên tắc cơ bản sau:
 - Phải biết đề bài cho những gì, phân tích cụ thể từng điều kiện đề cho.
 - Phải xác định rõ yêu cầu đề bài.
 - Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng đã có và đại lượng cần tìm
 (Học sinh có thể phải suy luận một bài toán ngược)
 Từ đó định hướng cách giải bài toán một cách chính xác.
 Khi thực hiện được diều đó, học sinh có thể :
 1) Giải quyết nhanh một vấn đề đặt ra.
 2) Có thể tìm ra được nhiều cách giải cho một bài toán
 Trong chương trình Sách giáo khoa THPT, khối lượng kiến thức của phần hình học này thì không nhiều và được trình bày một cách độc lập với nhau. Tuy nhiên mức độ khó của phần hình học này cũng không kém gì so với phần hình học tổng hợp, vì vậy cũng đòi hỏi học sinh biết kết hợp cả kiến thức hình học không gian tổng hợp để giải.
 Ví dụ: Trong hình học không gian tổng hợp, có các cách xác định mặt phẳng:
 1) Ba điểm không thẳng hàng
 2) Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng.
 3) Hai đường thẳng cắt nhau.
 4) Hai đường thẳng song song.
 5) Một điểm và một phương vuông góc.
 Thì tương ứng trong hình học tọa độ, học sinh cũng phải viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp như vậy.
 Và vấn đề đặt ra ở đây là làm như thế nào để học sinh có thể định hướng chính 
xác cách giải quyết bài toán một cách nhanh nhất và lời giải gọn nhất. Vấn đề đó 
tôi xin được trình bày trong phần nội dung của đề tài này. 
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài toán thì theo kiểu “ tù mù” không định hướng rõ được cách giải của mình, thậm chí có em giải xong bài toán rồi, khi được hỏi tại sao lại giải quyết bài toán theo hướng đó thì cũng chẳng biết lý do vì sao, đơn giản chỉ là “cảm thấy” giải như vậy rồi thử và may mắn giải được.
 Và như vậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho một hướng giải quyết mù mịt (không biết có ra hay không) dẫn đến mất niền tin và khả năng của mình và từ đó cảm thấy không còn hứng thú trong việc học Toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Trên cơ sở kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11. Tôi đã chia thành các dạng toán cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiện mục đích của mình đó là hình thành cho học sinh tính định hướng.
 Yêu cầu học sinh phân tích kỹ đề bài, phải xác định được lí do đề bài áp đặt điều kiện của bài toán để làm gì, để giải quyết yêu cầu đề bài thì cần phải từng bước thực hiện các yêu cầu “phụ” liên quan nào và từ đó hình thành cho mình các giải một bài toán.
 Trước hết tôi phân chia thành một số dạng cơ bản sau:
 Dạng 1 Xác định tọa độ điểm
 Kiến thức cơ bản: Ở dạng này học sinh cần lưu ý đó là cách cấu tạo điểm:
 1) Với một điểm cho trước, tồn tại duy nhất một điểm thứ hai để có một vectơ bằng một vectơ cho trước.
 2) Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một điểm.
 3) Đường thẳng cắt mặt phẳng xác địng duy nhất một điểm.
 Bài 1(SGK hình học12 chuẩn/tr 68 )
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp biết , , và .Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Phân tích đề bài:
 - Đề bài cho gì!
 Cho là hình hộp: các cạnh bên 
song song và bằng nhau, hai đáy là hai hình 
bình hành bằng nhau, các đường chéo cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường.
-Yêu cầu đề bài :Xác định tọa độ điểm
Định hướng: Từ đó ta có hai định hướng sau:
 1. Các cặp cạnh song song và bằng nhau suy
ra có các vectơ bằng nhau.
 2. Công thức trung điểm.
 Như vậy với hai hướng trên, ta có thể giải bài toán này bằng hai cách.
Cách 1 Ta có: 
 Gọi , vì nên: 
 Tương tự: 
 , , 
Cách 2. Gọi I là giao điểm của các đường chéo hình hộp, suy ra:
 +) I là trung điểm của nên: 
 +) Gọi . I là trung điểm của nên: 
 Vậy : 
 +) Tương tự I là trung điểm của , suy ra: 
 Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của BD, suy ra: 
 +) O là trung điểm của AC, suy ra: .
 +) I là trung điểm của , suy ra: .
Bài 2(SBT hình học12 nâng cao/tr 119 )
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm , , . Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Sai lầm:
 Cũng như đã nói ở trên. khi gặp bài toán này, hầu
hết các em học sinh đều khẳng định là mình giải 
được với điều kiện:
 Tuy nhiên các em đã không thể làm được, bởi hệ trên chỉ cho ta hai phương trình, nếu để ý thì dễ dàng thấy (3) là hệ quả của (1) và (2).
 Với hệ đó, học sinh tìm được vô số điểm cách đều ba đỉnh A, B, C. Tập hợp các điểm đó là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phân tích đề bài:
 - Đề bài cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, như vậy hoàn toàn xác định một mặt phẳng.
 Định hướng 1.
 - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh và nằm trên mặt phẳng (ABC).
 Định hướng 2.
 Theo tính chất của hình học phẳng, thì tâm I là giao của ba đường trung trực, còn trong hình học không gian thì nó nằm trên các mặt phẳng trung trực của các cạnh và nằm trên mặt phẳng (ABC).
 Từ hai định hướng trên, ta có thể giải bài toán bằng hai cách sau:
 Cách 1: Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:
đồng phẳng
 Ta có: , 
 Vậy hệ (*) tương đương với:
 . Vậy .
 Cách 2:
 Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua 
nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình: (1)
 Mặt phẳng trung trực của đoạn AC đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình: (2)
 Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến: nên có phương trình: (3)
 Tọa tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nghiệm của hệ:
 . Vậy .
 Tương tự như vậy, cũng từ một bài toán quen thuộc trong hình học phẳng:
 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B.
 1)Tìm trên d điểm M sao cho nhỏ nhất
 2) Tìm trên d điểm N sao cho lớn nhất
Với bài toán đó trong không gian, thì lại hoàn toàn khác, ta xét bài toán sau:
Bài 3
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm , và đường thẳng . Tìm điểm M trên d sao cho nhỏ nhất.
 Sai lầm:
 Cũng như trong hình học phẳng, rất nhiều em học sinh đã làm như sau:
 +) Lấy đối xứng với qua d.
 +) Điểm M là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng 
 Tuy nhiên khi các em bắt tay vào giải một cách cụ thể thì lại không có điểm M?
 Với cách làm trên rõ ràng không có điểm M thỏa mãn vì hai đường thẳng d và chéo nhau. Vậy có hay không điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán!
Định hướng giải:
 Đề bài cho hai điểm không thuộc đường
thẳng, vậy đường thẳng d và điểm B xác 
định cho ta một mặt phẳng . Trên mặt
phẳng luôn tồn tại điểm sao cho
với mọi điểm M thuộc d thì ,hay
 Và như vậy, bài toán chuyển sang tìm điểm . Tìm được điểm thì coi như giải quyết xong vì lúc này bài toán trong không gian đã trở thành bài toán trong mặt phẳng.
 Từ đó ta có thể giải bài toán trên theo cách sau:
 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua B và chứa d.
 2)Xác định điểm trên mặt phẳng sao chovà B nằm khác phía so với d.
 3) Điểm M là giao điểm của và .
 Nhân xét: trong cách giải trên, ta cũng có thể tìm điểm theo hai cách sau:
 Cách 1:
 +) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
 +) Điểm nằm trên đồng thời .
 +) Ta tìm được hai điểm như vậy, tuy nhiên cần lưu ý điểm M phải nằm giữa và B. 
 Cách 2:
 +)Xác định hình chiếu lần lượt của A và B trên đường thẳng d.
 +)Điểm cần tìm thỏa mãn: .
Giải:
 Cách 1:
 Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
 Ta có: 
 Mặt phẳng chứa d và đi qua B có VTPT (véctơ pháp tuyến) ,có phương trình:
 Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d có phương trình:
 Đường thẳng là giao của và nên:
 Đặt ta có phương trình tham số của :
 Vậy 
 Suy ra:,
 ,
 Mặt khác: 
 Với suy ra . Điểm M thuộc d nên: , đồng thời:
 không thỏa mãn
 Với suy ra . Điểm M thuộc d nên: , đồng thời:
 thỏa mãn
 Vậy: .
 Cách 2:
 Gọi là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d. Điểm , suy ra: và .
 Vì: nên:
 và .
 Gọi là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng d. Điểm , suy ra: và .
 Vì: nên: 
 Gọi là điểm thuộc mặt phẳng , nằm khác phía với B so với d và , suy ra:
 Tương tự trên cho đường thẳng giao với đường thẳng d ta có .
Ta chứng minh điểm M trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Thật vậy:
 Với mỗi điểm N thuộc d và , theo bất đằng thức tam giác ta có: 
 Vậy với điểm thì 
 Dạng 2 Viết phương trình mặt phẳng
 Nguyên tắc chung:
 +) Xác định ít nhất một điểm đi qua
 +) Xác định một vectơ pháp tuyến
Bài 4
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
 và 
 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa và .
 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách một khoảng bằng .
Định hướng giải:
 +)Đề bài cho!
 Hai đường thẳng song song với nhau, như vậy ta có vô số điểm đi qua và một phương.
 +)Yêu cầu đề bài:
 Viết phương trình mặt phẳng.
 +) Hướng giải quyết
 1)Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song
 Định hướng 1 Nếu lấy hai véctơ chỉ phương nhân có hướng với nhau thì ta được một véctơ_không, vậy phải chọn một véctơ không cùng phương với phương của hai đường thẳng.
 Định hướng 2 Vì đề bài cho rất nhiều điểm đi qua nên ta có thể chọn ra ba điểm không thẳng hàng mà mặt phẳng đi qua.
 2) Mặt phẳng chứa đường thẳng vậy có vô số điểm đi qua thẳng hàng, mặt khác yêu cầu bài toán lại liên quan đến khoảng cách nên cần có phương trình mặt phẳng để tính khoảng cách.
 Từ đó ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Giải
 1)Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .
 Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP .
Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP .
Cách 1
 Mặt phẳng chứa hai đường thẳng và đi qua và có véctơ pháp tuyến: nên có phương trình:
 .
Cách 2
 Lấy điểm thuộc .
 Vì và song song với nhau nên ba điểm không thẳng hàng.
 Gọi mặt phẳng cần tìm có phương trình: .
 Mặt phẳng đi qua ba điểm nên ta có hệ:
 Nếu thì trái với điều kiện, vậy , ta có:
 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách một khoảng bằng .
 Gọi là VTPT của mặt phẳng cần tìm, mặt phẳng chứa nên đi qua , suy ra phương trình: 
 .
 Vì mặt phẳng chứa nên: 
 Mặt khác:
 Thế (1) vào (2) ta được: 
 Với , vì nên chọn: , mặt phẳng có phương trình:
 Với vì nên chọn: , mặt phẳng có phương trình: 
 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài ra:
 và .
 Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng
 Nguyên tắc chung:
 +) Xác định ít nhất một điểm đi qua
 +) Xác định một vectơ chỉ phương
Bài 5
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1) Đề cho:
 +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm: 
 +) Mặt phẳng có tọa độ của các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến 
 +) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 
 Giải
Cách 1:
 Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . Vậy nhận làm VTCP nên có phương trình:
 Cách 2: Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên là tập hợp các điểm sao cho:
 Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng D.
(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh).
Bài 6
 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng qua và song song với hai mặt phẳng và .
Định hướng giải quyết: Đề bài đac cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1)Đề bài cho:
 +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm: .
 +) Hai mặt phẳng:
 (P) Û có véc tơ pháp tuyến 
 (Q) Û có véc tơ pháp tuyến 
 +) Quan hệ: Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có 
 phương vuông góc với hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. 
 2) Cần xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng 
Cách giải: Từ mối quan hệ giữa đường thẳng với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng có một chỉ phương là: .
 Vậy đường thẳng có phương trình:
Bài 7
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt cả hai đường thăng:
 và 
Định hứơng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1) Đề cho:
 +)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : .
 +)Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
 +)Đường thẳng đi qua điểmvà có véctơ chỉ phương .
 +)Quan hệ: Đường thẳng D cắt cả hai đường thẳng và .
 2)Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
 Từ mối quan hệ ta có thể giải quyết bài toán theo hai hướng sau:
 Định hướng 1: 
 +)Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
 +)Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
 Vậy đường thẳng D là giao của hai mặt phẳng và .
 Định hướng 2: 
 +)Đường thẳng D cắt đường thẳng tại P.
 +)Đường thẳng D cắt đường thẳng tại Q.
 Vậy đường thẳng D cũng là đường thẳng PQ.
 Từ đó dẫn đến các cách giải
Giải:
 Cách 1:
 ·Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau D và .
 Vậy có hai chỉ phương: và , suy ra pháp tuyến của 
: 
 ·Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau D và .
 Vậy có hai chỉ phương làvà , suy ra pháp tuyến của : 
 Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương: 
 Hay D có phương trình: 
 Cách 2: 
 Gọi P là giao điểm của D và . 
 Gọi Q là giao điểm của D và . 
 Mặt khác ba điểm P, A, Q cũng thuộc đường thẳng D nên thẳng hàng hay: 
 , .
 Với ta có : Hay đường thẳng D có chỉ phương: và đi qua A nên có phương trình: 
A
P
Q
·
Cách 3: Ta có: , 
 Gọi là chỉ phương của đường 
thẳng D cần tìm.
 +) Ba vectơ đồng phẳng
 +) Ba vectơ đồng phẳng
 Từ (1) và (2): 
 Vì vécctơ hay đường thẳng cần tìm có 
chỉ phương và đi qua A nên có phương trình:
 Bài 8
Trong không gian tọa độ Oxyz.Viết phương trình đương thăng D đi qua đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2,biết , .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1) Đề cho:
 +)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : .
 +)Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
 +)Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
 +)Quan hệ: Đường thẳng D cắt .
 Đường thẳng D vuông góc với (có thể cắt hoặc không cắt).
 2)Cần xác định véctơ chỉ phương của đương thẳng D.
 Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
 Không thể dựa vào điều kiện D cắt vì mối quan hệ này không chắc chắn xảy ra.
 Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
 +)Đường thẳng D cắt đường thẳng tại P.
 +)Đường thẳng D vuông góc với nên .
 Suy ra đường thẳng D cũng là đường thẳng PA.
 Định hướng 2: 
 +)Đường thẳng D cắt đường nên xác định một mặt phẳng .
 +)Đường thẳng D vuông góc với nên xác định một mặt phẳng qua A và vuông góc với . Vậy đường thẳng D là giao của hai mặt phẳng và .
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
 Cách 1: 
 Gọi giao của đường thẳng D với là P, suy ra hay 
 . Véctơ 
 Mặt khác D vuông góc với nên: 
 Suy ra , hay .
 Cách 2: Gọi là mặt phẳng xác định bởi D và .
 Mặt khác chứa D nên đi qua A. 
 Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với , nên nhận làm véctơ pháp tuyến. 
 Vì D là giao của và nên có chỉ phương .
 Phương trình của đường thẳng .
 Ngoài hai cách giải trên, ta còn c